第四章方差分析二
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第4章 方差分析(anova)实验设计和分析
第4章方差分析（ANOV A）实验设计和分析Catherine Potvin4.1生态学问题弄懂生态学问题需要将各种环境因子的影响分开，生态工作者用实验来解决这个问题。
不论在野外还是在控制环境条件下，可控实验都可以让生态工作者们只变化一个因子来检验其影响。
例如，生长箱能使生物体生长在完全相同的温度而不同的光周期的条件下，或相同的光强而不同温度条件下的实验成为可能。
在控制实验中，通常最希望的情况是环境‘背景’，即所有的影响因子, 不是自由地变化，而是精确地得到控制，这样就能够保证在改变目标变量时，观测的反应不会受到其它因素的影响。
因而控制环境条件, 例如使用生长箱和温室，成为植物生态学的一个常用的方法，如同动物生态学中使用的生长柜和水族槽一样。
本章第一部分，我要讲一下作为实验生态学基本工具的方差分析（ANOV A）。
本章重点放在实验设计上。
虽然人们一般认为生长箱会提供同一环境条件，但不论在一个生长箱内还是生长箱间都存在环境异质性（Lee和Rawlings 1982；Potvin等1990a），因而能够充分处理环境异质性的实验设计将在本章中述及。
尽管我的论述主要是以生长箱实验为基础，其原理在其它类型的控制或野外环境的实验研究中同样适用（第5，15和16章）。
我还要讨论错误实验设计的代价。
本章应视为实验设计的起步点，这个起步点就是要考虑各种影响因素。
实验者通常进行的实验比这里展开的要复杂。
但是一旦懂得了基本原理，讨论各种实验设计就相对简单一些。
更详细的论述请见Cochran & Cox（1957）和Winter（1991）。
4.2 统计问题：环境变化与统计分析正如Underwood(1997)建议的一样，生态实验设计的第一步是建立一个线性模型使研究者能够将感兴趣的变量（因素）独立出来。
由于实验设计支配误差项，建立线性模型取决于所研究的因子以及具体的实验设计。
在任何一个实验开始时，最基本的是要检验空间与时间变化的格局。
第四章协方差分析
MSe
1 n
xi• x•• E XX
2
(4 18)
即：各处理的方差应具备齐性，它们都是从具有 同一方差的正态总体中的来的；个处理的回归系
数i均等于以及反应变量与协变量之间的回归 系数≠0。因此，在对一组数据做协方差分析时，
首先要对以上各个条件做检验。只有以上条件得 到满足时，才能做协方差分析。
yij i (xij x•• ) ij
i 1,2,, a
j
1,2,, n
(4 1)
其中yij是第 i 次处理所得到的反应变量的第 j 次
观察值。cij是相当于yij的协变量值。c··是cij的 平均数，是总平均数，i是第i次处理效应， 是yij在cij上的线性回归系数，ij是随机误差成份。 做协方差分析，需要满足以下几个条件：ij是 服从正态分布的独立随机变量；≠0，即yij与cij
变差来源
平方 和
回归 处理
误差 总和
S2XY／SXX SS’e－SSe＝(SYY－S2XY／SXX)
－(EYY－E2XY／EXX) SSe＝EYY－E2XY／EXX
SYY
自由度 1
a－１
a(n－1)－1 an－1
均方 (SS’e－SSe)／(a－1)
F (SS’e－SSe)／ (a-1)／MSe
MSe＝SSe／[a(n－1)－1]
2
a i1
n j 1
yi2j
y•2• an
SXX
a i 1
n j 1
xij
x••
2
a i 1
n j 1
xi2j
x•2• an
a n
S XY
xij x••
i1 j1
yij y••
第四章方差分析两向分组单因素区组二因素重复值拉丁方
变异 DF
来源
A因素 a-1
B因素 b-1
误 差
总变 异
(a1)(b-1)
ab-1
SS
MS
b ( yi. y.. )2 Ti.2 / b C
a ( y. j y.. )2
T.
