正弦定理2
§1.1.1-2 正弦定理(二)
§1.1.1-2 正弦定理(二)
课堂练习 <<教材>> P.4
练习1.2
书面作业
<<教材>> P.10 习题1.1 A组1(1).2(1.3) B组2
2013-1-16
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
（３）正弦定理的变形：
①
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
边角 互化
③ a : b : c sin A : sin B : sin C
2013-1-16
a b c , sin B , sin C wzzxzgr@ 11
①
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
边角 互化
a b c , sin B , sin C ② sin A 2R 2R 2R
③ a : b : c sin A : sin B : sin C
2013-1-16
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
解法二：由正弦定理 a b c 2 R 得：
sin A sin B sin C
sin A
a b c , sin B , sin C 2R 2R 2R
b c a 2 b2 c2 所以 b c , 2 2 2 2R 2R 4R 4R 4R 即 b2 c2 , a 2 b2 c2，则 b c, a2 b2 c2 ,
4
§1.1.1-2 正弦定理(二)
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
Ａ为锐角
Ｃ b Ａ a<bsinA 无解 Ｃ b a Ａ Ｃ b a b Ｃ a Ｃ
高二数学正弦定理2精选教学PPT课件
正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sin C
思考： 正弦定理的基本作用是什么？
思考： 正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其他边，如 b sin A a sin B
思考： 正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其他边，如 b sin A a sin B ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角可以求其他角的正弦值，如 a sin A sin B b
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课堂小结
2. 正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及 一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一 边的对角.
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课后作业
1. 阅读必修5教材P.2到P.4; 2. 教材P.10习题1.1A组第1、2题.
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思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大. A
A C B
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动.
思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大. A 能否用一个等式把 这种关系精确地表示出 C 来？ B
解三角求其他的边和角的过程叫作
解三角形.
讲解范例： 例1. 在△ABC中，已知A＝32.0 ， B＝81.8 ，a＝42.9cm，解三角形.
o o
练习： 在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1 , 边长精确到1cm):
正弦定理所有公式
正弦定理所有公式
正弦定理是数学中最重要的定理之一，也是三角函数的基础。
它描述了三角形内角度和边长之间的关系。
它是一种把三角形内角度和边长联系起来的定理，可以用来计算三角形内角度、边长和面积等。
正弦定理的第一个公式表明，三角形的两个内角比和为180度，即a+b=180°。
它表明了三角形内的角度总和为180度，也是三角形的基本特征。
第二个正弦定理的公式是sin a / a= sin b / b，它描述了三角形内角a和角b之间的比例关系。
这个关系表明，在三角形中，两个内角的正弦值比值相等。
最后一个正弦定理的公式是a = b = c，它表明三角形的三条边长是相等的。
它表明，如果三角形的三条边都是相等的，则三角形是等边三角形。
正弦定理也可以用来计算三角形的面积。
计算三角形面积的公式为S=1/2ab sin C，其中a和b分别是三角形的两条边长，C是三角形的夹角大小。
正弦定理的应用非常广泛，它可以用于计算三角形的角度、边长和面积，以及求解其他相关问题。
它是三角函数的基础，也是数学中最重要的定理之一。
正弦定理二
a b c 正弦定理: (1)正弦定理 = = = 2R sinA sinB sinC
(2)正弦定理解两种类型的三角问题: 正弦定理解两种类型的三角问题:
(1)已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角; 已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角; 已知两角和任意一边 (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的其 已知两边和其中一边的对角, 已知两边和其中一边的对角 他的边和角. 他的边和角.
角 化 为 边
因此三角形为等腰直角三角形. 因此三角形为等腰直角三角形.
