清华大学流体力学课件气体动力学基础

运动方程
t
D
Vd
D
fd
TndA
VV
理想常比热完全气体定常绝热的连续流动中沿流线熵不变。
理想常比热完全气体定常绝热的连续流动中沿流线总焓不变。
1V 2
2
1来自百度文库
p
1V2 2
a2
1
1V2 2
i
1V 2
2
CpT
i0
Crocco定理：
理想气体定常绝热流动中，若质量力可略，在全流场成立：
Ω V Ts i0
定义：熵值处处相等的流场称为均熵流场；总焓处处相等的流场称为均焓流场。
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
16
§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
二、理想常比热完全气体沿流线的等熵关系式
1、滞止参数（驻点参数） 流体质点由状态 p, , T, i, V 定常等熵地滞止到 速度等于零时的状态参数，称为滞止参数。
p0 , 0 , T0 , i0
定常等熵关系式
T T0
1
2
1
M
2
1
0
1
2
1
M
2
1 1
p p0
1
1 2
M
2
1
说明：滞止参数为空间点上的参数，非均匀流各点滞止参数不同； 理想常比热完全气体定常等熵流沿流线滞止参数相同； 滞止参数与参考坐标系有关。
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
17
§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
例： 1.4的气体从很大容器上的小孔流出，已知容器内压力
p RT
ln p ln ln R ln T
s Cv ln p Cv ln p ln R ln T Cv (1 ) ln p Cp ln R Cp ln T
s
Cv
(1
)
1 p
p
Cp
1 T
T
T
s
Cv
(1
)
T p
p
C
pT
Cv
(1
)
1
R
p
C
pT
1 p i
1 p Ts i
2at
at
3at
V t
V 0, M 0
V a, M 1
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
12
§6.1 基本方程和基本概念
3at V t
V a, M 1
2017年春-本科生-流体力学
V a, M 1
马赫锥 马赫角：马赫锥顶角的一半
sin
1
1 M
气体动力学基础
13
§6.1 基本方程和基本概念
连续方程： 运动方程： 能量方程：
V V
t
V V V 1 p
t
t
p
V
p
0
未知量：5个标量
p, , V
封闭方程组！
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
5
§6.1 基本方程和基本概念
二、声速与马赫数
1、声波 - 微小扰动在理想完全气体中的传播(绝热)
U t
ux,t
p 1 p0
1 0
u 1
p0 / 0
c0
p0 / 0
p p0 p*
0 *
u c0u*
x Lx*
t L t* c0
u u u 1 p
u u u 1 p
t x x
t
x 0 x
u* c0 u* u* c0 c0
1
p* p0
t* L / c0
x* L
推论：轴对称或平面流动中均熵均焓场必无旋 ； 定常三维理想气体的均焓无旋流动必均熵，均熵无旋流动必均焓； 定常三维理想气体非均焓的均熵流动必有旋，非均熵的均焓流动必有旋。
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
15
§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
s
Cv
ln
p
Cv ln p Cv ln
和温度为 p0 1.5Pa ，T0 293K ，容器外环境压力 pb 1Pa
求气流出口处速度
p p0
1
1 2
M
2
1
p0 1.5Pa T0 293K
T T0
1
2
1
M
2
1
pb 1Pa V ?
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
第13周五 18
§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
2、临界参数
流体质点的状态参数 p, , T , i, V 经历定常等熵
过程变化到声速状态(
时的参数，称为临界参数。
p*, *, T *, a*, V *
临界参数与滞止参数的关系
T T0
1
2
1
M
2
1
0
1
1 2
M
2
1 1
T* 2
T0 1
1
* 0
2 1
1
p p0
1
1 2
M
2
1
p p0 p x,t 0 x,t
a p0
0
原静止无穷长等截面直管道中气体的波动
是一维非定常可压缩问题 p p x,t , x,t , u u x,t
初始是静止状态 p p0 , 0 , u 0
扰动量是小量
p x,t p0 p x,t ,
p 1 p0
不可压缩流体 a
常比热完全气体： p C dp p RT d
a p RT
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
11
§6.1 基本方程和基本概念
2、马赫数
定义：流体速度与当地声速之比，称为马赫数。
M V a
物理意义：惯性力 / 压强合力，动能 / 内能 流动的分类：亚声速(M<1)，跨声速(M~1)，超声速(M>1)，高超声速(M>>1) 超声速流动和亚声速流动的主要差别：影响域和依赖域不同
扰动的传播速度：声速
a0
dp
d
S0
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
10
§6.1 基本方程和基本概念
声速定义：
dp
d
S
a2
几点说明：
声速是状态参数，声波的传播是等熵过程（理想、绝热）；
在匀速运动的惯性坐标系中，声速仍为 a dp d s
在不均匀气流中，每个点上流动参数不同，声速也不同； 声速与流体的压缩性： 压缩性越强声速越小
依赖域：影响空间某点流动的区域称为该点的依赖域。
M 1
依赖域
影响域
P
超音速气流中 P 点的影响域和依赖域
亚音速：椭圆型方程，必须给出全部的边界条件 超音速：双曲型方程，只需给出上游边界的条件
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
14
§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
一、完全气体等熵流动的基本性质和Crocco定理
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
24
§6.3 激波理论
Symmetric shock waves on a wedge. Air flow at M=1.45 over a wedge-plate of 10 degree semi-vertex angle.