2 j
/
a
C
MS A MS B
( y yi. y. j y.. )2 SST SSA SSB MSe
差异显著性
0.05
0.01
a
A
b
B
b
B
c
C
c
C
c
C
c
C
c
C
c
C
(2)各肥类平均数的比较
SE MSe bn 0.9283 3 0.32(g)
p
SSR 0.05 SSR 0.01 LSR 0.05 LSR 0.01
2
2.97
4.07
0.95
1.30 (dfe = 18)
3
3.12
4.27
F
混合模型EMS
(A固定，B随机)
MS A MS e
2
b
2 A
MS B
2
a
2 B
MS e
2
( yij y.. )2 y2 C
SSt = SSA + SSB DFt = DFA + DFB
注意：这种类型资料，其误差项是误差与 互作的混合项。因此只有AB不存在互作时， 才能正确估计误差。另外，为提高试验的 精确性。误差自由度不能小于12。
Tc
174 177 176 174 181 T=882
医学统计学--方差分析
笃学
精业
修德
6
厚生
2）组间变异
各处理组间的均数大小也不同，这种变异称 为组间变异。其大小可用组间均数与总均数的 离均差平方和表示：
k
SS组间 ni(xi x)2 i1
自由度 组间k1
笃学
精业
修德
7
厚生
3）组内变异 各处理组内部观察值也大小不等，这种变异称
为组内变异。其大小可用个体观察值与组均数的
பைடு நூலகம்i1 j1
i1 j1
k
k ni
ni(xi x)2
(xij xi)2
i1
i1 j1
ss组间ss组内
总 = N-1= (k-1)+(N-k) = 组间＋组内
笃学
精业
修德
9
厚生
通过上述分解可以看出，方差分析的基本思想 就是根据资料的设计类型，将全部观测值的总 变异按影响结果的诸因素分解为相应的若干部 分变异，构造出反映各部分变异作用的统计量， 在此基础上，构建假设检验统计量，以实现对 总体参数的推断。
=0.05
（2） 计算检验统计量F值； （3） 查F界值表、确定P值并作出推断结果。
笃学
精业
修德
16
厚生
第二节 完全随机设计的方差分析
完全随机设计（completely random design） 不考虑个体差异的影响，仅涉及一个处理因素， 所以亦称单因素实验设计或单因素方差分析 (one-way ANOVA)。在实验研究中按随机化原 则将受试对象随机分配到一个处理因素的多个 水平中去，然后观察各组的试验效应；
笃学
精业
修德
11
厚生
F MS 组间 MS 组内
统计学第四章多个样本均数比较的方差分析
2
72.46
2.98
>0.05
区组间
2376.38
7
339.48
13.96
<0.01
误差
340.54
14
24.32总Βιβλιοθήκη 2861.8423
F0.01（7，14）=4.28， P<0.01。可认为8个区组的小白鼠体重增量有差别，即遗传因素对小白鼠体重增量有影响（但一般更关注处理组间差别的假设检验）。
02
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请言简意赅地阐述您的观点。
第四章 多个样本均数比较的 方差分析
单击此处添加副标题
202X
方差分析
01.
方差分析的基本思想
单击此处添加正文
03.
随机区组设计的两因素方差分析
单击此处添加正文
05.
多个样本均数间的多重比较
单击此处添加正文
02.
完全随机设计的单因素
阶段
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
I
B
B
A
B
A
A
A
A
B
B
B
A
3.07
1.33
4.44
1.87
3.20
3.73
4.13
1.07
1.07
2.27
3.47
2.40
II
A
A
B
A
B
B
B
B
A
A
A
B
2.80
1.47
3.73
3.60
2.67
1.60
72.46
2.98
>0.05
区组间
2376.38
7
339.48
13.96
<0.01
误差
340.54
14
24.32总Βιβλιοθήκη 2861.8423
F0.01（7，14）=4.28， P<0.01。可认为8个区组的小白鼠体重增量有差别，即遗传因素对小白鼠体重增量有影响（但一般更关注处理组间差别的假设检验）。
02
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第四章 多个样本均数比较的 方差分析
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202X
方差分析
01.
