广东省揭阳一中2017届高三上学期第一次阶段考试数学(文)试题(附答案)$715941

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广东省揭阳一中2017届高三(上)第一次段考试卷(文)(解析版)

广东省揭阳一中2017届高三（上）第一次段考试卷（文）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=60°，c=a，则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大中关系不能确定2．（5分）已知数列{a n}是等差数列，且a1+a4+a7=2π，则tan（a3+a5）的值为（）A．B．C．D．3．（5分）△ABC的三边长分别为|AB|=7，|BC|=5，|CA|=6，则•的值为（）A．19 B．14 C．﹣18 D．﹣194．（5分）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项5．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定6．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．757．（5分）在△ABC中，a=2，b=2，B=，则A等于（）A．B．C．或D．或8．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．189．（5分）若A、B是锐角三角形△ABC的两个内角，如果点P的坐标为P（cos B﹣sin A，sin B﹣cos A），则点P在直角坐标平面内位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sin x．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）A．B．C．0 D．﹣11．（5分）已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．12．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+a n+1=（）n（n∈N*），记T n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5T n﹣4n•a n=（）A．n B．n2C．2n2D．n+1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知b cos C+c cos B=2b，则=．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则正整数m的值为．15．（5分）已知，则的值等于．16．（5分）设数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，数列{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则b+b+b+…+b=．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要文字说明，证明过程或演算过程.）17．（10分）△ABC中，内角A、B、C对应的边为a、b、c，且满足a•sin A+c•sin C﹣a•sin C=b•sin B（1）求B；（2）若A=75°，b=2，求a、c．18．（12分）已知A、B、C是△ABC的三个内角，a、b、c为其对应边，向量=（﹣1，），=（cos A，sin A），且•=1（1）求角A；（2）若c=，=，求△ABC的面积S．19．（12分）正项等比数列{a n}，若2a1+3a2=1，a32=9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a1+log3a2+log3a3+…log3a n，求数列{}的前n项和S n．20．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos B=，f（）=﹣，且C为锐角，求sin A．21．（12分）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1、a2、a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，点在直线y=x+4上．数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），且b4=8，前11项和为154．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设是否存在m∈N*，使得f（m+9）=3f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．B【解析】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=60°，c=a，则由正弦定理可得，解得sin A=．再由题意可得，a不是最大边，故A为锐角，故A=30°．再由三角形内角和公式可得B=90°，再由大角对大边可得a＜b，故选B．2．C【解析】∵数列{a n}是等差数列，且a1+a4+a7=2π，∴a1+a4+a7=3a4=2π，∴a4=，∴tan（a3+a5）=tan（2a4）=tan=tan=,故选：C.3．D【解析】由题意，cos B==，∴•=5×5×（﹣）=﹣19．故选：D．4．A【解析】依题意a1+a2+a3=34，a n+a n﹣1+a n﹣2=146,∴a1+a2+a3+a n+a n﹣1+a n﹣2=34+146=180,又∵a1+a n=a2+a n﹣1=a3+a n﹣2,∴a1+a n==60,∴S n===390,∴n=13,故选A.5．A【解析】设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A.6．B【解析】{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35,∴a11+a12+a13=105,故选B．7．C【解析】△ABC中，∵a=2，b=2，B=，∴由正弦定理可得=，解得sin A=，∴A=，或A=，故选：C．8．B【解析】设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴S n=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选：B．9．B【解析】∵A，B为锐角三角形的两个内角，∴A+B＞，∴A＞﹣B＞0，∴sin A＞sin（﹣B）=cos B，∴cos B﹣sin A＜0，同理可得sin B﹣cos A＞0，故选B．10．A【解析】∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sin x．当0≤x＜π时，f（x）=0，∴f（）=f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==．故选：A．11．C【解析】设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=．∴|m﹣n|=．故选C.12．A【解析】由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n﹣1•4n﹣1+a n•4n②①+②得：5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n﹣1•（a n﹣1+a n）+a n•4n=a1+4×+42•2+…+4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n﹣4n•a n=n．故选A．二、填空题13． 2【解析】将b cos C+c cos B=2b，利用正弦定理化简得：sin B cos C+sin C cos B=2sin B，即sin（B+C）=2sin B，∵sin（B+C）=sin A，∴sin A=2sin B，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为：214．5【解析】由题意可得a m=S m﹣S m﹣1=0﹣（﹣2）=2，a m+1=S m+1﹣S m=3﹣0=3，∴等差数列{a n}的公差d=a m+1﹣a m=3﹣2=1，由通项公式可得a m=a1+（m﹣1）d，代入数据可得2=a1+m﹣1，①再由求和公式可得S m=ma1+d，代入数据可得0=ma1+，②联立①②可解得m=5，故答案为：5.15．3【解析】∵，∴；∵，∴．∴．故答案为：3．16．126【解析】∵数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1．则a1=2，a2=3，a3=4，a4=5，a5=6，a6=7，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则bn=1×2n﹣1=2n﹣1，∴b+b+b+…+b=b2+b3+b4+b5+b6+b7=2+4+8+16+32+64=126．故答案为：126.三、解答题17．解：（1）因为a•sin A+c•sin C﹣a•sin C=b•sin B，所以由正弦定理得，，即，由余弦定理得：cos B==,因为0°＜B180°，所以B=45°. （2）因为sin A=sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°==，所以由正弦定理得，====，则a=，c=.18．解：（1）∵=（﹣1，），=（cos A，sin A），∴•=sin A﹣cos A=2sin（A﹣）=1，∴sin（A﹣）=，∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，∴A﹣=，∴A=；（2）∵=，=，变形整理可得b2=c2，∴b=c，又∵A=，∴△ABC为等边三角形，又c=，∴△ABC的面积S=×（）2×=19．解：（1）依题意，a32=9a2a6=9a3a5，∴=q2=，解得：q=或q=﹣（舍），又∵2a1+3a2=1，即2a1+3a1=1，∴a1=，∴数列{a n}是首项、公比均为的等比数列，∴其通项公式a n=.（2）由（1）可知log3a n=log3=﹣n，∴b n=log3a1+log3a2+log3a3+…log3a n=﹣1﹣2﹣…﹣n=﹣，∴=﹣=﹣2（﹣），∴数列{}的前n项和S n=﹣2（1﹣+…+﹣）=﹣2（1﹣）=﹣．20．解：（1）f（x）=cos（2x+）+sin2x=，所以当sin2x=﹣1时，函数f（x）的最大值为，它的最小正周期为：=π；（2）因为==﹣，所以，因为C为锐角，所以；因为在△ABC中，cos B=，所以，所以=．21．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，且a1、a2、a5成等比数列．∴=a1a5，即（2+d）2=2（2+4d），解得d=0或4．∴a n=2，或a n=2+4（n﹣1）=4n﹣2．（2）当a n=2时，S n=2n，不存在正整数n，使得S n＞60n+800．当a n=4n﹣2时，S n==2n2，假设存在正整数n，使得S n＞60n+800，即2n2＞60n+800，化为n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，∴n的最小值为41．22．解：（1）由题意，得，即．故当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+4n﹣（n﹣1）2﹣4（n﹣1）=2n+3．注意到n=1时，a1=S1=5，而当n=1时，n+4=5，∴a n=2n+3（n∈N*）．又b n+2﹣2b n+1+b n=0，即b n+2﹣b n+1=b n+1﹣b n（n∈N*），∴{b n}为等差数列，于是．而b4=8，故b8=20，，∴b n=b4+3（n﹣4）=3n﹣4，即b n=b4+3（n﹣4）=3n﹣4（n∈N*）．（2），①当m为奇数时，m+9为偶数．此时f（m+9）=3（m+9）﹣4=3m+23，3f（m）=6m+9∴3m+23=6m+9，（舍去）;②当m为偶数时，m+9为奇数．此时，f（m+9）=2（m+9）+3=2m+21，3f（m）=9m﹣12，所以2m+21=9m﹣12，（舍去）．综上，不存在正整数m，使得f（m+9）=3f（m）成立．。

广东省揭阳市高三数学一模试卷(文科) Word版含解析

2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={y|y=2x﹣3，x∈A}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（10，7）B．（10，5）C．（﹣4，﹣3）D．（﹣4，﹣1）3．若直线mx+2y+m=0与直线3mx+（m﹣1）y+7=0平行，则m的值为（）A．7 B．0或7 C．0 D．44．已知命题p：∃x，y∈R，sin（x+y）=sinx+siny，命题，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题5．曲线与的交点横坐标所在区间为（）A．B．C．D．6．阅读图的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣36时，输出x的值为（）A．0 B．1 C．3 D．157．如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣38．清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”其译文为：“远远望见7层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比上层成倍地增加，一共有381盏，请问塔尖几盏灯？”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第4层的灯盏数应为（）A．3 B．12 C．24 D．369．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P的坐标（m，n），那么点P 在圆x2+y2=17内部（不包括边界）的概率是（）A．B．C．D．10．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的棱长为（）A．B．1 C．2 D．11．已知抛物线y=ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，且点A在直线3mx+ny+1=0（m＞0，n＞0）上，则的最小值为（）A．4 B．12 C．24 D．3612．已知函数f（x）=|sinx|（x∈[﹣π，π]），g（x）为[﹣4，4]上的奇函数，且，设方程f （f （x ））=0，f （g （x ））=0，g （g （x ））=0的实根的个数分别为m 、n 、t ，则m +n +t=（）A ．9B ．13C ．17D ．21二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．已知函数f （x ）=ax 3+bx +1，若f （a ）=8，则f （﹣a ）= ．14．已知数列{a n }对任意的n ∈N *都有a n +1=a n ﹣2a n +1a n ，若，则a 8= ． 15．已知△ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O ﹣ABC的体积为40，则该球的表面积等于．16．已知双曲线右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点，则△APF 周长的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知：复数z 1=2sinAsinC +（a +c ）i ，z 2=1+2cosAcosC +4i ，且z 1=z 2，其中A 、B 、C 为△ABC 的内角，a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若，求△ABC 的面积．18．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=BC=BB 1，AB 1∩A 1B=E ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD ；（Ⅰ）求证：BD ⊥平面A 1ACC 1；（Ⅱ）若AB=1，且AC•AD=1，求三棱锥A ﹣BCB 1的体积．19．某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120），历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156，一年按364天计．（Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；（Ⅱ）已知一台小型发电机，需30万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利润为4000元，若不运行，则每天亏损500元；一台中型发电机，需60万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利10000元，若不运行，则每天亏损800元；根据历年日泄流量的水文资料，水电站决定安装一台发电机，为使一年的日均利润值最大，应安装哪种发电机？20．已知椭圆的离心率为，点M，N是椭圆C上的点，且直线OM与ON的斜率之积为﹣（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动点P（x0，y0）满足=+2，是否存在常数λ，使得P是椭圆上的点．21．已知函数．（a∈R）（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）试讨论函数f（x）在区间（0，+∞）内极值点的个数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线l：θ=α（α∈[0，π），ρ∈R）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=a（x﹣1）．（Ⅰ）当a=1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：．2017年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={y|y=2x﹣3，x∈A}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】交集及其运算．【分析】有题目给出的已知条件，用列举法表示出集合B，取交集运算后答案可求．【解答】解：由A={﹣1，0，1，2}，集合B={y|y=2x﹣3，x∈A}={﹣5，﹣3，﹣1，1}所以A∩B={﹣1，1}．所以A∩B中元素的个数为2．故选B．2．已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（10，7）B．（10，5）C．（﹣4，﹣3）D．（﹣4，﹣1）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由点A、B的坐标，计算可得向量的坐标，又由=+，代入坐标计算可得答案．【解答】解：根据题意，点A（0，1），B（3，2），则向量=（3，1），又由，则向量=+=（﹣4，﹣3）；故选：C．3．若直线mx+2y+m=0与直线3mx+（m﹣1）y+7=0平行，则m的值为（）A．7 B．0或7 C．0 D．4【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由m（m﹣1）=3m×2，求出m值，再进行检验即可．【解答】解：∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+（m﹣1）y+7=0平行，∴m（m﹣1）=3m×2，∴m=0或7，经检验都符合题意．故选：B．4．已知命题p：∃x，y∈R，sin（x+y）=sinx+siny，命题，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：令x=0，y=，显然满足sin（x+y）=sinx+siny，故命题p是真命题；x∈[0，π]，cosx=±，故命题q是假命题，故命题p∧（￢q）是真命题，故选：D．5．曲线与的交点横坐标所在区间为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】方法一：分别画出与的图象，由图象，结合各选项即可判断．方法二：构造函数，利用函数零点存在定理，即可判断【解答】解：方法一：分别画出与的图象，如图所示，由图象可得交点横坐标所在区间为（，），方法二：设f （x ）=（）x ﹣x，∵f （）=（）﹣＜0，f （）=（）﹣（）＞0，∴f （）f （）＜0，根据函数零点存在定理可得点函数零点所在区间为（，），即交点横坐标所在区间为（，），故选：B6．阅读图的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为﹣36时，输出x 的值为（）A．0 B．1 C．3 D．15【考点】程序框图．【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|≤1时跳出循环，输出结果．【解答】解：当输入x=﹣36时，|x|＞1，执行循环，x=6﹣2=4；|x|=4＞1，执行循环，x=2﹣2=0，|x|=0＜1，退出循环，输出的结果为x=1﹣1=0．故选：A7．如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2x﹣y=t过点A（0，﹣1）时，t最大是1，故选B．8．清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”其译文为：“远远望见7层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比上层成倍地增加，一共有381盏，请问塔尖几盏灯？”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第4层的灯盏数应为（）A．3 B．12 C．24 D．36【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a1，即可求出a4．【解答】解：依题意知，此塔各层的灯盏数构成公比q=2的等比数列，且前7项和S7=381，由，解得a1=3，故．故选：C．9．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P的坐标（m，n），那么点P 在圆x2+y2=17内部（不包括边界）的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数N=6×6=36，再利用列举法求出点P在圆x2+y2=17内部（不包括边界）包含的基本事件个数，由此能求出点P在圆x2+y2=17内部（不包括边界）的概率．【解答】解：连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P的坐标（m，n），基本事件总数N=6×6=36，点P在圆x2+y2=17内部（不包括边界）包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个，∴点P在圆x2+y2=17内部（不包括边界）的概率是p==．故选：D．10．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的棱长为（）A．B．1 C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体．【解答】解：依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x，则有，解得，故2x=1，即新工件棱长为1．故选B．11．已知抛物线y=ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，且点A在直线3mx+ny+1=0（m＞0，n＞0）上，则的最小值为（）A．4 B．12 C．24 D．36【考点】基本不等式；二次函数的性质．【分析】抛物线y=ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，得到A（﹣1，﹣3），再把点A代入直线方程得到m+n=，再把“1”整体代入所求的式子，利用基本不等式求出最小值．【解答】解：抛物线y=ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，∴A（﹣1，﹣3），∴，又===12，当且仅当m=n时等号成立．故选：B12．已知函数f（x）=|sinx|（x∈[﹣π，π]），g（x）为[﹣4，4]上的奇函数，且，设方程f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0的实根的个数分别为m、n、t，则m+n+t=（）A．9 B．13 C．17 D．21【考点】正弦函数的图象．【分析】根据x∈[﹣π，π]时函数f（x）=|sinx|的值域为[0，1]，由函数g（x）的图象与性质得出其值域为[﹣4，4]，由方程f（x）=0的根得出方程f（f（x））=0根的个数m；求出方程f（g（x））=0的实根个数n；由方程g（x）=0的实根情况得出方程g（g（x））=0的实根个数t；从而求出m+n+t的值．【解答】解：因x∈[﹣π，π]，所以函数f（x）=|sinx|的值域为[0，1]，函数g（x）=的图象如图示，由图象知，其值域为[﹣4，4]，注意到方程f（x）=0的根为0，﹣π，π，所以方程f（f（x））=0的根为方程f（x）=0或f（x）=﹣π，f（x）=π的根，显然方程f（x）=0有3个实根，因﹣π，π∉[0，1]，所以f（x）=﹣π，与f（x）=π均无实根；所以方程f（f（x））=0的实根的个数为3，即m=3；方程f（g（x））=0的实根为方程g（x）=0或g（x）=﹣π，g（x）=π的根，方程g（x）=﹣π，g（x）=π各有3个根，同时方程g（x）=0也有3个根，从而方程f（g（x））=0根的个数为9，即n=9；方程g（x）=0有三个实根﹣3、0、3，方程g（g（x））=0的实根为方程g（x）=﹣3或g（x）=0或g（x）=3的根，方程g（x）=﹣3或g（x）=3各有3个根，同时方程g（x）=0也有3个根，从而方程g（g（x））=0根的个数为9，即t=9；综上，m+n+t=3+9+9=21．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）=﹣6．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式f （﹣x ）与f （x ）的关系，从面通过f （﹣a ）的值求出f （a ）的值，得到本题结论．【解答】解：∵函数f （x ）=ax 3+bx +1，∴f （﹣x ）=a （﹣x ）3+b （﹣x ）+1=﹣ax 3﹣bx +1， ∴f （﹣x ）+f （x ）=2， ∴f （﹣a ）+f （a ）=2． ∵f （a ）=8， ∴f （a ）=﹣6．故答案为﹣6．14．已知数列{a n }对任意的n ∈N *都有a n +1=a n ﹣2a n +1a n ，若，则a 8= ．【考点】数列递推式．【分析】由a n +1=a n ﹣2a n +1a n 得，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：由a n +1=a n ﹣2a n +1a n 得，故数列是，公差d=2的等差数列，，．故答案为：．15．已知△ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O ﹣ABC的体积为40，则该球的表面积等于 400π ．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出△ABC 所在圆面的半径为，则由得三棱锥的高h=5，设球O 的半径为R ，则由h 2+52=R 2，得R=10，【解答】解：依题意知△ABC 为直角三角形，其所在圆面的半径为，设三棱锥O ﹣ABC 的高为h ，则由得h=5，设球O的半径为R，则由h2+52=R2，得R=10，故该球的表面积为400π．故答案为400π．16．已知双曲线右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点，则△APF周长的最小值为4（1+）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】△APF的周长l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF'|+|AP|，要△APF的周长最小，只需|AP|+|PF'|最小，如图，当A、P、F三点共线时取到，即可得出结论．【解答】解：由题意，点，△APF的周长l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF'|+|AP|，要△APF的周长最小，只需|AP|+|PF'|最小，如图，当A、P、F三点共线时取到，故l=．故答案为：4（1+）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知：复数z1=2sinAsinC+（a+c）i，z2=1+2cosAcosC+4i，且z1=z2，其中A、B、C为△ABC的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据复数相等得到2sinAsinC=1+2cosAcosC，根据两角和余弦公式和诱导公式，即可求出B的大小；（Ⅱ）由余弦定理可以及a+c=4，可得ac，再根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）∵z1=z2∴2sinAsinC=1+2cosAcosC﹣﹣﹣﹣①，a+c=4﹣﹣﹣﹣②，由①得2（cosAcosC﹣sinAsinC）=﹣1即，∴，∵0＜B＜π∴；（Ⅱ）∵，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB⇒a2+c2﹣ac=8，﹣﹣④，由②得a2+c2+2ac=16﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤由④⑤得，∴=．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，AB1∩A1B=E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD；（Ⅰ）求证：BD⊥平面A1ACC1；（Ⅱ）若AB=1，且AC•AD=1，求三棱锥A﹣BCB1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结ED，证明：BD⊥AC，A1A⊥BD，即可证明BD⊥平面A1ACC1；（Ⅱ）若AB=1，且AC•AD=1，利用体积公式求三棱锥A﹣BCB1的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结ED∵平面AB1C∩平面A1BD=ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C∥ED，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵E为AB1中点，∴D为AC中点，∵AB=BC，∴BD⊥AC①，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，得A1A⊥BD②，由①②及A1A、AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，得BD⊥平面A1ACC1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：由AB=1得BC=BB1=1，由（Ⅰ）知，又AC•DA=1得AC2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵AC2=2=AB2+BC2，∴AB⊥BC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120），历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156，一年按364天计．（Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；（Ⅱ）已知一台小型发电机，需30万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利润为4000元，若不运行，则每天亏损500元；一台中型发电机，需60万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利10000元，若不运行，则每天亏损800元；根据历年日泄流量的水文资料，水电站决定安装一台发电机，为使一年的日均利润值最大，应安装哪种发电机？【考点】频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率，组距的关系求出a的，再画图即可，（Ⅱ）根据不同泄流量，分别安装运行一台小型发电机或一台小型发电机的利润，比较即可．【解答】解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为，，设在区间[0，30）上，，则，解得，补充频率分布直方图如右；（Ⅱ）当日泄流量X≥30（万立方米）时，小型发电机可以运行，则一年中一台小型发电机可运行的天数为：（天）；当日泄流量X≥60（万立方米）时，中型发电机可以运行，则一年中一台中型发电机可运行的天数为：（天）；①若运行一台小型发电机，则一年的日均利润值为：（或）（元）②若运行一台中型发电机，则一年的日均利润值为：（或）（元）因为，故为使水电站一年的日均利润值最大，应安装中型发电机．20．已知椭圆的离心率为，点M，N是椭圆C上的点，且直线OM与ON的斜率之积为﹣（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动点P（x0，y0）满足=+2，是否存在常数λ，使得P是椭圆上的点．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，求出a=2，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则由=，得x0=x1+2x2，y0=y1+2y2，由点M，N在椭圆=1上，由直线OM与ON的斜率之积为﹣，由此能求出存在常数λ=5，使得P点在椭圆上．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，∴e=，解得，又b2=2，解得a=2，故椭圆的标准方程为=1．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则由=，得x0=x1+2x2，y0=y1+2y2，又点M，N在椭圆=1上，∴，，设k OM，k ON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知：k OM•k ON==﹣，∴x1x2+2y1y2=0，∴=，因此，存在常数λ=5，使得P点在椭圆上．21．已知函数．（a∈R）（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）试讨论函数f（x）在区间（0，+∞）内极值点的个数．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由题意可知f′（x）=﹣+≤0，a≥，则构造辅助函数，求导，根据函数函数的单调性即可求得最大值，即可求得实数a的取值范围；（Ⅱ）方法1：构造辅助函数，g（x）=，求导g′（x）=，根据函数的单调性即可求得g（x）最小值，根据函数的单调性及极值的判断求得函数的f （x）的极值点的个数；方法2：分类讨论，根据当a≤1时，根据函数的单调性f（x）在区间（0，+∞）递增，f（x）无极值，当a＞1时，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性与极值的关系，即可求得f（x）的极值个数．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：对∀x∈，f′（x）=﹣+≤0，即a≥，对∀x∈恒成立，令g（x）=，求导g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1，g′（x）＞0，∴函数g（x）在[，1]上单调递减，在（1，e]上单调递增，∴g（）=，g（e）=e e﹣1，由e e﹣1＞，∴在区间上g（x）max=e e﹣1，∴a≥e e﹣1，（Ⅱ）解法1：由f′（x）=﹣+==，g（x）=，g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，g（x）min=g（1）=e，当a≤e时，g（x）≥a恒成立，f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增，f（x）无极值点，当a＞e时，g（x）min≥g（1）=e＜a，故存在x1∈（0，1）和x2∈（1，+∞），使得g（x1）=g（x2）=a，当0＜x＜x1，f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，当x＞x2，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（x1，x2）单调递减，在（0，x1）和（x2，+∞），∴x1为函数f（x）的极大值点，x2为函数f（x）的极小值点，综上可知；a≤e时，函数f（x）无极值点，当a＞e时，函数f（x）有两个极值点．方法2：f′（x）=，设h（x）=e x﹣ax（x＞0），则h（x）=e x﹣a，由x＞0，e x＞1，（1）当a≤1时，h′（x）＞0，h（x）递增，h（x）＞h（0）=1，则f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）在区间（0，+∞）内无极值；（2）当a＞1时，由h′（x）=e x﹣a＞0，则x＞lna，可知h（x）在（0，lna）内递减，在（lna，+∞）单调递增，∴h（x）max=h（lna）=a（1﹣lna），①当1＜a≤e时，h（x）＞h（x）min≥0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）在区间（0，+∞）内无极值；②当a＞e时，h（x）min＜0，又h（0）＞0，x很大时，h（x）＞0，∴存在x1∈（0，lna），x2∈（lna，+∞），使得h（x1）=0，h（x2）=0，即f′（x1）=0，f′（x2）=0，可知在x1，x1两边f′（x）符号相反，∴函数f（x）有两个极值点x1，x2，综上可知；a≤e时，函数f（x）无极值点，当a＞e时，函数f（x）有两个极值点．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线l：θ=α（α∈[0，π），ρ∈R）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用平方关系可得曲线C的普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得出．（II）联立θ=α和ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0，得ρ2+2ρ（cosα﹣sinα）﹣2=0，设A（ρ1，α），B（ρ2，α），可得ρ1+ρ2=2（cosα﹣sinα）=2，即可得出．【解答】解：（I）曲线C的普通方程为（x+1）2+（y﹣1）2=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0．（II）联立θ=α和ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0，得ρ2+2ρ（cosα﹣sinα）﹣2=0，设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则ρ1+ρ2=2（cosα﹣sinα）=2，由|OM|=，得|OM|=，当α=时，|OM|取最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=a（x﹣1）．（Ⅰ）当a=1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x，分类讨论，即可解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|，即可证明：．【解答】解：（I）当a=1时，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x当x≤﹣1时，得1﹣x﹣x﹣1≥3x⇒x≤0，∴x≤﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当﹣1＜x＜1时，得1﹣x+x+1≥3x，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当x≥1时，得x﹣1+x+1≥3x⇒x≤0，与x≥1矛盾，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上得原不等式的解集为=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）证明：|f（x2）+x|=|a（x2﹣1）+x|≤|a（x2﹣1）|+|x|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵|a|≤1，|x|≤1∴|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时取“=”，得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2017年4月13日。

