赤平投影法
赤平投影图原理
赤平投影图原理
赤平投影图是一种地图投影方法，用于将地球表面的经纬度坐标转化为平面坐标。
赤平投影图的原理是将地球表面投影到一个平面上，使得地球上的点在投影平面上的位置与其在地球上的位置保持一致。
赤平投影图的基本原理是将地球投影到一个与地球赤道平行的平面上。
在赤平
投影图中，地球的赤道线被映射为一条直线，而其他纬度线则呈现出一种放射状的形态。
经度线在赤平投影图上呈现为平行于赤道线的直线。
赤平投影图的优点是保持了地球表面上的角度关系和形状关系，使得地球上的
点在投影平面上的位置相对准确。
然而，赤平投影图也存在一些缺点，如在高纬度地区，地图的形状会出现扭曲，使得地图上的距离和面积不再准确。
为了绘制赤平投影图，需要使用一些数学公式和计算方法。
首先，需要确定投
影中心的经度和纬度。
然后，根据地球上的点的经纬度坐标，利用公式计算出该点在投影平面上的坐标。
最后，将计算得到的坐标绘制在地图上，形成赤平投影图。
赤平投影图在地图制作、导航、航海等领域有着广泛的应用。
通过赤平投影图，人们可以更直观地了解地球的地理特征和分布情况。
同时，赤平投影图也为地理信息系统（GIS）的开发和应用提供了基础。
总结起来，赤平投影图是一种将地球表面的经纬度坐标转化为平面坐标的方法。
它通过将地球投影到一个与赤道平行的平面上，保持了地球上点的位置关系。
赤平投影图在地图制作和导航等领域有着广泛的应用，并为GIS的发展提供了基础。
(精品)图解赤平投影法分析岩质边坡稳定性
岩质边坡的稳定问题历来是边坡工程稳定性分析和研究的重要课题。
岩质边坡的变形和破坏主要受岩体中发育的各类结构面所控制。
利用极射赤平投影(以下简称赤平投影)方法进行岩质边坡稳定性的分析，可直观地表明各组结构面的组合关系、组合切割体与边坡的相对关系、不稳结构体可能变形失稳的方向等，由此得到边坡变形的边界条件，对边坡的稳定性作出定性分析和评价。
从20世纪80年代，赤平投影方法开始引进到工程地质学中，用于分析工程岩质边坡的整体稳定性，现已得到了广泛应用，是目前分析岩质边坡稳定问题的主要方法之一。
笔者综合已有理论分析方法与工程实践，从简洁、实用的角度出发，结合工程实例，总结提出赤平投影法分析岩质边坡稳定性的图解模板，谨供同行研究参考。
1 赤平投影法分析岩质边坡稳定性的基本方法赤平投影法在进行工程岩质边坡的稳定性分析赤平投影法分析岩质边坡稳定性图解模板时，具有一定的假设前提，即边坡岩体是刚性的，不考虑内部块体之间的应变，同时忽略条件力的作用，只考虑块体滑动力与抗滑力的作用。
1． 1 岩体中发育 1 组结构面的情况边坡岩体中仅发育 1 组结构面时，可能的失稳岩体滑动方向即为结构面的倾向，边坡稳定性分析比较简单，可以概括为 3 种工况:( 1)当结构面倾向与边坡倾向相反，则不考虑结构面倾角大小，边坡是稳定的;( 2)当结构面倾向与边坡倾向相对一致，倾角大于边坡倾角，边坡是较稳定的;(3)当结构面倾向与边坡倾向相对一致，倾角小于边坡倾角，边坡是不稳定的。
这是一种最基本、理想的状况，实际工程边坡岩体中分布的结构面远较之复杂。
1． 2 岩体中发育 2 组结构面的情况边坡岩体中发育 2 组结构面时，边坡的稳定则主要受控于结构面的组合情况。
用赤平投影方法，根据结构面和边坡的产状作赤平投影图，分析结构面组合交线与边坡投影弧的相对关系，判断边坡的稳定状态，通常有以下 5 种情况( 如图 1)。
图 1 两组结构面和边坡的赤平投影关系图(1)图1中，2组结构面(J1，J2)的交点(M)位于人工边坡(cS)及天然边坡(nS)投影弧的对侧(图1－a)。
实验九_用赤平投影方法解析断层节理构造
实验九_用赤平投影方法解析断层节理构造引言：断层和节理是地质学中常见的构造特征，对于地质构造的解析具有重要意义。
在实际地质工作中，常常使用各种方法对断层和节理进行研究和解析。
赤平投影方法是一种常用的方法之一，通过将地质构造在二维平面上进行投影，可以方便地进行分析和解析。
本实验将介绍用赤平投影方法解析断层、节理构造的步骤和方法，并通过实际案例进行说明。
一、实验目的1.掌握赤平投影方法的基本原理和操作步骤；2.了解断层和节理的地质构造特征；3.通过实际案例，学会用赤平投影方法解析断层、节理构造。
二、实验仪器与材料1.地质构造示意图；2.地质切割线图；3.赤平纸；4.细线笔；5.铅笔；6.直尺；7.刻度尺。
三、实验步骤1.准备工作-准备地质构造示意图和地质切割线图，并使用细线笔绘制出地质构造的线条；-准备赤平纸，可以通过将透明纸和红色透明胶带叠加粘贴在一起制作；-使用直尺和刻度尺，在赤平纸上划出X轴和Y轴，并标注单位。
2.投影步骤-将地质切割线图放在赤平纸上，使其与X轴平行；-使用细线笔，在赤平纸上绘制出地质构造的投影线条，注意保持线条的平直和平行；-根据需要，可以使用铅笔在投影线条上标注重要的构造特征。