方差分析的基本思想
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03.
随机区组设计的两因素方差分析
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05.
多个样本均数间的多重比较
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02.
完全随机设计的单因素
阶段
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
I
B
B
A
B
A
A
A
A
B
B
B
A
3.07
1.33
4.44
1.87
3.20
3.73
4.13
1.07
1.07
2.27
3.47
2.40
II
A
A
B
A
B
B
B
B
A
A
A
B
2.80
1.47
3.73
3.60
2.67
1.60
正交检验的极差分析和方差分析讲课讲稿
ˆ Y , ˆi Y(i4-9Y), ˆi2 参数点估计
按照上述原则求参数估计量的方法称为最小二
乘法,
,
i称,为最i 小二乘估计量.
我们还可以证明 , i分, 别i 是参数
量。
的,无i ,偏i估计
将和 分i 别用它们的估计量代替,可以得到试验 误差 的 ij估计量 , e ij
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
由
解得 由
解得
S 2 (Y i j) i0
ˆ 1 km
Yij (4Y-7)
S
i
m
2 (Yij
j1
i)0
ˆi
1m mj1Yij
Y(4i-8Y)
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
并由此得 的i 估计量
ˆi ˆˆi Yi
至此,求得参数 ,的i ,估i计量
F型
9.3
8.7
7.2
10.1
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
研究的指标:维修时间记作Y, Y~N(,2)
控制因素是生产线的型号,分为6个水平即A,
B,C,D,E,F，每个水平对应一个总体Yi(i=1,2,…,
6)。
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
现在的试验就是进行调查,每种型号调查4台,相当于
第四章 方差分析
4.2 单因素试验的方差分析
➢ 数学模型和数据结构 ➢ 参数点估计 ➢ 分解定理 自由度 ➢ 显著性检验 ➢ 多重分布与区间估计
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
在单因素试验中,为了考察因素A的k个水平A1, A2,…,Ak对Y的影响(如k种型号对维修时间的影响), 设想在固定的条件Ai下作试验.所有可能的试验结果 组成一个总体Yi,它是一个随机变量.可以把它分解为
按照上述原则求参数估计量的方法称为最小二
乘法,
,
i称,为最i 小二乘估计量.
我们还可以证明 , i分, 别i 是参数
量。
的,无i ,偏i估计
将和 分i 别用它们的估计量代替,可以得到试验 误差 的 ij估计量 , e ij
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
由
解得 由
解得
S 2 (Y i j) i0
ˆ 1 km
Yij (4Y-7)
S
i
m
2 (Yij
j1
i)0
ˆi
1m mj1Yij
Y(4i-8Y)
第四章 方差分析
4.2.2 参数点估计
并由此得 的i 估计量
ˆi ˆˆi Yi
至此,求得参数 ,的i ,估i计量
F型
9.3
8.7
7.2
10.1
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
研究的指标:维修时间记作Y, Y~N(,2)
控制因素是生产线的型号,分为6个水平即A,
B,C,D,E,F，每个水平对应一个总体Yi(i=1,2,…,
6)。
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
现在的试验就是进行调查,每种型号调查4台,相当于
第四章 方差分析
4.2 单因素试验的方差分析
➢ 数学模型和数据结构 ➢ 参数点估计 ➢ 分解定理 自由度 ➢ 显著性检验 ➢ 多重分布与区间估计
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
在单因素试验中,为了考察因素A的k个水平A1, A2,…,Ak对Y的影响(如k种型号对维修时间的影响), 设想在固定的条件Ai下作试验.所有可能的试验结果 组成一个总体Yi,它是一个随机变量.可以把它分解为
第四章 方差分析(二)
2.2 双因素方差分析
结果及解释 表4 显示，( 1）第一均衡子集（Subset = l 栏中）包含：