广东省揭阳市高考一模数学文科试卷

当且时，方程表示椭圆；-------------------------------------5分
当时，方程表示双曲线.-------------------------------------------6分
（2）由（1）知，当时，轨迹T的方程为： .
连结OE，易知轨迹T上有两个点A ，B 满足 ,
A.甲先到达B地 B.乙先到达B地
C.甲乙同时到达B地 D.无法确定谁先到达B地
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11－13题）
11.命题“ ”的否定为.
12．椭圆上一点P到右焦点的距离是长轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点的坐标为.
13．随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm）获得身高数据的茎叶图如下图甲，在样本的20人中，记身高在，的人数依次为、、、．图乙是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法流程图，由图甲可知甲、乙两班中平均身高较高的是班；图乙输出的．（用数字作答）
得即 ------------------------------------2分
当时，方程表示两条与x轴平行的直线；(答方程表示两条直线不扣分)----------------------------3分
当时，方程表示以原点为圆心，4为半径的圆；(答方程表示圆不扣分)-----------------------4分
由得
∴ 的单调减区间 .-------------------------12分
17．解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分
(2)∵ 平面，平面
∴平面平面ABCD
∵ ∴BC 平面 ----------5分

2017届广东省揭阳一中高三上学期开学摸底联考数学文试题及答案

广东省揭阳一中等2014届高三上学期开学摸底联考数学文本试卷共4页，21题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。

2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。

3．答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合{|2},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()UC A B =A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x ≤<C ．{|02}x x <≤D ．{|02}x x ≤≤2．设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=z A ．2i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --3．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A ．(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)(1,)-+∞ D.(,)-∞+∞4．如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是A ．36B ．108C ．72D ．1805. 在ABC ∆中，若60,45,32A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =A.43B.23C.3D.326．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．123 B.38 C ．11 D ．37. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224xy +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( ) A.33 B.23 C.3D.18．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为630.A 7.B 7630.或C 765.或D9.在下列条件下，可判断平面α与平面β平行的是 A. α、β都垂直于平面γ B. α内不共线的三个点到β的距离相等 C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥β D. l,m 是异面直线,且l ∥α,m ∥α,l ∥β,m ∥β10.对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥> ，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合开始 1a =10?a <输出a 结束22a a =+是否第4题图第6题图|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则b a = A ．12B ．1C ．32D ．52二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题为选做题。

揭阳一中、汕头金山中学联考2017届高三上学期期中数学试卷(文科) 含解析

2016—2017学年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三(上）期中数学试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．｛1，2}B．｛x|x≤1} C．｛﹣1,0，1｝D．R2．复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知平面向量、满足•（+)=5,且｜|=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为(）A．B．﹣C．D．﹣4．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（)A．1 B．2 C．3 D．45．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺,末一日织一尺，计织三十日”,由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（）A．33％ B．49％ C．62% D．88%6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(）A． B．C． D．7．为了得到y=cos2x，只需要将y=sin（2x+）作如下变换（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．若A为不等式组表示的平面区域,则当a从﹣2连续变化到1时,则直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为(）A．1 B．C．D．9．已知A，B是球O的球面上两点,∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为，则球O的体积为（）A．81πB．128π C．144π D．288π10．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1(a＞b＞0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=，则关于方程f（｜x｜)=a，(a∈R）实根个数不可能为(）A．2 B．3 C．4 D．512．函数f（x）=Asin（2x+φ）(｜φ|≤，A＞0）部分图象如图所示，且f（a）=f（b）=0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1）=f(x2），有f（x1+x2)=,则（）A．f（x）在(﹣,）上是减函数B．f（x）在（﹣，）上是增函数C．f（x)在（，)上是减函数 D．f（x)在(,）上是增函数二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分,满分20分)13．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间［481，720]的人数为．14．已知x＞0,y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．15．已知抛物线y2=2px(p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=．16．设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1,x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题,共70分．）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=90，S15=240．(1）求{a n}的通项公式a n和前n项和S n；（2)设a n b n=，S n为数列｛b n｝的前n项和，若不等式S n＜t对于任意的n∈N＊恒成立，求实数t的取值范围．18．已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n（单位：百人）的关系有如下规定：当n∈[0，100）时，拥挤等级为“优"；当n∈［100，200）时，拥挤等级为“良"；当n∈［200，300）时，拥挤等级为“拥挤”;当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;游客数量［0，100）[100，200）［200，300）[300，400］（单位：百人）天数 a 10 4 1频率 b（Ⅱ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．19．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形,CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH（1）求证：平面AGH⊥平面EFG（2）若a=4,求三棱锥G﹣ADE的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+（y﹣b)2=a2相切．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标;（3）在（2)的条件下求△AMN面积的最大值．21．已知函数f（x)=a（x﹣1)(e x﹣a）（常数a∈R且a≠0）．（Ⅰ）证明：当a＞0时,函数f（x）有且只有一个极值点；（Ⅱ)若函数f(x）存在两个极值点x1，x2，证明:0＜f（x1）＜且0＜f(x2)＜．［选修4-4：坐标系与参数方程］22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．［选修4-5:不等式选讲]23．已知函数f（x）=｜2x﹣a｜+｜2x+3|，g（x)=|x﹣1|+2．(1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三（上)期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．若集合B={x｜x≥0｝，且A∩B=A，则集合A可能是（)A．{1，2}B．｛x｜x≤1}C．｛﹣1，0，1}D．R【考点】子集与真子集．【分析】集合B=｛x｜x≥0}，且A∩B=A，则故A⊆B，进而可得答案．【解答】解：∵集合B=｛x｜x≥0｝，且A∩B=A，故A⊆B，故A答案中｛1，2}满足要求，故选：A2．复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解:复数z===的共轭复数为在复平面上对应的点为在第四象限．故选:D．3．已知平面向量、满足•（+）=5，且｜｜=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件进行向量数量积的运算便可得出，从而得出向量夹角的余弦值．【解答】解:根据条件，=；∴．故选：C．4．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程,可得答案．【解答】解：输入的a值为1，则b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件,k=1；第二次执行循环体后，a=﹣2,不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B5．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”,由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的(）A．33％ B．49％ C．62％ D．88％【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得:每日的织布量形成等差数列{a n｝,且a1=5,a30=1，设公差为d，则1=5+29d,解得d=﹣．∴S10=5×10+=．S30==90．∴该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的×≈0.49=49%．故选:B．6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为（）A． B．C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°,又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解:由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选:D．7．为了得到y=cos2x，只需要将y=sin（2x+）作如下变换(）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=sin（2x+）=cos（2x﹣）=cos2(x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=cos2x的图象，故选:C．8．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，则直线x+y=a 扫过A中的那部分区域的面积为（）A ．1B ．C ．D ．【考点】简单线性规划．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x +y=a 的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图,不等式组表示的平面区域是△AOB,动直线x +y=a （即y=﹣x +a ）在y 轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC 是斜边为3的等腰直角三角形,△EOC 是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S 阴影=S △ADC ﹣S △EOC =×3×﹣×1×1= 故答案为：D ．9．已知A ，B 是球O 的球面上两点,∠AOB=60°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，则球O 的体积为（） A ．81π B ．128π C ．144π D ．288π 【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为18,求出半径，即可求出球O 的体积．【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC =V C ﹣AOB =，故R=6，则球O 的体积为πR 3=288π，故选D ．10．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为,则椭圆的离心率为(）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的性质AB=2c,AC=AB=a，OC=b,根据三角形面积相等求得a和c的关系，由e=，即可求得椭圆的离心率．【解答】解:由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，S ABC=AB•OC=•2c•b=bc,S ABC=（a+a+2c）•r=•（2a+2c)×=,∴=bc，a=2c，由e==，故答案选：C．11．已知函数f（x）=，则关于方程f（｜x|）=a，（a∈R）实根个数不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得求函数y=f（｜x｜）的图象和直线y=a的交点个数．作出函数y=f（｜x|)的图象，平移直线y=a，即可得到所求交点个数，进而得到结论．【解答】解:方程f(｜x|）=a,（a∈R）实根个数即为函数y=f(|x|）和直线y=a的交点个数．由y=f（|x|）为偶函数，可得图象关于y轴对称．作出函数y=f(｜x｜）的图象,如图，平移直线y=a，可得它们有2个、3个、4个交点．不可能有5个交点，即不可能有5个实根．故选：D．12．函数f(x）=Asin（2x+φ)(｜φ｜≤，A＞0）部分图象如图所示，且f（a）=f（b)=0,对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)=f（x2）,有f（x1+x2）=，则（）A．f（x)在(﹣，)上是减函数B．f（x)在（﹣,）上是增函数C．f（x）在(，）上是减函数D．f（x）在（,）上是增函数【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出函数f（x)的最小正周期,且b﹣a为半周期，再根据f（x1)=f（x2）时f(x1+x2）的值求出φ的值,从而写出f（x）的解析式，判断f（x)的单调性．【解答】解：∵f(x）=Asin(2x+φ)，∴函数最小正周期为T=π；由图象得A=2，且f（a）=f(b）=0，∴•=b﹣a，解得b﹣a=；又x1，x2∈［a,b］，且f(x1）=f（x2)时，有f（x1+x2)=,∴sin[2（x1+x2）+φ］=，即2（x1+x2）+φ=，且sin（2•+φ)=1，即2•+φ=，解得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z，∴函数f（x）在区间[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z上是单调增函数,∴f(x)在区间（﹣，）上是单调增函数．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查,将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中,编号落入区间[481，720］的人数为12．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．∴从编号1~480的人中，恰好抽取=24人,接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故答案为：12．14．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是4．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为:4．15．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=．【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4),由AM的斜率可求出a的值．【解答】解:根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1,4），则AM的斜率为2，由已知得﹣×2=﹣1,故a=．故答案为：．16．设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出函数f（x）的最小值，利用导数法求出函数g（x）的最大值,利用最值关系进行求解即可．【解答】解：对任意x1，x2∈（0,+∞），不等式≤恒成立，则等价为≤恒成立，f（x)==x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号,即f（x）的最小值是2，由g（x）=，则g′（x）==，由g′（x)＞0得0＜x＜1，此时函数g（x）为增函数，由g′（x）＜0得x＞1,此时函数g（x)为减函数,即当x=1时，g(x）取得极大值同时也是最大值g（1）=,则的最大值为=，则由≥，得2ek≥k+1，即k（2e﹣1）≥1，则，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．)17．已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，且S9=90，S15=240．（1）求｛a n}的通项公式a n和前n项和S n；（2）设a n b n=，S n为数列{b n｝的前n项和，若不等式S n＜t对于任意的n∈N＊恒成立，求实数t的取值范围．【考点】数列的求和;数列递推式．【分析】（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意可知，解得即可，（2）求出数列b n的通项公式，根据裂项求和求出S n，即可求出t的范围．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S9=90，S15=240，得,解得a1=d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n，S n=2n+=n(n+1），（2）∵a n b n=，∴b n==（﹣),∴S n=(1﹣+…+﹣）=（1﹣）＜,∴不等式S n＜t对于任意的n∈N*恒成立，∴t≥18．已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人）的关系有如下规定：当n∈[0，100）时，拥挤等级为“优”;当n∈[100，200）时，拥挤等级为“良”；当n∈[200，300）时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时,拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:(Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；游客数量[0，100) ［100,200）[200，300）[300,400]（单位：百人）天数 a 10 4 1频率 b（Ⅱ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优"的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）游客人数在[0，100）范围内的天数共有15天，由此能求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值．(Ⅱ）利用列举法求出从5天中任选两天的选择方法的种数和其中游客等级均为“优"的有多少种，由此能求出他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优"的概率．【解答】解:（Ⅰ)游客人数在[0,100）范围内的天数共有15天，故a=15,b=，…游客人数的平均数为=120（百人）．…(Ⅱ）从5天中任选两天的选择方法有：（1,2），（1，3），（1，4)，（1，5)，（2,4)，（2，5)，（3，4)，(3，5），（4，5),共10种，…其中游客等级均为“优”的有（1，4)，（1,5),(4，5）,共3种，故他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优"的概率为．…19．在多面体ABCDEFG中,四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH（1)求证：平面AGH⊥平面EFG（2)若a=4，求三棱锥G﹣ADE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定．【分析】(1)连接FH，由题意，知CD⊥平面BCFG,从而CD⊥GH．再求出GH⊥FG，由此能证明平面AGH⊥平面EFG．（2）由V G﹣ADE =V E﹣ADE,能求出三棱锥G﹣ADE的体积．【解答】证明：（1）连接FH，由题意，知CD⊥BC,CD⊥CF，∴CD⊥平面BCFG．又∵GH⊂平面BCFG,∴CD⊥GH．又∵EF∥CD，∴EF⊥GH,…由题意，得BH=，CH=，BG=,∴GH2=BG2+BH2=，FG2=（CF﹣BG）2+BC2=，FH2=CF2+CH2=,则FH2=FG2+GH2,∴GH⊥FG．…又∵EF∩FG=F，GH⊥平面EFG．…∵GH⊂平面AGH，∴平面AGH⊥平面EFG．…解:(2）∵CF⊥平面ABCD,BG⊥平面ABCD，∴CF∥BG，又∵ED∥CF，∴BG∥ED，∴BG∥平面ADE，∴V G﹣ADE =V E﹣ADE,∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE，∴三棱锥G﹣ADE的体积V G﹣ADE =V E﹣ADE=．20．已知椭圆C： +=1(a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+(y﹣b）2=a2相切．（1）求椭圆C的方程;（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证:直线MN过定点，并求出定点坐标；(3）在（2）的条件下求△AMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1)根据椭圆C： +=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+(y﹣b)2=a2相切,建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（2)由得（m2+4)y2﹣4my=0，求出M的坐标，同理可得N的坐标，分类讨论，即可证明结论;(3）求出三角形的面积,变形，利用基本不等式求△AMN面积的最大值．【解答】解:(1）由题意即…（2）∵A（﹣2，0）设l1:x=my﹣2，由得（m2+4）y2﹣4my=0∴同理∴i）m≠±1时，过定点ii）m=±1时过点∴l MN过定点（3）由（2）知=令时取等号，∴时去等号，∴21．已知函数f(x）=a（x﹣1）（e x﹣a)（常数a∈R且a≠0）．（Ⅰ)证明:当a＞0时,函数f(x）有且只有一个极值点；（Ⅱ)若函数f（x）存在两个极值点x1，x2,证明：0＜f(x1）＜且0＜f（x2）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）证明：当a＞0时,f′（x)=0只有一个根,即可证明函数f（x）有且只有一个极值点；（Ⅱ）求出函数f（x）存在两个极值的等价条件,求出a的取值范围，结合不等式的性质进行求解即可．【解答】(Ⅰ)证明：函数的导数f′(x）=a[e x﹣a+(x﹣1）e x]=a（xe x﹣a），当a＞0时，由f′(x)=0，得xe x=a，即e x=，作出函数y=e x和y=的图象,则两个函数的图象有且只有1个交点，即函数f（x）有且只有一个极值点；(Ⅱ)由（Ⅰ)知，当a＞0时，函数f（x)有且只有一个极值点;不满足条件,则a＜0,∵f（x）存在两个极值点x1，x2，∴x1，x2，是h（x）=f′（x）=a（xe x﹣a）的两个零点,令h′（x）=a(x+1)e x=0，得x=﹣1，令h′（x）＞0得x＜﹣1,令h′（x）＜0得x＞﹣1，∴h（x）在（﹣∞，﹣1］上是增函数,在[﹣1，+∞）上是减函数,∵h(0）=f′（0）=﹣a2＜0，∴必有x1＜﹣1＜x2＜0．令f′（t）=a(te t﹣a)=0，得a=te t，此时f（t）=a（t﹣1)(e t﹣a）=te t（t﹣1）(e t﹣te t）=﹣e2t t（t﹣1）2=﹣e2t（t3﹣2t2+t）,∵x1，x2，是h（x）=f′（x）=a（xe x﹣a）的两个零点，∴f（x1）=﹣e（x13﹣2x12+x1），f（x2）=﹣e（x23﹣2x22+x2），将代数式﹣e2t（t3﹣2t2+t)看作以t为变量的函数g（t)=﹣e2t（t3﹣2t2+t)．g′（t）=﹣e2t(t2﹣1）（2t﹣1)，当t＜﹣1时，g′（t）=﹣e2t（t2﹣1）（2t﹣1）＞0，则g′（t）在(﹣∞,﹣1）上单调递增，∵x1＜﹣1,∴f（x1)=g（x1）＜g（﹣1)=，∵f（x1）=﹣e x1（x1﹣1）2＞0，∴0＜f（x1)＜，当﹣1＜t＜0时,g′（t)=﹣e2t（t2﹣1）（2t﹣1）＜0，则g′（t）在（﹣1，0）上单调递减，∵﹣1＜x2＜0,∴0=g(0）=g（x2)=f（x2)＜g（﹣1）=综上,0＜f（x1）＜且0＜f(x2)＜．[选修4—4：坐标系与参数方程］22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线C相交于P,Q两点，求｜PQ｜的值．【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的对于关系即可得出曲线C的方程；对直线l的参数方程消参数可得直线l的普通方程；（2)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得出关于参数t的一元二次方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系计算｜PQ|．【解答】解：（1)∵ρ=4cosθ．∴ρ2=4ρcosθ,∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴x2+y2=4x，所以曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，由(t为参数)消去t得:．所以直线l的普通方程为．（2)把代入x2+y2=4x得：t2﹣3t+5=0．设其两根分别为t1,t2，则t1+t2=3，t1t2=5．所以｜PQ|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲］23．已知函数f（x)=｜2x﹣a｜+｜2x+3｜，g（x）=｜x﹣1|+2．（1）解不等式｜g（x)｜＜5；(2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1）=g（x2)成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1｜+2｜＜5，转化为﹣7＜|x﹣1｜＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f(x）}⊆{y｜y=g（x)｝,通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解:（1）由｜|x﹣1|+2｜＜5，得﹣5＜|x﹣1｜+2＜5∴﹣7＜｜x﹣1｜＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…(2）因为任意x1∈R,都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x)}⊆｛y｜y=g（x）}，又f（x）=｜2x﹣a|+|2x+3|≥｜（2x﹣a)﹣（2x+3）|=|a+3|,g（x）=｜x﹣1|+2≥2,所以｜a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…2017年1月6日。