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
25
§6.3 激波理论
Sphere at M=1.53. A shadowgraph catches a ½-inch sphere In free flight through air.
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
26
§6.3 激波理论
F-18 Fighter
B1 Bomber
4、最大速度 理想常比热完全气体定常流动，流体质点等熵地加速到 p 0 或 T 0 或 i 0 时的速度，称为最大速度。
Vmax
2CpT0
2 1 RT0
最大速度是假想的参数，用于定性分析问题： 理想完全气体定常等熵过程参数变化范围
V 0,Vmax
2017年春-本科生-流体力学
M 0,
x,t 0 x,t ,
1 0
u x,t u x,t
u 1
p0 / 0
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
6
§6.1 基本方程和基本概念
p 1 p0
p p0 p* u 0
t x
线化 有量纲
形式
1 0 0 *
u 1
p0 / 0 u c0u*
常比热完全气体：
状态方程 p RT
内能 e CV T
焓 熵 气体常数
i CPT
s
CV
ln
p
R CP CV
绝热指数（比热比） CP / CV
空气：
R 287 Nm kg K
1.4
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
4
§6.1 基本方程和基本概念
理想常比热完全气体绝热连续流动，不计质量力
t
0
u x
u
x
0
c0 p0 / 0
x Lx*
t L t* c0
*
t*
0
L / c0
0
u* x*
c0
L
*u*
x*
0 c0
L
0
* u* 2 *u* 0
t*
x*
x*
* u* 0
t* x*
t
0
u x
0
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
7
§6.1 基本方程和基本概念
0 *0 x* L
u* 2u* u* p*
t*
x* 1 * x*
线化
u* p*
t*
x*
有量纲 形式
u 1 p
t 0 x
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
8
§6.1 基本方程和基本概念
t
u
x
0
u
t
u
u x
1
p x
p C
线化
t
0
u x
0
u
t
1
0
p x
气体动力学基础
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
1
第六章 气体动力学基础
压缩性的影响：
2%
~
5%
气体动力学：可压缩流体动力学 包括：高速气体动力学， 气体波动力学， 高温气体力学等
热力学过程和动力学过程相耦合
本章：理想完全气体动力学
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
2
基本内容
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
9
§6.1 基本方程和基本概念
方程的解是两族简单波的叠加
右传波 f x a0t ：函数 f 沿 x a0t C 不变， 左传波 f x a0t ：函数 f 沿 x a0t C 不变，
dx dt
a0
dx dt
a0
u f x a0t f x a0t
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
27
§6.3 激波理论
2、驻正激波前后物理量之间的关系式 – 激波的简化模型 激波是流动物理量的间断面，气流穿过激波的 过程是绝热过程
– 正激波与斜激波 与气流速度垂直的物理量间断面为正激波
– 驻激波与运动激波 相对于选定的坐标系静止的激波为驻激波
2017年春-本科生-流体力学
0,
1
1
空气 1.4 ： max 6
气体动力学基础
第12周四 22
§6.3 激波理论
1、正激波形成的物理过程
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
23
§6.3 激波理论
Brass bullet in supersonic flight through air.
By Ernst Mach in Prague in The winter of 1888.
1. 基本方程和基本概念 2. 完全气体等熵流动的主要性质 3. 激波理论 4. 超声速气体绕凸角流动 5. 完全气体在变截面绝热管内的准一维定常
流动
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
3
§6.1 基本方程和基本概念
一、理想完全气体模型和方程
理想流体：粘性系数 热传导系数 应力张量
0 0 Tij pij
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
M
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
20
§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
用速度系数表示的等熵关系式
T 1 12
T* 2
2
1
*
1
2
2
1
2
1
p p*
1
2
12
2
1
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
21
§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
气体动力学基础
28
§6.3 激波理论
连续方程
t
D
d
V
ndA
V ndA A1 V ndA A2 V ndA
1V1 A1 2V2 A2 0
1V1 2V2
A
A1 A2
V1
V2
波前 波后
A1 A2 A
D0 A1 A2
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
29
§6.3 激波理论
p* p0
2 1
1
说明：临界参数为空间点上的参数，非均匀流各点临界参数不同； 理想常比热完全气体定常等熵流沿流线临界参数相同； 临界参数与参考坐标系有关。
空气 1.4 ：T * / T0 0.833 * / 0 0.634 p* / p0 0.528
2017年春-本科生-流体力学
气体动力学基础
0
p
dp
d
S0
t
0
u x
0
u t
a02
1
0
x
0
a02
dp
d
S0
2u
t
2
a02
2u x2
0
2
t 2
a02
2
x2
0
2 p
t 2
a02
2 p x2
0
通解
u f x a0t f x a0t g x a0t g x a0t
p h x a0t h x a0t
19
§6.2 完全气体等熵流动的主要性质
3、速度系数 流体速度与当地的临界声速（或临界速度）之比
V V
a* V *
速度系数与马赫数的关系
M
2
1
1
1 2
M
2
1/ 2
M
2
1
1
12 1
1/ 2
2
M 0: 0
M 1: 1
M 1: 1
1
M 1: 1
M : 1 1
00