向量解题技巧

一、怎么样求解向量的有关概念问题

掌握并理解向量的基本概念

１.判断下列各命题是否正确

(1)若ab,bc,则ac；

(2)两向量a、b相等的充要条件是ab且a、b共线；

(3)ab是向量ab的必要不充分条件；

(1)若A、B、C、D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

(2)ABCD的充要条件是A与C重合，B与D重合。

二、向量运算及数乘运算的求解方法

两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差

是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a与 b 不共线，则ab与ab是以a与b为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐

标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若(,),(,)

Ax1yBxy，则

122

ABOBOA(x2,y2)(x1,y1)(x2x1,y2y1)。

例1若向量a(3,2),b(0,1),则2ba的坐标是_______

例2若向量a(1,1),b(1,1),c(1,2)则c____

131331

A.ab

B.ab

C.ab

222222 D.

3

2

a

1

2

b

例3在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点COCOAOB，其中,R且1，则点C的轨迹为（）

满足

A.3x2y110

B.(x

2

1)( y

2

2) 0

C.2xy0

D.x2y50

例4O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ABAC

OPOA()，[0,)，则P的轨迹一定过ABC的（）

ABAC

A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

例5设G是ABC内的一点，试证明:

(1)若G是为ABC重心，则GAGBBC0；

1

(2)若GAGBBC0，则G是为ABC重心。

三、三点共线问题的证法

证明A,B,C三点共线，由共线定理(AB与AC共线)，只需证明存在实数，使ABAC，，其

中必须有公共点。

共线的坐标表示的充要条件，若(,),(,)

ax1ybxy，则

122

a//babx1y2x2y10(x1y2x2y1)

例1已知A、B两点，P为一动点，且OPOAtAB，其中t为一变量。

证明：1.P必在直线AB上；2.t取何值时，P为A点、B点？

例2证明：始点在同一点的向量a、b、3a2b的终点在同一直线上

例3对于非零向量a、b,求证：ababab

四、求解平行问题

两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大小无关，只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。

例1已知M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1,y)且MN//PQ，求y的值。

例2已知点A(1,2)，若向量AB与a(2,3)同向，AB213,则B点的坐标是____.

例3平面内给定三向量a(3,2),b(1,2),c(4,1)，则：

(1)求3ab2c;(2)求满足ambnc的实数m、n

(3)若(akb)//(2ba),求实数k;

(4)设d(x,y)满足(dc)//(ab)且dc1,求d.

例4

(1)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6)，求AC与DB的交点，P的坐标。

(2)若平行四边形ABCD的顶点A(1,2),B(3,1),C(5,6),求顶点D的坐标。

五、向量的数量积的求法

定义法：ababcos

求数量积：

坐标法：a b x x

12 y y 12

当a//b时，0和180两种可能。故abab

2

一些重要的结论：

2

2aaa

a；

22

22

(ab)aabb；

2

(ab)(ab)ab

2

例1设a,b,c是任意的非零的向量，且相互不共线，则（）

①(ab)c(ca)b0;②abab;

③(bc)a(ac）b不与c垂直④(3a2b)(3a2b)9 a 24

b

2 其中是真命题的为（）

A.B.C.D.

①②②③③④②④

例2已知平面上三点A、B、C，满足AB3,BC4,CA5,则ABBCBCCACAAB的

值等于________。

例3已知向量a和b的夹角为120，且a2,b5,则(2ab)a______.

六、如何求向量的长度

形如ab的模长求法：先平方转化为含数量积运算开方，即：

ab 2 22

a

2

2abb

2

例1已知向量a,b,ab4,a与b的夹角为60,则ab____,ab____,其中

ab与a_____,ab与a方向夹角为______.

方向的夹角为

例2设向量a,b满足ab1,3a2b3,求3ab的值。

七、如何求两向量的夹角

abxxyy

1212

cos

夹角公式：2

222

abxyxy

1122

1

例1已知)36,,_____.

a10,b12,且(3a)(b求ab的夹角

5

例2若e与是夹角为60的单位向量，且a2ee,b3e2e,求ab及a与b的夹角1e1。

2212

八、垂直问题的求解

向量垂直的充要条件：aa00

bbx1xyy

212