结构动力学2

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结构动力学第二章

∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：

第2章结构动力学概述(中英文)

动荷载的定义 definition of dynamic loadings
荷载在大小、方向或作用点方面随时间变化，使得质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比大到不可忽略时，则把这种荷载称为动荷载。 A dynamic load is any load of which its magnitude, direction, and/or position varies with time. In general, if the inertial forces represent a significant portion of the total load equilibrated by the internal elastic forces of the structure, then this kind of load is defined as dynamic loading.
动荷载：
Dynamic loading：any load of which its magnitude, direction
and /or position varies with time
快慢标准：是否会使结构产生显著的加速度. criteria： Whether a remarkable acceleration is exerted on the structure
静荷载 Static load 结构体系 Structural system 位移displacement 静力响应 Responses to static loads 内力internal force 应力stress
输入 input
输出 Output
大小 magnitude 方向 direction 作用点 position

结构动力学课件PPT

my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得结构按照单自由度体系运动，就可以按照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数（插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准化的、用一系列离散坐标表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。

结构动力学习题解答-2

====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====第一章单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。

单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。

1、牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2）利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

2、动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行受力分析和动量距分析；（2）利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

3、拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ；（2）由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

4、能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const（2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即0)(=+dtU T d ，进一步得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。

用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。

方法一：衰减曲线法。

求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。

结构动力学(2)

4. 对称性的利用振动体系的对称性是指：结构对称、质量分布对称，强迫振
动时荷载对称或反对称。
多自由度和无限自由度对称体系的主振型不是对称就是反对称，可分别取半边结构进行计算。
对称荷载作用下，振动形式为对称的；反对称荷载作用下，振动形式为反对称的，可分别取半边结构进行计算。一般荷载可分解为对称荷载和反对称荷载两组，分别计算再叠加。
(A( j ) )（T K ωi2 M)A( i ) 0
(A( i ) )（T K ω2j M)A( j ) 0
(1)
(A( i ) )（T K T ωi2 M T )( A( j ) ) 0
(2)
又: K T K MT M
(1)式-(2)式得:
( i22 j)(源自A( i ))TM
A(
3. 动内力幅值计算位移、惯性力、动荷载频率相同。对于无阻尼体系三者同时
达到幅值。于是可将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法求解，即得到体系的最大动内力和最大动位移。
多自由度体系不仅位移动力系数和内力动力系数不同，而且不同截面上的位移动力系数和内力动力系数也各不相同，不能采用统一动力系数计算动力反应。
由式(14-38)可知，此时式（14-47）得到位移为无穷大。所以，一般情况下，n个自由度体系有n个共振点。
对于两个自由度体系，稳态振动时的位移幅值方程为
(11m1
1
2
)
y10
12 m2
y20
1P
2
0
21m1 y10 (22m2
1
2
)
y20
2P
2
0
D m1 11 2 1 12m2 2 21m1 2 m2 22 2 1

结构动力学第二章单自由度系统的振动2

0.39 0.66 0.73 1.00 1.05 1.20 1.42 1.55 1.69 1.76 2.00
23
24
解: 水塔的自振频率和周期分别为
k 29.4106 N / m 31.305rad / s
m
30103 kg
T 2 0.2007s
取微小时段 0.01s ，约相当于水塔自振
同理，积分项 B(t) 可用相同的方法进行计算。
16
因此，无阻尼体系动力响应的数值解： y(t) A(t) sin t B(t) cost
同理，也可求得有阻尼体系动力响应。注：数值积分解答的精确度与计算中选择和微小时段有关，一般可取小于系统自振周期的十分之一，便可得到较好的结果。
17
A yst
1
2
t1
2
( 1 cost1
) 2
t1
1/ 2
sint1
t1 T
0.371
动力系数只与 t1 有关，即只与 t1 T 有关
下表列出不同 t1 T 值时的动力系数。
表不同 t1 T 值时的动力系数表
t1/T 0.125 0.20 0.25 0.371 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00
用下式进行计算。
无阻尼：
( 0)
y(t) 1 t p( ) sin (t )d
m 0
有阻尼： y(t) 1
( 0)
md
t 0
p(
)e (t )
sin d
(t
)d
2）对于许多实际情况，如果荷载的变化规律是用一系列离散数据表示（如试验数据），此时的响应计算就必须借助于数值分析方法。
11