变形: 变形:sinA b = sinB a
cos A a = cos B b
cos A b = cos B a
已知 ABC 中,满足
(a 2 + b 2 ) sin( A B) = (a 2 b 2 ) sin( A + B ) ,试判断 ABC
b sin A 2 sin 30o sin B = = =1 a 1 π
C b A a=bsinA B
又 B ∈ (0, π ) ,所以 B = 所以 2 即三角形ABC有一解 有一解. 即三角形 有一解
(1)已知ABC 中,A= 30°,a=1,b=2,则 ( A ) ) ° , , A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , (2)已知ABC中,A=30°, a= 2 ,b=2,则 ) ° , (B) A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , 1 (3)已知ABC 中,A=30°, a= 2 ,b=2,则 ) ° , ( ) A,有一解 B,有两解 C,无解 D,不能确定 , , , , (4)已知 ABC 中,A=30°,a=m ,c=10,有两解, ) ° ,有两解, 则m范围是 范围是 . 由正弦定理得: 解:(2)由正弦定理得 2 由正弦定理得 又 B ∈ (0, π )且a<b π 3π 所以 B = 或
正弦定理变形9种公式
正弦定理变形9种公式摘要：一、正弦定理简介二、正弦定理的九种变形公式1.公式一2.公式二3.公式三4.公式四5.公式五6.公式六7.公式七8.公式八9.公式九三、总结正文：一、正弦定理简介正弦定理是三角学中的一个重要定理，它揭示了三角形中各边与对应角的正弦值之间的比例关系。
根据正弦定理，我们可以通过已知的边长和角度来计算其他边长或角度。
正弦定理的数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，A、B、C 分别表示对应的三個角。
二、正弦定理的九种变形公式1.公式一：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA2.公式二：b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosB3.公式三：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC4.公式四：a^2 = b^2 + c^2 + 2bc*cosA5.公式五：b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosC6.公式六：c^2 = a^2 + b^2 + 2ab*cosB7.公式七：a^2 = b^2 - c^2 + 2bc*cosC8.公式八：b^2 = a^2 + c^2 + 2ac*cosA9.公式九：c^2 = a^2 - b^2 + 2ab*cosB三、总结正弦定理是三角学中非常基础且重要的定理，掌握其各种变形公式有助于我们更好地理解和应用正弦定理。
在解决实际问题时，我们可以根据问题的具体需求选择合适的公式进行计算。
1.1.1正弦定理2
a b a sin B 1 sin A 解：由 sin A sin B 得 b 2
∵ 在 ABC 中 a b ∴ A 为锐角
A 30
变式：在例 2 中，将已知条件改为以下 几种情况，角B的结果有几种？
1 2
b 20, A 60 , a 20 3 ;
S ABC
∴
S ABC
1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
1 1 S ABC ac sin B ab sin C 2 2 1 bc sin A 2 1 1
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即
变式:
a b c sin A sin B sin C
j AB j AC j CB
B A
j
csin A asinC
同理，过点C作 j BC
a c sin A sin C
则
j AB j (AC CB )
变式训练：
（1） 在△ABC中，已知b= ， 3 A=
45 ， B=
，求 60 a。
b sin A a b 3 sin 45 = = 2 解： ∵ ∴ a sin B sin A sin B sin 60
（2） 在△ABC中，已知c= ， 3A=
， 75B =
60b。 ，求
a b c 3 2 R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
a b b c c a 1 ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A 2sin A : sin B : sin C a : b : c
三角形公式的汇总
三角形公式的汇总
三角形是一个具有三条边和三个角的多边形。
以下是一些与三角形相关的公式：
1. 周长公式：三角形的周长等于三条边的长度之和。
周长 = 边1长度 + 边2长度 + 边3长度
2. 海伦公式：用于计算三角形的面积，其中海伦公式根据三条边的长度进行计算。
面积 = 平方根(s * (s-边1长度) * (s-边2长度) * (s-边3长度))
其中s = (边1长度 + 边2长度 + 边3长度) / 2
3. 正弦定理：用于计算三角形的角度和边长之间的关系。
正弦定理1：a/sinA = b/sinB = c/sinC
正弦定理2：边长a/sinA = 边长b/sinB = 边长c/sinC
4. 余弦定理：用于计算三角形的角度和边长之间的关系。
余弦定理1：a² = b² + c² - 2bc * cosA
余弦定理2：边长a² = 边长b² + 边长c² - 2bc * cosA
5. 正切定理：用于计算三角形的角度和边长之间的关系。
正切定理1：tanA = a/b
正切定理2：tanA = (b*sinC) / (c-b*cosC)
以上是一些常见的三角形公式，它们可以用于解决与三角形相关的问题。
【新教材】正弦定理 (2)
C
＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径 ．
2．正弦定理的变形
(1)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C ；
(2)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； c
(3)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝ 2R ；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A .
