《函数的单调性与讲义极值》课件2(北师大版选修2-2)82864

1 x x (1 x ) 2
x (1 x ) 2
0,
所 以 f ( x )在 区 间[0, )内 单 调 增 加 , 又 f (0 ) 0
因 此 ,当 x 0时 , 恒 有 f ( x) f (0),
即 ln (1 x ) x 1 x
二、函数的极值
定义:
在其中当
时,
(1)
则称 为 的极大点 ,
o
x
y
y x3
ox
确定函数的单调性的一般步骤：
1、确定函数的定义域； 2、求出使函数 f/(x ) 0 和 f/(x )不 存 在 的 点 ， 并以这些点为分界点，将定义域分成若干
个子区间；
3、确定f / ( x ) 在各个子区间的符号，从而 判断出f ( x ) 的单调性。
2
例 3 讨 论 函 数 f (x) (x 1)x 3 的 单 调 性
在( a , b ) 内至少存在一点
y
y f(x)
使 f()0.
o
a bx
注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
y
o 1x
y
y
1 o 1 x
o 1x
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
limf(x) lim f (x)
xa
xb
在( a , b ) 内至少存在一点 使
ba
显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
(a) bf(a)af(b)(b),由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆b向a思维找即出定一理个结满论足成罗立尔定. 证理毕条件的函数
推论1: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
推论2：如果函数 f (x)和g(x) 在区间(a,b)内可导，
称 为函数的极大值 ;
(2)
则称 为 的极小点 ,
称 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
例如
y
f(x) 2 x3 9 x2 1x2 3
解 （ 1 ） 该 函 数 的 定 义 域 为 ( , )
（ 2）
f
/(x)
2 3
1
x 3 (x 1)
2
x3
5x 2
1
3x3
令 f / ( x ) 0 得 x 2 , 显 然 x = 0 为 f ( x )的 不 可 导 点 , 5
于 是 x 0,x 2 分 定 义 区 间 为 三 个 子 区 间 5
定理2 拉格朗日中值定 理
y
满足:
y f(x)
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导
o
a
bx
至少存在一点
使 f()f(b)f(a).
证: 问题转化为证 f( ) f(bb ) a f (a)0 ba
作辅助函数 (x)f((x)) f(b)f(a)x
例5. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 xI 时 f(x)C0, 只需证在 I 上 f(x)0,
自证: 且 a rxc0x tIaa,使 n rccfo (xx 0 t),C 0 x . (, )
2
例6. 证明不等式 xln 1 (x)x(x0). 1x
( ,0),(0, 2 ),( 2 , ) 55
（ 3） 列 表 确 定 f(x)的 单 调 性
x
( , 0)
f/(x)
+
(0, 2 ) 5
-
(2 , ) 5
+
f(x) 即 f(x)
在(,0)和( 2 , )上 单 调 增 加, 5
在(0, 2 )上 单 调 减 少. 5
例4. 证明方程
有且仅有一个小于1 的
证法1: 设 f(t)ln 1 t(),
中值定理条件, 因此应有
即 因为
故
证 法 2 证 明 不 等 式 ln (1 x )
x 1 x
(x 0)
设 函 数 f ( x ) ln (1 x ) x , 1 x
因 为 f ( x)在 [0, )上 连 续 ,当 x 0时 ,
f
/(x)
1 1
x
( , 1), ( 1,1), (1, )
x
( , 1) (-1,1)
(1 ,+ )
f/(x )
+
-
+
f(x)
所 以 单 调 增 加 区 间 为 ( , 1) 和 （ 1， ）
单 调 减 少 区 间 为 （ -1， 1）
例2. 确定函数
的单调区间.
解: f(x)6x21x812 6 (x 1 )x ( 2 )
令 f(x)0,得 x1,x2
x (,1) 1 (1, 2) 2 (2,) f (x) 0 0
f (x)
2
1
y
故
的单调增区间为
(,1),(2,);
2 1
的单调减区间为(1, 2).
o 12x
说明: 1) 单调区间的分界点除导数为零的点外,
也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
2) 如果函数在某点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
0
故
这说明 在 I 内单调递增.
例 1 求 函 数 f(x)= x3-3 x 的 单 调 区 间
解 （ 1 ） 该 函 数 的 定 义 区 间 为 （ - , ）； （ 2） f/(x)= 3x2-3= 3(x+ 1)(x-1),令 f/(x)= 0,得 x= -1,x= 1
它们将定义区间分为三个子区间：
且对于(a,b)中任意x 有 f /(x) g/(x) 则在(a,b)内
f(x )与 g (x )仅 相 差 一 个 常 数 ，即 f(x)g(x)c，
其中c为常数。
函数单调性的判定法
定理 3. 设函数
在开区间 I 内可导, 若
(f(x)0),则
证: 无妨设
在 I 内单调递增 (递减) . 任取
由拉格朗日中值定理得
此处加标题
《函数的单调性与极 值》课件2(北师大版 选修2-2)82864
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一、函数单调性的判别方 法
• 罗尔定理 • 拉格郎日定理 • 函数单调性的判别方法
定理1 罗尔（ Rolle ）定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
正实根 .
证: 1) 存在性 .
设 f(x)x55x1,则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由介值定理知存在 x0(0,1),使
f(x0)0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f(x)在以
பைடு நூலகம்
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在x0,x1之间
至少存在一点
但
矛盾, 故假设不真!