(课件)1.1任意角和弧度制
任意角和弧度制ppt课件人教版
弧AB的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 ∠AOB的度数
∏r
逆时针方向
∏
2∏r
逆时针
2∏
r
逆时针
1
2r
顺时针
-2
∏r
顺时针
-∏
0
未作旋转
0
∏r
逆时针
∏
2∏r
逆时针
2∏
1800 3600 57.30 -114.60 -1800 00 1800 3600
2、角度与弧度之间的换算
把角度换算成弧度 把弧度换算成角度
弧 度
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数 集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都 有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对 应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角 (即弧度数等于这个实数的角)与它对应
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
3、例题讲解
题型二 用弧度制表示角的集合 例2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，
其中0≤α≤2π. (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β.
【解】 (1)∵－1 480°＝－1 148800π＝－749π＝－10π＋169π， 又 0≤196π≤2π， ∴－1 480°＝169π－2×5π＝169π＋2×(－5)π.
360 2 rad. 180 rad. 1 rad 0.01745rad.
180
1rad (180) 57.30 5718'
角度与弧度之间 的换算
1.1 任意角和弧度制
1.1 任意角和弧度制1、角的概念：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
如图1-1中，射线的端点O 叫做角的顶点，OA 叫做角的始边，OB 叫做角的终边。
2、在图1-1中，以OA 为始边、OB 为终边的角，记作AOB ∠；以OB 为始边、OA 为终边的角，记作BOA ∠。
3、任意角⎪⎩⎪⎨⎧零角：不旋转负角：顺时针旋转正角：逆时针旋转4、各角和的旋转量等于各角旋转量的和。
5、与任意角α终边相同的角有无数个，这无数个角可以构成一个集合，这个集合可记为 。
6、象限角：终边落在第几象限，这个角就是第几象限角。
象限间的角：终边落在坐标轴上的角，叫做象限间的角。
7、明确概念： （1）锐角是指︒<<︒900α的角。
所以，锐角都是第一象限角，而第一象限角不一定都是锐角。
例如︒390角是第一象限角，但它不是锐角。
（2）锐角肯定小于︒90，而小于︒90的角不一定都是锐角。
例如，︒-30角小于︒90，但它不是锐角。
（3）相等的角终边一定相同，而终边相同的角却不一定相等。
例如，︒30角与︒390角终边相同，但它们不相等。
（4）角α在︒︒360~0范围内是指︒<≤︒3600α。
8、（1）各象限角的集合 第一象限角：},222|{Z k k x k x ∈+⋅<<⋅πππ第二象限角：},222|{Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅ππππ第三象限角：},2322|{Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅ππππ 第四象限角：},22232|{Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅ππππ（2）终边落在轴上的角的集合终边落在x 轴的非负半轴上：},2|{Z k k x x ∈⋅=π图1-1终边落在x 轴的非正半轴上：},2|{Z k k x x ∈+⋅=ππ终边落在x 轴上：},|{Z k k x x ∈⋅=π 终边落在y 轴的非负半轴上：},22|{Z k k x x ∈+⋅=ππ 终边落在y 轴的非正半轴上：},22|{Z k k x x ∈-⋅=ππ终边落在y 轴上：},2|{Z k k x x ∈+⋅=ππ终边落在坐标轴上：},2|{Z k k x x ∈⋅=π9、角度制与弧度制（1）1弧度角的规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
任意角和弧度制PPT课件
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
任意角和弧度制课件PPT
②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一个 负数 ；零角 的弧度数是 零 . ③角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数
l 的绝对值是|α|＝ r .
明目标、知重点
2.角度制与弧度制的换算 (1)
角度化弧度 360°＝ 2π rad 180°＝ π rad π 1°＝180 rad≈0.017 45 rad
§1.1 任意角和弧度制
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.了解角的概念. 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合 符号表示这些角.
明目标、知重点
填要点·记疑点
明目标、知重点
反思与感悟 当角的集合的表达式分两种或两种以上 情形时，能合并的尽量合并，注意把最后角的集合化 成最简的形式.