解题技巧(已知两角及一边解三角形问题的基本方法)
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边， 再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三 边；
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理 求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
【跟踪训练1】
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 A
解析 因为 tan A＝13，所以 sin A＝ 1100.由正弦定理知 AB＝sBinCA·sin
C＝
10sin 150°＝
10 2.
答案
10 2
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
例 2 在△ABC 中，A＝45°，c＝ 6，a＝2，求 b，B，C.
解析
∵sina A＝sinc C，∴sin C＝csian A＝
答案：2
题型分析 举一反三
题型一 已知两角及一边解三角形
例 1 在△ABC 中，A＝30°，C＝105°，a＝10，求 b，c，B. 解析 因为 A＝30°，C＝105°，所以 B＝45°. 因为sina A＝sinb B＝sinc C， 所以 b＝assiinnAB＝10sisnin3405°°＝10 2， c＝assiinnAC＝10ssiinn3100°5°＝5 2＋5 6.
正弦定理(2)
a : b : c sin A : sin B : sin C
面积公式:
S 1 2 a b sin C 1 2 a c sin B 1 2 b c sin A
正弦定理的用途：
(1) 已知两角和任一边，解三角形 解唯一 (2) 已知两边和其中一边的对角，解三角形 解不唯一
结论:已知a，b，A 判断三角形的解的个数 ，求B 无 1.若 sin B > 1,则_____解
例 4 . 在 ABC 中， （ 1） A 60 ， a 1， b c 2，解此三角形； （ 2） ab 60 ， A cos B ， S 15 ，求三角形三内角。 sin
cos A cos B
b a
4 3
, 且 b 8, 半径 .
求 a 及 ABC 的内切圆半径和外接圆
a b c 正弦定理的变形： 2R sin A sin B sin C abc sin A sin B sin C 2R
在 ABC 中， A B 是 sin A sin B 的充要条件。
正弦定理（二）
内容
正 弦 定
在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等
数学表达式
理
a sin A
b sin B
c sin C
正弦定理
a sin A
在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等。
b sin B c sin C
2 RABC外接圆的半径
变形: a 2 R sin A b 2 R sin B c 2 R sin C
解的情况（一解、两解 、无解）
(1 ) (2) (3) (4)
正弦定理(2)
(4) sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
＝a C sin
＝b A sin
＝c B sin
. C
正弦定理的用途：
1、已知两角和任一边,求其他两边和一角;
1已知A、B、a. 求C、b、c.
2已知A、B、c.求a、b、C.
2、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 及其他的边和角
3
2
（1）求 b 的值；（2）求 ABC 的面积.