广东省揭阳一中、金山中学2017届高三上学期期中联考文数试卷及答案

广东省揭阳一中、汕头金山中学2017届高三上学期期中联考数学（文科）本试卷共4页，共23题，满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。

2．非选择题必须用黑色字迹的铅笔或签字笔作答。

3．答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{}0≥=x x B ，且A B A = ，则集合A 可能是（）A.{}2,1 B.{}1≤x x C.{}1,0,1- D.R 2.复数iiz +=1的共轭复数在复平面上对应的点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面向量,a b 满足()5a a b ⋅+=，且2a =，1b =，则向量a 与b夹角的余弦值为（）A.23 B.23- C.21 D.21- 4.执行如图所示的程序框图，如输入的a 值为1，则输出的k 值为（）A.1B.2C.3D.45.在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日.”由此推断，该女子到第十日时，大约已经完成三十日织布总量的（） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88%6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A.32πB.3πC.92πD.916π7.为了得到x y 2cos =，只需要将)32sin(π+=x y 作如下变换（）A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移12π个单位 D.向右平移12π个单位8.若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，则直线a y x =+扫过A 中的那部分区域的面积为（） A.1 B.32 C. 34 D. 749. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（）A ．81πB ．128πC ．144πD ．288π10. 焦点在x 轴上的椭圆方程为)0(12222＞＞b a by a x =+,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（） A.41 B.31 C.21 D.32则关于x 的方程(),()f x a a R =∈实根个 11.已知函数数不可能为（）A.2B.3C.4D.512.函数()sin(2)(,0)2f x A x A πθθ=+≤＞部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（）A.)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数B.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数C.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数D.)(x f 在)65,3(ππ上是增函数()52log 1,(1)()(2)2,(1x x f x x x ⎧-⎪=⎨--+≥⎪⎩＜）第II 卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481,720]的人数为． 14.已知110,0,lg 2lg8lg 2,3x yx y x y>>+=+则的最小值是_______. 15.已知抛物线)0(22＞p px y =上一点),1(m M 到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a=_______.16.设函数x x x f 1)(2+=，x e x x g =)(，对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分。

广东省揭阳一中高三数学上学期第一次阶段考试试题文

揭阳一中高三文科数学阶段考试一一.选择题1．设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（）A ．1B ．3C ．4D ．82.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（） A 2y x -= B 1y x -= C 2y x = D 13y x = 3.设5log 4a =，()25log 3b =，4log 5c =，则（）．Ａ．a c b << Ｂ．b c a << Ｃ．a b c << Ｄ．b a c <<4.曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为 ( ) A 430x y --=. B 410x y --=. C 30x y --=. D 430x y --=5.函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为( ) A ．（1-，1） B ．（1-，+∞） C ．（∞-，1-） D ．（∞-，+∞）6.设0a >且1a ≠,则“函数()xf x a =在R 上是减函数 ”是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 ( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.要得到函数cos(21)y x =+的图象,只要将函数cos 2y x =的图象（）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 8．已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x)又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0，则a 的取值范围是（）A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2，3)9.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x a+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数a 的最大值为（）A ．-1B ．1C ．32D ．2 10.设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围为（）A. (1,2)B.(2,)+∞C.D.2)二.填空题 11．设函数)3(2log )(x x f -=，则函数)3(x f 的定义域是___________.12.函数222x x y --=的值域是 .13.设点(m,n)在直线x + y = 1上位于第一象限内的图象上运动，则log 2 m ＋log 2 n 的最大值是___________14.设函数2()1f x x =-，对任意 x ∈3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .三解答题15.已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域;(Ⅱ)若()10f α=,求sin 2α的值.16. 已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数，命题q ：当x ∈[12，2]时，函数f (x )＝x＋1x ＞1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．17. 已知函数f(x)自变量取值区间A ，若其值域区间也为A ，则称区间A 为f(x)的保值区间(1).求函数f(x)=x 2形如[),n +∞,n R ∈的保值区间（2）g(x)=x-ln(x+m)的保值区间是[)2,+∞，求m 的取值范围。

广东省揭阳一中2017届高三上学期第一次段考数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年广东省揭阳一中高三（上）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知条件p：|x﹣4|≤6；条件q：（x﹣1）2﹣m2≤0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．[21，+∞）B．[9，+∞）C．[19，+∞）D．（0，+∞）3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．等差数列{a n}中，a4，a2016是函数f（x）=x3﹣6x2+4x﹣1的极值点，则log a2010=（）A．B．2 C．﹣2 D．﹣5．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F l，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．若，，，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S18．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．89．若（9x﹣）n（n∈N*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为（）A．252 B．﹣252 C．84 D．﹣8410．如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g （x）=xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=（）A．﹣1 B．0 C．2 D．411．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）12．已知函数f（x）=2sin2（ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，则ω的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若tanα=2tan，则的值为．14．如果实数x、y满足关系，则（x﹣2）2+y2的最小值是．15．已知向量，夹角为120°，||=5，||=2，=+λ，若⊥，则λ=．16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出适当的文字说明、证明过程和演算步骤）17．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q．已知b1=a1，b2=2，q=d，且d＞1，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．18．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）≤4；（2）当x∈（﹣2，1）时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|，求a的取值范围．19．已知f（x）=•，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1），x∈R．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，且向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求边长b和c的值．20．设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e为自然对数的底数）．（1）当k=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．21．已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．①若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；②若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[，]时，求椭圆的长轴长的最大值．22．已知函数f（x）=lnx，g（x）=，F（x）=f（x）+g（x）．（1）当a＜0时，求函数F（x）的单调区间；（2）若函数F（x）在区间[1，e]上的最小值是，求a的值；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k，证明：k＞f′（x0）2016-2017学年广东省揭阳一中高三（上）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由题意求得b，进一步求得复数z﹣b在复平面上对应的点的坐标得答案．【解答】解：由的实部为﹣1，得，得b=6．∴z=﹣1+5i，则z﹣b=﹣7+5i，在复平面上对应的点的坐标为（﹣7，5），在第二象限．故选：B．2．已知条件p：|x﹣4|≤6；条件q：（x﹣1）2﹣m2≤0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．[21，+∞）B．[9，+∞）C．[19，+∞）D．（0，+∞）【考点】绝对值不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，由p是q的充分不必要条件，则条件p：|x ﹣4|≤6的解集P，条件q：（x﹣1）2﹣m2≤0（m＞0）的解集Q，满足P⊊Q，构造不等式组，解不等式组即可得到答案．【解答】解：由已知，P：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1+m，因为p是q的充分不必要条件，则[﹣2，10]⊊[1﹣m，1+m]，即，故选B3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把化为，故把的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x 的图象．【解答】解： =，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选 C ．4．等差数列{a n }中，a 4，a 2016是函数f （x ）=x 3﹣6x 2+4x ﹣1的极值点，则log a 2010=（）A ．B ．2C ．﹣2D ．﹣【考点】利用导数研究函数的极值；等差数列的通项公式．【分析】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．【解答】解：f ′（x ）=3x 2﹣12x +4，∵a 4，a 4016是函数f （x ）=x 3﹣6x 2+4x ﹣1的极值点，∴a 4，a 4016是方程3x 2﹣12x +4=0的两实数根，则a 4+a 4016=4．而{a n }为等差数列， ∴a 4+a 4016=2a 2010，即a 2010=2，从而log a 2010=log2=﹣．故选：D ． 5．函数y=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可．【解答】解：由lnx≠0得，x＞0且x≠1，当0＜x＜1时，lnx＜0，此时y＜0，排除B，C，函数的导数f′（x）=，由f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e此时函数单调递增，由f′（x）＜0得lnx＜1且x≠1，即0＜x＜1或1＜x＜e，此时函数单调递减，故选：D．6．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F l，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得a2+b2=25．由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到=，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：∵点（3，4）在以|F1F2|为直径的圆上，∴c==5，可得a2+b2=25…①又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y=上，∴=…②，①②联解，得a=3且b=4，可得双曲线的方程故选：C7．若，，，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1【考点】定积分．【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．【解答】解：S1=cosxdx=sinx|=1，S2=dx=lnx|=ln2＜lne=1，S3=e x dx=e x|=e2﹣e=e（e﹣1）＞1∵ln2＜1＜e2﹣e，∴S2＜S1＜S3，故选：B．8．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．9．若（9x﹣）n（n∈N*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为（）A．252 B．﹣252 C．84 D．﹣84【考点】二项式系数的性质．【分析】由条件求得n=9，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：由题意可得，=36，∴n=9，=•99﹣r•∴（9x﹣）n=（9x﹣）9（n∈N*）的展开式的通项公式为T r+1•，令9﹣=0，求得r=6，故其展开式中的常数项为•93•=84，故选：C．10．如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g （x）=xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）=（）A．﹣1 B．0 C．2 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先从图中求出切线过的点，再求出直线L的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出g′（3）的值．【解答】解：∵直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，∴f（3）=1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2=1，从而k=，∴f′（3）=k=，∵g（x）=xf（x），∴g′（x）=f（x）+xf′（x）则g′（3）=f（3）+3f′（3）=1+3×（）=0，故选：B．11．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．12．已知函数f（x）=2sin2（ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，则ω的最大值是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象；二倍角的余弦．【分析】由条件利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得ω的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=2sin2（ωx+）=2•=1﹣cos（2ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，故y=cos（2ωx+）在区间[，]内单调递减，∴2ω•+≤π，∴ω≤，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若tanα=2tan，则的值为3．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式、两角和与差的正、余弦公式以及同角三角函数对所求的代数式进行化简，然后代入求值即可．【解答】解：∵tanα=2tan，∴tan=tanα．∴=====3．故答案是：3．14．如果实数x、y满足关系，则（x﹣2）2+y2的最小值是2．【考点】简单线性规划．【分析】画出可行域，高考目标函数的几何意义求最小值即可．【解答】解：不等式组等于的平面区域如图：（x﹣2）2+y2的几何意义是（2，0）与表示区域内的点距离的平方，所以最小值是过（2，0）垂直于直线y=x的垂线段的长度，所以（x﹣2）2+y2==2；故答案为：2．15．已知向量，夹角为120°，||=5，||=2，=+λ，若⊥，则λ=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论．【解答】解：∵向量，夹角为120°，||=5，||=2，∴•=||•||cos120°=5×2×（﹣）=﹣5，∵=+λ，⊥，∴（+λ）•=（+λ）（﹣）=0，即﹣+λ﹣λ=0，∴﹣5﹣25+4λ+5λ=0解得λ=，故答案为：．16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2ln2﹣2] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可得a＜2x﹣4e x有解，转化为g（x）=2x﹣4e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣4e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣4e x﹣a≥0，即a≤2x﹣4e x有解，令g（x）=2x﹣4e x，g′（x）=2﹣4e x，g′（x）=2﹣4e x=0，x=﹣ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜﹣ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞﹣ln2∴当x=﹣ln2时，g（x）max=﹣2ln2﹣2，∴a≤﹣2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，﹣2ln2﹣2]．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出适当的文字说明、证明过程和演算步骤）17．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q．已知b1=a1，b2=2，q=d，且d＞1，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由已知求得公差和首项即可；（2）T n=1+，①．②利用错位相减法①﹣②可得T n【解答】（1）由题意有，，解得d=2或d=（舍去），得a1=1，故…（2）由d＞1，知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，故，…于是T n=1+，①．②①﹣②可得，=3﹣故T n=6﹣．…18．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）≤4；（2）当x∈（﹣2，1）时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=3时，，分类讨论求得它的解集．（2）因为f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a+x﹣1|=|2x﹣a﹣1|，分类讨论求得不等式（x﹣1）（x﹣a）＜0的解集为A，再根据（﹣2，1）⊆A，求得a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，，当x＜1时，由f（x）≤4得4﹣2x≤4，解得0≤x＜1；当1≤x≤3时，f（x）≤4恒成立；当x＞3时，由f（x）≤4得2x﹣4≤4，解得3＜x≤4，所以不等式f（x）≤4的解集为{x|0≤x≤4}．（2）因为f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|x﹣a+x﹣1|=|2x﹣a﹣1|，当（x﹣1）（x﹣a）≥0时，f（x）=|2x﹣a﹣1|；当（x﹣1）（x﹣a）＜0时，f（x）＞|2x﹣a﹣1|．…记不等式（x﹣1）（x﹣a）＜0的解集为A，则（﹣2，1）⊆A，故a≤﹣2，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．19．已知f（x）=•，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1），x∈R．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，且向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求边长b和c的值．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用向量的数量积公式得到f（x）的解析式，然后化简求单调区间；（2）利用向量共线，得到b，c的方程解之．【解答】解：（1）由题意知．3分∵y=cosx在a2上单调递减，∴令，得∴f（x）的单调递减区间，6分（2）∵，∴，又，∴，即，8分∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7.10分因为向量与共线，所以2sinB=3sinC，由正弦定理得2b=3c．∴b=3，c=2.12 分．20．设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e为自然对数的底数）．（1）当k=0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当k=0时，函数f（x）=（x≠0）．f′（x）=．分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出x的取值范围即可．（2）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，⇔f′（x）=0有两个实数根．化为，因此在（0，2）内存在两个实数根．利用导数研究其单调性极值即可．【解答】解：（1）当k=0时，函数f（x）=（x＞0）．f′（x）=．令f′（x）＞0，解得x＞2．令f′（x）＜0，解得0＜x＜2．∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增；在（0，2）上单调递减．（2）∵函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，∴f′（x）=﹣=0有两个实数根．化为，∴在（0，2）内存在两个实数根．设h（x）=，x∈（0，2）．则h′（x）=．令h′（x）=0，解得x=1．令h′（x）＞0，解得1＜x＜2；令h′（x）＜0，解得0＜x＜1．∴函数h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，2）上单调递增．∴当x=1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）=e．而h（2）=，h（0）→+∞．∴．21．已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．①若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；②若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[，]时，求椭圆的长轴长的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率为，焦距为2，求出椭圆的方程为．联立，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，再由弦长公式能求求出|AB|．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，知x1x2+y1y2=0，由，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，再由根的判断式得到a2+b2＞1，利用韦达定理，得到a2+b2﹣2a2b2=0．由此能够推导出长轴长的最大值．【解答】解：（1）∵，2c=2，∴a=，b=，∴椭圆的方程为．…联立，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|==•=．…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴，即x1x2+y1y2=0，由，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，整理得a2+b2＞1…∵，，∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1，∴x1x2+y1y2=0，得：2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，∴，整理得：a2+b2﹣2a2b2=0．…∴b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，代入上式得2a2=1+，∴，…∵，∴，∴，∴，∴，∴适合条件a2+b2＞1．由此得，∴，故长轴长的最大值为．…22．已知函数f（x）=lnx，g（x）=，F（x）=f（x）+g（x）．（1）当a＜0时，求函数F（x）的单调区间；（2）若函数F（x）在区间[1，e]上的最小值是，求a的值；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k，证明：k＞f′（x0）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出F（x）=lnx+的导数，导数大于0，即可求函数的增区间；（2）对a进行分类讨论，分别求出各种情况下的函数在[1，e]上的最小值令其为，解方程求得a的值；（3）对于当a=0时，先把f（x）=lnx具体出来，然后求导函数，得到f′（x0），在利用斜率公式求出过这两点的斜率公式，利用构造函数并利用构造函数的单调性比较大小．【解答】（1）解：F（x）=lnx+，则F′（x）=，∵a＜0，x＞0，∴F′（x）＞0，∴函数F（x）的单调增区间是（0，+∞）；（2）解：在[1，e]上，分如下情况讨论：1．当a＜1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=a＜1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；2．当a=1时，函数f（x）在（1，e]单调递增，其最小值为f（1）=1，同样与最小值是相矛盾；3．当1＜a＜e时，函数f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，单调递减，在（a，e]上有f'（x）＞0，单调递增，∴函数f（x）的最小值为f（a）=lna+1=，得a=．4．当a=e时，函数f（x）在[1，e）上有f'（x）＜0，单调递减，其最小值为f（e）=225，还与最小值是相矛盾；5．当a＞e时，显然函数f（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为f（e）=1+＞2，仍与最小值是相矛盾．综上所述，a的值为．（3）证明：当a=0时，f（x）=lnx∴f′（x）=∴f'（x0）=又k==不妨设x2＞x1，要比较k与f'（x0）的大小，即比较与的大小，又∵x2＞x1，∴即比较ln与=的大小．令h（x）=lnx﹣（x≥1），则h′（x）=≥0 ∴h（x）在[1，+∞）上是增函数．又＞1，∴h（）＞h（1）=0，∴ln＞，即k＞f'（x0）．2017年1月12日。

