正弦定理2
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2
(4)S = 2R sin Asin BsinC
a b c 4 R
例3.在∆ABC中，a = 3, b = 5, cos C是方程 10 x − 29 x − 21 = 0的根，求∆ABC的面积。
2
S=6
变式3.在∆ABC中，若AB = 2，BC = 5，S∆ABC =4 B 求 sin 的值。 2
（ ）a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C 1
a b c = = = 2R sinA sinB sinC
(边化角公式）
a b c （2） A = sin ,sin B = ,sin C = （角化边公式） 2R 2R 2R (3)a : b : c = sin A : sin B : sin C
小结 1.正弦定理的常见变形公式： 正弦定理的常见变形公式： 正弦定理的常见变形公式 （）a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C 1
(边化角公式）
a b c （2） A = ,sin B = ,sin C = sin （角化边公式） 2R 2R 2R 2.三角形面积计算公式 2.三角形面积计算公式： 三角形面积计算公式：
等腰三角形或直角三角形
D
）
例2.在∆ABC中，a + b = 6 + 6 3, A = 30°, B = 60° 求边长c
C=12
变式2.在∆ABC中，下列结论正确的是： a b−c (1) = sin A sin B − sin C 2 2 2 2 a +b b+c sin A + sin B sin B + sin C (2) = ⇔ = c a sin C sin A （3）a=b ⇔ sin2A=sin2B (4) sin B > sin C ⇔ b > c ⇔ B > C
A、等边三角形 、 C、等腰三角形 、 B、直角三角形 、 D、等腰直角三角形 、
a b 变式1.若 = , 判断三角形的形状。 变式 若 cos B cos A
变式2. 在∆ABC中，a 2 tan B = b 2 tan A, 则此三角形是（ A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.直角或等腰三角形
√
×
×
√
探究新知（ 探究新知（二）
你知道的三角形面积计算公式有哪些？ 你知道的三角形面积计算公式有哪些？
1 1 1 (1) S = ah a = bhb = chc 2 2 2
h=?
1 1 1 (2)S= a b sinC = a c sinB = b c sinA 2 2 2
正弦定理
(3 ) S =
1 1 1 （1） S= a b sinC = a c sinB = b c sinA 2 2 2 (2) A + B + C = π (3) sin( A + B ) = sin C , cos( A + B ) = − cos C A+ B C A+ B C (4) sin = cos , cos = sin 2 2 2 2
1 1 1 S= a b sinC = a c sinB = b c sinA 2 2 2
作业 1.体验成功1.1.1第7题 1.体验成功1.1.1第 体验成功1.1.1
2.在∆ABC中，B = 30°，AB = 2 3, AC = 2 求此三角形的面积。
C a b h 60° B
A
2.在△ABC中,a=m, b=2, B=30°, 若这个三角形 中 °
有两个解， 的取值范围是_______. 有两个解，则m的取值范围是 的取值范围是
m 30°
m
m 2
m <2<m 2
B
30
°
2<m<4
探究新知（ 探究新知（一）
正弦定理的常见变形公式有哪些？ 正弦定理的常见变形公式有哪些？
前置测评
1.在 ∆ABC中 ， 角B的结果有几种？
(1)b = 20, A = 60°, a = 6 3 无解 (2)b = 20, A = 60°, a = 10 3 一解 (3)b = 20, A = 60°, a = 11 3 两解A (4)b = 20, A = 120°, a = 2 3 无解 (5)b = 20, A = 120°, a = 20 3 一解
a+b a+b+c (4) = = 2 R(比例的性质） sin A + sin B sin A + sin B + sin C
注意：根据（ ），（2 注意：根据（1），（2）可以实现三 角形中的边和角之间的相互转化。 角形中的边和角之间的相互转化。
典例分析
a b 例1.（1）∆ABC中， , ∆ABC 为（ C ） = cos A cos B
5 2 5 或 5 5
例4.已知∆ABC中，c = 2 2, a > b, C =
6 10 8 5 24 a= ,b = ,S = 5 5 5
π
4 tan A tan B = 6, 试求a、b及此三角形的面积。
说明：一下三角关系式， 说明：一下三角关系式，在解答有关三角形时会经常用 要熟记、记准，并能灵活应用。 到，要熟记、记准，并能灵活应用。
高一数学必修五第一章
解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理 正弦定理（ 1.1.1 正弦定理（2）
复
习
1.正弦定理： 1.正弦定理：在△ABCΒιβλιοθήκη Baidu 正弦定理 ABC中
a b c = = = 2R sinA sinB sinC
2.解三角形及三角形解的个数 2.解三角形及三角形解的个数 题型一.已知任意两角及一边有唯一解 有唯一解 题型二. 题型二.已知任意两边与其中一边的 可能有一解， 可能有一解，两解或无解 对角. 对角.