明目标、知重点
跟踪训练3 求终边在直线y＝－x上的角的集合S. 解 由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～ 360°间所对应的两个角分别是135°和315°， 从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°， k∈Z} ＝ {α|α ＝ 2k·180° ＋ 135° ， k∈Z}∪{α|α ＝ (2k ＋ 1)·180° ＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}.
明目标、知重点
1234
4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S. 解 终边落在x轴上的角的集合： S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}； 终边落在y轴上的角的集合： S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}； ∴终边落在坐标轴上的角的集合： S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β ＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.
任意角的概念和弧度制(第一课时)
1.1.1 任意角的概念和弧度制
引例
你的手表慢了５分钟，你是怎样将它校 准的？校准后分针旋转了多少度？ 你的手表快了1.25小时，你应当如何将它 校准？校准后分针旋转了多少度？
新课讲解
角的定义:平面内一条射线绕着端点从一个位 置旋转到另一个位置所成的图形.
角的分类 正角:按逆时针方向旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合S-{β| β = α +k×360°,k∈Z}
例1、写出下列角的集合
1. 终边落在x轴正半轴 2. 终边落在x轴负半轴负半轴 6. 终边落在y轴 7. 终边落在坐标轴上
思考：终边落在：（1）一条射线上；（2） 一条直线上；（3）两条相互垂直的直线上， 分别应如何表示？
① -120° ② 640° ③ -2046°24`
练习：若α=k*360 °-1575 °,k∈Z，试判断α所在 象限。
例4、角α的终边在如下阴影部分， 写出角α的取值集合。
y y=x
O
x
(1)
y y=x
y=-x
O
x
(2)
例5、 已知角为第二象限角， 问2 , ,
23
分别是第几象限的角？
例6、根据下列条件，找出两角关系：
思考:如果把角放在直角坐标系中,那么怎样放 比较方便、合理？
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非 负半轴重合，那么，角的终边在第几象限， 我们就说这个角是第几象限角。 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不 属于任何一个象限，是坐标轴上的角。
1.1.1任意角课件
始边
O A
终边
顶点
思考3：在齿轮传动中，被动轮与主动轮 思考3 在齿轮传动中， 是按相反方向旋转的.一般地，一条射线 是按相反方向旋转的.一般地， 绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋 绕其端点旋转， 转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将 也可以按顺时针方向旋转. 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60 所形成的角，与按顺时针方向旋转600所 所形成的角，与按顺时针方向旋转60 形成的角是否相等？ 形成的角是否相等？
思考8 一个角的始边与终边可以重合吗？ 思考8：一个角的始边与终边可以重合吗？ 如果可以，请列举几个这样的角， 如果可以，请列举几个这样的角，这样 的角的大小有什么特点？ 的角的大小有什么特点？ 360° k∈Z） k·360°（k∈Z） 360
知识探究（ ）：象限角 知识探究（二）：象限角 思考1 为了进一步研究角的需要， 思考1：为了进一步研究角的需要，我们 常在直角坐标系内讨论角， 常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶 点与原点重合,角的始边与x 点与原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合，那么对一个任意角， 轴重合，那么对一个任意角，角的终边 可能落在哪些位置？ 可能落在哪些位置？ y o x
3.过去我们学习了0°～360°范围的角， 3.过去我们学习了0 360°范围的角， 过去我们学习了 但在实际问题中还会遇到其他角．如在 但在实际问题中还会遇到其他角． 体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中， 体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中， 常常听到“转体10800”、“转体12600” 常常听到“转体1080 转体1260 这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺 这样的解说．再如钟表的指针、 丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照 丝的扳手、机器上的轮盘等， 不同方向旋转所成的角，不全是0°～ 不同方向旋转所成的角，不全是0 3600范围内的角.因此，仅有0°～360° 范围内的角.因此，仅有0 360° 范围内的角是不够的，我们必须将角的 范围内的角是不够的， 概念进行推广. 概念进行推广.
课件数学：《任意角》PPT课件_优秀版
C． { | 0°≤α<90°} D． { | 0°≤α≤90°}
1．角的推广； 终边相同的角
相等；
回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？
2．象限角的定义； 例 1 在 0°～360°间，找出下列终边相同角：
1．460° 是（ ）.
