第章波函数及薛定谔方程详解
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错误的根源： 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀 了粒子的波动性的一面，具有片面性。
观点三: 电子既是粒子,也是波,是粒子和波动两象性的统 一. 不过, 这儿的波不再是经典概念下的波,粒子也不再是 经典概念下的粒子.
电子所显现的粒子性总是以具有一定的质量、电荷 等属性的客体出现,但并不与“粒子有确切的轨道”的 概念有什么必然联系.电子显现出的波动性,也只不过是 波动性中最本质的东西——波的“相干叠加性”,并不 一定要与某种实际的物理量在空间的分布联系在一起. 把微观粒子的“粒子性”与波的“相干叠加性”统一 起来是玻恩提出来的几率波.
粒子性观点：亮处—单位时间内到达该处的电子数多 暗处—单位时间内到达该处的电子数少
统计的观点：亮处—电子到达该处的概率大 暗处—电子到达该处的概率小
勒级数展开 kk0 d d k k0kk01 2 d d2 2k k0kk02
x ,t C ex ,x tie p 0 tx i k 0 p x k e 0 tx ikp x v gk k 0td
C x,t2k0si xn k xvg tvgt
由于正弦的幅角含有小量,C(x,t)只是随时间t和坐标x缓
返回
（一）波函数 （二）波函数的解释 （三）波函数的性质 （四）自由粒子的波函数
一、波函数
问题:
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？
微观粒子波粒二象性矛盾的分析
观点一: 电子波应理解为电子的某种实际结构,即电子 是无限多波长不同的平面波叠加而成的波包,波包的大 小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度.
慢地变化.所以,我们能把C(x,t) 当作近似单色波的振幅,
wenku.baidu.com
而把k0x-(k0)t作为单色波的相.把振幅的分子和分母
都乘以k,并简记为z=kx-vgt ,容易看到,振幅的变化
取决于因子,它有性质
szinz10
z0 z,3,
迄今,我们忽略了(k) 级数展开中高于一
阶的项,这仅当介质无色散的时候才是允许
第二章 波函数与薛定谔方程
§2.1 波函数的统计解释
§2.2 态迭加原理 §2.3 动量分布概率
§2.10 阶梯形方势 §2.11 谐振子
§2.4 力学量的平均值
§2.5 薛定谔方程
§2.6 定域的概率守恒 §2.7 能量本征方程
§2.8 能量本征态的一般性质
§2.9 波函数的标准条件
§2.1 波函数的统计解释
而不是相消.这个极值点的位置用下式确定：
0
k
即
x d t 0
dk
所以波包中心位置是
d
x
xc
t dk
物质波包的群速度为
vg
dk p
dk m m
k2 1 k p u ( )
k 2mk 2m 2m
vg 2uc 波包形状随时间的改变：设(k)是一个很窄的波包,波 数集中在k0附近一个不大范围中.在k0附近对(k) 作泰
正比于电子出现在 r 点附近的几率。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子 在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基 础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
波动性观点：亮处—到达该处电子波的强度大 暗处—到达该处电子波的强度小
2m
真空中的相速度是k的函数
uEm2cc2 k k p mv v
uc
结论：物质波的相速大于真空中的光速, 所以它不能与 设定粒子的速度相同.
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波 组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有 意义的，与实验事实相矛盾。
1.单个平面波情况：
考虑沿x方向运动的自由粒子,其平面波为
等相面: x ,t A ei x k p x t
相速u满足关系: kxtc
d kd x k u 0 , d u x
dtdt
dt k
在非相对论情况下,用德布罗意关系代入自由粒子的能 量—动量关系
可得:
E p2 2m
k2 , k2
电子一个一个的 方 入射，经过足够 法 长的时间，在屏 二 幕上形成同样的
衍射图样。
在电子衍射实验中，照相底片上
1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显
示衍射图样; 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
P
P
电子源
O
感
Q光
Q
屏
r 点附近衍射花样的强度
正比于该点附近感光点的数目
正比于该点附近出现的电子数目
经典概念中 粒子：
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性
2.有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置 和速度
经典概念中 1.实在的物理量的空间分布作周期性变化
波：
2.干涉、衍射现象，即相干叠加性
（2）Born 波函数的统计解释几率波 我们再看一下电子的衍射实验
❖ 大量电子一次
方 法 一
入射,立即在 屏幕上形成衍 射图样。
波由粒子组成,如，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
结论：这种看法是与实验矛盾的
原因：它不能解释长时间单个电子衍射实验---单 个电子就具有波动性.
证明1：单电子衍射
电子一个一个的入 射，经过足够长的 时间，在屏幕上形 成衍射图样。
证明2：正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢 原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能 量量子化这样一些量子现象。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å。
电子衍射动画
2. 有限波包：
波包是不同波长和相速的一些简谐波的叠加.为简单起 见,这里研究一群沿x方向传播的波 :
x,t1 2- kex ikp x tdk
波包中心将出现在相角=kx-(k)t取极值处,因为 在这点附近,不同波数的分波相干叠加而加强得最厉害,
的.因为物质波在真空中也出现色散
d2d2 kk0 0
这暗示波包不保持其形式, 而是逐
-2 0 图-1 52.2-1 0.1波-5 包0: 一5 些1快0 速1 5 振2 0 动波的叠加
渐地扩展.随时间的演化,电子将愈 变愈“胖”,这与实验是矛盾的.
