结构动力学2

Akj L
T
Anj
∵频率和振型满足 kA 2 M A ∴ k Ai i2 M Ai ………..(1)
kA j j2 M A j………..(2)
(1)(2)分别左乘 A jT 和 A iT
A jT k Ai i2 A jT M Ai ………..(3) AiT k A j j2 A iT M A j ………..(4)
可见，任一时刻的位移包含两个分 量：第一振型分量和第二振型分量
第一振型分量
第二振型分量
通解中的4个待定系数A1 1 、A1 2 、1 、2 （或A2 1 、A2 2 、1 、2 ）由4个初始条件确定。
当各自由度上的初速度、初位移与某一振型具有同样的比例关系时，体系即按该振型振动。 其它振型不出现。
➢例题：P.153习题10-26(d) P.154习题10-27(d)
✓ 动力平衡方程 k11 y1 k12 y2 L k1n yn m1&y&1 0
k21 y1 k22 y2 L
k2n M
yn
m2
&y&2
0
kn1 y1 kn2 y2 L knn yn mn &y&n 0
方程的物理含义：
与位移法方程类似。
体系在自由度位移和惯性力共同作 用下，自由度方向上附加约束的约 束力等于零。
，
A2 A1
1 1
1,
第一振型向量1
1T 。
对应于
2
，有
y1 y2
A1 2sin 2t 2 ，A2 2 A2 2sin 2t 2 A1 2
2,
第一振型向量1
2T 。
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➢双自由度体系作为多自由度体系的特例。
3、任意初始条件下体系的自由振动方程：
y1 y2
kk2111yy11
k12 k22
y2 y2
m1&y&1 0 m2 &y&2 0
2、频率和振型：
✓设
y1 y2
A1 sin t A2 sin t
，代入方程，可建立振幅方程如下：
频率和振型是结构的固有特征
柔度法
m111
1
2
A1
m212 A2
0
m121 A1
m2
22
1
2
12 (m2 &y&2 ) 22 (m2 &y&2 )
刚度法
kk2111yy11
k12 k22
y2 y2
m1&y&1 0 m2 &y&2 0
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➢双自由度体系作为多自由度体系的特例。
1、方程： 柔度法
刚度法
y1 y2
11(m1&y&1) 12 (m2 &y&2 ) 21(m1&y&1) 22 (m2 &y&2 )
✓ 振型向量Ai A1i A2i L Ani T
✓ 振型向量常用表述方法一：令某自由度位移为1，例 Ai 1 2i L
T ni
✓ 振型向量常用表述方法二：标准化（向量的模等于1），令 AiT M Ai 1
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➢上述自振频率和振型的计算步骤和方法同样适用于刚度法。
A1 1sin 1t 1 A2 1sin 1t 1
和
y1 y2
A1 2sin 2t 2 A2 2sin 2t 2
是方程的两个特解，方程的通解是两个特解的
线性组合，即
y1 y2
t t
A1 A2
1 sin 1 sin
1t 1t
1 1
A1 2sin 2t 2 A2 2sin 2t 2
A2
0
✓由 A1 、A2不全为零，建立频率方程：
刚度法
k11 2m1 A1 k12 A2 0
k21 A1 k22 2m2 A2 0
柔度法
m111
1 2
m1 21
m212
0
m2 22
1 2
刚度法
k11 2m1
k12
0
k21
k22 2m2
✓对应于 1
，有
y1 y2
A1 1sin 1t 1 A2 1sin 1t 1
✓
频率方程是关于 1
2
的n次代数方程，由此可求的n个 的正实根，即为结构的n个自振频率，通常由
小到大排列，称为频率谱。
➢将求得的 1 2 回代入(2)，由于系数行列式等于零，n个方程是相关的，只
能由其中的n-1个方程解得各自由度动位移之间的比值。可见，体系按某一频
率振动的形状是不变的，称之为振型。
➢运动方程 y M &y&
(1)
➢设y Asin t ，其中 A A1 A2 L AnT 是振幅向量。
则&y& 2 Asin t
代入(1)，消除 sin t 后，有
单位矩阵
A 2 M A 0
即
M
1
2
I
A
0
(2)
➢因为A
0，所以
M
1
2
I
0
振型方程
频率方程（或特征方程）
写成矩阵形式 M &y& ky 0
相当于自由度方向上力的平衡。
✓ 设 y Asin t ，代入上述动力平衡方程，得
振型方程 k 2 M A 0
✓ 由 A 0 ，得 频率方程 k 2 M 0
➢双自由度体系作为多自由度体系的特例。
1、方程：
柔度法
y1 y2
11 (m1 &y&1 ) 21 (m1 &y&1 )
§10-6 多自由度体系的自由振动
➢用柔度法可建立n个自由度体系的运动方程如下
y1 m1&y&111 m2 &y&212 L mn &y&n1n
y2 m1&y&121 m2 &y&222 L
M
mn
&y&n
2
n
yn m1&y&1n1 m2 &y&2n2 L mn &y&nnn
写成矩阵形式
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A jT k Ai i2 A jT M Ai ………..(3) AiT k A j j2 A iT M A j ………..(4)
y M &y&
✓ 其中 y y1 y2 L &y& &y&1 &y&2 L
yn T —— 位移向量 &y&nT —— 加速度向量
11 12 L
21 22 L
M M
n1 n2 L
m1
M
m2 O
1n
2n
M
nn
—— 柔度矩阵
源自文库
—— 质量矩阵
mn
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(1) 1
板书讲解
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§10-7 振型的正交性
➢设一n个自由度体系，1、2 是其两个自振频率，两频率对应的振型如下：
Akj
A1i
A2i
Aki
第i振型
i振型向量Ai A1i A2i L
Ani Aki L
A1 j
A2 j
Anj
第j振型
Ani T j振型向量 A j A1 j A2 j L