结构动力学_2

初相位
4、振幅C和初相位
x0 C sin
x0 Ccos
C
x02
x02
2
arctan x0
x0
——振幅 ——初相位
第2章单自由度系统
x
3
x02
x02
2
sin(t
)
x
x02 2
x02
T 2
x0 0
t
图2.7 无阻尼系统自由振动位移曲线
-3
0
3
第2章单自由度系统
x x02 x022 cos(t )
mx cx kx 0
设：
x Aept
第2章单自由度系统
mp2 cp k 0
p1,2 c
c2 4mk 2m
c2 4mk
1、过阻尼系统
0 x A1e p1t A2e p2t
第2章单自由度系统
2、临界阻尼系统
0
c2 4mk 0
cc 2 mk 2m
x
e
c 2m
t
第2章单自由度系统
3、解的形式
x Asint x Bcost x Asint Bcost
x A2 B2 ( A sint B cost)
A2 B2
A2 B2
A2 B2 (cos sint sincost)
C sin(t )
第2章单自由度系统
x C sin(t )
振幅
剪切变形
第2章单自由度系统
3EI
ml 3
——弯曲频率
2 3EI
ml 3
——剪切频率
第2章单自由度系统
图2.5 框架的剪切变形
第2章单自由度系统
③摆问题

结构动力学(克拉夫) 第二章分析动力学基础

第二章分析动力学基础2.1 基本概念 2.1.1 约束• 定义：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制。

N 个质点的约束方程： → → 为mi 的位置向量及速度 **弹簧支座不是约束。

• 约束的分类：*稳定（不含t → 左图）与非稳定（含t → 右图）* 完整（不含 → ）几何约束（有限约束）与非完整（含 → ）运动约束（微分约束） • 约束条件：zc=a （水平面绝对光滑）一个完整约束 *水平面粗糙，仅滚动无滑动，A 点速度为零。

两个完整约束*若为刚性圆球，三个约束（A点两个水平方向速度为零，可证明约束微分方程不能积分成有限形式）非完整约束单向（约束方程为不等式）：柔索与双向（约束方程为等式）：刚杆工程力学中研究对象：稳定的、完整的、双向约束• 质点系约束方程：→ （N ：质点数；M 约束数） 2.1.2 自由度与广义坐标广义坐标定义：能决定体系几何位置的、彼此独立的量广义坐标个数→空间质点系:n=3N-k;平面质点系: n=2N-k0),,,,,,(11=⋅⋅⋅⋅⋅⋅N N r r r r t f 0),,(=i i r r t f i i r r ,0),(=i i rr f 0),,(=i i rr t f Ai r0),(=i r t f i r 0),,(=i i rr t f ϕϕa x a x v C C A =⇒=−=)(0积分 lr ≤l r =0),,(1=⋅⋅⋅N k r r f )~1;~1(0)(M k N i r f i k ===x双连刚杆双质点系的约束方程：广义坐标数：广义坐标：独立参数→角度→ 振型等（见下页）梁的挠度曲线用三角级数表示：广义坐标→*自由度定义：在固定时刻，约束许可条件下能自由变更的独立的坐标数目（对完整约束=广义坐标数）• 自由度数→空间质点系：n=3N-k 平面质点系：n=2N-k （N ：质点数；k: 约束数）非完整约束：（广义坐标数>系统自由度数）2.1.3 功的定义元功：A →B 过程中力作的功：对摩擦传动轮的例，由于力未移动，位移=？ • 功的新定义：(传动齿轮)• 功率：2.1.4 有势力和体系的势能有势力：（1）大小和方向只决定于体系质点的位置（2）体系从位置A 移动到位置B ，力作功只决定于位置而与路径无关取体系的任意位置为“零位置O ”，从位置A 移动到零位置O 各力作的功为体系在位置A 时的势能UA(位能)。

《结构力学》结构动力学(2)

为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。
简谐荷载作用下，与之间关系曲线分析。
1、无阻尼条件
（1） 0 时， 5.0
1, ymax ( t ) yst。
4.0
（2）0 1 0 时，
随着增加增大，
3.0
0
FP ( t ) FP sint。 y( t ) yst sint。
（3）当ξ=1时的阻尼称为临界阻尼；相应的值称为
临界阻尼系数，用cr 表示，则
cr 2mk 2m ，
k 2mk 2m cr
阻尼比即为阻尼系数与临界阻尼系数 cr 之比。
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
当干扰力 F(t) 直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示，
且 y( t )与FP ( t ) 同步。
2.0
（3） 1 时， 1.0
, ymax ( t ) , 共振。
（4）1 时，
1.0 2 2.0
3.0
随着增加减小，且 y( t )与 FP ( t ) 反向。
（5）时， 0, 在静平衡位置附近作微小
振动。
y0
cos 't
y0
ky0
'
sin
't
y bekt sin( 't ')
其中
b
y02
(ห้องสมุดไป่ตู้
y0
ky0
'
)2
tan ' ' y0
/ 为有阻尼自振频率。
y0 ky0
令 k ，称为阻尼比。
' 2 k2 1 ( k )2 1 2
通常当ξ<0.1时，则 ' 和的差别很小。