(4)S = 2R sin Asin BsinC
a b c 4 R
例3.在∆ABC中，a = 3, b = 5, cos C是方程 10 x − 29 x − 21 = 0的根，求∆ABC的面积。
2
S=6
变式3.在∆ABC中，若AB = 2，BC = 5，S∆ABC =4 B 求 sin 的值。 2
（ ）a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C 1
a b c = = = 2R sinA sinB sinC
(边化角公式）
a b c （2） A = sin ,sin B = ,sin C = （角化边公式） 2R 2R 2R (3)a : b : c = sin A : sin B : sin C
小结 1.正弦定理的常见变形公式： 正弦定理的常见变形公式： 正弦定理的常见变形公式 （）a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C 1
(边化角公式）
a b c （2） A = ,sin B = ,sin C = sin （角化边公式） 2R 2R 2R 2.三角形面积计算公式 2.三角形面积计算公式： 三角形面积计算公式：
等腰三角形或直角三角形
D
）
例2.在∆ABC中，a + b = 6 + 6 3, A = 30°, B = 60° 求边长c
C=12
变式2.在∆ABC中，下列结论正确的是： a b−c (1) = sin A sin B − sin C 2 2 2 2 a +b b+c sin A + sin B sin B + sin C (2) = ⇔ = c a sin C sin A （3）a=b ⇔ sin2A=sin2B (4) sin B > sin C ⇔ b > c ⇔ B > C
A、等边三角形 、 C、等腰三角形 、 B、直角三角形 、 D、等腰直角三角形 、
a b 变式1.若 = , 判断三角形的形状。 变式 若 cos B cos A
变式2. 在∆ABC中，a 2 tan B = b 2 tan A, 则此三角形是（ A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.直角或等腰三角形
√
×
×
√
探究新知（ 探究新知（二）
你知道的三角形面积计算公式有哪些？ 你知道的三角形面积计算公式有哪些？
1 1 1 (1) S = ah a = bhb = chc 2 2 2
h=?
1 1 1 (2)S= a b sinC = a c sinB = b c sinA 2 2 2
正弦定理
(3 ) S =
1 1 1 （1） S= a b sinC = a c sinB = b c sinA 2 2 2 (2) A + B + C = π (3) sin( A + B ) = sin C , cos( A + B ) = − cos C A+ B C A+ B C (4) sin = cos , cos = sin 2 2 2 2
1 1 1 S= a b sinC = a c sinB = b c sinA 2 2 2
作业 1.体验成功1.1.1第7题 1.体验成功1.1.1第 体验成功1.1.1
2.在∆ABC中，B = 30°，AB = 2 3, AC = 2 求此三角形的面积。
C a b h 60° B
A
2.在△ABC中,a=m, b=2, B=30°, 若这个三角形 中 °
有两个解， 的取值范围是_______. 有两个解，则m的取值范围是 的取值范围是
m 30°
m
m 2
m <2<m 2
B
30
°
2<m<4
探究新知（ 探究新知（一）
正弦定理的常见变形公式有哪些？ 正弦定理的常见变形公式有哪些？
前置测评
1.在 ∆ABC中 ， 角B的结果有几种？
(1)b = 20, A = 60°, a = 6 3 无解 (2)b = 20, A = 60°, a = 10 3 一解 (3)b = 20, A = 60°, a = 11 3 两解A (4)b = 20, A = 120°, a = 2 3 无解 (5)b = 20, A = 120°, a = 20 3 一解
a+b a+b+c (4) = = 2 R(比例的性质） sin A + sin B sin A + sin B + sin C
注意：根据（ ），（2 注意：根据（1），（2）可以实现三 角形中的边和角之间的相互转化。 角形中的边和角之间的相互转化。
典例分析
a b 例1.（1）∆ABC中， , ∆ABC 为（ C ） = cos A cos B
5 2 5 或 5 5
例4.已知∆ABC中，c = 2 2, a > b, C =
6 10 8 5 24 a= ,b = ,S = 5 5 5
π
4 tan A tan B = 6, 试求a、b及此三角形的面积。
说明：一下三角关系式， 说明：一下三角关系式，在解答有关三角形时会经常用 要熟记、记准，并能灵活应用。 到，要熟记、记准，并能灵活应用。
高一数学必修五第一章
解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理 正弦定理（ 1.1.1 正弦定理（2）
复
习
1.正弦定理： 1.正弦定理：在△ABCΒιβλιοθήκη Baidu 正弦定理 ABC中
a b c = = = 2R sinA sinB sinC
2.解三角形及三角形解的个数 2.解三角形及三角形解的个数 题型一.已知任意两角及一边有唯一解 有唯一解 题型二. 题型二.已知任意两边与其中一边的 可能有一解， 可能有一解，两解或无解 对角. 对角.