观点二: 波动性是由于有大量的电子分布于空间而形成的 象声波一样的疏密波,即电子疏密相间分布而形成的纵波.
观点三: 电子既是粒子,也是波,是粒子和波动两象性的统 一. 不过, 这儿的波不再是经典概念下的波,粒子也不再是 经典概念下的粒子.
电子所显现的粒子性总是以具有一定的质量、电荷 等属性的客体出现,但并不与“粒子有确切的轨道”的 概念有什么必然联系.电子显现出的波动性,也只不过是 波动性中最本质的东西——波的“相干叠加性”,并不 一定要与某种实际的物理量在空间的分布联系在一起. 把微观粒子的“粒子性”与波的“相干叠加性”统一 起来是玻恩提出来的几率波.
粒子性观点：亮处—单位时间内到达该处的电子数多 暗处—单位时间内到达该处的电子数少
统计的观点：亮处—电子到达该处的概率大 暗处—电子到达该处的概率小
勒级数展开 kk0 d d k k0kk01 2 d d2 2k k0kk02
x ,t C ex ,x tie p 0 tx i k 0 p x k e 0 tx ikp x v gk k 0td
C x,t2k0si xn k xvg tvgt
由于正弦的幅角含有小量,C(x,t)只是随时间t和坐标x缓
返回
（一）波函数 （二）波函数的解释 （三）波函数的性质 （四）自由粒子的波函数
一、波函数
问题:
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？
微观粒子波粒二象性矛盾的分析
观点一: 电子波应理解为电子的某种实际结构,即电子 是无限多波长不同的平面波叠加而成的波包,波包的大 小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度.
慢地变化.所以,我们能把C(x,t) 当作近似单色波的振幅,
wenku.baidu.com
而把k0x-(k0)t作为单色波的相.把振幅的分子和分母
都乘以k,并简记为z=kx-vgt ,容易看到,振幅的变化
取决于因子,它有性质
szinz10
z0 z,3,
迄今,我们忽略了(k) 级数展开中高于一
阶的项,这仅当介质无色散的时候才是允许
第二章 波函数与薛定谔方程
§2.1 波函数的统计解释
§2.2 态迭加原理 §2.3 动量分布概率
§2.10 阶梯形方势 §2.11 谐振子
§2.4 力学量的平均值
§2.5 薛定谔方程
§2.6 定域的概率守恒 §2.7 能量本征方程
§2.8 能量本征态的一般性质
§2.9 波函数的标准条件
§2.1 波函数的统计解释
而不是相消.这个极值点的位置用下式确定：
0
k
即
x d t 0
dk
所以波包中心位置是
d
x
xc
t dk
物质波包的群速度为
vg
dk p
dk m m
k2 1 k p u ( )
k 2mk 2m 2m
vg 2uc 波包形状随时间的改变：设(k)是一个很窄的波包,波 数集中在k0附近一个不大范围中.在k0附近对(k) 作泰
正比于电子出现在 r 点附近的几率。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子 在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基 础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
波动性观点：亮处—到达该处电子波的强度大 暗处—到达该处电子波的强度小
2m
真空中的相速度是k的函数
uEm2cc2 k k p mv v
uc
结论：物质波的相速大于真空中的光速, 所以它不能与 设定粒子的速度相同.
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波 组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有 意义的，与实验事实相矛盾。
1.单个平面波情况：
考虑沿x方向运动的自由粒子,其平面波为
等相面: x ,t A ei x k p x t
相速u满足关系: kxtc
d kd x k u 0 , d u x
dtdt
dt k
在非相对论情况下,用德布罗意关系代入自由粒子的能 量—动量关系
可得:
E p2 2m
k2 , k2
电子一个一个的 方 入射，经过足够 法 长的时间，在屏 二 幕上形成同样的
衍射图样。
在电子衍射实验中，照相底片上
1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显
示衍射图样; 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
P
P
电子源
O
感
Q光
Q
屏
r 点附近衍射花样的强度
正比于该点附近感光点的数目
正比于该点附近出现的电子数目
经典概念中 粒子：
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性
2.有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置 和速度
经典概念中 1.实在的物理量的空间分布作周期性变化
波：
2.干涉、衍射现象，即相干叠加性
（2）Born 波函数的统计解释几率波 我们再看一下电子的衍射实验
❖ 大量电子一次
方 法 一
入射,立即在 屏幕上形成衍 射图样。
波由粒子组成,如，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
结论：这种看法是与实验矛盾的
原因：它不能解释长时间单个电子衍射实验---单 个电子就具有波动性.
证明1：单电子衍射
电子一个一个的入 射，经过足够长的 时间，在屏幕上形 成衍射图样。
证明2：正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢 原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能 量量子化这样一些量子现象。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å。
电子衍射动画
2. 有限波包：
波包是不同波长和相速的一些简谐波的叠加.为简单起 见,这里研究一群沿x方向传播的波 :
x,t1 2- kex ikp x tdk
波包中心将出现在相角=kx-(k)t取极值处,因为 在这点附近,不同波数的分波相干叠加而加强得最厉害,
的.因为物质波在真空中也出现色散
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这暗示波包不保持其形式, 而是逐
-2 0 图-1 52.2-1 0.1波-5 包0: 一5 些1快0 速1 5 振2 0 动波的叠加
渐地扩展.随时间的演化,电子将愈 变愈“胖”,这与实验是矛盾的.
观点二: 波动性是由于有大量的电子分布于空间而形成的 象声波一样的疏密波,即电子疏密相间分布而形成的纵波.