转动惯量计算

应用举例（一）
由沿轴延伸定理和垂轴延伸定理我们可以比较简单的 求出立方体沿过中心且与一面垂直的轴转动时的转动惯 量。 即立方体可以看成杆先垂轴延伸成平方形，再沿轴延 伸成立方体。设立方体质量为M，因为杆的转动惯量的 无量纲系数k为1/12, 2 所以：
IM
1 l kMl M 3 2 1 1 1 2 2 Ml Ml 12 3 4 1 2 Ml 返回 6
应用举例（二）
有了壳体定理，我们可以减少一部分计算，即知道壳 或体的转动惯量后，我们经过简单的判断，就可以知道对 应的体或壳的转动惯量。例如：
薄圆盘所对应的壳——圆的转动惯量是mR2（等效为 质点来计算）,我们可以由此马上得知薄圆盘的转动惯量 为1/2 mR2，因为，壳，圆的维数为1，由壳体定理的公式， 简单计算即可求得。
回顾我们课上讲的杆的转动惯量的计算，如果，我们在原系统的基 础上再加上一个一模一样的杆，那这个新系统的转动惯量又是什么呢？是不是 两者的叠加（就是原来的二倍，亦即将质量改为原来的两倍）？答案是肯定的。 其实我们可以这样想：原来的那个杆不是可以看成是两个杆的“无缝连接” 吗？！质量m与转动惯量I是线性关系，完全相同的物体按同种方式转动，如果 组合到一起，其转动惯量的无量纲系数k是不变的，只不过是要改变一下质量而 已。
IM
壳体定理（二） M k r d t r
R 2
t 1 R M 1 R 2 k r dr 1 0 R 1 k M R2 3
0
1
1
1

定理内容：内容显而易见，如证明中的公式一样，壳体 定理只是揭示 了壳与体转动惯量之间的关系。
1 2 2 I m R1 R2 2


因此：
I I M I m0
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总结与反思
• 以上的那些定理名字挺大、挺吓人，其实都是我 自己起的，没什么东西。 • 我到网上查资料时，发现现在都有专门用于计算 转动惯量的软件了！我这点东西实在是···· ···· • 不过，这些东西虽不怎么样，但都是我认真思考， 独立完成的。其原创性毋庸置疑，而且，好像还 从来没有人做过。 • 生活和生产当中，需要计算转动惯量的东西要复 杂很多，远不是什么规则的单一几何体。但是， 复杂的东西也要从简单的入手，一步一步我们就 会解决问题。
书中内容是根本，望大家好好理解并掌握。
新的方法
这是我在看书上转动惯量部分，参看P143 表4-1时， 想到的一些东西，而后又做了一些计算和证明，是自己原 创的。我认为对于转动惯量的计算有一定的作用。
• 沿轴延伸定理。 • 垂轴延伸定理。 • 壳体定理。
• 关于空心圆柱体转动 惯量公式的解释。
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沿轴延伸定理
Байду номын сангаас
解释—续
我们假设未成空心前的圆柱的质量为M，空心的那一块 的质量为m0,那么按照“相减”的想法，则有：
I I M I m0
1 1 2 2 MR 2 m0 R1 2 2
（1）
由于空心部分和圆柱的密度相同（否则未成空心前的那 个几何体就不能称之为圆柱了），所以有：
m0 M 2 2 R2 h R1 h
1 1 2 2 M R1 m0 R2 0 即， 2 2 (1)+(2),得：
（2）
解释—完结
1 1 1 1 2 2 2 2 I MR2 m0 R1 M R1 m0 R2 2 2 2 2 1 2 2 M m0 R1 R2 2


而(M-m0)就是空心圆柱体的质量，所以：
类似地，我们可以由圆球壳的转动惯量来推出圆球的； 由正方型面的转动惯量来推出正方型框的。
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关于空心圆柱体转动 惯量公式的解释
所谓空心圆柱体，即半径为R2的圆柱，其中间为以R1为 半径的空心的几何体。书上给出的转动惯量公式为：
1 2 2 I m R1 R2 2


然而，根据常识和经验判断，明明是少了一块，为什么 公式当中反而是加号呢？ 有人可能会说，计算结果就是这样！ 不对。我认为物理是联系实际、是应该可以被主观理解 的一门科学，所以我对这个公式研究了一番，发现“相减” 的想法是正确的。 为什么呢？请听我慢慢道来！
关于计算转动惯量的一些想法
转动惯量是刚体动力学里一个重要的 概念，是物体内禀属性的反映。它类似于 牛顿力学当中的质量 。 而且关于转动惯量的一些公式与牛顿 定律中的公式以及其他一些公式很相像。 然而，比起质量来说，转动惯量并不 是那么明显和易于测量，因此计算转动惯 量就显得尤为重要。
关于计算转动惯量的一些想法
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壳体定理（一）
公设：极限思想、微积分中求积思想的正确性。 证明：壳体，即圆与圆盘、圆环与圆柱、圆帽与圆锥等。下 面先介绍一下“壳的维数”。这个概念是在几何体维数的基 础上发展的，唯一的区别在于如果壳在沿轴方向上是相同的， 则维数减一。例如圆环（圆柱的壳）是二维图形，但其壳的 维数却是一。而圆帽是二。体实际上是无数个逐渐变小的壳 的叠加。 设体的质量为M，壳的维数为 ,壳体的共同面（圆盘 的原面、圆柱的底、圆锥的底面）的量度为R，设壳体转动惯 量的无量纲系数为k，t为体的“积”（面积或体积）的计算公 式中的常数，如2 等。则有：
垂轴延伸定理
公设：微积分的正确性。平行轴定理。 证明：设原物体的质量为m，转动惯量的量纲为ML2,所以设 I=kml2,垂轴延伸的距离为R，则：
I M n km l
2 2
R
0
M 2 dr r R
1 2 kMl MR 3
定理内容：一物体垂直与转轴方向延伸，延伸长度为R,新 物体的质量为M，则其转动惯量为kMl2+1/3 MR2。
公设：
证明：设原物体质量为m，转动惯量为I,则它沿轴延伸为质量为M的 物体后，相当于n个原物体的叠加。 因此，
I M n I n mi ri n km l2 kMl 2
2 i 1
n
定理内容：一物体沿转轴方向延伸，其转动惯量的无量纲 系数k不变，只是质量改为延伸后新物体的质量。
• 书中原有内容的简单回顾 • 新的方法（原创） • 总结与反思
结束放映
书中原有内容回顾
赵老师的书中关于这部分的东西很多，虽然页数较少， 但是内容丰富，主要有如下几点：
• • • • •
转动惯量的定义。(这个是基础) 转动惯量的计算。(积分法，几乎是万能的) 平行轴定理。(于质心联系，适用广泛) 薄面的正交轴定理。 标度变换法。(很好的方法，巧妙而简洁)