2017届广东省揭阳市高三数学(文)一模试题答案

2017届广东省揭阳市高三数学（文）一模试题答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={y|y=2x﹣3，x∈A}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由A={﹣1，0，1，2}，集合B={y|y=2x﹣3，x∈A}={﹣5，﹣3，﹣1，1}所以A∩B={﹣1，1}．所以A∩B中元素的个数为2．故选B．2．已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量=（）A．（10，7）B．（10，5）C．（﹣4，﹣3）D．（﹣4，﹣1）【解答】解：根据题意，点A（0，1），B（3，2），则向量=（3，1），又由，则向量=+=（﹣4，﹣3）；故选：C．3．若直线mx+2y+m=0与直线3mx+（m﹣1）y+7=0平行，则m的值为（）A．7 B．0或7 C．0 D．4【解答】解：∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+（m﹣1）y+7=0平行，∴m（m﹣1）=3m×2，∴m=0或7，经检验都符合题意．故选：B．4．已知命题p：∃x，y∈R，sin（x+y）=sinx+siny，命题，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题【解答】解：令x=0，y=，显然满足sin（x+y）=sinx+siny，故命题p是真命题；x∈[0，π]，cosx=±，故命题q是假命题，故命题p∧（￢q）是真命题，故选：D．5．曲线与的交点横坐标所在区间为（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：分别画出与的图象，如图所示，由图象可得交点横坐标所在区间为（，），方法二：设f（x）=（）x﹣x，∵f（）=（）﹣＜0，f（）=（）﹣（）＞0，∴f（）f（）＜0，根据函数零点存在定理可得点函数零点所在区间为（，），即交点横坐标所在区间为（，），故选：B6．阅读图的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣36时，输出x的值为（）A．0 B．1 C．3 D．15【解答】解：当输入x=﹣36时，|x|＞1，执行循环，x=6﹣2=4；|x|=4＞1，执行循环，x=2﹣2=0，|x|=0＜1，退出循环，输出的结果为x=1﹣1=0．故选：A7．如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2x﹣y=t过点A（0，﹣1）时，t最大是1，故选B．8．清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”其译文为：“远远望见7层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比上层成倍地增加，一共有381盏，请问塔尖几盏灯？”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第4层的灯盏数应为（）A．3 B．12 C．24 D．36【解答】解：依题意知，此塔各层的灯盏数构成公比q=2的等比数列，且前7项和S7=381，由，解得a1=3，故．故选：C．9．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P的坐标（m，n），那么点P在圆x2+y2=17内部（不包括边界）的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P的坐标（m，n），基本事件总数N=6×6=36，点P在圆x2+y2=17内部（不包括边界）包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个，∴点P在圆x2+y2=17内部（不包括边界）的概率是p==．故选：D．10．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的棱长为（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x，则有，解得，故2x=1，即新工件棱长为1．故选B．11．已知抛物线y=ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，且点A在直线3mx+ny+1=0（m＞0，n＞0）上，则的最小值为（）A．4 B．12 C．24 D．36【解答】解：抛物线y=ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，∴A（﹣1，﹣3），∴，又===12，当且仅当m=n时等号成立．故选：B12．已知函数f（x）=|sinx|（x∈[﹣π，π]），g（x）为[﹣4，4]上的奇函数，且，设方程f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0的实根的个数分别为m、n、t，则m+n+t=（）A．9 B．13 C．17 D．21【解答】解：因x∈[﹣π，π]，所以函数f（x）=|sinx|的值域为[0，1]，函数g（x）=的图象如图示，由图象知，其值域为[﹣4，4]，注意到方程f（x）=0的根为0，﹣π，π，所以方程f（f（x））=0的根为方程f（x）=0或f（x）=﹣π，f（x）=π的根，显然方程f（x）=0有3个实根，因﹣π，π∉[0，1]，所以f（x）=﹣π，与f（x）=π均无实根；所以方程f（f（x））=0的实根的个数为3，即m=3；方程f（g（x））=0的实根为方程g（x）=0或g（x）=﹣π，g（x）=π的根，方程g（x）=﹣π，g（x）=π各有3个根，同时方程g（x）=0也有3个根，从而方程f（g（x））=0根的个数为9，即n=9；方程g（x）=0有三个实根﹣3、0、3，方程g（g（x））=0的实根为方程g（x）=﹣3或g（x）=0或g（x）=3的根，方程g（x）=﹣3或g（x）=3各有3个根，同时方程g（x）=0也有3个根，从而方程g（g（x））=0根的个数为9，即t=9；综上，m+n+t=3+9+9=21．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）=﹣6．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，∴f（﹣x）=a（﹣x）3+b（﹣x）+1=﹣ax3﹣bx+1，∴f（﹣x）+f（x）=2，∴f（﹣a）+f（a）=2．∵f（a）=8，∴f（a）=﹣6．故答案为﹣6．14．已知数列{a n}对任意的n∈N*都有a n+1=a n﹣2a n+1a n，若，则a8=．【解答】解：由a n+1=a n﹣2a n+1a n得，故数列是，公差d=2的等差数列，，．故答案为：．15．已知△ABC的顶点都在球O的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O﹣ABC的体积为40，则该球的表面积等于400π．【解答】解：依题意知△ABC为直角三角形，其所在圆面的半径为，设三棱锥O﹣ABC的高为h，则由得h=5，设球O的半径为R，则由h2+52=R2，得R=10，故该球的表面积为400π．故答案为400π．16．已知双曲线右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点，则△APF周长的最小值为4（1+）．【解答】解：由题意，点，△APF的周长l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF'|+|AP|，要△APF的周长最小，只需|AP|+|PF'|最小，如图，当A、P、F三点共线时取到，故l=．故答案为：4（1+）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知：复数z1=2sinAsinC+（a+c）i，z2=1+2cosAcosC+4i，且z1=z2，其中A、B、C为△ABC的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵z1=z2∴2sinAsinC=1+2cosAcosC﹣﹣﹣﹣①，a+c=4﹣﹣﹣﹣②，由①得2（cosAcosC﹣sinAsinC）=﹣1即，∴，∵0＜B＜π∴；（Ⅱ）∵，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB⇒a2+c2﹣ac=8，﹣﹣④，由②得a2+c2+2ac=16﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤由④⑤得，∴=．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，AB1∩A1B=E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD；（Ⅰ）求证：BD⊥平面A1ACC1；（Ⅱ）若AB=1，且AC•AD=1，求三棱锥A﹣BCB1的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结ED∵平面AB1C∩平面A1BD=ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C∥ED，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵E为AB1中点，∴D为AC中点，∵AB=BC，∴BD⊥AC①，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，得A1A⊥BD②，由①②及A1A、AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，得BD⊥平面A1ACC1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解：由AB=1得BC=BB1=1，由（Ⅰ）知，又AC•DA=1得AC2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵AC2=2=AB2+BC2，∴AB⊥BC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120），历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156，一年按364天计．（Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；（Ⅱ）已知一台小型发电机，需30万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利润为4000元，若不运行，则每天亏损500元；一台中型发电机，需60万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利10000元，若不运行，则每天亏损800元；根据历年日泄流量的水文资料，水电站决定安装一台发电机，为使一年的日均利润值最大，应安装哪种发电机？【解答】解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为，，设在区间[0，30）上，，则，解得，补充频率分布直方图如右；（Ⅱ）当日泄流量X≥30（万立方米）时，小型发电机可以运行，则一年中一台小型发电机可运行的天数为：（天）；当日泄流量X≥60（万立方米）时，中型发电机可以运行，则一年中一台中型发电机可运行的天数为：（天）；①若运行一台小型发电机，则一年的日均利润值为：（或）（元）②若运行一台中型发电机，则一年的日均利润值为：（或）（元）因为，故为使水电站一年的日均利润值最大，应安装中型发电机．20．已知椭圆的离心率为，点M，N是椭圆C上的点，且直线OM与ON的斜率之积为﹣（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动点P（x0，y0）满足=+2，是否存在常数λ，使得P是椭圆上的点．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，∴e=，解得，又b2=2，解得a=2，故椭圆的标准方程为=1．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则由=，得x0=x1+2x2，y0=y1+2y2，又点M，N在椭圆=1上，∴，，设k OM，k ON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知：k OM•k ON==﹣，∴x1x2+2y1y2=0，∴=，因此，存在常数λ=5，使得P点在椭圆上．21．已知函数．（a∈R）（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）试讨论函数f（x）在区间（0，+∞）内极值点的个数．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：对∀x∈，f′（x）=﹣+≤0，即a≥，对∀x∈恒成立，令g（x）=，求导g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1，g′（x）＞0，∴函数g（x）在[，1]上单调递减，在（1，e]上单调递增，∴g（）=，g（e）=e e﹣1，由e e﹣1＞，∴在区间上g（x）max=e e﹣1，∴a≥e e﹣1，（Ⅱ）解法1：由f′（x）=﹣+==，g（x）=，g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，g（x）min=g（1）=e，当a≤e时，g（x）≥a恒成立，f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增，f（x）无极值点，当a＞e时，g（x）min≥g（1）=e＜a，故存在x1∈（0，1）和x2∈（1，+∞），使得g（x1）=g（x2）=a，当0＜x＜x1，f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，当x＞x2，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（x1，x2）单调递减，在（0，x1）和（x2，+∞），∴x1为函数f（x）的极大值点，x2为函数f（x）的极小值点，综上可知；a≤e时，函数f（x）无极值点，当a＞e时，函数f（x）有两个极值点．方法2：f′（x）=，设h（x）=e x﹣ax（x＞0），则h（x）=e x﹣a，由x＞0，e x＞1，（1）当a≤1时，h′（x）＞0，h（x）递增，h（x）＞h（0）=1，则f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）在区间（0，+∞）内无极值；（2）当a＞1时，由h′（x）=e x﹣a＞0，则x＞lna，可知h（x）在（0，lna）内递减，在（lna，+∞）单调递增，∴h（x）max=h（lna）=a（1﹣lna），①当1＜a≤e时，h（x）＞h（x）min≥0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）在区间（0，+∞）内无极值；②当a＞e时，h（x）min＜0，又h（0）＞0，x很大时，h（x）＞0，∴存在x1∈（0，lna），x2∈（lna，+∞），使得h（x1）=0，h（x2）=0，即f′（x1）=0，f′（x2）=0，可知在x1，x1两边f′（x）符号相反，∴函数f（x）有两个极值点x1，x2，综上可知；a≤e时，函数f（x）无极值点，当a＞e时，函数f（x）有两个极值点．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线l：θ=α（α∈[0，π），ρ∈R）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．【解答】解：（I）曲线C的普通方程为（x+1）2+（y﹣1）2=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0．（II）联立θ=α和ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0，得ρ2+2ρ（cosα﹣sinα）﹣2=0，设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则ρ1+ρ2=2（cosα﹣sinα）=2，由|OM|=，得|OM|=，当α=时，|OM|取最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=a（x﹣1）．（Ⅰ）当a=1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：．【解答】解：（I）当a=1时，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x当x≤﹣1时，得1﹣x﹣x﹣1≥3x⇒x≤0，∴x≤﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当﹣1＜x＜1时，得1﹣x+x+1≥3x，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当x≥1时，得x﹣1+x+1≥3x⇒x≤0，与x≥1矛盾，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上得原不等式的解集为=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）证明：|f（x2）+x|=|a（x2﹣1）+x|≤|a（x2﹣1）|+|x|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵|a|≤1，|x|≤1∴|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当时取“=”，得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣。

广东省揭阳市第一中学2017-2018学年高三上学期第一次段考数学文试题 Word版含答案

揭阳第一中学2017-2018学年高三阶段考（1）试卷文科数学一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1．设函数2()lg(1)f x x =-，集合{}{}(),()A x y f x B y y f x ====，则右图中阴影部分表示的集合为A ．[1,0]-B ．(1,0)-C ．(,1)[0,1)-∞-D ．(,1](0,1)-∞-2．设条件:23p x -<,条件:0q x a <<,其中a 为正常数.若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围 ( )A.(0,5]B.(0,5)C.[5,)+∞D.(5,+∞)3．已知平面向量,m n 的夹角为,6π且2m n == ，在ABC ∆中，22AB m n =+ ，26AC m n =- ，D 为BC 中点，则AD =( )A.2B.4C.6D.84．能够把圆O :1622=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”,下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是（） A ．3()4f x x x =+ B ．5()15x f x nx -=+ C ．()x x f x e e -=+ D ．()tan 2xf x =5已知:[0,],c o s 2c o s 02p x x x m π∃∈+-=为真，则实数m 的取值范围是（）CA. 9[,1]8--B. 9[,2]8-C. [1,2]-D. 9[,)8-+∞6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．6B ．8C ．10D ．127．已知数阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a 中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若822=a ，则这9个数的和为A ．16B ．32C ．36D ．728．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A ．0B ．0或－12C ．－14或－12D ．0或－149．如图所示的程序框图，它的输出结果是A ．3B ．4C ．5D ．610、在抛物线22y x =中，焦点到准线的距离为a ，若实数x ，y 满足100x y x y x a -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．1-B ．12 C ．5 D ．1 11.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，,M N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM PN 、的斜率分别为12k k 、，若1214k k =，则椭圆的离心率为（）A.12D12．已知函数()3111,0,36221,,112x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，函数()()sin 220,6g x a x a a π⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A. 2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为_____________14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数b a 、，则直线0=+by ax 与圆2)2(22=+-y x 有公共点的概率为_______．15.已知二次不等式ax 2＋2x ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－1a ，且a >b ，则a 2＋b 2a －b 的最小值为_________16已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f （2＋x ）＝－f （x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝－2x ＋1，若a 2[()]f x －bf （x ）＋3＝0在[－1，5]上有5个根 x i （i ＝1，2，…5），则x 1＋x 2＋…＋x 5的值为________________三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤 17．(12分)在△ABC 中，c b a ,,是角C B A ,,对应的边，向量),(c b a +=,()c b a n -+=,，且)2m n ab ⋅=．（1）求角C ；（2）函数21)2sin()cos()(cos )sin(2)(2-+-+=x B A x B A x f ωω的相邻两个极值的横坐标分别为20π-x 、0x ，（0ω>）求)(x f 的单调递减区间．18. （12分）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前n 项和为21n n +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（12分）．如图所示，在直角梯形ABEF 中，DC//AB,将DCEF 沿CD 折起，使∠FDA ＝60°，得到一个空间几何体，；(1)求证：BE ∥平面ADF (2)求证：AF ⊥平面ABCD；20．（ 12分）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．21．（本小题满分12分）已知函数 244()()ln x f x k x k x-=++，其中常数 0k >。

广东省揭阳市2017届高三精编模拟数学文试题含答案

揭阳市2017年数学科精编模拟题数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题:共12小题,每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1）已知集合(){}10A x x x =+≤，集合{}0B x x =>,则=AB（A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x >- （C){}0x x ≥ （D) {}0x x >（2)已知复数(1)(2)i i z i-++=-,则z 在复平面内对应的点在（A ）第一象限（B ）第二象限 (C)第三象限（D ）第四象限（3)设,a b ∈R ，若a b >,则（A)11a b< （B)(C ）lg lg a b > （D)(4）若实数,a b 满足0,0a b >>，则“a b >（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）函数()f x 的部分图象如图示，则()f x 的解析式可以是（A)3()()()22f x x x x ππ=--（B)cos ()xf x x=（C ）()sin f x x x =+ （D ）()cos f x x x = （6）执行右图所示的程序框图，输出的x 的值为（A ）0 （B ）3 （C ）6 （D)8（7）若等差数列{}na 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和nS 取最小值时，n 的值等于（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4(8）某三棱锥的三视图如图所示,（A) (B)3 （（D（9)设F 为抛物线24x y=的焦点，,,A B C为该抛物线上三点,若0FA FB FC ++=,则FA FB FC++的值为(A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（10)已知函数)122sin()(π+=x x f ,()f x '是()f x 的导函数,则函数2()()y f x f x '=+的一个单调递减区间是（A ）]127,12[ππ（B ）5[,]1212ππ-（C ）]32,3[ππ- （D ）5[,]66ππ-（11）已知直线l ：0x y a -+=,点()1,0A -，()1,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⋅=,则实数a 的取值范围为（A ）[ （B)[1,1]- （C ）[ （D [2,2]-(12）已知函数()xe f x kx x=-有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是(A ）(0,2) （B ）2(0,)4e（C ）(0,)e （D ）(0,)+∞第Ⅱ卷主视图俯视图左视图本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第（24）题为选考题,考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）若非零向量,a b 满足()0⋅+=a a b ,2||||=a b ，则向量,a b 夹角的大小为 .（14)已知等比数列{}na 的前n 项和为nS ，且3221aS =+，4321aS =+，3m n -=，则n maa= . (15）在△ABC 中，已知AB 与BC 的夹角为150°，||2AC =,则||AB 的取值范围是。

