[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷6.doc

[考研类试卷]考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷6

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 微分方程xdy=(y－)dx(x＞0)满足y(1)=0的特解是

( )

2 设线性无关的函数y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程yˊˊ+p(x)yˊ+q(x)y=f(x)的解C1，C2是任意常数，则该方程的通解是 ( )

（A）C1y1+C2y2+y3

（B）C1y1+C2y2－(C1+C2)y3

（C）C1y1+C2y2－(1－C1－C2)y3

（D）C1y1+C2y2+(1－C1－C2)y3

3 设二阶常系数齐次线性微分方程yˊˊ+byˊ+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是 ( )

（A）[0，+∞)

（B）(－∞，0]

（C）(－∞，4]

（D）(－∞，+∞)

4 具有特解y1=e－x，y2=zxe－x，y3=3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是 ( )

（A）yˊˊˊ－yˊˊ－yˊ+y=0

（B）yˊˊˊ+ yˊˊ－yˊ－y=0

（C）yˊˊˊ－6 yˊˊ+11yˊ－6y=0

（D）yˊˊˊ－2 yˊˊ－yˊ+2y=0

5 函数y=Cx+(其中C是任意常数)对微分方程=x而言， ( )

（A）是通解

（B）是特解

（C）是解，但既非通解也非特解

（D）不是解

二、填空题

6 设y1=e x，y2=x2为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为

_________．

7 设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次

线性方程yˊˊ+p(x)yˊ+q(x)y=f(x) ①的3个解，且≠常数，则式①的通解为________．

8 微分方程满足初值条件y(0)=0，yˊ(0)=的特解是________．

9 设f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(－∞，+∞)，y∈(－∞，+∞)，

f(x+y)=f(x)e y+f(y)e x成立，且fˊ(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=_________．

10 设f(x)在(－∞，+∞)上可导，且其反函数存在，记为g(x)．若

∫0f(x)g(t)dt+∫0x f(t)dt=xe x－e x+1，则当－∞＜x＜+∞时f(x)=_________．

11 微分方程yˊ+ytanx=cosx的通解为y=_________．

12 微分方程yˊˊ－4y=e2x的通解为y=________．

13 微分方程3e x tanydx+(1－e x)sec2ydy=0的通解是________．

14 微分方程yˊtanx=ylny的通解是________．

三、解答题

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15 已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx－dy的任意解，并在y=y(x)的定义域内取x0，记y0=y(x0)．证明：(1)y(x)＜y0－arctanx0；(2)均存在．

16 设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界．证明：微分方程yˊ+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．

17 已知曲线y=y(x)经过点(1，e－1)，且在点(x，y)处的切线方程在y轴上的截距为xy，求该曲线方程的表达式．

18 求解(1+)ydx+(y－x)dy=0．

19 设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且φˊ(x)=φ(x)，φ(0)=0． (1)求方程

yˊ+ysinx=φ(x)e cosx的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

20 设有方程yˊ+P(x)y=x2，其中P(x)=，试求在(－∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(－∞，1)和(1，+∞)内都满足方程，且满足初值条件y(0)=2．

21 设(1)用变限积分表示满足上述初值条件的解y(x)；(2)讨论是否存在，若存在，给出条件；若不存在，说明理由．

22 求微分方程xyˊ+y=xe x满足y(1)=1的特解．

23 求微分方程(4－x+y)dx－(2－x－y)dy=0的通解．

24 求微分方程的通解．

25 求微分方程(x＞0)的通解．

26 求微分方程yˊˊ－2yˊ－e2x=0满足条件y(0)=1，yˊ(0)=1的特解．

27 求微分方程yˊˊ+2yˊ+y=xe x的通解．