于开平-结构动力学第二讲

(2) 阻尼力的功：
Wd A cos t dt c 2 / 1 cos 2 t cA2 2 dt 0 2 1 2 1 2 2 2 / cA2 2 cA cos 2 t dt 0 2 2
5 稳态响应振幅和相位
5.2 初始相位角根据初相位角表达式
2 tg 1 2
可以画出初相位角随频率比的变化曲线，简称相频曲线：
在共振点，不管阻尼比多大，初相位角均为90度。
6 稳态响应复数解法及频响函数
之前将外载荷假设为正弦形式，其运动控制方程为：
��ሷ 1 + ��ሶ 1 + ��1 = ��0 sin�� 简谐激励的另一种典型形式为余弦形式，其运动控制方程写作： ��ሷ 2 + �� ሶ 2 + ��2 = ��0 cos�� （2）（1）
o o o
o
1 2 Fo A sin Fo A sin 2
6 稳态响应复数解法及频响函数
令方程特解为�� = �� ，代入运动控制方程得： (−��2 �� + �� + �� )�� = ��0 �� 方程对任意时刻t恒等，则方程两边指数函数�� 前系数相等，由此可得： �� = ��0 �� − �� 2 + ��

高等结构动力学2_模态综合法(动态子结构方法)

a J
Φ
a p b Φ J b {0} p

[C ]{ p} {0}
d行
(n1+n2)个 p a
所以，有：
[C dd ]1[C dI ] { p} { p I } [ S ]{q} [I ]
独立的模态坐标
(n1+n2-d)个
[ M ]* [ S ]T [ M ][ S ], [ K ]* [ S ]T [ K ][ S ]
对于一般的动力学分析问题，也可以得到缩聚方程为：
} [C ]*{q } [ K ]*{q} {R}* [ M ]*{q
[C ]* [ S ]T [C ][ S ], {R}* [ S ]T {R}
动态子结构方法的基本思想：
按照工程的观点或结构的几何轮廓，遵循某些原则要求，把完整的大型复杂结构人为地抽象成若干个子结构。首先对自由度少得多的各个子结构进行动态分析，然后经由各种方案，把它们的主要模态信息予以保留，以综合总体结构的动态特性总系统（n个自由度）子结构1 dd ]1[C dI ] [S ] [ I ]
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
{ p} b p d个 pd 设{p}中独立广义坐标为{pI}，非独立广义坐标为{pd}： { p} p I (n1+n2-d)个 pd { pd } [C dd ]1[C dI ]{ p I } 可写为： [C dd ] [C dI ] {0} pI

结构动力学-2(哈工大结构动力学)

m y(t)
cy(t)
my(t) k11 y(t )
运动方程 my cy k11y 0
令 c / 2m y 2y 2 y 0
设 y(t) Aet
2 2 2 0 特征方程
根为 i 1 2 由初始条件
小阻尼情况
y(0) y0 , y(0) v0
1 (c 2m)
c1 (v0 y0 ) / D , c2 y0
k
k
k
PROBLEMS：
3.A mass m is at rest,partially supported by a spring and partially by stops.In the position shown,the spring force is mg/2. At time t=0 the stops are rotated,suddenly releasing the mass.Determine the motion of the mass.
第二章单自由度体系的振动分析
§2.1 自由振动
一. 无阻尼体系运动方程
y(t) 11[my(t)] k11y(t) my(t) 令 2 k11 1
m m11
y(t) 2 y(t) 0
二阶线性齐次常微分方程
m
my(t)
y(t)
l EI
km
运动方程的通解 y(t) c1 cost c2 sin t
令 D 1 2
方程的通解为
y(t) Aet sin( Dt D )
A
y02
( v0
y0 D
)2
y(t) et (c1 sin Dt c2 cosDt) tan D y0D /(v0 y0 )