广东省揭阳一中2017-2018学年高一上学期第一次段考数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年广东省揭阳一中高一（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4}，集合S={1，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A．{2，4}B．{4}C．∅D．{1，3，4}2．如图所示，I为全集，M，P，S为I的子集，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．（M∩P）∪S B．（M∩P）∩S C．（M∩P）∩（∁I S）D．（M∩P）∪（∁I S）3．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有＞0成立，则必有（）A．f（x）在R上是增函数 B．f（x）在R上是减函数C．函数f（x）是先增加后减少 D．函数f（x）是先减少后增加5．设集合A、B都是自然数集N，映射f：A→B是把A中的元素n映射到B中的元素2n+n，则在f映射下，B中元素20在A中的对应的元素是（）A．2 B．3 C．4 D．56．若集合A={x|}，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}7．若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t （小时）的函数关系用图象表示为（）A．B．C．D．8．函数f（x）=x2﹣4x﹣6的定义域为[0，m]，值域为[﹣10，﹣6]，则m的取值范围是（）A．[0，4]B．[2，4]C．[2，6]D．[4，6]9．已知函数，则f（f（f（﹣1）））的值等于（）A．π2﹣1 B．π2+1 C．πD．010．已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．[1，2]C．[0，）D．（）11．若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，]B．（0，）C．[0，]D．[0，）12．已知f（x）是R上的奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（﹣1）=﹣2，则fA．2 B．﹣2 C．﹣1 D．2013二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=+（x﹣1）0的定义域是．14．若函数f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，则函数f（2x﹣1）的定义域为．15．已知集合A={（x，y）|y=x2+mx+2}，B={（x，y）|y=x+1}，如果A∩B≠∅，则实数m 的取值范围为．16．在任意两个正整数间，定义某种运算（用⊕表示运算符号），当m、n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n=m+n，当m、n中其中一个为正偶数，另一个是正奇数时，m⊕n=m•n，则在上述定义中集合M={（a，b）|a⊕b=12，a，b∈N*}的元素的个数为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=a﹣（1）若2f（1）=f（2），求a的值；（2）判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性并用定义证明．18．已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x∈Z|2＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}（1）求A，（∁R A）∩B；（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．19．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）画出函数f（x）的图象；（3）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．20．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点﹣1．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]时，求函数F（x）=f（x）﹣kx的最小值g（k）．21．已知函数f（x）对定义域[﹣1，1]内的任意实数x，y总有f（x）+f（y）=f（x+y）（1）证明：f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（2）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0（3）若f（x）≤t2﹣2at+1对任意x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．2016-2017学年广东省揭阳一中高一（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4}，集合S={1，3}，T={4}，则（∁U S）∪T等于（）A．{2，4}B．{4}C．∅D．{1，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用集合的交、并、补集的混合运算求解．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，∴（∁U S）∪T={2，4}∪{4}={2，4}．故选：A．2．如图所示，I为全集，M，P，S为I的子集，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．（M∩P）∪S B．（M∩P）∩S C．（M∩P）∩（∁I S）D．（M∩P）∪（∁I S）【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据Venn图分析阴影部分与集合M，P，S的关系，进而可得答案．【解答】解：由已知中的Venn图可得：阴影部分的元素属于M，属于P，但不属于S，故阴影部分表示的集合为M∩P∩∁I S=（M∩P）∩（∁I N），故选：C3．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】并集及其运算．【分析】先由M∪{1}={1，2，3}可知集合M必含2和3，是否含1，不确定，则得出两种可能集合，得出答案．【解答】解：满足条件M∪﹛1﹜=﹛1，2，3﹜的集合M，M必须包含元素2，3，所以不同的M集合，其中的区别就是否包含元素1．那么M可能的集合有{2，3}和{1，2，3}，故选：B．4．定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有＞0成立，则必有（）A．f（x）在R上是增函数 B．f（x）在R上是减函数C．函数f（x）是先增加后减少 D．函数f（x）是先减少后增加【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由单调性的定义说明单调性即可．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有＞0成立，即对任意两个不相等实数a，b，若a＜b，总有f（a）＜f（b）成立，f（x）在R上是增函数．故选A．5．设集合A、B都是自然数集N，映射f：A→B是把A中的元素n映射到B中的元素2n+n，则在f映射下，B中元素20在A中的对应的元素是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】映射．【分析】根据映射的定义，把各个选项代人验证就可以得出答案．【解答】解：A、当n=2时对应B中22+2=6，A不正确；B、当n=3时对应B中23+3=11，B不正确；C、当n=4时对应B中24+4=20，C正确；D、当n=5时对应B中25+5=37，D不正确；故选C．6．若集合A={x|}，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解分式不等式和一元二次不等式化简集合A与集合B，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由，得，解得0≤x＜1．所以{x|}={x|0≤x＜1}，又B={x|x2＜2x}={x|0＜x＜2}，所以A∩B={x|0≤x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选A．7．若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t （小时）的函数关系用图象表示为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据实际情况即可解答【解答】解：蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义不可能是D，更不可能是A、C．故选B．8．函数f（x）=x2﹣4x﹣6的定义域为[0，m]，值域为[﹣10，﹣6]，则m的取值范围是（）A．[0，4]B．[2，4]C．[2，6]D．[4，6]【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的图象和性质可得：函数f（x）=x2﹣4x﹣6的图象是开口朝上，且以直线x=2为对称轴的抛物线，故f（0）=f（4）=﹣6，f（2）=﹣10，可知m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x﹣6的图象是开口朝上，且以直线x=2为对称轴的抛物线故f（0）=f（4）=﹣6，f（2）=﹣10∵函数f（x）=x2﹣4x﹣6的定义域为[0，m]，值域为[﹣10，﹣6]，故2≤m≤4即m的取值范围是[2，4]故选B9．已知函数，则f（f（f（﹣1）））的值等于（）A．π2﹣1 B．π2+1 C．πD．0【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的定义域，求出f（﹣1）的值，再根据分段函数的定义域进行代入求解；【解答】解：函数，f（﹣1）=π2+1＞0，∴f（f（﹣1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（﹣1）））=π，故选C；10．已知函数f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，如果不等式f（1﹣m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．[1，2]C．[0，）D．（）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题设条件知，偶函数f （x）在[0，2]上是减函数，在[﹣2，0]是增函数，由此可以得出函数在[﹣2，2]上具有这样的一个特征﹣﹣自变量的绝对值越小，其函数值就越小，由此抽象不等式f（1﹣m）＜f（m）可以转化为，解此不等式组即为所求．【解答】解：偶函数f （x）在[0，2]上是减函数，∴其在（﹣2，0）上是增函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越大∴不等式f（1﹣m）＜f（m）可以变为解得m∈[﹣1，）故选A．11．若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，]B．（0，）C．[0，]D．[0，）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数y=的定义域为R，则对于任意x∈R，有mx2+4mx+3恒不等于0成立，然后分m=0和m≠0讨论求解．当m≠0时需要分母所对应方程的判别式小于0．【解答】解：∵y=的定义域为R，当m=0，∴mx2+4mx+3=3满足题意；当m≠0时，由△=16m2﹣12m＜0，解得0＜m＜．综上，当0≤m＜，即m∈[0，）时，函数y=的定义域为R．故选：D．12．已知f（x）是R上的奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（﹣1）=﹣2，则fA．2 B．﹣2 C．﹣1 D．2013【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】在给出的等式f（x+4）=f（x）+f（2）中，取x=﹣2，可求得f（﹣2）=0，运用奇函数定义得到f（2）=0，把f（2）=0代回f（x+4）=f（x）+f（2），得到函数f（x）为以4为周期的周期函数，从而把求f．【解答】解：由f（x+4）=f（x）+f（2），取x=﹣2，得：f（﹣2+4）=f（﹣2）+f（2），即f （﹣2）=0，所以f（2）=0，则f（x+4）=f（x）+f（2）=f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，所以f=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（﹣2）=2．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=+（x﹣1）0的定义域是{x|x＞﹣2且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质以及幂函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞﹣2且x≠1，故答案为：{x|x＞﹣2且x≠1}．14．若函数f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，则函数f（2x﹣1）的定义域为[0，] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可求出函数的定义域．【解答】解：∵f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，∴﹣2≤x≤3，∴﹣1≤x+1≤4，f（x）的定义域为[﹣1，4]，由﹣1≤2x﹣1≤4得0≤x≤，∴函数f（2x﹣1）的定义域为[0，]．故答案为：[0，]．15．已知集合A={（x，y）|y=x2+mx+2}，B={（x，y）|y=x+1}，如果A∩B≠∅，则实数m 的取值范围为{m|m≥3或m≤﹣1} ．【考点】交集及其运算．【分析】联立方程组，得x2+（m﹣1）x+1=0，由A∩B≠∅，将题目中的问题转化为方程x2+（m﹣1）x+1=0在R内有解．由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵集合A={（x，y）|y=x2+mx+2}，B={（x，y）|y=x+1}，∴联立方程组，消去y得x2+（m﹣1）x+1=0，∵A∩B≠∅，∴将题目中的问题转化为方程x2+（m﹣1）x+1=0在R内有解．∴△=（m﹣1）2﹣4≥0，解得m≥3或m≤﹣1，∴实数m的取值范围为：{m|m≥3或m≤﹣1}．故答案为：{m|m≥3或m≤﹣1}．16．在任意两个正整数间，定义某种运算（用⊕表示运算符号），当m、n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n=m+n，当m、n中其中一个为正偶数，另一个是正奇数时，m⊕n=m•n，则在上述定义中集合M={（a，b）|a⊕b=12，a，b∈N*}的元素的个数为15．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】由⊕的定义，a⊕b=12分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=12；a和b同奇偶，则a+b=12．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，计数可得答案．【解答】解：∵a⊕b=12，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，所以满足条件的个数为4+11=15个．故答案为：15．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=a﹣（1）若2f（1）=f（2），求a的值；（2）判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性并用定义证明．【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由f（x）=a﹣，分别求出f（1）和f（2），再由2f（1）=f（2），能求出a．（2）由（1）得f（x）=3﹣在（﹣∞，0）上单调递增．利用定义能进行证明．【解答】解：（1）∵f（x）=a﹣，∴f（1）=a﹣=a﹣2，f（2）=a﹣=a﹣1，∵2f（1）=f（2），2（a﹣2）=a﹣1，解得a=3．（2）由（1）得f（x）=3﹣在（﹣∞，0）上单调递增．证明：任取x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（3﹣）﹣（3﹣）==，由x1﹣x2＜0，x1＜0，x2＜0，得，∴f（x1）＜f（x2），因此f（x）为单调增函数．18．已知函数f（x）=的定义域为集合A，B={x∈Z|2＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}（1）求A，（∁R A）∩B；（2）若A∪C=R，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法．【分析】（1）先求出集合A，化简集合B，根据根据集合的运算求，（C R A）∩B；（2）若A∪C=R，则可以比较两个集合的端点，得出参数所满足的不等式解出参数的取值范围．【解答】解：（1）由题意，解得7＞x≥3，故A={x∈R|3≤x＜7}，B={x∈Z|2＜x＜10}═{x∈Z|3，4，5，6，7，8，9}，∴（C R A）∩B{7，8，9}（2）∵A∪C=R，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}∴解得3≤a＜6实数a的取值范围是3≤a＜619．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）画出函数f（x）的图象；（3）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；（2）由（1）画出函数f（x）的图象；（3）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）设x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x，又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），于是x＜0时f（x）=x2+2x，所以f（x）=．（2）（3）要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上单调递增，结合f（x）的图象知，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．20．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点﹣1．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]时，求函数F（x）=f（x）﹣kx的最小值g（k）．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）由已知中二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且有唯一的零点﹣1．构造关于a，b，c的方程组，可得f（x）的表达式；（Ⅱ）当x∈[﹣2，2]时，求函数F（x）=f（x）﹣kxx2+（2﹣k）x+1，对称轴为，图象开口向上，分类求出其最小值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）依题意得c=1，，b2﹣4ac=0解得a=1，b=2，c=1，从而f（x）=x2+2x+1；…（Ⅱ）F（x）=x2+（2﹣k）x+1，对称轴为，图象开口向上当即k≤﹣2时，F（x）在[﹣2，2]上单调递增，此时函数F（x）的最小值g（k）=F（﹣2）=k+3；…当即﹣2＜k≤6时，F（x）在上递减，在上递增，此时函数F（x）的最小值；…当即k＞6时，F（x）在[﹣2，2]上单调递减，此时函数F（x）的最小值g（k）=F（2）=9﹣2k；…综上，函数F（x）的最小值；…21．已知函数f（x）对定义域[﹣1，1]内的任意实数x，y总有f（x）+f（y）=f（x+y）（1）证明：f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（2）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0（3）若f（x）≤t2﹣2at+1对任意x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则f（x2）=f（x1+x2﹣x1）=f（x1）+f（x2﹣x1），由x2﹣x1＞0，可得f（x2﹣x1）＞0，即可证明．（2）由f（x）+f（y）=f（x+y），令x=y=0，解得f（0）=0．令y=﹣x，则f（x）+f（﹣x）=0，可得f（x）在[﹣1，1]上的奇函数，又在[﹣1，1]上是增函数，f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0化为：f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），利用单调性即可得出．（3）利用f（x）的单调性，可得f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1），又f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2f．要使f（x）≤t2﹣2at+1对任意x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣2at+1≥1，即t2﹣2at≥0，设g（a）=﹣2ta+t2对任意a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，利用一次函数的单调性即可得出．【解答】（1）证明：任取﹣1≤x1＜x2≤1，则f（x2）=f（x1+x2﹣x1）=f（x1）+f（x2﹣x1），由x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数．（2）解：由f（x）+f（y）=f（x+y），令x=y=0，则2f（0）=f（0），解得f（0）=0．令y=﹣x，则f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴f（x）在[﹣1，1]上的奇函数，且在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0化为：f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），∴，解得x∈．（3）解：由（1）知f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1），∵f（1）=﹣f（﹣1）==﹣2f=1．要使f（x）≤t2﹣2at+1对任意x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣2at+1≥1，即t2﹣2at≥0，设g（a）=﹣2ta+t2对任意a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，∴，解得t≥2或t≤﹣2或t=0．2016年12月25日。