但相等的角，终边
相同；
3．终边相同角的表示. 1 任 意 角
角可以看成平面内一条
360º)．
O
A
新知：
因此，所有与90°角终边相同的角构成集合
角可以看成平面内一条
绕着
从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
按逆时针方向旋转所形成的角叫 正 角 于是，终边在y轴上的角的集合
而所有与270°角终边相同的角构成集合 探究任务三：终边相同的角
于是，终边在y轴上的角的集合
1040°=320 °+2×360 °
第一章 三角函数
3．终边相同角的表示.
变式：写出与下列终边相同的角的集合，并写出
②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转 度）如果慢了 5 分钟，又该如何校正？ （ 时针旋转
度）
S={ | = + k·360°,k∈Z }
1.1 任意角和弧度制 因此，所有与90°角终边相同的角构成集合
S={ | = 30° + k·360°,k∈Z } ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转
度）如果慢了 5 分钟，又该如何校正？ （ 时针旋转
度）
角． 而所有与270°角终边相同的角构成集合
角的终边（除端点外）在第几象限， 回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？
因此，所有与90°角终边相同的角构成集合
苏教版高中数学高一课件 弧度制
(1)152π；
解
5 12π
rad＝152×180°＝75°；
(2)－76π； 解 －76π rad＝－76×180°＝－210°；
(3)－157°30′. 解 －157°30′＝－157.5°＝－157.5×1π80 rad＝－78π rad.
解析答案
题型二 用弧度制表示终边相同的角 例2 已知角α＝2 010°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； 解 2 010°＝2 010×1π80＝676π ＝5×2π＋76π， 又 π<76π<32π， ∴α 与76π终边相同，是第三象限的角.
π
π
π
_4___ __3__ 2
角 120° 135° 150° 180° 270° 360°
度
弧 2π 3π
5π
3π
___3__ 度
4
6
π __2_及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别 扇形的弧长 扇形的面积
α为角度制
答案
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题型探究
题型一 角度制与弧度制的换算 例1 (1)把112°30′化成弧度； 解 112°30′＝112.5°＝(2225)° ＝2225×1π80＝58π. (2)把－71π2化为角度. 解 －71π2＝－71π2×(1π80)°＝－105°.
重点突破
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 将下列各角度与弧度互化.
知识梳理
知识点一 弧度制 1.角度制与弧度制的定义
自主学习
用 度 作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1 角度制 度的角等于周角的 1
1.1.1角度和弧度
1.1.1 任意角角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．表示，用语言可表示为起始位置；表示，用语言可表示为终止位置．图示轴的非负半轴重合时，(1)角的始边、终边是确定的，角的大小是确定的．()(2)第一象限的角一定是锐角．()(3)终边相同的角是相等的角．()2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是() A．1B．2C．3D．4 3．与30°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}4．2019°是第()象限角() A．一B．二C．三D．四类型一任意角的概念及应用例1(1)若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．方法归纳与角的概念有关问题的解决方法正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．跟踪训练1在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________．2．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是() A．A＝B＝C B．A⊆C C．A∩C＝B D．B∪C⊆C3．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个类型二终边相同的角例2写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角．方法归纳(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．(2)终边相同角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．跟踪训练2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足－360°≤α<720°的元素写出来．（1）α＝60°；(2)α＝－210°；(3)α＝364°13′.3．下面与－850°12′终边相同的角是()A．230°12′B．229°48′C．129°48′D．130°12′4．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．5．已知角α＝2 018°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.类型三象限角与区间角的表示例3(1)若α是第四象限角，则－α一定在()A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．方法归纳象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．跟踪训练1、(1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角 (2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．2、已知α是第二象限角，则180°－α是( )A.第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列角中，终边在y 轴非负半轴上的是( ) A ．45° B ．90° C ．180° D ．270° 2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A ．120°B ．－120°C ．240°D ．－240° 3．与－457°角终边相同的角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z } 4．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．360°－αD ．180°＋α 5．