结构力学动力学第2章3

第三节单元刚度方程和单元刚度矩阵
单元的杆端力和杆端位移之间的关系是通过单元刚单元的杆端力和杆端位移之间的关系是通过单元刚杆端力之间的关系是通过度方程反映出来的反映出来的; 度方程反映出来的; 重点掌握单元刚度矩阵中每个刚度系数的物理意义，刚度系数的物理意义重点掌握单元刚度矩阵中每个刚度系数的物理意义，由此求得不同杆单元的刚度矩阵。由此求得不同杆单元的刚度矩阵。
ui = 1 :
矩阵表示：矩阵表示： Fxi EA 0 l F 0 0 yi = − EA 0 l Fxj Fyj 0 0
− EA l 0 EA l 0
0
0 0
0
ui v i u j v j
（1）单元刚度方程
单元的刚度方程：单元的刚度方程：
F(e) = K (e) δ (e)
单元的刚度方程给出了单元杆端位移单元的刚度方程给出了单元杆端位移 δ(e) 与杆端力 F(e) 给出了单元之间的关系. 之间的关系 K(e) 称为单元刚度矩阵。它是一个方阵。如杆端位移称为单元刚度矩阵它是一个方阵。单元刚度矩阵。 δ(e)和杆端力F(e)为6阶向量，则K(e)为6X6方阵。阶向量，方阵。阶向量方阵
端为刚结点，若单元 i 端为刚结点， j 端为铰结点, 端为铰结点则单元刚度矩阵为: 矩阵为
=K δ
(e)
y
(e)
θ
i
j
vi
其中：其中：
δ
F
(e)
(e)
= { i vi θi u j v j θ j} u
Fyi
FQi
T
ui
i y

结构力学：第十章结构动力学2

ae-ξωt t
低阻尼y- t曲线
t
无阻尼y- t曲线
②阻尼对振幅的影响.
振幅ae- ξω t 随时间衰减，相邻两个振幅的比
yk1 eT 常数 yk
振幅按等比级数递减.
经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:
ln yk lneT T 2 称为振幅的对数递减率.
yk1
r
如 0.2 则 r 1, 1 r ln yk 1 ln yk
令
k m
,
c 2m ( 阻尼比）
y 2 y 2 y 0(15.16)
k m y
cy ky
c y
my
设解为：y(t) Celt 特征方程为：l2 2l 2 0
1)ξ<1（低阻尼）情况
l ( ± 2 1)
l ir 其中 r 1 2
y et C1 cosrt C2 sinrt
低阻尼体系的自振圆频率
平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）
平稳阶段：
y
yst
1
1
3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。
§10-3 单自由度体系的受迫振动
受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。
弹性力－ky、惯性力 my
和荷载P(t)之间的平衡方程为:
y(t)
k
m
m
P(t ) P(t )
myky P(t)(a)
y 2 y P(t) (15.24)
m
一、简谐荷载：
77613m86l El3I2l
5l3 )
32
71l 3
7m68E3I
192EI ml3

清华大学结构动力学2-1

对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理
可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值,一般是极小值。 Hamilton原理是动力学中的变分法（原理）。
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)
∫
t2 t1
用 Hamilton 原理推导 Lagrange 方程对于有 N 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为:
& & & T = T ( u1 , u 2 , L u N , u1 , u 2 , L u N ) V = V ( u1 , u 2 ,L u N )
(a) (b)
因此动能和位能的变分为：
∫
∫
t2 t1
t2
t1
& & & [ muδu − cuδu − kuδu + p(t )δu]dt = 0
对上式中的第一项进行分部积分
& & & muδudt = ∫ mu(δ
t2 t1 t t t t d d & & & && && u )dt = ∫ mu (δu )dt = ∫ mud (δu ) = muδu tt − ∫ δu ⋅ mudt = − ∫ muδudt t t t t dt dt
结构动力学
（2004秋）
结构动力学
第二章
运动方程的建立
运动方程：描述结构中力与位移关系的数学表达式（有时称动力方程）运动方程是进行结构动力分析的基础运动方程的建立是结构动力学的重点和难点

