简单几何体的表面展开图

1 2
2r
l.
A
= rl
全面积公式为：
S全 S侧 S底
= πrl ＋πr 2
P
l 2r
hl Or B
例1、根据圆锥的下列条件， 求它的侧面积和全面积
（1） r=12cm, l=20cm
l
（2） h=12cm， r=5cm
图 23.3.6
若设圆锥的筹码展开图扇形的圆心角
为 ，
S側= 150πcm2，S全= 250πcm2.
2.一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角 为240°的扇形.求这个圆锥的底面半径. 12cm
3.将半径为30cm的圆形铁皮剪成三个全等的扇
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形,用来做三个无底的圆锥形筒,则圆锥形筒的
高是少(不计接头) ?
设圆锥底面半径为r,则 2r 1 2 30
l
图 23.3.6
动一动：
1．准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的 表面展开图．
图 23.3.6
圆锥及侧面与展开图的相关概念
问题: 1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得 到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么 关系？
图 23.3.7
又是侧面展开 既是圆的周长 图扇形的弧长
问题: 2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇 形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
图 23.3.7
既是圆锥的母线 又是侧面展开图扇 形的半径
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周 长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面 积.
圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
P
l h
A
Or B
圆锥的侧面积和全面积
如图:设圆锥的母线长为a,底面 半径为r.则圆锥的侧面积
公式为：
S侧
B
O
C
已知一个圆锥的轴截面△ABC是等边三角形，它的表面
积为75 cm2,求这个圆锥的底面半径和母线的长.
解：∵轴截面△ABC是等边三角形
∴AC=2OC 由题意，得
A
OC AC OC2 75
3 OC2 75
OC2 25
OC 0
OC 5(cm)
S側= 240πcm2，S全= 384πcm2.
2.如图为一个圆锥的三视图.以相同的大小 比例画出它的表面展开图.
由已知三视图， 得r ＝ 120mm,
l ＝ 1602 +1202 ＝200(mm)
r 360 120 360 216
l
200
1.已知圆锥的底面半径为10cm,母线长为15cm. 求这个圆锥的侧面积和全面积.
简单几何体的表面展开图
九年级下册
圆锥的侧面积和全面积
试一试：以直角三角形一条直角边所在 的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面 所围成的几何体是……？
圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直 侧 面 角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周
而成的面所围成的几何体.
斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面
母线
无论转到什么位置，这条斜边都叫做 圆锥的母线
的扇形圆心角为
h
l
r
r 3600 70 3600 3150
l
80
按1:40的比例画出这个烟囱 帽的展开图如图3-55
童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其 圆锥形帽身的母线长为15cm，底面半径为5cm， 生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算 至少需多少平方米的材料吗（不计接缝用料和 余料，π取3.14 ）？
若沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC 上中点D,问它爬行的最短路线是多少？
解： 将 圆 锥 沿AB展 开 成 扇 形ABB，
则 点C是BB的 中 点 ， 过 点B作BD AC，
垂 足 为D.连 接BC
D
BAB r 360 120 l
BAC 60
AB AC
∴ r l2 h2 802 38.72 70(cm)
∴S侧= rl
= ×70×80 1.8104 (cm2 )
答：烟囱帽的面积约 1.8104 cm2

hl r
例2.圆锥形烟囱帽（图3-54）的母线长为80cm，高为38.7cm.
（2）以1:40的比例画 出这个烟囱帽的展开图 解：烟囱帽的展开图
所以所求表面积为
S 10 5 5 2 10 15 102
（400 50 5）
圆锥的轴截面
一个圆锥形的零件, 经过轴的剖面是一个等
腰三角形, 这个三角形就叫做圆锥的轴截面；
它的腰长等于圆锥的母线长, 底边长等于圆锥
底面的直径.
A
如△ABC就是圆锥的轴截面
S轴截面=h×2r÷2=rh
由已知侧面展开图,得 r ×360 ＝ 270,解得r ＝225(cm).
所30求0 三视图如图,比例 1:10
6.如图,在四边形ABCD中,BC＝CD＝10,AB＝ 15,AB⊥BC,CD⊥BC.把四边形ABCD绕直线 CD旋转一周,求所得几何体的表面积.
四边形ABCD绕直线CD旋转一周的表面积为一个圆 锥、一个圆柱的侧面积与这个圆柱下底面积的和, 其中圆锥母线长为（15-10）2 102 5 5
得r ＝ 10(cm).
3
在圆锥的轴截面中,由勾股定理,知
h 302 102 20 2(cm)
4.已知圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面圆心的 截面)是边长为6cm的正三角形.求圆锥的高和 侧面积,并以1:2的比例画出圆锥的表面展开图?
h 3 3cm, S侧 18cm2
5.如图为一个圆锥的侧面展 开图.以1:10的比例画出它的 三视图.
则由 l 2r
180
得到圆锥的侧面展开图扇形的圆 心角度数的计算公式：
r 3600
l A
P )θ
l 2r
hl
O r
B
例2.圆锥形烟囱帽的母线长为80cm，高为 38.7cm. （1）求这个烟囱帽的面积（精确到10 3 c㎡)。
解：（1）∵l=80cm,h=38.7cm,
另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的 底面
圆锥相关概念
高 连结顶点与底面圆心的线段
叫做圆锥的高
h al
问题：
母线 圆锥的母线有几条？
r 圆锥底面圆周上的任意一点
与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线
用平行于圆锥底面的平面去 截圆锥，得到的截面是圆，在 不同位置所截得的圆的半径， 与底面半径均不等。
用过圆锥的高线的平面截圆 锥，得到的截面（圆锥的轴 截面）是等腰三角形 它的底边是圆锥底面的直径 底边上的高线就是圆锥的高线
注意：1、认清直径还是半径 2公式中的l表示母线
解:∵ l=15cm,r =5cm,
∴S 侧 =πrl 3.14×15×5 = 235.5（cm 2 )
235.5×10000= 2355000 （cm 2 )
答：至少需 235.5 平方米的材料.
1.已知圆锥的底面半径为12cm,母线长为 20cm.求这个圆锥的侧面积和全面积.
1.连结顶点与底面圆心 的线段叫做圆锥的高 P
如图中l是圆锥的一条母线，
而h就是圆锥的高
hl
2.圆锥的底面半径、 A
高线、母线长三者之间
Or B
间的关系: l 2 h2 r 2
填空: 根据下列条件求值（其中r、h、l 分别
是圆锥的底面半径、高线、母线长）
（1） l = 2，r=1 则 h=___3____ (2) h =3, r=4 则 l =___5____ (3) l = 10, h = 8 则r=___6____
C
B
O
AC 2OC 25 10(cm)
答：圆锥的底面半径为5cm，母线长为10cm.
合作探究、如图，圆锥的底面半径为1，母
线长为3，一只小虫要从底面圆周上一点B出发， 沿圆锥侧面回到B点，问它爬行的最短路线是 多少？
若沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线 AC上中点D,问它爬行的最短路线是多少？
ABC是 等 边 三 角 形
D为AC的 中 点
在RtABC中， BAD 60, AB 3
BD 3 3 2
答： 它 爬 行 的 最 短 路 线 是3 3.
2
回顾与 思考
本节课我们有什么收获?
本节课我们认识了圆锥的侧面展开 图,学会计算圆锥的侧面积和全面积, 在认识圆锥的侧面积展开图时,应知 道圆锥的底面周长就是其侧面展开图 扇形的弧长.圆锥的母线就是其侧面 展开图扇形的半径,这样在计算侧面 积和全面积时才能做到熟练、准确.