分布图分析法

2.理论分布曲线
（1）正态分布
机械加工中，用调整法加工一批零件，其尺寸误差是由很多相互独 立的随机误差综合作用的结果，如果其中没有一个是起决定作用的随机 误差，则加工后零件的尺寸将近似于正态分布。正态分布曲线的概率密 度函数表达式为：
y 1 e
1 x 2 2
2
图44 正态分布曲线
（2）非正态分布
工件的实际分布，有时并不近似于正态分布。例如：
a)
b) 图45 非正态分布
c)
d)
①将两次调整机床下加工的工件混在一起，如两次常值系统误差之差值大于 2.2σ , 工件尺寸（或偏差）就会得到双峰曲线（45a图）；若把两台机床加 工的工件混在一起，由于机床精度也不同(随机误差的影响也不同，亦即σ 不 同)，则曲线的两个高峰也不一样； ②若加工中刀具或砂轮磨损较大，则工件的尺寸分布曲线为平顶（45b图）； ③当工艺系统存在显著的热变形时，或用试切法加工时，工件尺寸分布曲线为 不对称分布（45c图）； ④对于端面圆跳动和径向圆跳动一类的误差，其分布为瑞利分布（也是不对称 的分布）（45d图）。
（公式20）
④组距 d 将样本尺寸或偏差按大小顺序排列，并将它们分成 k 组，组距为 d。d 可按下式计算：
（公式21）
⑤频数mi ⑥频率fi
同一尺寸或同一误差组中的零件数量； 频数 mi 与样本容量 n 之比 ，即： fi = mi/ n；
（公式22）
⑦频率密度 ⑧样本平均值
x
（公式23）
表示样本的尺寸分散中心。 反映该批工件的尺寸分散程度。
（公式28）
工序能力系数代表了工序能满足加工精度要求的程度，见表3。
表3 工序能力等级 工序能力系数 Cp＞1.67 1.67≥Cp＞1.33 1.33≥Cp＞1.0 1.0≥Cp＞0.67 0.67≥Cp 工序等级 特级 一级 二级 三级 四级 说明 工艺能力过高，可以允许有异常波动，不一定经济 工艺能力足够，可以允许有一定的异常波动 工艺能力勉强，必须密切注意 工艺能力不足，可能出现少量不合格品 工艺能力很差，必须加以改进
（3）估算合格品率和不合格品率 不合格品率包括废品率和可返修的不合格品率。它可通过分布 曲线进行估算，现举例说明（T2-1） 分布图分析法的不足：没有考虑一批工件加工的先后顺序，故 不能反映误差变化的趋势；难区别变值系统误差与随机误差的影响； 必须等到一批工件加工完成后才能绘图分析，因此不能在加工过程 中及时提供控制精度的信息。点图法可以弥补上述不足。
（2）直方图的绘制 ①收集数据 从总体中抽取样本，确定样本容量； ②确定分组数k、组距d、各组组界和组中值； ③记录各组数据，整理成频数分布表（如表2）； ④根据上表数据画出直方图（见图42）； ⑤在图上作出最大极限尺寸及最小极限尺寸的标志线，并计算 x 和S。
表2 频数分布表
图42 直方图
由直方图可以直观地看到工件尺寸或误差的分布情况。欲进一 步研究工序的加工精度问题，必须找出频率密度与加工尺寸间的关 系，因此必须研究理论分布曲线。
谢谢大家！
2．随机误差
在顺序加工的一批工件中，其加工误差的大小和方向的变化是随机的，称 为随机误差。
毛坯误差的复映、定位误差（基准面精度不一、间隙影响）、夹紧误差、 多次调整的误差、残余应力引起的变形误差等均属随机误差。 注意：不同场合，误差的表现性质不同，应注意进行具体分析。
2.5.2 分布图分析法
1.实验分布图（直方图） （1）有关术语 ①样本 成批生产中抽取其中一定数量零件进行测量，抽取的这批零件称之； ②样本容量 n 抽取的零件件数； ③极差 R 由于各种误差的影响，加工尺寸或偏差总在一定范围内变动（称为 尺寸分散），即为随机变量x。样本尺寸或样本偏差的最大值xmax与最小值 xmin之差称为极差： R＝xmax-xmin
（公式24）
⑨样本的标准差S
注意：组数k和组距d的选择对实验分布图的显示好坏有很大关系。K过 多，d太小，分布图会被频数的随机波动所歪曲； K过少，d太大，分布 特征将被掩盖。K一般根据样本容量来选择。
表1 分组数k的选定 n k 25~40 6 40~60 7 60~100 8 100 10 100~160 11 160~250 12
2.5 加工误差的统计分析
2.5.1 加工误差的性质
1．系统误差
在顺序加工的一批工件中，其加工误差的大小和方向都保持不变，或按一 定规律变化，统称为系统误差。前者称常值系统误差，后者称变值系统误差。 加工原理误差，机床、刀具、夹具的制造误差，工艺系统的受力变形等引 起的加工误差，机床、夹具、量具等磨损引起的加工误差，在一次调整的加工 中均属常值系统误差。 机床、刀具和夹具等在热平衡前的热变形误差，刀具的磨损等引起的加工 误差均属变值系统误差。
（-∞＜ x ＜∞，σ >0 ）
（公式25）
式中： y——分布的概率密度（即频率密度）； x——随机变量（即样本尺寸或样本误差）； μ ——正态分布随机变量总体的算术平均值（即由样本平均值代 替）； σ ——正态分布随机变量的标准差（即由样本标准差代替）。
其中，μ 是表征正态分布曲线位置的参数，σ 是表征正态分布曲线 形状的参数（如图43）。
F z e 2
0
1
z

z2 2
dz
（公式2值，可在表中查出相应的概 率F(z)。F(z)可用于计算正品率或废品率。
正态分布的随机变量的分散范围为±3σ ，即 加工尺寸（或偏差）落在该范围的可能性（置信 概率）为99.73%。这就是所谓的±3σ 原则。6σ 代表了某种加工方法在一定条件下（如毛坯余量， 切削用量，正常的机床、夹具、刀具等）所能达 到的加工精度。所以一般情况下，选择的加工方 法的标准差应满足： 6σ ≤T ( T为工件公差值）
非正态分布的尺寸（偏差）分散范围为：T=6σ ／k （k为相对分布系数）。
非正态分布的分布中心偏移量为：△＝eT／2 （e为相对不对称系数）。 (k，e的具体数值可参考相关表) 3.分布图分析法的应用 （1）判别加工误差性质 若加工过程中没有变值系统误差，那么其尺寸分布应服从正态分布， 这是判别加工误差性质的基本方法。
若实际分布与正态分布基本相符，加工过程中没有变值系统误差 （或影响很小），这时就可进一步根据样本平均值是否与公差带中心重 合判断是否存在常值系统误差。 若实际分布与正态分布有较大出入，可根据直方图初步判断变值系 统误差的性质。
（2）确定工序能力及其等级 工序能力是指工序处于稳定状态时，加工误差正常波动的幅度。当 加工尺寸服从正态分布时，工序能力是6σ 。 工序能力等级是以工序能力系数 Cp 来表示的。 Cp = T/6σ
a)
b)
图43 μ 、σ 值对正态分布曲线的影响
正态分布函数是正态分布概率密度函数的积分：
F x 1
2
e

1 x x 2
2
dx
（公式26）
此式表明：F(X)为正态分布曲线上下积分限间包含的面积，它表明了随机变量 x落在区间（-∞，x）上的概率。
令z＝(x－μ )／σ ，则有