2
【解析】（1）∵ 0 A ，∴ sin A
1 cos2 A
1
6 3
3， 3
又∵
B
A
2
，∴ sin
B
sin
A
2
cos
A
6， 3
由正弦定 理
a
b
，得 b a sin B 3
6 3
3
2；
sin A sin B
sin A
3
3
（2）
(1)a＝10，b＝20，A＝80°； 解 (1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， 讨论如下：∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10 3， ∴a<bsin A，∴本题无解．
(2)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
(2)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°， ∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A， ∴bsin A<a<b，∴本题有两解．
2
当 B C π 时，由 A B C π， A 2B ，得 π ；
2
2
当 C π 时，由 A B C π， A 2B ，得 π ．
必修5解三角形第02课时 正弦定理2
必修5解三角形第02课时 正弦定理2要求：会应用正弦定理求解实际问题、判断三角形的形状、证明平面几何问题重点：求解实际问题、判断三角形的形状 难点：证明平面几何问题过程：一、复习一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．1、正弦定理表示形式：R C c B b A a 2sin sin sin ===（外接圆直径）；⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2；C B A cb a sin :sin :sin ::=.2、正弦定理应用范围：利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题. ①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边或角）.3、正弦定理的变形及面积公式：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；(R 为△ABC 的外接圆半径) ②R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===；③三角形面积公式：B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ Rabc 4=C B A R s i n s i n s i n 22= r c b a )(21++=（其中r 为△ABC 的内切圆半径）．4、基础练习：(1)在△ABC 中，一定成立的等式是（ ）A ．B b A a sin sin = B ．B b A a cos cos =C ．A b B a sin sin =D ．A b B a cos cos =(2)在△ABC 中，若2cos 2cos 2cos C c B b A a==，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等边三有形(3)在∆ABC 中，A =60︒，a =3，则CB A c b a s i n s i n si n ++++等于 .(4)根据下列条件解三角形：b =47,c =38,C =110︒二、正弦定理的应用常规题型及其解法例1：根据下列条件解三角形：a =16，b =26，A =30︒.两解变：(1) a=13，b=26，A=30︒；一解(2) a=12，b=26，A=30︒；零解(3) a=30，b=26，A=30︒.一解归纳：在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况：1．如果A为锐角，当：(1) a=b sin A时有一解；(2) b sin A< a <b时有两解；(3) a≥b时有一解.(4) a < b sin A时无解2．A为直角或钝角，a>b时一解.利用正弦定理求范围例2：在△ABC中，a=x，b=2，B=45︒，若三角形有两解，则x的取值范围是.练习：在△ABC中，a=2，c=1，则角C的取值范围是.例 3.在△ABC 中, 若C =3B , 求b c 的取值范围.这类题型一般是将目标式转化为某个变量的函数解: ∵ A + B + C=π, ∴ C=3B.∴ A=π- 4B>0, ∴ 0<B<4π，∴ 0<sin 2B<21. 又 ∵ sin sin 3sin(2)sin sin sin c C B B B b B B B+=== =3sin 2cos cos 2sin 3sin 4sin sin sin B B B B B B B B+-==3 – 4sin 2B , ∴ 1<3 – 4sin 2B <3, 故1<bc <3.若改条件“C =3B ”为“C =2B ”呢？例 4. 判断满足下列条件的△ABC 的形状：(1) sin 2A+sin 2B=sin 2C ；(2) a cos B =b cos A ； (3) C c B b A a cos cos cos ==； (4)c C b B a A cos cos sin ==.小结：利用正弦定理判断三角形形状的方法1、化角为边的等式，根据勾股定理判断；2、化边为角的等式，根据三角函数的单调性判断.变：在△ABC 中，设BC =a ，CA =b ，=c ， 且a ∙b =b ∙c =c ∙a ，判断三角形的形状.提巩固高例 5.在△ABC 中，AD 是∠A 的内（外）角平分线， 证明：DC BD AC AB =.利用正弦定理证明平面几何问题把分散的量集中起来！三、课堂小结：1、解的组数的讨论在△ABC 中，已知a 、b 和A 时解三角形的各种情况：（1）如果A 为锐角，当：(1) a =b sin A 时有一解；(2) b sin A < a <b 时有两解；(3) a ≥b 时有一解.(4) a < b sin A 时无解（2）A 为直角或钝角，a >b 时一解.2、利用正弦定理判断三角形形状的方法（1）化角为边的等式，根据勾股定理判断；（2）化边为角的等式，根据三角函数的单调性判断.3、利用正弦定理证明平面几何问题四、课堂巩固1.在△ABC 中，若a·cosA=b·cosB ，则△ABC 是( )(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰或直角三角形 (D)等腰直角三角形2.在△ABC 中，若c b a C B A ：：求,5:4:3::=3.在△ABC 中，若,3,600==a A 求 cb C B C B Ac b a 2sin 2sin )2(sin sin sin )1(++++++的值4.在△ABC 中，若B a sin =C b sin =Ac sin ，试判断三角形的形状五、作业布置1. 在∆ABC 中，若ba B A =tan tan ，则∆ABC 的形状为 . 2. 在∆ABC 中，若3a=2bsinA ，则B= .3. 在∆ABC 中，若a+b=3+2,A=60︒，B=45︒，则c= .4. 在∆ABC 中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6，且a+b+c=30，则a= .5. 在∆ABC 中，若b=2，B=45︒，且此三角形有两解，则a 的取值范围是 .6. 在∆ABC 中，已知C=2B ，求c b 的取值范围.7. 在∆ABC 中，已知tanA=21，tanB=31，且最长边的长为55，求： (1)C ；(2)最短边的长.8．在ABC ∆中，若cC b B a A cos cos sin ==，试判断ABC ∆的形状．9.在△ABC 中，已知a =m ，c =10，C =30︒，求b .(1) m =20；(2) m =15；(3) m =8；(4) m =25.参考答案：1. 等腰三角形2. 60︒或120︒3.226+4.85.(2,22)6.(21,1)7.(1)C=π43;(2)最短边长b=58. C B A。
正弦定理(二)课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故 cos B＝
2 又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
，
2
跟踪训练3
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解
sin A＝sin (30°＋45°)
2＋ 6
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ 4 .
