含有参数的函数最值问题导学案(1218)

五环学习法高中数学学科导学稿

编写人：许鲔潮 审稿人：郭沂 编写时间：2015-12-11

课题：含有参数的函数最值问题

（人教A 版数学新课标教材必修1水平考试综合题复习）

学习目标

1.理解含参数的函数最值问题特征；

2.通过含参数的函数最值问题的求解探究解题策略；

3.培养学生分析解决水平考试综合问题的能力。

4.培养学生利用分类讨论、化归、数形结合、分离变量等数学思想与方法进行解题的意 识。

一．回忆旧知(本节课学习你可能要用到下面的知识)

（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使得_________成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

（2）函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程 的________，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的______。即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

（3）二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的零点：

１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有___个交点，二次函数有______个零点；

２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有______个零点；

３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴有______交点，二次函数有______零点。

（4）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。即存在),(b a c ∈，使得______，这个c 也就是方程的根。

二．自主学习（自学复习下面内容，并完成下列问题） 1．复习《高中数学必修课程综合测评2015》，P4知识点23： 二次方程()()2

00f x ax bx c a =++=>实根分布及条件;

2.复习《高中数学必修课程综合测评2015》，P7 ，练习15. 编号

Sxbx1

0)(=x f

三．合作探究

新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，函数特别是含有参数的函数最值问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到函数性质、图象，渗透着分类讨论、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。近五年的数学水平考试中的最后一题都是含有参数的函数问题（具体可见课后习题1-5），大多是已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。其形式逐渐多样化，都和上述的知识与思想密不可分。

下面我们将上面自主学习第2题改编的得到如下题目，小组合作加以研究，找出尽量多的解法：

例：己知函数()2

3,f x x ax a a R =++-∈.

()1若()0f x ≥在x R ∈上恒成立，求a 的取值范围; ()2若()0f x ≥在[]1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围;

小结一：

几种常用的处理方法。 一、分离参数

在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。

例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫

=+- ⎪⎝⎭

，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。

解：根据题意得：21a

x x

+

->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：2

3a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，

设()2

3f x x x =-+，则()2

3924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝

⎭

当2x =时，()max 2f x = 所以2a >

在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不

等式的两边，即：若()()f a g x ≥恒成立，只须求出()max g x ，则()()max f a g x ≥，然后解不等式求出参数a 的取值范围；若()()f a g x ≤恒成立，只须求出()min g x ，则

()()min f a g x ≤，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。

例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()

21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x

t =，

(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221

t a a t

+-<

， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21

t f t t

+=

在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22

211111124t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

11,2t ⎡⎫

∈+∞⎪⎢⎣⎭

()()min 324f t f ∴==

2

34a a ∴-< 1322

a ∴-<< 二、分类讨论

在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。

例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2

3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

解：设()2

3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。

（1） 当22a -

<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 7

3

a ∴≤又4a >所以a 不存在；

（2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ⎛⎫

=-=--≥ ⎪⎝⎭

62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤

（3） 当22

a

-> 即：4a <-时，()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又

4a <-74a ∴-≤<- 综上所得：72a -≤≤

三、确定主元

在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。

例4、若不等式(

)

2

211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：设()()

()2

121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立，