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kk2111yy11
k12 k22
y2 y2
m1&y&1 0 m2 &y&2 0
2、频率和振型：
✓设
y1 y2
A1 sin t A2 sin t
，代入方程，可建立振幅方程如下：
频率和振型是结构的固有特征
柔度法
m111
1
2
A1
m212 A2
0
m121 A1
m2
22
1
2
➢运动方程 y M &y&
(1)
➢设y Asin t ，其中 A A1 A2 L AnT 是振幅向量。
则&y& 2 Asin t
代入(1)，消除 sin t 后，有
单位矩阵
A 2 M A 0
即
M
1
2
I
A
0
(2)
➢因为A
0，所以
M
1
2
I
0
振型方程
频率方程（或特征方程）
A1 1sin 1t 1 A2 1sin 1t 1
和
y1 y2
A1 2sin 2t 2 A2 2sin 2t 2
是方程的两个特解，方程的通解是两个特解的
线性组合，即
y1 y2
t t
A1 A2
1 sin 1 sin
1t 1t
1 1
A1 2sin 2t 2 A2 2sin 2t 2
✓ 振型向量Ai A1i A2i L Ani T
✓ 振型向量常用表述方法一：令某自由度位移为1，例 Ai 1 2i L
T ni
✓ 振型向量常用表述方法二：标准化（向量的模等于1），令 AiT M Ai 1
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➢上述自振频率和振型的计算步骤和方法同样适用于刚度法。
板书讲解
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§10-7 振型的正交性
➢设一n个自由度体系，1、2 是其两个自振频率，两频率对应的振型如下：
Akj
A1i
A2i
Aki
第i振型
i振型向量Ai A1i A2i L
Ani Aki L
A1 j
A2 j
Anj
第j振型
Ani T j振型向量 A j A1 j A2 j L
12 (m2 &y&2 ) 22 (m2 &y&2 )
刚度法
kk
m1&y&1 0 m2 &y&2 0
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➢双自由度体系作为多自由度体系的特例。
1、方程：柔度法
刚度法
y1 y2
11(m1&y&1) 12 (m2 &y&2 ) 21(m1&y&1) 22 (m2 &y&2 )
A2
0
✓由 A1 、A2不全为零，建立频率方程：
刚度法
k11 2m1 A1 k12 A2 0
k21 A1 k22 2m2 A2 0
柔度法
m111
1 2
m1 21
m212
0
m2 22
1 2
刚度法
k11 2m1
k12
0
k21
k22 2m2
✓对应于 1
，有
y1 y2
A1 1sin 1t 1 A2 1sin 1t 1
Akj L
T
Anj
∵频率和振型满足 kA 2 M A ∴ k Ai i2 M Ai ………..(1)
kA j j2 M A j………..(2)
(1)(2)分别左乘 A jT 和 A iT
A jT k Ai i2 A jT M Ai ………..(3) AiT k A j j2 A iT M A j ………..(4)
✓
频率方程是关于 1
2
的n次代数方程，由此可求的n个的正实根，即为结构的n个自振频率，通常由
小到大排列，称为频率谱。
➢将求得的 1 2 回代入(2)，由于系数行列式等于零，n个方程是相关的，只
能由其中的n-1个方程解得各自由度动位移之间的比值。可见，体系按某一频
率振动的形状是不变的，称之为振型。
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A jT k Ai i2 A jT M Ai ………..(3) AiT k A j j2 A iT M A j ………..(4)
写成矩阵形式 M &y& ky 0
相当于自由度方向上力的平衡。
✓ 设 y Asin t ，代入上述动力平衡方程，得
振型方程 k 2 M A 0
✓ 由 A 0 ，得频率方程 k 2 M 0
➢双自由度体系作为多自由度体系的特例。
1、方程：
柔度法
y1 y2
11 (m1 &y&1 ) 21 (m1 &y&1 )
✓ 动力平衡方程 k11 y1 k12 y2 L k1n yn m1&y&1 0
k21 y1 k22 y2 L
k2n M
yn
m2
&y&2
0
kn1 y1 kn2 y2 L knn yn mn &y&n 0
方程的物理含义：
与位移法方程类似。
体系在自由度位移和惯性力共同作用下，自由度方向上附加约束的约束力等于零。
可见，任一时刻的位移包含两个分量：第一振型分量和第二振型分量
第一振型分量
第二振型分量
通解中的4个待定系数A1 1 、A1 2 、1 、2 （或A2 1 、A2 2 、1 、2 ）由4个初始条件确定。
当各自由度上的初速度、初位移与某一振型具有同样的比例关系时，体系即按该振型振动。其它振型不出现。
➢例题：P.153习题10-26(d) P.154习题10-27(d)
§10-6 多自由度体系的自由振动
➢用柔度法可建立n个自由度体系的运动方程如下
y1 m1&y&111 m2 &y&212 L mn &y&n1n
y2 m1&y&121 m2 &y&222 L
M
mn
&y&n
2
n
yn m1&y&1n1 m2 &y&2n2 L mn &y&nnn
写成矩阵形式
y M &y&
✓ 其中 y y1 y2 L &y& &y&1 &y&2 L
yn T —— 位移向量 &y&nT —— 加速度向量
11 12 L
21 22 L
M M
n1 n2 L
m1
M
m2 O
1n
2n
M
nn
—— 柔度矩阵
—— 质量矩阵
mn
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(1) 1
，
A2 A1
1 1
1,
第一振型向量1
1T 。
对应于
2
，有
y1 y2
A1 2sin 2t 2 ，A2 2 A2 2sin 2t 2 A1 2
2,
第一振型向量1
2T 。
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➢双自由度体系作为多自由度体系的特例。
3、任意初始条件下体系的自由振动方程：
y1 y2