正 弦 定 理 (二)
学习目标
1.利用正弦、余弦定理了解三角形中边与角的关系.
2.利用正弦、余弦定理判断三角形的形状.
3.掌握正弦、余弦定理的简单应用.
知 识 梳 理
1.余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
a2＝b2＋c2－2bccos A，
c2＝a2＋b2－2abcos C，
a
b
c
2.正弦定理sin A＝sin B＝sin C＝2R
3.常见误区：利用正弦定理进行边
形的形状.
和角的正弦相互转化时易出现不等
(3)正弦、余弦定理的综合应用.
价变形.
B＝sin
2B·
tan
A，
注意边化角
sin B
sin A
即 sin 2A·
＝sin 2B·
.
cos B
cos A
在△ABC中，因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0，
所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，
注意正切化
两弦
例2
a2 tan A
2
A
A
A
A
3
18-19 第1章 第2课时正弦定理(2)
解三角形
1.1 正弦定理
第2课时 正弦定理(2)
自 主 预 习 • 探 新 知
学习目标：1.利用正弦定理判断三角形的形状，计算三角形的面积．(重 点)2.正弦定理与三角恒等变换的综合应用．(难点)3.利用正弦定理解题时，忽
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
略隐含条件而致误．(易错点)
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
返 首 页
自 主 预 习 • 探 新 知
则由正弦定理可知 AB BC ＝ ， sin β sinα＋β BCsin β 即 AB＝ . sinα＋β
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
思考 2：在△ABC 中，已知 acos B＝bcos A．你能把其中的边 a，b 化为 用角表示吗(打算怎么用上述条件)? [提示] 可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A，移项 后就是一个三角恒等变换公式 sin Acos B－cos Asin B＝0.
课 时 分 层 作 业
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 即 sin(B－C)＝0，∴B－C＝0，即 B＝C，
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
∴△ABC 是等腰直角三角形.