第二组（b = 2 ）、第三组（b = 3 ）和第四组（b = 4 ) ，它们的均数分别为47.67 、48.33 和53.00 。 三组均数比较的概率为0.070 。按0 . 05 检验水准， 接受无效假设，可认为工人2 、工人3 和工人4 日产量 的均数之间无明显差异。 ( 2 ）第二均衡子集（Subset = 2 栏中）包含：第四组 （b = 4 ）、和第一组（b = l ) ，它们的均数分别为 53 . 00 和55 . 00 。三组均数比较的概率为0.335 。 按0.05 检验水准，接受无效假设，可认为工人4 和工 人l 日产量的均数之间无明显差异。 ( 3 ）第一组（b =1）和第二、三、四（b = 2 、3 、 4 ）未列在均衡子集表的同一格子中，可以认为它们均 数并非均衡，而是存在显著差异。
2.2 双因素方差分析
结果及解释 表1显示( 1）分组变量a 有3个水平，即：机器A 、B、C ，每个水平有4例。( 2 ） 分组变量b 有四个水平，即：工人1 、2 、3 、4 ，每个水平有3 例。 表2 显示，( l ）因素a：F ＝均方a 因素／均方残差＝29.102 , P = 0.001 ，按住0.05 检验水准，拒绝无效假设，可认为机器之间差异显著，各机器间的日产量全 不等或不全等。 2 ）因素b：F ＝均方b 因素／均方残差＝6.985 , P = 0. 022 ， 按0.05 检验水准，拒绝无效假设，可认为工人之间差异显著，各工人间的日 产量全不等或不全等。
2.2 双因素方差分析
双因素方差分析的示例-双因素重复试验的方差分析
例4 设A , B , C共3 台机器生产同一产品，4 名工人机器A , B , C 都两天， 得日产量数据如表。
第四章 方差检验
i 1 j 1
ij
各处理组均数为
X i X ij / ni
j 1
ni
总例数为N＝nl+n2+…+ng， g为处理组数。
1．总变异 全部测量值大小不同，这种变异称 为总变异。 总变异的大小可以用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示， 即各测量值Xij与总均数差值的平方和，记为SS 总。 总变异SS总反映了所有测量值之间总的变异程 度
g 个处理组的试验结果
处理分 组 1 水平 2 水平 … g 水平 测量值 统计量 … …
X 1n1 X 2n2
X11 X21 Xg1
…
X12 X22 Xg2
…
… … …
X1j X2j
…
n1 n2
…
X1 X2
S1 S2
…
… Xgj
……Leabharlann …X gngng
…
Xg
Sg
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根据数 据的分布特征选择方法，对于正态分布且方差齐 同的资料，常采用完全随机设计的单因素方差分 析(one-way ANOVA)或成组资料的 t 检验（ g=2）； 对于非正态分布或方差不齐的资料，可进行数据 变换或采用Wilcoxon秩和检验。 g ni 记总均数为 X X /N
主要内容
第一节 方差分析的基本概念
第二节 完全随机设计的单因素方差分析
第三节 随机区组设计的两因素方差分析
第四节 多个样本均数间的多重比较
第一节 方差分析的基本概念
一、方差分析的几个名词 什么是方差？ 离均差 离均差平方和SS 方差（2 S2 ）均方（MS） 标准差：S 自由度： 关系： MS= SS/
第四章方差分析2
H A0 : µ1 = µ2 = L = µr ; H A1 : 至少存在一对µi ≠ µ j ,
1 s 1 设 : x i ⋅ = ∑ x ij , ( i = 1, 2, L , r ), x ⋅ j = s j =1 r 1 x = rs
H B 0 : µ1 = µ 2 = L = µr ; H B1 : 至少存在一对µi ≠ µ j ,
Y i ~ N ( µ i , σ 2 ), ( i = 1, 2 , L , r ), 且 相 互 独 立 , y ij 是 Y ij的 样 本 值 , 在 同 一 Y i 下 , 样 本 Y ij ~ N ( µ i , σ 2 )( j = 1, 2 , L , n i ) 也 相 互 独 立 ,
∴ µ i的 1 − α 置 信 区 间 为 : Yi ⋅ − tα / 2 ( n − r )
2 SE , Yi ⋅ + tα / 2 ( n − r ) ni ( n − r ) 2 SE ni ( n − r )
9
结束
就例1而言 就例 而言, 而言
αˆ 1 = y 1 ⋅ − y = 1 7 3 . 5 − 1 9 0 . 3 3 = − 1 6 . 8 3 , αˆ 2 = y 2 ⋅ − y = 1 8 7 . 7 5 − 1 9 0 . 3 3 = − 2 . 5 8 , αˆ 3 = y 3 ⋅ − y = 2 0 9 . 7 5 − 1 9 0 . 3 3 = 1 9 . 4 2 .
