浅析拉格朗日有限元数值计算法

中国矿业大学2011级硕士研究生课程考试试卷

考试科目岩土工程数值计算法

考试时间2011.11.27

学生姓名夏明

学号ZS11020068

所在院系矿业工程学院

任课教师徐志伟

中国矿业大学研究生院培养管理处印制

对论文《基于拉格朗日差分法的露天边坡稳定性研

究》中数值计算法浅析

《基于拉格朗日差分法的露天边坡稳定性研究》一文以易门铜矿露天开采境界优化方案下的边坡为工程背景，通过岩体构造调查，质量分类，室内力学试验，力学参数的工程处理。建立铜厂露天开采边坡的三维地质模型，采用DIMINE 数字矿山软件的耦合集成技术—四面体网格化将地质模型转换为力学模型，应用基于拉格朗日法的有限差分(FLAC3D)大变形方法对铜厂露天开采边坡的稳定性进行了数值模拟，分析了基于强度折减理论计算出的边坡安全系数以及基于莫尔库伦屈服准则的边坡开采后的位移、应力等的变化状况，得出了易门铜厂露天矿露天境界优化方案下的边坡的稳定性状况。

岩质边坡稳定性评价的方法分主要有：极限平衡法、数值模拟计算、地质力学物理模拟试验和其它新方法。随着计算机技术和计算方法的发展，复杂的工程问题可以采用离散化的数值计算方法并借助计算机得到满足工程要求的数值解，数值模拟技术是现代工程学形成和发展的重要动力之一。通过计算模拟，可以模拟并得到模拟体内部的应力—应变关系，再现其变形甚至破坏过程及其机制。在岩土工程数值分析中最常用的数值方法有有限元法、离散元法、边界元法等。

拉格朗日差分法((FLAC法)源于流体力学。它首先是Cundail在80年代提出来的，其基本原理类似于离散元法，但它却能像有限元那样适用于多种材料模式与边界条件的非规则区域的连续问题求解。在求解的过程中，FLAC又采用了离散元的动态松弛法，不需要求解大型联立方程，便于在微机上实现。另一方面，同以往的差分分析相比，FLAC在以下几个方面做了较大的改进和发展:它不但能处理一般的大变形问题，而且能模拟岩体沿某一弱面产生的滑移变形。一般有限单元法可以用来解决材料非线性问题，但对于大变形的几何非线性问题，有限单元法和边界元法都无能为力。拉格朗日法是分析非线性大变形问题的数值方法，它依然遵循连续介质的假设，基于拖带坐标系的基本原理。用差分法或按时步显式迭代求解，不但可以解决几何非线性，也能解决材料非线性问题。

下面是原文的部分描述：

一、露天矿边坡三维地质模型的建立

1.1计算几何模型范围及模拟方案设计

a模拟计算方案设计

决定边坡稳定性的因素很多，其中包括岩体强度，结构特征，水理性质和边坡几何参数等。根据现场工程地质调查，力学试验参数，对露天境界边坡进行修改，修改方案同第五章简化实体模型的建立。

b模型范围

模型范围需考虑两方面的内容：首先，必须能够覆盖铜厂露天矿边坡岩体的主要特征，即能容纳前面建立的实体模型；另外，为配合数值计算的需要，要考虑边坡岩体稳定影响范围以及数值模拟软件。以南北向为Y方向，东西为x向，高程方向为z向。确定的数值计算范围参数见表7-1

表7-1模型尺寸参数表

c单元划分及计算几何模型

单元划分需要考虑三方面的问题。首先，能体现铜厂的地质特征，在岩性，断层和地表高度变化的位置需要细分单元块，以确保计算模型能够真实的反映岩体的几何形态;其次，保证数值计算中应力、位移等计算结果的连续性；第三，由于计算机计算能力和内存大小的限制，单元大小必须能保证计算程序能正常的运行。根据以上原则，对四面体单元单元块边长以及体积进行限制，四面体单元最小半径—边比设为1. 414，落雪组四面体单元块最大体积设为500，火成胶

结角砾岩组四面体单元块最大体积设为10000

已经建立了边坡地质模型，根据地学实体模型，按照模型范围

和单元划分规则，使用DIMINE软件四面体化功能，完成了从地质模型到数值计算模型的转换。网格的划分由先前地学软件DIMINE确定，网格的大小为245762格单元，42840个节点。

从以上两图中可以看出，通过转换程序的转换，得到了能完全反映地质结构以及岩性在空间上分布的精确三维力学模型，实现了三维地学模拟与数值模拟的耦合。从图7-4中可以看出，建立的计算模型能较准确地反映地形的微地貌形态以及能充分体现岩体、断层的尺寸和在空间中的位置，露天坑的坡度也在数值计算模型中也得以显现。

1.2计算参数与约束条件

a.屈服准则的选择

屈服准则是判断材料进入塑性阶段的准则。岩土材料的屈服准则经过几十年的研究，提出的表达式不下几十种。以莫尔一库伦定律为基础的摩擦屈服准则在岩石力学与工程的实践中经受了考验，至今仍被广泛的应用。

FLAC3D所采用的屈服准则之一为莫尔库伦与拉破坏准则结合的复合准则。

b.计算力学参数

根据现场地质调查和岩石力学试验结果可确定岩体力学参数，由于FLAC3D 中采用体积模量和剪切模量描述弹性模量和泊松比，所以根据式7-3 5式计算体积模量和剪切模量。

其中：K——体积模量G——剪切模量E——弹性模量v——泊松比

考虑到计算机计算能力和内存大小的限制，在建立块段模型时将落雪组地层中的三种岩性(泥质白云岩，灰白色白云岩，青灰色白云岩)合并成一种岩性，这样可以减少各种岩性间边界上的单元块次分，从而做到减少单元块数目。同时由第四章力学试验可得，落雪组地层的三种岩性力学参数很相似，所以在力学强度上将其合并也是可行的。计算中所需的力学参数如表7-2所示。

表7-2 各类岩石物理力学参数

c.边界约束

模型边界约束采用位移(在FLAC3D中实质上是速度约束)约束的方式。底部所有节点取X、Y、Z三个方向的固定约束；南北边界为Y方向约束，东西边界进行X方向约束(即各面的法向方向的约束)。坡面为自由面。

二、计算结果与分析

按前述约束条件，在只考虑重力作用的情况下，进行本构模型为Mohr-Coulomb模型的弹塑性求解，直至系统达到平衡。图7-7为数值计算过程