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
[自 主 预 习· 探 新 知]
正弦定理等于2r推导
正弦定理等于2r推导正弦定理是高中数学中重要的一条定理，它描述了一个三角形中的各个角度和边长之间的关系。
该定理的表述方式是：在任意一个三角形ABC中，有：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$其中，a，b，c是三角形ABC的三条边，A，B，C是三角形ABC的三个内角，R是这个三角形的外接圆的半径。
本文将通过推导过程来展开这个等式。
假设我们能够找到一个三角形ABC的外接圆O，并把这个圆的直径AC记为d。
则根据圆的性质，我们可以得出：∠AOC = 2∠B∠BOC = 2∠A∠AOB = 2∠C而这个圆的半径R等于一半的直径d/2，因此R=d/2。
因此，我们可以把sin2∠A和sin2∠B分别代入正弦公式的分子和分母：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$\frac{a}{2sinAcosA}=\frac{b}{2sinBcosB}=\frac{c}{2sinCcosC }=d$根据合并分式以及cos 2∠A和cos 2∠B的公式，我们可以得到：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$\frac{a}{sin2A}=\frac{b}{sin2B}=\frac{c}{sin2C}=d$$\frac{a}{2sinAcosA}=\frac{b}{2sinBcosB}=\frac{c}{2sinCcosC }=\frac{d}{2cosA}=\frac{d}{2cosB}=\frac{d}{2cosC}$ $acosA=\frac{d}{2}\times sinA= \frac{1}{2}bsinC$$bcosC=\frac{d}{2}\times sinC= \frac{1}{2}asina$$c cosC = \frac{d}{2}\times sinB= \frac{1}{2}bsinA$代入原式，有：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$\frac{1}{sinA } \times \frac{1}{sinC } \left( acosA \right) =\frac{1}{sinB } \times \frac{1}{ sinC } \left( bcosC \right) =\frac{1}{sinB} \times \frac{1}{sinA } \left( ccosC \right) $$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{abc}{2R\left(a{sinC+b{sinA}+c{sinB}}\right)}$最终我们得到了正弦定理的推导公式：$a=\frac{2RsinA}{sinA {sinC}+sinB {sinA} +sinC {sinB}}$$b=\frac{2RsinB}{sinA {sinC}+sinB {sinA} +sinC {sinB}}$$c=\frac{2RsinC}{sinA {sinC}+sinB {sinA} +sinC {sinB}}$这个公式展示了三角形的三个边长和对角度的正弦有什么关系，并揭示R值的秘密。
正弦定理2
正弦定理
1.在ABC中，已知a2tanB=b2tanA,试判断 ABC的形状
2.在ABC中，已知a+b= a + b ,试判断 tan A tan B
ABC的形状
正弦定理
(1)一个三角形的两内角分别为45°与60°，如果45°角所
对的边长是6，那么60°角所对的边的边长为( )
A．3 6
10sin150°＝
10 2.
答案：(1)A
10 (2) 2
正弦定理
(1)在△ABC中，A＝60°，a＝4 3 ，b＝4 2 ，则B＝
() A．45°或135°
B．135°
C．45°
D．以上答案都不对
(2)在△ABC中，a＝ 3 ，b＝ 2 ，B＝45°，则A＝
________.
正弦定理
解析：(1)由sianA＝sibnB，
正弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 coasA＝cobsB＝cocsC，试判断△ABC的形状．
正弦定理
解：由正弦定理sianA＝sibnB＝sincC＝2R， 得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC， 代入coasA＝cobsB＝cocsC中，得 2cRossinAA＝2cRossinBB＝2cRossinCC， 即csoinsAA＝csoinsBB＝csoinsCC， ∴tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C. 因此△ABC为等边三角形．
正弦定理
【解】 法一：设sianA＝sibnB＝sincC＝k， 则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C. ∴ak2＝bk2＋ck2. ∴a2＝b2＋c2，即△ABC是以角A为直角的直角三角 形． ∵sinA＝2sinB·cosC，
正弦定理中的2r推导
在三角形中，正弦定理描述了三个边和其对应的角之间的关系。
它可以表示为：[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2r ]其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C表示对应的角的大小，r表示三角形外接圆的半径。
现在我们来推导这个公式：假设有一个三角形ABC，其中AB为边长为c，BC为边长为a，AC为边长为b。