2 A
2 A
( r − 1) , S = S
2 E
2 E
2 SA ( n − r ) , F = 2 ~ F ( r − 1, n − r ). SE
6
第4章方差分析幻灯片资料
第四章 方差分析
analysis of variance ANOVA
温州医学院环境与公共卫生学院 叶晓蕾
多个样本均数比较的方差分析
完全随机设计资料 随机区组设计资料 拉丁方设计资料 交叉设计资料
多因素试验的方差分析
析因设计 正交设计 嵌套设计 裂区设计
重复测量设计的方差分析
yexiaolei
20
随机区组设计方差分析中由于从总变异中多 分离出区组间变异，排除了大鼠间因年龄、体 重不同等的影响，使误差更能反应随机误差的 大小，因而提高了研究的效率。
yexiaolei
21
随机区组设计资料方差分析的计算
C g
n
Xij
2
N
i1 j1
yexiaolei
22
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比 较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15 只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5个区组，每个 区组内3只小白鼠随机接受三种抗癌药物,以肉瘤 的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？
Tot本al例SPS2S2演71示.810
18 41.556 20
P.57 例4-2
yexiaolei
17
三.随机区组设计的方差分析
——两因素方差分析（two-way ANOVA)
随机区组设计=配伍组设计=两因素设计(无重复观察)
例： 本方案是将受试对象按性质(如动物的性别、
体重，病人的病情、性别、年龄等非实验因素)相 同或相近配成区组（block)，每个区组中的g个受 试对象分别随机分配到g个处理组中去。
ij
ni
2
SS组
间
g i1
Xij
analysis of variance ANOVA
温州医学院环境与公共卫生学院 叶晓蕾
多个样本均数比较的方差分析
完全随机设计资料 随机区组设计资料 拉丁方设计资料 交叉设计资料
多因素试验的方差分析
析因设计 正交设计 嵌套设计 裂区设计
重复测量设计的方差分析
yexiaolei
20
随机区组设计方差分析中由于从总变异中多 分离出区组间变异，排除了大鼠间因年龄、体 重不同等的影响，使误差更能反应随机误差的 大小，因而提高了研究的效率。
yexiaolei
21
随机区组设计资料方差分析的计算
C g
n
Xij
2
N
i1 j1
yexiaolei
22
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比 较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15 只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5个区组，每个 区组内3只小白鼠随机接受三种抗癌药物,以肉瘤 的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？
Tot本al例SPS2S2演71示.810
18 41.556 20
P.57 例4-2
yexiaolei
17
三.随机区组设计的方差分析
——两因素方差分析（two-way ANOVA)
随机区组设计=配伍组设计=两因素设计(无重复观察)
例： 本方案是将受试对象按性质(如动物的性别、
体重，病人的病情、性别、年龄等非实验因素)相 同或相近配成区组（block)，每个区组中的g个受 试对象分别随机分配到g个处理组中去。
ij
ni
2
SS组
间
g i1
Xij
第4章 方差分析
4/46
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
方差分析基本思想：
方差分析，是按变异的不同来源，将全部观察值总的
离均差平方和和自由度分解为两个或多个部分，除随机误 差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用加以解释， 通过比较不同来源变异的均方（MS），借助F分布做出统 计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。
1 k i , i i k i 1
xij i ij
（4-1）
若令
则（4-1）式可以改写为
xij i ij
（4-2）
其中， 为全试验观测值总体平均数； 显然有
i 是第i个处理的效应，表示处理i对试验结果产生的影响。
i 1
k
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单 2.