《精编》广东省揭阳一中高三数学上学期第一次段考试题文新人教A版.doc

-学年广东省揭阳一中高三〔上〕第一次段考数学试卷〔文科〕一、选择题〔共10小题，每题5分，总分值50分〕1．〔5分〕设集合U=R，函数y=ln〔2﹣x〕的定义域为A，那么如图中的阴影局部表示的集合为〔〕A．〔﹣∞，2〕B．[2，+∞〕C．〔﹣∞，2] D．〔2，+∞〕考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题．分析：图中阴影局部表示的集合为C U A，由此利用集合U=R，函数y=ln〔2﹣x〕的定义域为A，能求出图中的阴影局部表示的集合．解答：解：集合U=R，函数y=ln〔2﹣x〕的定义域为A，A={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，∴C U A={x|x≥2}．应选B．点评：此题考查查集合的交、并、补集的混合运算，是根底题．解题时要认真审题，注意Venn图的灵活运用．2．〔5分〕科研人员在某种新型材料的研制中，获得了一组实验数据〔如表所示〕，假设准备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，那么其中最接近的一个是〔〕x 3 4y 12A．y=2x﹣2 B．C．y=log2x D．y=2x考点：函数模型的选择与应用．专题：图表型．分析：由表格中的试验数据，我们可以分析出函数值y随自变量x的变化趋势，结合根本初等函数的图象和性质，我们可以排除到图象形状不接近的答案，然后分析图象接近的函数的拟合效果，比拟后，即可得到答案．解答：解：由中y随x的变化趋势，我们可得函数在〔0，+∞〕上是增函数且y的变化随x的增大越来越快，故可排除A，C但D答案中y=2x的拟合效果不如B 答案中的拟合效果应选B点评：此题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中熟练掌握各种根本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象和性质是解答此题的关键．3．〔5分〕以下函数中同时具有性质：①图象过点〔0，1〕；②在区间〔0，+∞〕上是减函数；③偶函数．这样的函数是〔〕A．f〔x〕=x3B．f〔x〕=log3〔|x|+3〕C．D．f〔x〕=3|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：证明题．分析：根据幂函数的图象和性质，可以判断A答案的真假；根据对数函数的图象和性质及函数图象的对折变换，可以判断B答案的真假；根据指数函数的图象和性质及函数图象的对折变换，可以判断C、D答案的真假；进而得到结论．解答：解：A中，函数f〔x〕=x3不过点〔0，1〕，不满足条件①；B中，函数f〔x〕=log3〔|x|+3〕在区间〔0，+∞〕上是增函数，不满足条件②；C 中，函数满足条件①图象过点〔0，1〕；②在区间〔0，+∞〕上是减函数；③偶函数D中，函数f〔x〕=3|x|在区间〔0，+∞〕上是增函数，不满足条件②；应选C点评：此题考查的知识点是函数的奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，函数图象的对折变换，其中熟练掌握指数函数，对数函数，幂函数等根本初等函数的图象和性质，是解答此题的关键．4．〔5分〕函数y=f〔x〕的定义域为R，且满足f〔1〕=2，其导函数为f′〔x〕的图象如图，那么函数y=f〔x〕的图象是〔〕A ．B．C．D．考函数的图象．点：专题：导数的概念及应用．分析：由导数与函数单调性的关系即可判断函数f〔x〕的大体图象．解答：解：由f'〔x〕的图象知，当x＜1时，f'〔x〕＞0，当x＞1时，f'〔x〕＜0，所以当x＜1时，f〔x〕单调递增，当x＞1时，f〔x〕单调递减．应选C．点评：此题主要考查了函数的图象以及导数与函数单调性的关系，此题只需根据函数单调性即可判断函数的图象．5．〔5分〕假设≤〔〕x﹣2，那么函数y=2x的值域是〔〕A．[，2〕B．[，2]C．〔﹣∞，]D．[2，+∞〕考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：计算题．分析：先由不等式≤〔〕x﹣2，求出x的取值范围，再根据x的取值范围求出指数函数y=2x的值域即可得出答案．解答：解：∵≤〔〕x﹣2，∴≤2﹣2x+4，∴x2+1≤﹣2x+4，解得﹣3≤x≤1，∴函数y=2x的值域为：[2﹣3，2]即[，2]，应选B．点评：此题考查了函数的值域，属于根底题，关键是先由指数不等式正确求出函数x的取值范围．6．〔5分〕函数f〔x〕=x2﹣2ax+a在区间〔﹣∞，1〕上有最小值，那么函数在区间〔1，+∞〕上一定〔〕A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数考点：二次函数的性质；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：先由二次函数的性质可得a＜1，那么=，分两种情况考虑：假设a≤0，a＞0分别考虑函数g〔x〕在〔1，+∞〕上单调性解答：解：∵函数f〔x〕=x2﹣2ax+a在区间〔﹣∞，1〕上有最小值，∴对称轴x=a＜1∵=假设a≤0，那么g〔x〕=x+﹣2a在〔0，+∞〕，〔﹣∞，0〕上单调递增假设1＞a＞0，g〔x〕=x+﹣2a在〔，+∞〕上单调递增，那么在〔1，+∞〕单调递增综上可得g〔x〕=x+﹣2a在〔1，+∞〕上单调递增应选D点评：此题主要考查了二次函数的性质的应用，及根本初等函数的单调性的应用，解题的关键是熟练掌握根本知识及根本方法7．〔5分〕曲线y=在点〔4，e2〕处的切线与坐标轴所围三角形的面积为〔〕A．B．4e2C．2e2D．e2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积．解答：解：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点〔4，e2〕∴f〔x〕|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2〔x﹣4〕，令y=0，得x=2，与x轴的交点为：〔2，0〕，令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：〔0，﹣e2〕，∴曲线y=在点〔4，e2〕处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，应选D．点评：此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程，解此题的关键是对曲线y=能够正确求导，此题是一道根底题．8．〔5分〕f〔x〕=ax2+bx+c〔其中a＞b＞c，a+b+c=0〕，当0＜x＜1时，f〔x〕的值为〔〕A．负数B．正数C．0D．无法确定考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由可得c＜0＜a，所以≤c，f〔0〕=c＜0，f〔1〕=a+b+c=0，通过对与0，1相比拟讨论即可得出答案．解答：解：∵a＞b＞c，a+b+c=0，∴3c＜a+b+c=0＜3a，∴c＜0＜a．∴此二次函数的图象抛物线开口向上．∵≤c，f〔0〕=c＜0，f〔1〕=a+b+c=0，①假设，又函数y在区间上单调递增，∴函数y在区间〔0，1〕上单调递增，故当0＜x＜1时，f〔x〕＜0．②假设，那么函数y在区间上单调递减；在区间上单调递增．∴当0＜x＜1时，f〔x〕＜f〔0〕=c＜0，f〔x〕＜f〔1〕=0，即f〔x〕＜0．③当时，不适合题意，应舍去．综上可知：当0＜x＜1时，f〔x〕＜0．应选A．点评：正确理解二次函数的单调性和根据条件判断出a、b、c的符号是解题的关键．9．〔5分〕假设函数f〔x〕=x3+x2﹣2x﹣2正整数为零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f〔1〕=﹣2，f〔1.5〕=0.65，f〔1.25〕=﹣0.984，f〔1.375〕=﹣0.260，f〔1.4375〕=0.162．f 〔1.40625〕=﹣0.054．那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似值〔精确到0.1〕为〔〕A．B．C．D．考二分法求方程的近似解．点：专题：计算题．分析：由二分法的定义进行判断，根据其原理﹣﹣零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项解答：解：由表中数据f〔1〕=﹣2，f〔1.5〕=0.65，f〔1.25〕=﹣0.984，f〔1.375〕=﹣0.260，f〔1.4375〕=0.162．f〔1.40625〕=﹣0.054．中结合二分法的定义得f〔1.375〕•f〔1.4375〕＜0，零点应该存在于区间〔1.375，1.4375〕中，观察四个选项，方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似值〔精确到0.1〕为1.4，与其最接近的是C，应选C；点评：此题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解．属于根本概念的运用题10．〔5分〕对∀a，b∈R，定义：max{a，b}=，min{a，b}=．那么以下各式：〔1〕max{a，b}=〔a+b﹣|a﹣b|〕〔2〕max{a，b}=〔a+b+|a﹣b|〕〔3〕min{a，b}=〔a+b+|a﹣b|〕〔4〕min{a，b}=〔a+b﹣|a﹣b|〕其中恒成立的是〔〕A．〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕B．〔1〕〔2〕〔3〕C．〔1〕〔3〕D．〔2〕〔4〕考点：进行简单的演绎推理．专题：探究型．分析：根据绝对值的代数意义，非负数的绝对值等于其本身，非正数的绝对值等于他的相反数，将绝对值符号去掉化为分段函数的形式，可得答案．解答：解：∵〔a+b+|a﹣b|〕===max{a，b}；〔a+b﹣|a﹣b|〕===min{a，b} 应选D点评：此题考查的知识点是绝对值函数，根据绝对值的代数意义，将原式中绝对值符号去掉化为分段函数的形式，是解答的关键．二、填空题11．〔3分〕〔•奉贤区一模〕函数假设f〔a〕=，那么a= ﹣1或．考点：函数的值；分段函数的应用．专题：计算题．分析：当a＞0时，log2a=；当a≤0时，2a=．由此能求出a的值．解答：解：当a＞0时，log2a=∴a=，当a≤0时，2a==2﹣1，∴a=﹣1．∴a=﹣1或．故答案为：﹣1或．点评：此题考查孙数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数的函数值的求法．12．〔3分〕函数f〔x〕=的定义域为A，2∉A，那么a的取值范围是1＜a＜3 ．考点：函数的定义域及其求法．分析：根据根式有意义的条件求函数的定义域．解答：解：∵函数f〔x〕=的定义域为A，∴x2﹣2ax+a2﹣1≥0，∴△≤0，∴4a2﹣4〔a2﹣1〕≤0，∴a∈R，∵2∉A，∴4﹣4a+a2﹣1＜0∴1＜a＜3，故答案为1＜a＜3．点评：此题主要考查了函数的定义域和根式有意义的条件，是一道根底题．13．〔3分〕假设关于x的方程=k〔x+1〕有正数解，那么k的取值范围为．考点：直线与圆相交的性质．专题：数形结合；直线与圆．分析：构造f〔x〕=，g〔x〕=k〔x+1〕，作出函数的图象，根据图象可得结论．解答：解：令f〔x〕=，g〔x〕=k〔x+1〕，那么函数g〔x〕恒过定点〔﹣1，0〕f〔x〕=的图象如以以下图与y轴的交点坐标为〔0，〕由〔﹣1，0〕，〔0，〕可得斜率为=∴关于x的方程=k〔x+1〕有正数解时，k的取值范围为故答案为：．点评：此题考查方程解的问题，考查数形结合的数学思想，正确构建函数，作出函数的图象是关键．14．〔3分〕定义在R上的偶函数f〔x〕在[0，+∞]上递增，f〔〕=0，那么满足不等式＞0的x的取值范围是．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由题意，，利用定义在R上的偶函数f〔x〕在[0，+∞]上递增，可得不等式，从而可求x的取值范围．解答：解：由题意，函数f〔x〕是偶函数，且f〔〕=0，∵＞0∴∵定义在R上的偶函数f〔x〕在[0，+∞〕上递增，∴∴或∴或x＞2∴x的取值范围是故答案为：点评：此题考查函数的单调性与奇偶性，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：15．〔12分〕函数f〔x〕是定义在R上的单调奇函数，且f〔1〕=﹣2．〔Ⅰ〕求证函数f〔x〕为R上的单调减函数；〔Ⅱ〕解不等式f〔x〕+f〔2x﹣x2﹣2〕＜0．考点：奇函数；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：计算题；转化思想．分析：〔I〕欲证函数f〔x〕为R上的单调减函数，根据题意，只须证明函数f〔x〕不是R 上的增函数即可；〔II〕此题中函数是一个抽象函数，由于给出了它是奇函数与在区间上单调两个条件故可以利用奇函数的性质将f〔x〕+f〔2x﹣x2﹣2〕＜0变为f〔x〕＜f〔﹣2x+x2+2〕，再利用单调性将抽象不等式变为二次不等式，实数x的取值范围易求．解答：解：〔Ⅰ〕证明：∵函f〔x〕是奇函数∴f〔﹣1〕=﹣f〔1〕=f〔﹣1〕＞f〔1〕∴函数f〔x〕不是R上的增函数〔2分〕又函f〔x〕R上单调∴函f〔x〕R上的单调减函数〔4分〕〔Ⅱ〕f〔x〕+f〔2x﹣x2﹣2〕＜0，∴f〔x〕＜﹣f〔2x﹣x2﹣2〕=f〔﹣2x+x2+2〕〔6分〕由〔Ⅰ〕知函f〔x〕为上的单调减函数x＞﹣2x+x2+2〔8分〕x2﹣3x+2＜得〔x﹣1〕〔x﹣2〕＜0，〔10分〕1＜x＜2∴原不等式的解集{x|1＜x＜2}〔12分〕点评：此题考点是函数的奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式，此题的解题步骤一般是先利用函数的奇偶性将不等式变为f〔x〕＜f〔﹣2x+x2+2〕，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式．16．〔12分〕函数f〔x〕=ax2+〔b﹣8〕x﹣a﹣ab，当x∈〔﹣3，2〕时，f〔x〕＞0，当x∈〔﹣∞，﹣3〕∪〔2，+∞〕时，f〔x〕＜0．〔1〕求f〔x〕在[0，1]内的值域；〔2〕c为何值时，ax2+bx+c≤0的解集为R？考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：由题意可得当x=﹣3和x=2时，有y=0，代入可求a，b，进而可求f〔x〕〔1〕由二次函数的性质可判断其在[0，1]上的单调性，进而可求函数的值域〔2〕令g〔x〕=﹣3x2+5x+c，要使g〔x〕≤0的解集为R．那么△≤0，解不等式可求解答：解：由题意知f〔x〕的图象是开口向下，交x轴于两点A〔﹣3，0〕和B〔2，0〕的抛物线，对称轴方程为x=﹣〔如图〕．那么，当x=﹣3和x=2时，有y=0，代入原式得∴或经检验a=0，b=8不符合题意，舍去．∴f〔x〕=﹣3x2﹣3x+18．〔1〕由图象知，函数在[0，1]内单调递减，所以，当x=0时，y=18，当x=1时，y=12．∴f〔x〕在[0，1]内的值域为[12，18]．〔2〕令g〔x〕=﹣3x2+5x+c，要使g〔x〕≤0的解集为R．那么需要方程﹣3x2+5x+c=0的根的判别式△≤0，即△=25+12c≤0，解得c≤﹣．∴当c≤﹣时，ax2+bx+c≤0的解集为R．点评：此题主要考查了二次函数、二次方程及二次不等式之间的关系的相互转化，二次函数性质的应用及二次不等式的求解，属于知识的简单应用17．〔14分〕函数，且函数f〔x〕与g〔x〕的图象关于直线y=x对称，又g〔1〕=0，f〔〕=2﹣〔1〕求f〔x〕的表达式及值域；〔2〕问是否存在实数m，使得命题p：f〔m2﹣m〕＜f〔3m﹣4〕和q：满足复合命题p且q为真命题？假设存在，求出m的取值范围，假设不存在，说明理由．考点：函数与方程的综合运用；命题的真假判断与应用；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：〔1〕函数表达式的求解主要根据函数性质，如此题中f〔x〕与g〔x〕的图象关于直线y=x对称；求值域应先判断函数单调性，再求解〔2〕复合命题p且q为真命题即p，q均为真命题，利用函数的单调性以及反函数的性质，求出两个命题不等式的解集即可求出结果．解答：解：〔1〕因为函数f〔x〕与g〔x〕的图象关于直线y=x对称，g〔1〕=0，那么f〔0〕=1即b=1，又由f〔〕=，得+2=2，可得a=﹣1，故f〔x〕的表达式为f〔x〕=〔x≥0〕f〔x〕==在定义域[0，+∞〕上单调递减，f〔0〕=1，又因为f〔x〕＞0，所以f〔x〕的值域为〔0，1]〔2〕复合命题p且q为真命题即要求p，q均为真命题．命题p：∵f〔x〕在定义域[0，+∞〕上单调递减，故命题p：f〔m2﹣m〕＜f〔3m﹣4〕为真命题⇔m2﹣m＞3m﹣4≥0⇔m且m≠2；命题q：g〔〕，因为函数f〔x〕与g〔x〕的图象关于直线y=x对称，所以两个函数互为反函数，具有相同的单调性，所以f〔〕==，所以，即m．p，q均为真命题时m的范围是．点评：此题考查函数与方程的综合应用，涉及函数的单调性、反函数、分式不等式的解法、命题的真假判断等知识，考查分析问题解决问题的能力．18．〔14分〕设函数f〔x〕=kx+2，不等式[f〔x〕]2＜36的解集为〔﹣1，2〕．〔1〕求k的值；〔2〕求不等式的解集．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：〔1〕原不等式转化为：〔kx+2〕2＜36，即k2x2+4kx﹣32＜0，用韦达定理求解．〔2〕根据f〔x〕=﹣4x+2将原不等式转化为：再利用对数函数的单调性求解，要注意函数的定义域．解答：解：〔1〕∵〔kx+2〕2＜36，即k2x2+4kx﹣32＜0〔由题设可得：，解得k=﹣4〔2〕f〔x〕=﹣4x+2由，得那么，即∴原不等式的解集为点评：此题主要考查一元二次不等式和对数不等式的解法，注意所涉及函数的定义域．19．〔14分〕设函数的图象为c1，c1关于点A〔2，1〕对称的图象为c2，c2对应的函数为g〔x〕．〔1〕求g〔x〕的表达式；〔2〕解不等式．考点：其他不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；分类讨论．分析：〔1〕设出函数图象上的任意点的坐标，利用对称性求出对称点的坐标，代入方程，即可求出所求对称的函数的解析式．〔2〕直接转化不等式，通过a的范围讨论大于1与a大于0小于1时，不等式的等价形式，然后求解即可．解答：解：〔1〕设函数y=g〔x〕的图象上任意一点为〔x，y〕，那么关于A〔2，1〕的对称点为〔4﹣x，2﹣y〕，又〔4﹣x，2﹣y〕在的图象上，所以，2﹣y=〔4﹣x〕﹣2+=x+，即g〔x〕的表达式为g〔x〕=x+，〔x≠0〕．〔2〕原不等式化为，当1＜a时，有，解得，当0＜a＜1时，有，解得或x＞2，综上当a＞1时，不等式的解集为{x|}，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|或x＞2}．点评：此题考查函数的图象的对称性，函数的解析式的求法，对数不等式的解法，分类讨论思想的应用，考查计算能力．20．〔14分〕：函数〔a，b，c是常数〕是奇函数，且满足〔1〕求a，b，c的值；〔2〕试判断函数f〔x〕在区间〔0，〕上的单调性并说明理由；〔3〕试求函数f〔x〕在区间〔0，+∞〕上的最小值．考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：〔1〕根据函数是奇函数，得到c=0，再由题中的2个等式建立关于a、b的方程组，解之即可得到a、b的值；〔2〕区间〔0，〕上任取两个自变量x1、x2，将对应的函数值作差、变形到因式积的形式，判断符号，根据据单调性的定义可得f〔x〕=2x+在区间〔0，〕上是减函数．〔3〕根据〔2〕的结论，判断函数的单调性可得f〔x〕在区间〔0，〕上是减函数，在区间〔0，+∞〕上是增函数，因此可得函数f〔x〕在区间〔0，+∞〕上的最小值为f〔〕=2．解答：解：〔1〕∵函数是奇函数，满足f〔﹣x〕=﹣f〔x〕，∴c=0∵，∴，解之得a=2，b=〔2〕由〔1〕可得f〔x〕=2x+∴f〔x〕=2x+在区间〔0，0.5〕上是单调递减的证明：设任意的两个实数0＜x1＜x2＜∵f〔x1〕﹣f〔x2〕=2〔x1﹣x2〕+﹣=2〔x1﹣x2〕+=又∵0＜x1＜x2＜∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜，1﹣4x1x2＞0，可得f〔x1〕﹣f〔x2〕＞0即对任意0＜x1＜x2＜，均有f〔x1〕＞f〔x2〕∴f〔x〕=2x+在区间〔0，〕上是减函数．〔3〕由〔2〕得f〔x〕=2x+在区间〔0，0.5〕上是单调递减函数．类似地可证出对任意x1＞x2＞，均有f〔x1〕＞f〔x2〕，可得f〔x〕=2x+在区间〔，+∞〕上是增函数．因此，函数f〔x〕在区间〔0，+∞〕上的最小值为f〔〕=2．点评：此题给出含有字母参数的根本初等函数，在函数的奇偶性情况下求参数的值，并讨论函数的单调性．着重考查了函数的简单性质和函数最值求法等知识，属于中档题．。

