含有参数的函数最值问题导学案(1218)

五环学习法高中数学学科导学稿编写人：许鲔潮 审稿人：郭沂 编写时间：2015-12-11课题：含有参数的函数最值问题（人教A 版数学新课标教材必修1水平考试综合题复习）学习目标1.理解含参数的函数最值问题特征；2.通过含参数的函数最值问题的求解探究解题策略；3.培养学生分析解决水平考试综合问题的能力。

4.培养学生利用分类讨论、化归、数形结合、分离变量等数学思想与方法进行解题的意 识。

一．回忆旧知(本节课学习你可能要用到下面的知识)（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使得_________成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

（2）函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程 的________，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的______。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

（3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有___个交点，二次函数有______个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有______个零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴有______交点，二次函数有______零点。

（4）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。

即存在),(b a c ∈，使得______，这个c 也就是方程的根。

二．自主学习（自学复习下面内容，并完成下列问题） 1．复习《高中数学必修课程综合测评2015》，P4知识点23： 二次方程()()200f x ax bx c a =++=>实根分布及条件;2.复习《高中数学必修课程综合测评2015》，P7 ，练习15. 编号Sxbx10)(=x f三．合作探究新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，函数特别是含有参数的函数最值问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到函数性质、图象，渗透着分类讨论、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。

近五年的数学水平考试中的最后一题都是含有参数的函数问题（具体可见课后习题1-5），大多是已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。

其形式逐渐多样化，都和上述的知识与思想密不可分。

下面我们将上面自主学习第2题改编的得到如下题目，小组合作加以研究，找出尽量多的解法：例：己知函数()23,f x x ax a a R =++-∈.()1若()0f x ≥在x R ∈上恒成立，求a 的取值范围; ()2若()0f x ≥在[]1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围;小结一：几种常用的处理方法。

一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。

例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

解：根据题意得：21ax x+->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当2x =时，()max 2f x = 所以2a >在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若()()f a g x ≥恒成立，只须求出()max g x ，则()()max f a g x ≥，然后解不等式求出参数a 的取值范围；若()()f a g x ≤恒成立，只须求出()min g x ，则()()min f a g x ≤，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。

例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。

解：令2xt =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t+-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t+=在(]0,2t ∈上的最小值即可。

()22211111124t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()()min 324f t f ∴==234a a ∴-< 1322a ∴-<< 二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。

例3、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。

（1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73a ∴≤又4a >所以a 不存在；（2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫=-=--≥ ⎪⎝⎭62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤（3） 当22a-> 即：4a <-时，()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又4a <-74a ∴-≤<- 综上所得：72a -≤≤三、确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。

如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

例4、若不等式()2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。

解：设()()()2121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立，()()()()()()2221210202021210x x f f x x ⎧----<-<⎧⎪⎪∴∴⎨⎨<---<⎪⎪⎩⎩ 1713x -++<<四、利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。

例5、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。

解：1log 1a x -<<（1） 当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3113a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩3a ∴≥（2） 当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313a a⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤综上所得：103a <≤或3a ≥ 五、数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。

例6、若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立，求实数a 的取值范围。

解：由题意知：23log a x x <在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数23y x =和log a y x =观察两函数图象，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若1a >函数log a y x =的图象显然在函数23y x =图象的下方，所以不成立；当01a <<时，由图可知，log a y x =的图象必须过点11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或在这个点的上方，则，11log 33a≥ 127a ∴≥1127a ∴>≥ 综上得：1127a >≥上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。

四．展示评议五．反思拓展如果改为有解或有零点会有什么不同 六． 小结七．课后巩固1.(10-20)已知函数()213f x ax x a =+-+()a ∈R 在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围．2.(11-20) 已知113a ≤≤, 若函数()22f x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ,最小值为()N a ,令()()()g a M a N a =-.（1）求()g a 的表达式;（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解, 求实数t 的取值范围. 3.(12-20)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2.f x x x =-记下你的疑惑，写在下面：（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[],1a a +上的最大值。

4.(13-20)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2.f x x x =- （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[],1a a +上的最大值。

5.(14-20)已知a ∈R ，函数f （x ）=x|x ﹣a|．（1）当a=2时，求函数y=f （x ）的单调递增区间； （2）求函数g （x ）=f （x ）﹣1的零点个数．。