随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为
xi
x
j 1
ni
ij
ni
(i 1,2,, k )
18/46
式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
12/46
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
三、问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用 1 , 2, , k 表示 2. 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提 出如下假设： H0 ： 1 2 … k H1 ： 1 , 2 , ，k 不全相等
2. 3. 4.
差平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组 间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为
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方差分析基本思想：
方差分析，是按变异的不同来源，将全部观察值总的
离均差平方和和自由度分解为两个或多个部分，除随机误 差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用加以解释， 通过比较不同来源变异的均方（MS），借助F分布做出统 计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。
1 k i , i i k i 1
xij i ij
（4-1）
若令
则（4-1）式可以改写为
xij i ij
（4-2）
其中， 为全试验观测值总体平均数； 显然有
i 是第i个处理的效应，表示处理i对试验结果产生的影响。
i 1
k
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单 2.
随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为
xi
x
j 1
ni
ij
ni
(i 1,2,, k )
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式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
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三、问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用 1 , 2, , k 表示 2. 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提 出如下假设： H0 ： 1 2 … k H1 ： 1 , 2 , ，k 不全相等
2. 3. 4.
差平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组 间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为
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Between-Subj ects Factors
机器
1
因子
2
3
工人
1
因子
2
3
4
N 4 4 4 3 3 3
3
Tes ts of Be tw ee n-Subjects Effe cts
Dependent Variable: 日 产 量
Type III Sum
Sourc e
of Squares
Corrected Model 433.167a
第四章方差分析二
第四章方差分析二
2.2 双因素方差分析
双因素方差分析的示例-双因素不重复试验的方差分析 例3 设A , B , C共3 台机器生产同一产品，4 名工人操作机器A , B , C 各一天，得
日产量数据如表。以x 存放日产量数据，引入两个分组变量a , b 分别标识不同 机器和不同工人。对于变量a ，取值为“1”、“2 ”、“3 ”时分别标识机器A 、B 、 C ；变量b 取值为“1 ”、“2” 、“3”、“4”分别标识工人1、2 、3 、4 。建立SPSS 数据文件。
11
a. R Squared = .930 (Adjusted R Squared = .871)
Sig. .002 .000 .001 .022
2.2 双因素方差分析
结果及解释
表3(1）由于本例是无重复数设计，
日 产量
不能求出每个格子的方差，故不
Student-Newman-Keuls a,b
能计算方差的齐次性，这里，仅 机 器因 子
对于双因素重复试验数据的方差分析主要解决三个假设的检验问题。将 数据的总平方和分成两个因素的离差平方和、交互效应的平方和n 及 误差平方和：S 总＝ SA + SB + SAB Se。，其中SA , SB 刻划因素的主 效应，SAB 刻划因素的交互效应，Se刻划随机误差的效应，然后用 适当的F 统计量进行检验。相应的，自由度有关系： f 总＝fA＋fB＋ fAB +fe 。＋fe 。
第四章 方差分析（二）
第四章方差分析二
2.2 双因素方差分析
• 双因素方差分析的基本思路是：如果某 一因素的凡个因素的凡个水平会引起事 物的结果很不同的话，这个因素就很重 要的；反之，若一因素的凡个水平只是 导致事物的结果相近的话，这个因素就 是不重要的。
• 双因素方差分析又分为双因素不重复试 验的方差分析和双因素重复试验的方差 分析。
第四章方差分析二
2.2 双因素方差分析
（1）双因素不重复试验的方差分析。 A , B 的作用可以形象的称为“行作用”和“列作用”。检验方法与在单因素
试验数据的方差分析中所采用的方法类似，就是将数据的总平方和分 成两个因素的离差平方和及误差平方和：S总＝SA + SB + Se。，其中 SA , SB 刻划因素的主效应， Se刻划随机误差的效应，然后用适当的F 统计量进行检验。相应的自由度有关系：f 总＝fA＋fB＋fe 。
b. Alpha = .05.