2017届广东省揭阳市高三第一次高考模拟考试文科数学试题及答案

绝密★启用前揭阳市2017年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足：34iz i =+，则z =A ．34i --B ．43i +C ．43i -D ．43i -+ 2．设函数()f x =M ，则R C M = A. (,1)-∞ B.(1,)+∞ C. (,1]-∞ D. [1,)+∞3．设平面α、β，直线a 、b ，,a b αα⊂⊂，则“//,//a b ββ” 是“//αβ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．下列函数是偶函数，且在[0,1]上单调递增的是 A.sin()2y x π=+ B. 212cos 2y x =-C.2y x =-D. |sin()|y x π=+5．如图(1)所示的程序框图，能使输入的x 值与输出的y 值相等的所有x 值分别为A.1、2、3B.0、1C.0、1、3D.0、1、2、3、4. 图（1）6．一简单组合体的三视图如图（2）所示，则该组合体的体积为A.16π-B.124π-C.122π-D.12π-7．已知向量a 、b满足||1,||a b == (32)a b a -⊥，则a与b的夹角为图（2）A.6πB.4πC.3πD.2π8．若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的取值范围是A.[0，4]B.[4，6]C.[2，4]D. [2，6] 9．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为120 ，则双曲线C 的离心率为图（3）（km/h ）A.32B.2310．从[0,10]中任取一个数x ，从[0,6]中任取一个数y ，则使|5||3|4x y -+-≤的概率为A ．12B ．59C ．23D ．512二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．若点(,27)a 在函数3xy =的图象上，则为．12动车的行驶速度(单位：km/h)图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h ，则该时段内过往的这100辆机动车中属非正常行驶的有辆，图中的x 值为．13．对于每一个正整数n ，设曲线1n y x +=在点（1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++ = ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题)[来已知直线l :132x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数且t R ∈）与曲线C :22x cos y cos αα=⎧⎨=+⎩(α是参数且[)02,απ∈)，则直线l 与曲线C 的交点坐标为 .15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB 是半圆的直径，C 是AB延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，则BC 的长为．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数sin 2()2sin .sin xf x x x=+ （1）求函数()f x 的定义域和最小正周期；（2）若()2,[0,],f ααπ=∈求()12f πα+的值．17. （本小题满分12分）图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量优良的概率;（2）求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率．18．（本小题满分14分）如图(6)，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面AEH交SC于K点，P是SA上的动点，且AB=1，SA=2．（1）试证明不论点P在何位置，都有DB PC⊥；（2）求PB PH+的最小值；（3）设平面AEKH与平面ABCD的交线为l，求证：//BD l．19．（本小题满分14分）.已知曲线C的方程为：222+--=≠为常数）．ax ay a x y a a240(0,（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线:24=，OM ON=-+与曲线C交于不同的两点M、N，且|||| l y x求曲线C的方程．20．（本小题满分14分）已知正项数列{}n a 满足:222(1)()0()n n a n n a n n n N +-+--+=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足11b =，21n n S b =+()n N +∈．(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设(21)n n nn b c a +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．21．（本小题满分14分）已知函数2()ln 1,()1b f x a x g x x x=+=+-，(,a b R ∈)．（1）若曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴，求b 的值；（2）当0a >时，若对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设()()()p x f x g x =+，在（1）的条件下，证明当0a ≤时，对任意两个不相等的正数12,x x ，有()()121222p x p x x x p ++⎛⎫>⎪⎝⎭．揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：CDBDC DADBA 解析：6.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为23411112ππ⨯⨯-⨯⨯=-7.由(32)a b a -⊥得2(32)3||20a b a a a b -⋅=-⋅=233||||||cos ,22a b a a b a b ⇒⋅===⋅<>，cos ,,6a b a b π<>==⇒<>= ．8. 如右图知，满足条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩的点为图中阴影部分，当2z x y =+过点（2,0）时，z 取得最小值2，当2z x y =+过点（2,2）时，z 取得最大值6，故选D.9.不妨设双曲线的焦点在x 轴，因c b >，故30OFB ∠=,tan 303b c ==22222211()3b c a a c c c -⇒==-=23()22c e a ⇒=⇒=,选B. 10.如右图，使|5||3|4x y -+-≤是图中阴影部分，故所求的概率141+412==60602S P ⨯⨯⨯=阴影（）3.二、填空题：1112．15、0.0175； 13．-2； 14．（1，3）; 15.3. 解析：12.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有0.0025+0.00520100=15⨯⨯（）（辆），x 的值=[1(0.00250.00500.01000.0150)20]200.0175-+++⨯÷=.13．由1n y x +=得'(1)n y n x =+，则曲线在点（1,1）处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-，令y =得1n nx n =+，lg lg1n n n a x n ==+，12991299lg()23100a a a +++=⨯⨯⨯ 1lg 2100==-14．把直线l 的参数方程化为普通方程得25x y +=，把曲线C 的参数方程化为普通方程得212(11)y x x =+-≤≤，由方程组212(11)25y x x x y ⎧=+-≤≤⎨+=⎩解得交点坐标为（1，3）15． DE 为OB 的中垂线且OD=OB ，∴OBD ∆为等边三角形，060COD ∠=，OD BC OC OB ==-== 16．解：（1）由0sin x ,≠解得x k (k Z )π≠∈，所以函数f (x )的定义域为{x|x k (k Z )}π≠∈------------------------2分sin 2()2sin 2cos 2sin cos cos sin )sin().sin 444x f x x x x x x x x πππ=+=+=+=+ ---4分f (x )∴的最小正周期221T ππ==-----------------------------------6分（2）解法1：由()2cos sin 12cos sin 0,f ααααα=⇒+=⇒=---------------------8分 [0,]απ∈ 且sin 0α≠，.2πα∴=------------------------------------10分 ∴5())124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分【解法2：由()2,[0,],f ααπ=∈得sin cos 1αα+=cos 1sin αα⇒=-，代入22sin cos 1αα+=得22sin (1sin )1αα+-=2sin (sin 1)0αα⇒-=，-----8分sin 0α≠ ∴sin 1α=，又[0,]απ∈ ，.2πα∴=---------------------------------10分∴5())124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分】17.解：（1）在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率21126P ==.-----------------------5分（2）根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”.--------------------6分P DABS H“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”.其概率为31124=，----------------------------------------------8分“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”.其概率为512，-----------------------------------10分所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为.P=1524123+=.-----------12分 18．（1）证明：∵底面ABCD 是正方形∴DB AC ⊥,------------------------------1分∵SA ⊥底面ABCD,BD ⊂面ABCD ，∴DB SA ⊥,---------------------2分又SA AC A = ∴BD ⊥平面SAC ,∵不论点P 在何位置都有PC ⊂平面SAC ,∴DB PC ⊥．----------------------------------------------3分（2）解：将侧面SAB 绕侧棱SA 旋转到与侧面SAD 在同一平面内，如右图示，则当B 、P 、H 三点共线时，PB PH +取最小值，这时，PB PH +的最小值即线段BH 的长，--------------------------------------------4分设HAD α∠=,则BAH πα∠=-，在Rt AHD ∆中，∵SA AD AH SD ⋅==,∴cosAH AD α==,--------------------6分在三角形BAH 中，有余弦定理得：2222cos()BH AB AH AB AH πα=+-⋅-41712(55=+-= ∴min ()5PB PH BH +==．------------------------------------------------------------8分(3) 连结EH ，∵AB AD =,SA SA =,∴Rt SAB Rt SAD ∆≅∆， ∴SB SD=，---------------------------------------------------------------9分又∵,AE SB AH SD ⊥⊥,∴AE AH =，∴Rt SEA Rt SHA ∆≅∆， ∴SE SH=，-----------------------------------------------------------10分 ∴SE SH SB SD=, ∴//EH BD ,---------------------------------------12分又∵EH ⊂面AEKH ，BD ⊄面AEKH , ∴//BD 面AEKH. ----------------------------13分 ∵平面AEKH⋂平面ABCD=l ， ∴//BD l -----------------------------------------------------14分 19.解：（1）将曲线C 的方程化为22420x y ax y a +--=⇒222224()()x a y a a a-+-=+--2分可知曲线C 是以点2(,)a a为圆心，以为半径的圆．-----------------------------4分（2）△AOB的面积S为定值．-------------------------------------------------------------------5分证明如下：在曲线C 的方程中令y=0得(2)0ax x a -=，得点(2,0)A a ，---------------------------6分在曲线C 的方程中令x=0得(4)0y ay -=，得点4(0,)B a，--------------------------7分 ∴114|||||2|||422S OA OB a a=⋅=⋅=（为定值）．----------------------------------------9分（3）∵圆C 过坐标原点，且||||OM ON =∴圆心2(,)a a 在MN 的垂直平分线上，∴2212a =，2a =±，--------------------11分当2a =-时，圆心坐标为(2,1)-- 圆心到直线:24l y x =-+的距离d ==> 直线l与圆C 相离，不合题意舍去，------------------------------------------------------------13分 ∴2a =，这时曲线C 的方程为22420x y x y +--=．-----------------------------------14分20．解：（1）由222(1)()0n n a n n a n n -+--+=,得2()(1)0n n a n n a ⎡⎤-++=⎣⎦.---------2分由于{}n a 是正项数列,所以2n a n n =+.---------------------------------3分由21n n S b =+可得当2n ≥时，1121n n S b --=+，两式相减得1n n b b -=-，------------5分∴数列{}n b 是首项为1，公比1-的等比数列，1(1).n n b -∴=-----------------------------------7分（2）方法一：∵1(21)21(1)(1)n n n n n b n c a n n -++==-⋅+---------------------------------8分 ∴2124141(41)(21)(41)(21)2(21)2(21)2(21)(21)n n n n n n n n c c n n n n n n n --+-+-+-+=-=-+-+211(21)(21)2121n n n n ==--+-+--------------------------------------------------------------11分21234212111111()()()13352121n n n T c c c c c c n n -∴=++++++=-+-++--+ 11 1.21n =-<+---------------------------------------------------------------------------------------14分【方法二：∵11(21)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n b n c a n n n n --++==-⋅=-⋅+++-----------------------11分 2123421211111111()()()()12233445n n n T c c c c c c -∴=++++++=+-+++-++11111()()1 1.21222121n n n n n ++-+=-<-++----------------------------------------------14分】21. 解：（1）∵2'()2bg x x x =-，由曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得 '(1)20g b =-=，∴2b =------------------------------------------------2分（2）解法一：令()ln 1h x a x x =+-，则'()1a a x h x x x-=-=，-------------------------3分当a e >时，'()0h x >，函数()h x 在(1,)e 上是增函数，有()(1)0h x h >=，-----------4分当1a e <≤时，∵函数()h x 在(1,)a 上递增，在(,)a e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x>恒成立，只需()0h e ≥，即1a e ≥-．----------------------------5分当1a ≤时，函数()h x 在(1,)e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥，而()10h e a e =+-<，不合题意，----------------------------------------------------------------6分综上得对(1,)x e ∀∈，()f x x>恒成立，1a e ≥-．------------------------------------------7分【解法二：由()f x x >且(1,)x e ∈可得1ln ,1xa x <----------------3分由于ln 1xx -表示两点(,ln ),(1,0)A x x B 的连线斜率，由图象可知ln 1xy x =-在(1,)e 单调递减，-----------------5分故当(1,)x e ∈时，ln ln 1,111x e x e e >=-----------------------------------6分 1101a e ∴<≤-即1a e ≥--------------------------------------------------7分】（3）证法一：由()22ln p x x a x x=++ 得()()()()1222121212111ln ln 222p x p x ax x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭()2212121212x x x x a x x +=+++--------------------------------------8分2121212124ln 222x x x x x x p a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭----------------------------------------------9分由2212122x x x x +>得22212122+x x x x +>（）（）2221212+122x x x x ⇒+>（）（）-------①---10分又()()2221212121224x x x x x x x x +=++>∴1212124x x x x x x +>+ ---------------------------------------------------②---------------11分122x x +∴12ln 2x x+ ∵0a ≤∴12ln ln 2x xa a +≥ ------------------------------③---------------12分由①、②、③得()22212121212121422x x x x x x a a x x x x ++⎛⎫+++++ ⎪+⎝⎭即()()121222p x p x x x p ++⎛⎫>⎪⎝⎭．--------------------------------------------------------------14分【证法二：由()22ln p x x a x x=++()()121222p x p x x x p ++⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2221212121212121114ln ln ln 2222x x x x a x x x x a x x x x ⎛⎫++⎛⎫=+++++--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭-----9分221212121212()()ln )4()2x x x x x x a x x x x --+=+++---------------------------------------10分∵12,x x 是两个不相等的正数，∴122x x +∴12ln2x x +<-------------------------------------------------11分∴12ln )02x x a +≥，又 2212121212()()0,04()x x x x x x x x -->>+ ∴()()121222p x p x x x p ++⎛⎫- ⎪⎝⎭>，即()()121222p x p x x x p ++⎛⎫>⎪⎝⎭．----------------14分】。

《精编》广东省揭阳第一中学高三数学第一次阶段考试题文新人教A版.doc

揭阳一中—学年度高三平时测试一数学〔文科〕第I 卷〔选择题〕〔50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．}2,1{=A ，}21|{<≤∈=x R x B ，那么B A 为( ) A.}2,1{ B.}1{ C.}21|{≤≤x x D.}1|{≥x x2．不等式0322>--x x 的解集是〔〕 A.1|{<x x 或}3->x B.1|{-<x x 或}3>x C.}11|{<<-x xD.}13|{<<-x x3．以下命题中的真命题是 ( )A.x ∃∈R ,使得 sin cos 1.5x x +=B.(0,),1xx e x ∀∈+∞>+ C.(,0),23x x x ∃∈-∞< D.(0,),sin cos x x x π∀∈>4．函数)10(||<<=a x xa y x的图象的大致形状是( )5．某种商品的零售价年比年上涨25％，由于采取措施控制物价结果使年的物价仅比年上涨10％，那么年比年的物价下降〔〕 A.15％ B.12％ C.10％ D.5％ 6．函数f 〔x 〕=2-+x e x的零点所在的一个区间是〔〕A.〔-2,-1〕B.〔-1,0〕C.〔0,1〕D.〔1,2〕 7．记函数()f x 的反函数为1()fx -,假设x x f a log )(=且2)9(=f ，那么)2log (91--f 的值是〔〕A.2B.2C.22D.2log 3 8．设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 那么不等式)1()(f x f >的解集是〔〕A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞9．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围为〔〕A.),4[]1,(+∞--∞ B.),4()1,(+∞--∞ C.(,4][1,)-∞-+∞D.),4[)1,(+∞--∞10．假设实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，那么称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( ) A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件D.既不充分也不必要的条件第II 卷〔非选择题〕〔100分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分． 11．幂函数3222)1(--•--=m m xm m y ，当),0(+∞∈x 时为减函数，那么实数m 的值为12．假设2,4==b a ，那么4216132332)b (a b b a ab ⋅⋅=13．函数||sin 1()()||1x x f x x R x -+=∈+的最大值为M ，最小值为m ，那么M m +=______14．以下几个命题：①方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，那么0a <；②函数y =③函数()f x 的值域是[2,2]-，那么函数(1)f x +的值域为[3,1]-；④设函数()y f x =定义域为R ，那么函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称； ⑤一条曲线2|3|y x =-和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，那么m 的值不可能是1．其中正确的有_________________三．解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．〔此题总分值12分〕p ：∣1－2x ∣≤ 5，q ：x 2－4x +4－9m 2≤ 0 (m ＞0)，假设⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．16．〔此题总分值12分〕函数)10,0(132)(22≤≤>-+-=x a a ax x x f ，求)(x f 的最大值和最小值．17．〔此题总分值14分〕商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠方法：〔1〕买一个茶壶赠送一个茶杯；〔2〕按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯假设干个〔不少于4个〕，假设以购置茶杯数为x 个，付款数为y 〔元〕，试分别建立两种优惠方法中y 与x 之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种方法哪一种更省钱．18．〔此题总分值14分〕函数()log (1)log (1)a a f x x x =+-- (a ＞0且a ≠1). (1) 求()f x 的定义域；(2) 判断()f x 的奇偶性并予以证明；(3) 当1a >时，求使()0f x >成立的x 的取值范围．19．〔此题总分值14分〕函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x+2)=－f(x)〔1〕求证：f(x)是周期函数；〔2〕假设f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=21x, 求f(x)在［－1，3］的解析式; 〔3〕在(2)的条件下．求使f(x)=－21在［0，2 011］上的所有x 的个数．20．〔此题总分值14分〕设函数22()f x a x =〔0a >〕，()ln g x b x =．(1) 将函数()y f x =图象向右平移一个单位即可得到函数()y x ϕ=的图象，试写出()y x ϕ=的解析式及值域；(2) 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，假设存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，那么称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线〞．设22a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线〞？假设存在，求出“分界线〞的方程；假设不存在，请说明理由．文科数学答案一. 选择题 BBBDB CCAAC二. 填空题 11. 2 12. 2 13. 2 14. ①⑤三、解答题: 本大题共6小题，共80分．解容许写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤． 15、解：解不等式可求得：p ：－2≤x ≤3，…………………2分 q ：2－3m ≤x ≤2+3m (m ＞0)．…………………4分那么 ⌝p ：A ={x ∣x ＜－2或x ＞3}，⌝q ：B ={x ∣x ＜2－3m 或x ＞2+3m ，m ＞0}．……6分由 ⌝p ⇒⌝q ，得A B ． …………………8分从而 310.0,332,232≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-≥-m m m m ．…………………11分(上述不等式组中等号不能同时取)．经验证．．310≤<m 为所求实数m 的取值范围．………12分16．(1)解：12)(132)(2222-+-=-+-=a a x a ax x x f ……………2分由0>a 知，当1≥a 时，由于)(x f 在[0，1]上是减函数，故)(x f 的最大值为,13)0(2-=a f 最小值为;23)1(2a a f -= ……………6分当210<<a 时， )(x f 的最大值为a a f 23)1(2-=，最小值为;12)(2-=a a f …………9分当112a <<时， )(x f 的最大值为,13)0(2-=a f ，最小值为.12)(2-=a a f …………12分17．解：由优惠方法〔1〕可得函数关系式为：y 1=20×4+5(x －4)= 5x +60(x ≥4); …………3分由优惠方法〔2〕得：y 2=(5x +20×4)×92%=4．6x +73．6(x ≥4), …………………6分对以上两种优惠方法比拟得：y 1－y 2=0．4x －13．6(x ≥4),令y 1－y 2=0,得x =34． ……………9分可知当购置34只茶杯时，两法付款相同；…………………10分当4≤x ≤34时，y 1<y 2,优惠方法〔1〕省钱；…………………12分当x ≥34时，y 1>y 2,优惠方法〔2〕省钱． …………………14分 18、解：〔1〕因为()log (1)log (1)a a f x x x =+-- (a ＞0且a ≠1)∴⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ………… 3分故所求函数)(x f 的定义域为}11|{<<-x x ………… 4分〔2〕由〔1〕知)(x f 的定义域为}11|{<<-x x ，关于原点对称………… 5分又()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-………… 7分故)(x f 为奇函数. ………… 8分〔3〕因为当1a >时，()f x 在定义域}11|{<<-x x 内是增函数，………… 10分所以1()011x f x x+>⇔>-，解得10<<x ………… 13分所以，使得()0f x >成立的x 的取值范围是}10|{<<x x . ………… 14分19解：〔1〕证明:∵f〔x+2〕=－f 〔x 〕，∴f〔x+4〕=－f 〔x+2〕=－［－f 〔x 〕］=f 〔x 〕，…… 2分∴f〔x 〕是周期函数，且4为一个周期． …………… 4分〔2〕解当0≤x≤1时，f(x)=21x,设-1≤x≤0,那么0≤-x≤1,∴f〔-x 〕=21〔-x 〕=-21x ． ∵f(x)是奇函数，∴f〔-x 〕=-f 〔x 〕,∴-f 〔x 〕=-21x ，即f(x)=21x ． ……………6分故f(x)= 21x(-1≤x≤1) …………… 8分又设1＜x ＜3,那么-1＜x-2＜1,∴f(x -2)= 21(x-2), 又∵f〔x-2〕=-f 〔2-x 〕=-f 〔〔-x 〕+2〕=-［-f 〔-x 〕］=-f 〔x 〕，∴-f 〔x 〕=21〔x-2〕，∴f〔x 〕=-21〔x-2〕〔1＜x ＜3〕．∴f〔x 〕=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x …………… 10分由f(x)=- 21,解得x=-1．∵f〔x 〕是以4为周期的周期函数． ∴f(x)=- 21的所有解为x=4n-1 (n∈Z )． ……………12分令0≤4n -1≤2 011,那么41≤n≤503,又∵n∈Z ，∴1≤n≤503 〔n∈Z 〕,∴在［0，2 011］上共有503个x 使f(x)=- 21． ……………14分20.解：〔1〕22()(1)x a x ϕ=-，值域为[0,)+∞ …………2分〔2〕不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，等价于22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<， …………4分令22()(1)21h x a x x =--+，由(0)10h =>且2(1)0(0)h a a =-<>，所以函数22()(1)21h x a x x =--+的一个零点在区间(0,1)，那么另一个零点一定在区间[3,2)--， …………6分故(2)0,(3)0,h h ->⎧⎨-≤⎩解之得4332a ≤<． …………8分解法二：22(1)210a x x --+>恰有三个整数解，故210a -<，即1a >，…………4分[][]22(1)21(1)1(1)10a x x a x a x --+=--+->，所以1111x a a <<-+，又因为1011a<<+， …………6分所以1321a -≤<--，解之得4332a ≤<． ……8分〔3〕设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，那么2'(()e x e x x F x x x x x-=-==．所以当0x <<'()0F x >；当x >'()0F x <．因此x =()F x 取得最小值0，那么()f x 与()g x 的图象在x =)2e． ………10分设()f x 与()g x 存在 “分界线〞，方程为(2ey k x -=，即2ey kx =+-由()2e f x kx ≥+-x ∈R 恒成立，那么2220x kx e --+≥在x ∈R 恒成立．所以22244(2)4844(0k e k e k ∆=-=-=≤成立，因此k = ………12分下面证明()(0)2eg x x ≤->恒成立．设()ln 2e G x e x =-，那么()e G x x '==．所以当0x <<'()0G x >；当x >'()0G x <．因此x =()G x 取得最大值0，那么()(0)2ef x x ≤->成立．故所求“分界线〞方程为：2ey =-． …………14分。

