数值分析课第三作业课后答案answer3

x3 = 1.879387 √ 5. 研究求 a 的牛顿公式 ( ) 1 a xk+1 = xk + , x0 > 0 2 xk √ 证明对一切 k = 1, 2, . . .，xk ≥ a 且序列 x1 , x2 , . . . 是递减的。 答案：由 x0 > 0，可归纳出 xk > 0； √ 1 a (xk + x ) ≥ a， xk+1 = 2 k
第六章 解线性方程组的迭代法 1. 设方程组： 5x1 + 2x2 + x3 = −12;
−x1 + 4x2 + 2x3 = 20; 2x − 3x + 10x = 3. 1 2 3 （1）考察用 Jacobi 迭代法， Gauss-Seidel 迭代法解此方程组的收敛 性； （2）用 Jacobi 迭代法及 Gauss-Seidel 迭代法解此方程组，要求当 ∥x(k+1) − x(k) ∥∞ < 10−4 时迭代终止。 答案：矩阵 A 为严格对角占优矩阵。用 Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法均收敛。 Jacobi 迭代法：x(k+1) = Bx(k) + f ，其中 B = D−1 (L + U )，f = D−1 b。 则 x(18) = (−3.9999964, 2.9999739, 1.9999999)T ，18 次满足终止条件。 Gauss-Seidel 迭代法： x(k+1) = Bx(k) + f ，其中 B = (D − L)−1 U ， f = (D − L)−1 b。 则 x(8) = (−4.000036, 2.999985, 2.000003)T ，8 次满足终止条件。 2. 考察用 Jacobi 迭代与 Gauss-Seidel 迭代解线性方程组 Ax = b，证 3 0 −2 明若取 A = 0 2 1 ，则两种方法均收敛，试比较哪种方法收敛 −2 1 2 快。 √ 答案：ρ(J ) =
3
−x2 + 4x3 = −3.
)
。要求当 ∥x∗ − x(k) ∥∞ < 一个 ω 值确定迭代次数。 答案：ω = 1.03 时迭代 5 次达到精度要求， 1
x(5) = (0.5000043, 1.000001, −0.4999999)T ； ω = 1 时迭代 6 次达到精度要求， x(6) = (0.5000038, 1.000002, −0.4999995)T ； ω = 1.1 时迭代 6 次达到精度要求， x(6) = (0.5000035, 0.9999989, −0.5000003)T 。 第七章 方程求根 1. 用二分法求方程 x2 − x − 1 的正根，要求误差 < 0.05。 答案：1.609375。 2. 为求方程 x3 − x2 − 1 在 x0 = 1.5 附近的一个根，设将方程改写为下 列等价形式，并建立相应的迭代公式。 （1）x = 1 + 1/x2 ，迭代公式 xk+1 = 1 + 1/x2 k； √ 3 3 2 2 （2）x = 1 + x ，迭代公式 xk+1 = 1 + xk ； √ （3）x2 = 1/(x − 1)，迭代公式 xk+1 = 1/ xk − 1。 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数 字的近似根。 答案： （1）和（2）收敛； （3）发散。近似根 1.466。 3. 比较求 ex + 10x − 2 = 0 的根到三位小数所需的计算量： （1）在区间 [0, 1] 内用二分法； （2）用迭代法 xk+1 = (2 − exk )/10，取初值 x0 = 0。 答案： （1）二分 14 次得 0.0905456； （2）迭代 5 次得 0.0905264。 4. 用下列方法求 f (x) = x3 − 3x − 1 = 0 在 x0 = 2 附近的根，根的准 确值 x∗ = 1.87938524 · · · ，要求计算结果准确到四位有效数字。 （1）用牛顿法； （2）用弦截法，取 x0 = 2，x1 = 1.9； （3）用抛物线法，取 x0 = 1，x1 = 3，x2 = 2； 答案： （1）xk+1 = xk − x2 = 1.879452； （2）xk+1 = xk −
x3 k −3xk −1 ， 3x2 k −3
x2 = 1.881094，x3 = 1.881094，x4 = 1.879411； 2
x3 k −3xk −1 3 xk −3xk −x3 k−1 +3xk−1
(xk − xk−1 )，
（3）xk+1 = xk −
ω+
√
2f (xk ) ， ω 2 −4f (xk )f [xk ,xk−1 ,xk−2 ]
xk+1 xk
=
1 a 2 x2 k
≤
1 2
+
1 2
= 1。
计算机习题： 1. 求方程 x2 − 3x + 2 − ex = 0 的实根。 要求： （1）设计一种不动点迭代，要使迭代收敛，计算到 |xk − xk−1 | < 10−8 为止。 （2）用牛顿迭代，同样计算到 |xk − xk−1 | < 10−8 为止。 输出迭代初值及各次迭代值和迭代次数 k ，比较方法优劣。 答案： （1）format long，x = 0.25；x = x +(x2 − 3 ∗ x +2 − ex )/(3+ ex )。 （2）format long，x = 0.25；x = x − (x2 − 3 ∗ x +2 − ex )/(2 ∗ x − 3 − ex )。
11 12 ，ρ(G)
=
11 12 。两种方法均收敛，Gauss-Seidel
迭代
法收敛快。 3. 用 SOR 方法解方程组（分别取松弛因子 ω = 1.03，ω = 1，ω = 1.1） 4x1 − x2 = 1; 精确解 x∗ = (1
1 2 , 1, − 2
−x1 + 4x2 − x3 = 4;