概率P = 0.079 ，按0 05 检验
水准，接受无效假设，可认为机
器C 和A 日产量的均数之间无明
显差异。而机器B 与它们的第差四章异方差分析二
2.2 双因素方差分析
结果及解释
表4 显示，( 1）第一均衡子集（Subset = l 栏中）包含：
第二组（b = 2 ）、第三组（b = 3 ）和第四组（b = 4 ) ，它们的均数分别为47.67 、48.33 和53.00 。 三组均数比较的概率为0.070 。按0 . 05 检验水准， 接受无效假设，可认为工人2 、工人3 和工人4 日产量 的均数之间无明显差异。
选择S–N-K 法，进行均数之间的 3
两两比较。（2）在均衡子集表中，
1 2
N 4 4 4
Subs et
1
2
45.7500
49.2500
58.0000
第一均衡子集（Subset =1栏） 包含：第三组（a = 3 ）和第一 组（a = 1 ) , 它们的均数分别为 45.75 和49.25 ，两均数比较的
df
Mean Square
5
86.633ຫໍສະໝຸດ F 15.831Intercept
31212.000
1 31212.000 5703.716
a
318.500
2
159.250 29.102
b
114.667
3
38.222
6.985
Error
32.833
6
5.472
Total
31678.000
12
Correcte第d T四ot章al 方差4分66析.0二00
第四章方差分析二
2.2 双因素方差分析
（2）双因素重复试验的方差分析。
在双因素不重复试验的方差分析中，假定两因素的联合影响是各因素影 响的迭加（即具有可加性） ，在实际问题中，往往两因素之间会有 交互作用。如第I 台机器和第J 个人的搭配会使日产量特别高（或特 别低），某人特别适合（或不适合）在某台机器上操作。又如，在研 究种子和肥料对作物收获量的影响时，分别使亩产量达到最高的种子 品种和肥料种类搭配在一起，可能会使亩产量大幅度提高，也可能使 亩产量下降。
Sig.
.079
1.000
Means for groups in homogeneous subsets are display ed. Based on Ty pe III Sum of Squares The error term is Mean Square(Error) = 5.472.
a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 4.000.
第四章方差分析二
第四章方差分析二
第四章方差分析二
第四章方差分析二
2.2 双因素方差分析
结果及解释
表1显示( 1）分组变量a 有3个水平，即：机器A 、B、C ，每个水平有4例。( 2 ） 分组变量b 有四个水平，即：工人1 、2 、3 、4 ，每个水平有3 例。
表2 显示，( l ）因素a：F ＝均方a 因素／均方残差＝29.102 , P = 0.001 ，按住0.05 检验水准，拒绝无效假设，可认为机器之间差异显著，各机器间的日产量全 不等或不全等。 2 ）因素b：F ＝均方b 因素／均方残差＝6.985 , P = 0. 022 ， 按0.05 检验水准，拒绝无效假设，可认为工人之间差异显著，各工人间的日 产量全不等或不全等。