设O为三角形的外接圆心，r为外接圆的半径。
首先，根据外接圆的性质，我们知道AO、BO、CO都等于r，因此三角形AOB、BOC、COA都是等腰三角形。
接下来，我们以三角形AOB为例进行推导。
根据三角形AOB的定义，我们可以得到以下两个等式：[ \angle AOB + \angle ABC = 180^\circ ][ \angle AOB + \angle ACB = 180^\circ ]将两个等式相加，可得：[ (\angle AOB + \angle ABC) + (\angle AOB + \angle ACB) = 2\angle AOB + \angle ABC + \angle ACB = 360^\circ]由于(\angle ABC + \angle ACB = \angle BAC)（三角形内角和为180°），所以可以得到：[ 2\angle AOB + \angle BAC = 360^\circ]再进一步，我们知道在等腰三角形AOB中，两个底角\(\angle AOB\)相等，设它们都为x，则有：[ 2x + \angle BAC = 360^\circ]化简得：[ 2x = 360^\circ - \angle BAC]由于外接圆的性质，我们知道\(\angle BAC\)对应的弧度为\(\frac{b}{2r}\)。
因此，可以将上式改写为：[ 2x = 360^\circ - \frac{b}{2r}]最后，根据正弦函数的定义，我们知道：[ \sin x = \frac{c}{2r}]将上述等式代入，可以得到：[ 2r\sin x = c]即：[ 2r = \frac{c}{\sin x}]由于x对应的是角AOB，而AOB是三角形ABC的对边比例关系，所以我们可以推广到所有的边和角，得到正弦定理的形式：[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2r ]这就是正弦定理的推导过程。
正弦定理2
3、在 ABC中，b 3, B 60 , c 1, 求a和A, C
0
4
、
ABC中，c 6 , A 45 , a 2, 求b和B, C
0
正弦定理的应用
例题讲解
例3 在 ABC 中， B 45, C 60, a 2( 3 1) ，求
ABC 的面积S． 解：
a b c （１）正弦定理: 2R sin A sin B sin C
（２）正弦定理解两种类型的三角问题：
(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；唯一解 (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他 的边和角。注意解的个数
（３）正弦定理的变形：
①
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
a b c 同样可证得： A sin B sin C sin
j A C
（1）已知 ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定
（2）已知ABC 中,A=30°, a= 2，b=2，则 （ ） A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定 （3）已知 ABC 中,A=30°, a= 1 ，b=2，则 （ ） 2 A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定 （4）已知 ABC 中，A=30°，a=m ，c=10，有两解，则m范围 是 。
注意解的情况(利用大边对大角、内角和定理等）
周五作业
1、根据已知条件判断△ABC解的情况. (1) b=1 ，a=2，B=30o (2)b=1， a=3，B=30o (3)b=1，a= 3，B=30o (4)b=1，a= 3 ，B=150o (5)b= 3 ，a=1，B=120o
第2课时——正弦定理(2)(教、学案)
第2课时 正弦定理（2） 【学习导航】知识网络 正弦定理→测量问题中的应用学习要求1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．学会用计算器，计算三角形中数据。
【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===Cc B b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=（2）R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin = 2．三角形的面积公式：（1）C ab s sin 21==A bc sin 21=B ca sin 21 （2）s=C B A R sin sin sin 22（3）Rabc s 4= 【精典范例】【例1】 如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）． 分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑解△ＡＢＤ．【解】过点Ｄ 作ＤＥ ∥ＡＣ 交ＢＣ 于Ｅ，因为 ∠ＤＡＣ ＝２０°，所以∠ＡＤＥ＝１６０°，于是∠ＡＤＢ＝３６０°－１６０°－６５°＝１３５°．又∠ＢＡＤ＝３５°－２０°＝１５°，所以∠ＡＢＤ＝３０°． 在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得21000sin sin =∠∠=ABD ADB AD AB （ｍ）．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ＡＢｓｉｎ３５°＝１0002ｓｉｎ３５°≈８１１（ｍ）． 答 山的高度约为８１１ｍ．【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？（819.055sin ,766.050sin 00≈≈）分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C ；（2）求三角形的高。