广东省2017届高三上学期阶段性测评(一)文数试题 Word

广东省2017届高三上学期阶段性测评（一）文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集俣{}55S x x x =<->或，{}73T x x =-<<，则ST =（）A ．{}75x x -<<-B ．{}35x x <<C ．{}53x x -<<D ．{}75x x -<< 2.在区间[]1 m -，上随机选取一个数，若1x ≤的概率为25，则实数m 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53.设函数()()1232 2log 1 2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，，，则()()2f f 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34.已知双曲线221927x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，且2F 为抛物线22y px =的焦点.设P 为两曲线的一个公共点，则12PF F △的面积为（） A.18 B．．5.若实数 x y ，满足121y x y x x y ≤⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．14 B ．12C.1 D ．2 6.已知命题：2: 2sin 10p x R x x θ∀∈-+≥，；命题(): sin sin sin q R αβαβαβ∀∈+≤+，，.则下列命题中的真命题为（）A ．()p q ⌝∧B ．()p q ∧⌝ C.()p q ⌝∨ D ．()p q ⌝∨ 7.若函数()f x 为区间D 上的凸函数，则对于D 上的任意n 个值12 n x x x ，，…，，总有()()()1212n n x x x f x f x f x nf n +++⎛⎫+++≤ ⎪⎝⎭…….现已知函数()sin f x x =在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是凸函数，则在锐角ABC △中，sin sin sin A B C ++的最大值为（）A ．12 B C.32D8.三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，12AB BC AA ===，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（） A ．48π B ．32π C.12π D ．8π9.执行如图所示的程序框图，若[][] 0 4x a b y ∈∈，，，，则b a -的最小值为（）A ．2B ．3 C.4 D ．510.已知向量 AB AC AD ，，满足 2 1AC AB AD AB AD =+==，，， E F ，分别是线段 BC CD ，的中点，若54DE BF ⋅=-，则向量AB 与AD 的夹角为（）A ．6π B ．3π C.23π D ．56π 11.一块边长为6cm 的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，则该容器的体积为（）A ．3B ．3 C.3 D ．312.已知椭圆22:154x y E +=的一个顶点为()0 2C -，，直线l 与椭圆E 交于 A B ，两点，若E 的左焦点为ABC △的重心，则直线l 的方程为（）A ．65140x y --=B ．65140x y -+= C.65140x y ++=D ．65140x y +-=第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若复数a i +是纯虚数，则实数a = ．14.曲线sin 1y x =+在点()0 1，处的切线方程为．15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则()37.5f 等于．16.函数()()sin 10f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，当[] x m n ∈，时，()f x 至少有5个零点，则n m -的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在ABC △中，内角 A B C ，，所对的边分别是 a b c ，，，已知60 5 4A b c =︒==，，. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求sin sin B C 的值. 18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，且122 21n n a d a a ==-，. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设112n n n a b ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19.（本小题满分12分）某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A 、B 、C 、D 四个等级.随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如下的分布图：（Ⅰ）试确定图中a 与b 的值；（Ⅱ）若将等级A 、B 、C 、D 依次按照90分、80分、60分、50分转换成分数，试分别估计两校学生国学成绩的均值；（Ⅲ）从两校获得A 等级的同学中按比例抽取5人参加集训，集训后由于成绩相当，决定从中随机选2人代表本市参加省级比赛，求两人来自同一学校的概率. 20.（本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，底面ABC 为正三角形.（Ⅰ）证明：AC PB ⊥；（Ⅱ）若平面PAC ABC ⊥平面，2AB =，PA PC ⊥，求三棱锥P ABC -的体积. 21.（本小题满分12分）已知圆()22:620C x y -+=，直线:l y kx =与圆C 交于不同的两点 A B ，. （Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）若2OB OA =，求直线l 的方程. 22.（本小题满分10分）已知函数()2ln f x a x x x =+-，其中a R ∈. （Ⅰ）若0a <，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.2016-2017学年度高三年级阶段性测评（一）文科数学参考答案及评分参考一、选择题1-5:ACCDC 6-10:CDCAB 11、12：DB 解析：1.A 【解析】借助数轴可得{}75S T x x =-<<-.2.C 【解析】由2215m =+得4m =. 3.C 【解析】()32log 31f ==，∴()()212f f f ==⎡⎤⎣⎦. 4.D 【解析】双曲线的右焦点为()2 6 0F ，，∴ 6 122pp ==，，则抛物线的方程为224y x =. 由222192724x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩得(9 P ±，. ∴12PFF △的面积1262S c =⋅⋅⋅5.C 【解析】由图可知，当21 33x y ==，时，2z x y =-取到最大值1.6.C 【解析】p 正确，q 正确，所以()p q ⌝∨正确.7.D【解析】sin sin sin sin sin 6033A B C A B C ++++⎛⎫≤=︒= ⎪⎝⎭. 8.C 【解析】设11 AC AC ，的中点分别为1 H H ，，由几何知识可知，1HH的中点O 为三棱柱外接球的球心，且2213OA =+=，∴2412S R ππ==.9.A 【解析】程序框图的功能为求分段函数21 04 0x x y x x x +<⎧=⎨-≥⎩，，的函数值，如图可知[]2 a b ∈，，当0 2a b ==，或 2 4a b ==，时符合题意，∴2b a -≥.10.B 【解析】∵1122DE BF AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111422AB AD AB AD AB AD =⋅+⋅-- 555424AB AD ⋅-=-=. ∴1AB AD ⋅=，1cos 2AB AD <>=，，则AB 与AD 的夹角为3π. 11.D 【解析】如图（2），PMN △为该四棱锥的正视图，由图（1）可知，6PM PN +=，且PM PN =.由PMN △为等腰直角三角形，可知MN =3PM =. 设MN 中点为O ，则PO ABCD ⊥平面，∴12PO MN ==，∴(2111833P ABCD V -=⨯=⨯=12.B 【解析】设椭圆的左焦点为1F ，则()1 1 0F -，. 设()11 A x y ，，()22 B x y ，，则12120320x x y y ++=-⎧⎨+-=⎩，∴121232x x y y +=-⎧⎨+=⎩.设M 为AB 中点，则3 12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，M 在l 上代入检验可知A 、C 、D 不符，故选B.二、填空题13.0 14.1y x =+ 15.0.5 16.2π【解析】13.由纯虚数的定义可知0a =. 14.∵'cos y x =，∴0'cos01x y ===，∴切线方程为()110y x -=⋅-，即1y x =+.15.由()()2f x f x +=-可知()()()42f x f x f x +=-+=，故()f x 为周期函数，4T =,()()()37.594 1.5 1.5f f f =⨯+=.又∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()()()1.5 1.5 1.520.50.5f f f f =--=-+==.16.()sin 12sin 13f x x x x πωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由周期为π可知2ππω=.∴2ω=，∴()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.令()0f x =得1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由周期性可知，2n m π-≥，则()min 2n m π-=. 三、解答题17.解：（Ⅰ）由余弦定理得：2222cos 21a b c bc A =+-=，∴a =分（Ⅱ）∵()222228sin a R A ==， ∴()25sin sin 72bcB C R ==.……………………………………………………………………10分 18.解：（Ⅰ）由题可得：()()11112412211a n a a n a +-=+--，解得1 1 2a d ==，. ∴()()*1121n a a n d n n N =+-=-∈.………………………………………………4分（Ⅱ）∵1112222n n n n na n nb +++===， ∴231135122222n n n n nS --=+++++…. ① ∴23111121222222n n n n n n nS -+3--=+++++….② -①②得：23111111222222n n n n S +=++++- (231111111122222222)n n n n n n nS --=+++++-=-=-….……12分从5人中任选2人一共有10个基本事件；EF EM EN EQ FM FN FQ MN MQ NQ ，，，，，，，，，；其中2人来自同一学校包含 EF MN MQ NQ ，，，，所以所求事件的概率0.4P =.……………………12分 20.（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，∵PA PC =， ∴PO AC ⊥，又AB CB =， ∴AC POB ⊥平面，∴AC PB ⊥.………………………………5分（Ⅱ）平面PAC ABC ⊥平面且交于AC ，PO AC ⊥， ∴PO ABC ⊥平面，即PO 为三棱锥P ABC -的高. 又PA PC =，PA PC ⊥，2AC AB ==， ∴1PO =，∴11122sin 6032P ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯︒=则三棱锥P ABC -分 21.（Ⅰ）将直线l 的方程y kx =代入圆C 的方程()22620x y -+=后，整理得()22112160k xx +-+=，依题意，直线l 与圆C 交于不同的两点.又∵210k +≠，∴只需()()221241160k ∆=--+⋅>，解得k 的取值范围为k <<.……………………………………4分（Ⅱ）由已知A 为OB 的中点，设()11 A x y ，，()22 B x y ，，则()2211620x y -+=，①()221126420x y -+=，②解①②可得112 2x y ==，或112 2x y ==-，， ∴直线l 的方程为y x =±.………………………………12分 22.解：（Ⅰ）函数()2ln f x a x x x =+-的定义域为()0 +∞，，()22'21a x x af x x x x-+=+-=，设()22g x x x a =-+，由0a <可知180a ∆=->.令()0g x =，得12 x x ==，显然120 0x x <>，，当()20 x x ∈，时，()()0 '0g x f x <<，，()f x 为减函数，当()2 x x ∈+∞，时，()0g x >，()'0f x >，()f x 为增函数，故()f x 在0 ⎛ ⎝⎭上为减函数，在 ⎫+∞⎪⎪⎝⎭，上为增函数.………………6分（Ⅱ）显然()10f =，由1x ≥可知：当0a ≥时，2ln 0 0a x x x ≥-≥，，故()0f x ≥成立；当0a <时，由（Ⅰ）知：()f x 在()2 x +∞，上为增函数，在()20 x ，上为减函数；若10a -≤<，则21x ≤，当1x ≥时，()f x 为增函数，故()()10f x f ≥=成立；若1a <-，则21x >，由()f x 在()20 x ，上为减函数可知，当()21 x x ∈，时，()f x 为减函数，则()()10f x f <=与题意不符，舍去.综上，a 的取值范围是[)1 -+∞，.………………………………12分。

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揭阳一中高三数学（文）上学期阶段1考试一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2,3}A =，1{|2,}k B n n k A -==∈，则AB =（）A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{1}D ．{3} 2．已知复数142iz i i+=-，则复数z 的模为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．73．已知命题p ：∃x 0∈R ， x 0－2>0，命题q ：∀x ∈R ，x <x ，则下列说法中正确的是（）A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(¬q )是真命题D ．命题p ∨(¬q )是假命题4．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为R ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q ，若QRF ∆的面积为2，则点P 的坐标为（）A ．（1，2）或（1，－2）B ．（1，4）或（1，－4）C ．（1，2）D ．（1，4） 5．某几何体的三视图如图(其中俯视图中的圆弧是半圆)，则该几何体的表面积为（）A ．92＋14πB ．82＋14πC ．92＋24πD ．82＋24π 6．函数311log (2),1()3,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则3(7)(log 12)f f -+=（）A ．8B ．15C ．7D ．167．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（）A ．3B ．4C ．5D ．68．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（） A ．()y f x =在(0,)2π上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在(0,)2π上单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π上单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在(0,)2π上单调递减，其图象关于直线2x π=对称 9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =2a n －4（n ∈N *），则a n =（） A ．2n +1 B ．2n C ．2n －1 D ．2n －210．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则（）A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 11．πsin 22cos 2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值是（）A ．－3B ．－32C ．32D ．312．已知函数()y f x =的定义域为R ，当x <0时，()1f x >，且对任意的实数x 、y ∈R ，等式()()()f x f y f x y =+恒成立．若数列{a n }满足a 1=f (0)，且11()(2)n n f a f a +=--(*)n N ∈，则a 2015的值为（）A ．4029B ．3029C ．2249D ．2209二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知向量(,1)a x x =-，(1,2)b =，且a //b ，则x = ___________ ．14．设曲线x e x f xsin )(=在（0,0)处的切线与直线x +my +l=0平行，则m = _____ ． 15. 若x ，y 满足约束条件2022020x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≤≤≥，则3z x y =+的最大值为．16．若偶函数(),y f x x R =∈，满足(2)()f x f x +=-，且当[0,2]x ∈时，2()2f x x =-，则方程()sin ||f x x =在[－10，10]内的根的个数为 ___________ ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ΔABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且sin sin().3a Bb A π=-+（1）求A ；（2）若ΔABC的面积24S c =，求sin C 的值．18．(本小题满分12分）为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n 名学生的物理成绩（百分制）作为样本，按成绩分成 5组： [50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90，100]，频率分布直方图如图所示，成绩落在[70,80)中的人数为20．（1）求a 和n 的值；（2）设成绩在80分以上（含80分)为优秀，已知样本中成绩落在[50,80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80,100]中的男、女生人数比为3：2，请完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，若E ，F 分别为PC ，BD 的中点．（1）求证：EF ∥平面P AD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面P AD ；（3）求四棱锥P －ABCD 的体积．20．(本小题满分12分)已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，圆C 与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13．（1）求圆C 的标准方程；（2）设过点M (0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ．是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；若不存在请说明理由．21．(本小题满分12分) 已知函数21()(22)(21)ln .2f x x a x a x =-+++ （1）若曲线()y f x =在点(2, f (2))处的切线的斜率小于0，求f (x )的单调区间；（2）对任意的a ∈[32，52]，函数g (x )=f (x )－λx 在区间[1，2]上为增函数，求λ的取值范围．请考生在（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E ．（1）过E 做O 的切线，交AC 与点D ，证明：D 是AC 的中点；（2）若3CE AO =，求ACB ∠的大小．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线1:x t l y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t为参数），圆221:((2)1C x y +-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（1）求圆1C 的极坐标方程，直线1l 的极坐标方程；（2）设1l 与1C 的交点为,M N ，求1C MN ∆的面积．（第22题图）24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－a|.（1）若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．揭阳一中高三数学（文）上学期阶段1考试参考答案BBCAA CBDAD CA 13．－1 14．－1 15. 10316．10 17．解：（1）∵sin sin()3a Bb A π=-+，∴由正弦定理得sin sin sin sin()3A B B A π=-+，即sin sin()3A A π=-+，亦即1sin (sin cos )22A A A =-+，化简得tan A = ∵(0,)A π∈，∴56A π=． ……………………（6分）（2）由（1）已得56A π=，则1sin 2A =，由211sin 24S bc A bc ===，得b =，∴22222252cos )23cos76a b c bc A c c c c π=+-=+-=，则a =，由正弦定理得sin sin c A C a ==……………………（12分） 18．解： (1)连接EF ，AC ，∵四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形且点F 为对角线BD 的中点， ∴对角线AC 经过F 点，又点E 为PC 的中点， ∴EF 为△P AC 的中位线，∴EF ∥P A ．又P A ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD ．……………………（4分） (2)∵底面ABCD 是边长为a 的正方形，∴CD ⊥AD ，又侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴CD ⊥平面P AD ．又CD ⊂平面PCD ，∴平面PDC ⊥平面P AD ． ……………………（8分） (3)过点P 作AD 的垂线PG ，垂足为点G ，∵侧面P AD ⊥底面ABCD ，PG ⊂平面P AD ，侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，即PG 为四棱锥P －ABCD 的高，又P A ＝PD ＝22AD 且AD ＝a ，∴PG ＝a2．∴V 四棱锥P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PG ＝13×a 2×a 2＝16a 3． ……………………（12分）19．解：（1）由10a =1－(0．005+0．01+0．015+0．02)×10=0．5得 a =0．05，则n =20100.05⨯= 40．． ……………………（5分）（2）优秀的男生为6人，女生为4人；不优秀的男生为10人，女生为20人．所以2×2列联表如下表：则2240(620410) 2.222 3.84116241030K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．…………（12分）20．解： (1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋42＝r ，a 2＋3＝r ，解得a ＝1或a ＝138，又S ＝πr 2＜13，∴a ＝1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4．………………………………（5分） (2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．……………………（6分）当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又l 与圆C 相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x －2＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0．∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20＞0，解得k ＜1－263或k ＞1＋263． ………………………………（8分）x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k 2， OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，解得k ＝34 ………………（11分）显然k ＝34 ∉ (－∞，1－263)∪(1＋263，＋∞)，假设不成立，∴不存在这样的直线l ． ………………………………（12分）21．解：（1）21(21)(1)()(22)(0)a x a x f x x a x x x+---'=-++=> 若曲线()y f x =在点(2, f (2))处的切线的斜率小于0，则1(2)02f a '=-+<，即12a >， ∴2a +1>1 则令()0f x '>，解得0<x <1或x >2a +1；令()0f x '<，解得1<x <2a +1．∴()f x 的单调递增区间为(0,1)，(2a +1,+∞)，单调递减区间为(1，2a +1) ．…（5分）（2）∵()()g x f x xλ=-在区间[1，2]上为增函数，∴()0g x '≥对任意的a ∈[32，52]，x ∈[1，2]恒成立，∴221()(22)0a g x x a x xλ+'=-+++≥，化简可得32(22)(21)0x a x a x λ-++++≥，即232(22)20x x a x x x λ-+-++≥，其中a ∈[32，52] ……………（7分）∵x ∈[1，2]，∴2220x x -≤，∴只需2325(22)202x x x x x λ-+-++≥ 即32760x x x λ-++≥对任意x ∈[1，2]恒成立．令32()76h x x x x λ=-++，x ∈[1，2]，则2()31460h x x x '=-+<在[1，2]上恒成立， ∴32()76h x x x x λ=-++在区间[1，2]上为减函数，∴min ()(2)80h x h λ==-≥，解得8λ≥． ……………………………（12分） 22.（1）证明：连接,OE AE ，∵AC 是O 的切线，DE 也是O 的切线，∴弦切角CAE DEA ∠=∠，∴ADE ∆是等腰三角形，AD DE =，∵AB 是O 的直径，∴090AEB CEA ∠==∠．∴D 是AEC ∆的外心，即是AC 的中点．………………………………（5分）（2）解：不妨设AO =1，则CE =3 在ABC ∆中，22sin 3AO ACB CE BE BE ∠==++………①在ABE ∆中，cos 22BE BE EBA AO ∠==，即sin 2BEACB ∠=………② 联立①②，解得1sin sin -22ACB ACB ∠=∠=或（舍），∴锐角030ACB ∠=． ………………………………（10分）23．解：（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入1C 展开整理得：2cos 4sin 60ρθρθ--+=，∴圆1C 的极坐标方程为：2cos 4sin 60ρθρθ--+=．∵直线1l 的方程消参得yx=，又∵tan y xθ=，∴直线1l 的极坐标方程为tan 3πθθ==即（R ρ∈）……（5分）（2）∵直线1l 0y -=，∴圆心C 12）到直线1l 12=，｜MN ｜==，∴111224C MN S ∆==． ……………………………………（10分） 24 ．解：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. …………………………………（5分）(2) 解法一：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5. 综上可得，g (x )的最小值为5.又f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，所以m 的取值范围为(－∞，5]． …………………………………（10分）解法二：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．因为|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立) 所以g (x )的最小值为5.又f (x )＋f (x ＋5)≥m 即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，所以m 的取值范围为(－∞，5]． …………………………………（10分）。