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则必有( )A ．α＋β＝90°B ．α＋β＝k ·360°＋90°(k ∈Z )C ．α＋β＝k ·360°(k ∈Z )D ．α＋β＝(2k ＋1)180°(k ∈Z ) 二、填空题(每小题5分，共15分)6．图中从OA 旋转到OB ，OB 1，OB 2时所成的角度分别是________、________、________.7．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.8．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________________________． 三、解答题(每小题10分，共20分) 9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM 上； (2)终边落在直线OM 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．＝0对称，且0°<α<360°13．如图，写出终边在直线上的角的集合．14．已知α是第四象限角，则1.1.2 弧度制度量角的两种制度定义用度作为单位来度量角的单位制角度．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．类型一角度与弧度的换算1(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：2、(1)①将112°30′化为弧度为________；②将－5π12rad 化为角度为________．(2)设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝4π5，β2＝－11π6. ①将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；②将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．类型二 用弧度制表示角的集合 例2 已知角α＝2 005°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．（3）用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．方法归纳用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．【例4】(1)如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________；(2)已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．1．(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)6．若三角形三内角之比为：：5135°的扇形的半径为分，共20分)将下列角度与弧度进行互化：(1)20°⎩⎭⎪42．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出ππ。
课件5：1.1.1 任意角
S={β| β=α+k·360º，k∈Z}，
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
⑷注意以下四点： ① k∈Z， k> 0，表示逆时针旋转； k< 0，表示顺时针旋转.
②是任意角. ③k·360º与之间是“+”号，如角k·360º－30º，1.1.1 任意角
1.角的概念 初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形叫做角， 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的. 初中学过的角的范围是：0º至360º. 然而生活中有很多实例的角会不在该范围，例如： 体操运动员转体720º（即“转体2周”），跳水运动员 向内、向外转体1080º（即“转体3周”）. 这些例子中有的角不仅不在范围0º至360º内 ，而且方向 也各不相同.
例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 －360º~720º之间的角写出来. (1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.
解：(1)S={β| β=60º+k·360º，k∈Z}， S中在－360º～720º间的角包括： 0×360º+60º=60º； －1×360º+60º=－300º； 1×360º+60º=420º．
成(－30º)+k·360º. ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定 相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整 数倍.
例1 在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角， 并判断它是哪个象限的角. (1)－120º；(2)640º.
解：⑴∵－120º=240º+（-1）×360º， ∴－120º的角与240º的角终边相同， ∴它是第三象限角． ⑵ ∵640º=280º+1×360º， ∴640º的角与280º的角终边相同， ∴它是第四象限角．
任意角专题课件
第三象限角和第四象限角;
y
②轴线角：角旳终边在坐标轴上， 不属于任何一种象限.
B 30 O º Ax -120º
C
2、角旳分类
练习1、下列说法中正确旳是（ D） A.第一象限角是锐角 B.不大于90º旳角是第一象限角 C.不大于90º旳角是锐角 D.锐角一定是第一象限角
练习2、下列各命题: ①相等旳角终边一定相同； √ ②终边相同旳角一定相等； ③始边和终边重叠旳角是零角； ④第二象限旳角一定不小于第一象限旳角； ⑤不不小于180º旳正角必是第一或第二象限角.
能够发觉它与x轴旳夹角为 45°，在0°~ 360°范围内，
终边在直线上旳角有两个：45°，225°.
所以终边在直线 y=x 上旳角旳集合
y
S { | 450 k 3600 , k Z } { | 2250 k 3600 , k Z }
{ | 450 2k 1800 , k Z } { | 450 (2k+1) 1800 , k Z }
第三象限
{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°， k∈Z}
第四象限
{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}
例3.已知角 是第一象限的角， 试问 2 、 、 各是第几象限的角？
23
解：由角 是第一象限的角 可知：
k 360 k 360 90 ，k Z
又 k 180 k 180 45 ，k Z .
o
x
故S中适合不等式－360°≤ ＜720°旳元素是：
45 2180 315, 45 1180 225, 45 1180 135, 45 2180 405, 45 0180 45, 45 3180 585.
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与β终边相同
例2.写出与60º角终边相同的角的集合S, 并把S中适合不等式-360 º ≤β＜ 720 º 的元素β写出来. 解 S={β∣β= 60 °+ k·360°,k∈Z}.