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等腰三角形或直角三角形
D
）
例2.在∆ABC中，a + b = 6 + 6 3, A = 30°, B = 60° 求边长c
C=12
变式2.在∆ABC中，下列结论正确的是： a b−c (1) = sin A sin B − sin C 2 2 2 2 a +b b+c sin A + sin B sin B + sin C (2) = ⇔ = c a sin C sin A （3）a=b ⇔ sin2A=sin2B (4) sin B > sin C ⇔ b > c ⇔ B > C
C a b h 60° B
A
2.在△ABC中,a=m, b=2, B=30°, 若这个三角形 中 °
有两个解， 的取值范围是_______. 有两个解，则m的取值范围是 的取值范围是
m 30°
m
m 2
m <2<m 2
B
30
°
2<m<4
探究新知（ 探究新知（一）
正弦定理的常见变形公式有哪些？ 正弦定理的常见变形公式有哪些？
a+b a+b+c (4) = = 2 R(比例的性质） sin A + sin B sin A + sin B + sin C
注意：根据（ ），（2 注意：根据（1），（2）可以实现三 角形中的边和角之间的相互转化。 角形中的边和角之间的相互转化。
典例分析
a b 例1.（1）∆ABC中， , ∆ABC 为（ C ） = cos A cos B
小结 1.正弦定理的常见变形公式： 正弦定理的常见变形公式： 正弦定理的常见变形公式 （）a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C 1
(边化角公式）
a b c （2） A = ,sin B = ,sin C = sin （角化边公式） 2R 2R 2R 2.三角形面积计算公式 2.三角形面积计算公式： 三角形面积计算公式：
前置测评
1.在 ∆ABC中 ， 角B的结果有几种？
(1)b = 20, A = 60°, a = 6 3 无解 (2)b = 20, A = 60°, a = 10 3 一解 (3)b = 20, A = 60°, a = 11 3 两解A (4)b = 20, A = 120°, a = 2 3 无解 (5)b = 20, A = 120°, a = 20 3 一解
高一数学必修五第一章
解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理 正弦定理（ 1.1.1 正弦定理（2）
复
习
1.正弦定理： 1.正弦定理：在△ABC中 正弦定理 ABC中
a b c = = = 2R sinA sinB sinC
2.解三角形及三角形解的个数 2.解三角形及三角形解的个数 题型一.已知任意两角及一边有唯一解 有唯一解 题型二. 题型二.已知任意两边与其中一边的 可能有一解， 可能有一解，两解或无解 对角. 对角.
√
×
×
√
探究新知（ 探究新知（二）
你知道的三角形面积计算公式有哪些？ 你知道的三角形面积计算公式有哪些？
1 1 1 (1) S = ah a = bhb = chc 2 2 2
h=?
1 1 1 (2)S= a b sinC = a c sinB = b c sinA 2 2 2
正弦定理
(3 ) S =
1 1 1 （1） S= a b sinC = a c sinB = b c sinA 2 2 2 (2) A + B + C = π (3) sin( A + B ) = sin C , cos( A + B ) = − cos C A+ B C A+ B C (4) sin = cos , cos = sin 2 2 2 2
5 2 5 或 5 5
例4.已知∆ABC中，c = 2 2, a > b, C =
6 10 8 5 24 a= ,b = ,S = 5 5 5
π
4 tan A tan B = 6, 试求a、b及此三角形的面积。
说明：一下三角关系式， 说明：一下三关系式，在解答有关三角形时会经常用 要熟记、记准，并能灵活应用。 到，要熟记、记准，并能灵活应用。
2
(4)S = 2R sin Asin BsinC
a b c 4 R
例3.在∆ABC中，a = 3, b = 5, cos C是方程 10 x − 29 x − 21 = 0的根，求∆ABC的面积。
2
S=6
变式3.在∆ABC中，若AB = 2，BC = 5，S∆ABC =4 B 求 sin 的值。 2
1 1 1 S= a b sinC = a c sinB = b c sinA 2 2 2
作业 1.体验成功1.1.1第7题 1.体验成功1.1.1第 体验成功1.1.1
2.在∆ABC中，B = 30°，AB = 2 3, AC = 2 求此三角形的面积。
（ ）a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C 1
a b c = = = 2R sinA sinB sinC
(边化角公式）
a b c （2） A = sin ,sin B = ,sin C = （角化边公式） 2R 2R 2R (3)a : b : c = sin A : sin B : sin C
A、等边三角形 、 C、等腰三角形 、 B、直角三角形 、 D、等腰直角三角形 、
a b 变式1.若 = , 判断三角形的形状。 变式 若 cos B cos A
变式2. 在∆ABC中，a 2 tan B = b 2 tan A, 则此三角形是（ A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.直角或等腰三角形