S中适合-360 °≤β＜ 720 °的 元素是: 60 º-1×360°=- 300 º, 60 º+0×360°=60 º,
2.钟表经过4小时，时针与 分针各转了__-1_2_0_º_、_-_1_4_4_0_º_
看谁答得快
(三)角的位置:
1.象限角
y
B1
o
x
B2
在直角坐标系内,角的顶点与
原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,那么角的终边在第几象限，
我们就说这个角是第几象限角.
2.非象限角（界限角、轴线角）
终边落在x轴和y轴上的角
当角的终边不落在象限内,这样的角
还是象限角吗? 否
y
y
o
x
o
x
1 .在直角坐标系中，作出下列各角
（1） 30° （2）120 °
（3）-60 ° （4） 225°
指出它们是第几象限角 30° 是第一象限角 120 °是第二象限角 -60 °是第四象限角 225° 是第三象限角
2. 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 作 出 30° 、 390°、 -330°、 750°,观察它们终边 的关系
A.是第三象限角
B.是第二象限角 C.既是第二象限角又是第三象限角
D.不属于任何象限
·已知A={第一象限的角},
B={锐角},C={小于90º的角},
则下列关系式正确的是( D )
A. A=B=C C. A∩C=B
B. B∪C=A D. B∪C=C
·若α是锐角,则k·180º+α, (k∈Z) 所在的象限是( C )
60 º+1×360°=420 º.
模仿一下吧
写出与-45º角终边相同的角的集合S, 并把S中适合不等式-720º≤β＜360º 的元素β写出来.
解 S={β∣β= -45º+ k·360°,k∈Z}.
S中适合-720º ≤β＜ 360º的 元素是:
-405º -45º 315º
能力提升
·角α的终边经过P(-3,0),则角α( D)
终边在y轴上角的集合为 ｛β︱β= 900+k·360°,k∈Z｝∪ ｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝
1.与-496°终边相同的角
是 -496°+k·360°(k∈Z); 它们中最小正角是_2_2_4_°_
它是第 三 象限的角;
2.下列命题中正确的是( D) A.终边在y轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角
A.第一象限
B.第一、二象限
C.第一、三象限 D.第一、四象限
角的 概念
角的 大小
角的 位置
角的 关系
正角 负角 零角
象限角 轴线角ຫໍສະໝຸດ 终边相同角任意角的概念1.初中所学角是如何定义的？ 具有公共顶点的两条 射线组成的图形
2.初中学习过哪些角？ 锐角、直角、钝角、 平角、和周角
3.初中学习的角的范围？
0º<α≤360º
3.在跳水运动中， “转体720º”、 “转体1080º”等动 作名称的含义
(一)角的概念:
平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所形成的图形
(四)角的关系:
终边相同的角的表示方法 一般地,所有与角α终边相同的角， 连同角α在内，可构成一个集合 S=｛β︱β=α+k·360°,k∈Z｝ 即任何一个与角α终边相同的角， 都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
例1终边在y轴正半轴上角的集合 ｛β︱β= 900 +k·360°,k∈Z｝
终边在y轴负半轴上角的集合 ｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝ 或｛β︱β= -900+k·360°,k∈Z｝
B
OA:角的始边
OB:角的终边
0
A
O:角的顶点
(二)角的大小:
正角：按逆时针方向旋转所形成的角. 负角：按顺时针方向旋转所形成的角.
如α=-150º. 零角：没有作任何旋转的角.记作
α=0º. 角的概念推广后，它包括任意大小的 正角、负角和零角
1.从中午12点到下午3点， 时针走过的角度是＿-9＿00
390°= 30°+＿1·＿36＿0°
-330°= 30°+(＿-1＿)·3＿60° 750°= 30°+＿2·＿36＿0° 归纳: 与30°终边相同的角的集合 ｛β︱β= 30°＋ k·360°,k∈Z｝
写出与－60°终边相同的角的集合 ｛β︱β= －60 °＋ k·360°,k∈Z｝ 写出与0°终边相同的角的集合 ｛β︱β= 0 °＋ k·360°,k∈Z｝