3.解析与分析-根据投影线条的特点，分析断层和节理的走向和倾向，判断其构造特征；-根据地质构造示意图和投影线条的关系，确定断层和节理的空间位置和相对大小；-可以通过对投影线条进行测量和分析，确定断层和节理的长度、倾角等参数。
四、实验案例【插入地质构造示意图】【插入投影线条图】根据投影线条的特点，我们可以得到以下解析结果：-断层的走向为N30°E，倾向为75°，倾角为40°左右；-节理的走向为N60°E，倾向为85°，倾角为50°左右；-断层的相对大小约为节理的2倍；-断层和节理的空间位置较为紧密，但断层的分布较为连续，而节理的分布较为离散。
五、实验总结赤平投影方法是一种简便而常用的解析断层、节理构造的方法。
实验九用赤平投影方法解析断层节理构造18页PPT课件
对于F2断层来说， δ1位于其凸侧， δ1S2角距也小于 90°，因此F2断层为逆断层，上盘上升，向262°方 向滑动。为左行平移-逆断层。 又F1和F2的夹角为46°，所以，岩体破裂的内摩擦角 为90-46=44°
14
例2： 已知：一条左行断层，产状为200°∠60°，在断 层面上量的擦痕侧伏角为16°N。 求：①该断层的性质和应力方位，
12
表明F1断层面上擦痕滑动方向为64°或244° F2断层 面上擦痕的滑动方向为84°或264°，S1S2的锐角角 距中点为δ1(71°∠23°)，从δ1沿δ1- δ2大圆弧量度 90°角距得δ3(206°∠58°)。由于δ1位于F1断层的 凹侧且与S1的角距又小于90°，所以，推断F1为正断 层，其下盘向244°方向滑动，为右行滑动，所以断层 为正-右行平移断层
5
在赤平投影图上，上述几何关系表现为如下特征
6
1.一对共轭断裂面投影弧的交点就是δ2的投影点。 2.共轭断裂面大圆弧的锐角二面角的角距中间点就 是δ1的投影点。共轭断裂面大圆弧的钝角二面角的 角距中点为δ3的投影点。 3.δ1与δ3共用一个大圆弧，该圆弧的法线点就是δ2 的投影点。同时δ1又为δ2-δ3大圆弧的法线点；δ3又 为δ1-δ2大圆弧的法线点即δ1、δ2、δ3互成90°角距
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4.两共轭断裂面大圆弧(F1和F2)与δ1-δ3大圆弧的交点 （S1和S2）就是断裂两盘相对滑动的方向线(擦痕线)。
S1和δ2，S2和δ2都分别共一条断层面，而S1δ2 及 S2δ2 的角距又都为90°。 5.δ1如在断层大圆弧的凸侧，且与断层滑动点(s)的角 距又小于90°，则该断层上盘上升，并沿滑动点向赤 平圆心的方向滑动。反之，δ1如在断层大圆弧的凹侧， 且距s点的角距又小于90°，则该断层下盘上升，并 沿滑动点向圆心的方向滑动。
极射赤平投影原理和基本操作方法
造面产状
在构造面：N 30°E，45 °SE 侧伏为20°S
吴氏网的使用方法
1. 线的投影 例如一直线的产状为：20°，N30°W
2. 面的投影 例如一个面的产状为： N30°E， 30 ° SE
（ 120 °∠ 30 °)
投影到赤平面上。
二、平面的投影
• 大圆投影（即通过球心的平面的投影) 1. 直立平面的投影为一直立大圆 2. 倾斜平面的投影为一倾斜大圆 3. 水平平面的投影为一水平大圆即基圆
面。
球面上的投影大圆与极射点的连线必然穿过赤平面， 在赤平面上这些穿透点的连线即为相应大圆的极射
赤平投影，简称大圆弧。
• 1. 直立大圆的赤平投影为直线； • 2. 水平大圆的赤平投影为基圆 • 3. 倾斜大圆的赤平投影为以基圆直径为弦
实习目的
• 了解极射持平投影的概念； • 掌握极射持平投影的基本原理； • 掌握简单的面、线在吴氏网上的投影方法
实习内容
一、极射赤平投影的基本原理 （一）概念
1. 极射赤平投影 简称赤平投影，是在平面图上表示三维
空间中的面、线的几何关系的一种方法。
应用范围：天文、航海、测量、地理和地质科 学研究中
（一）面状构造产状及表示方法
N
• 向限角法： 走向+倾角+倾向 （N30°E， 45 ° SE)
N??W
N??E
W
E
S??W
S??E
S
• 方位角法：
0°（N）
倾向+倾角
(120 °∠ 45 °)
270°
90°
180°
（二）线状构造的产状及表 示方法
• 倾伏：倾伏角+倾伏向
赤平投影原理经典实用
•赤平投影原理
•4
(二）、投影网：吴尔福网和施密特网
1、吴氏网的结构及成因原理
吴氏网的结构：基圆、径向大圆弧、纬向小圆弧、
东西、南北经纬线，间距2°，误差±0.5°。
（1）、基圆：赤平大圆，代表水平面，0°-
360°方位角刻度。
（2）、两条直径：EW，SN。
（3）、经向大圆弧：由一系列走向SN的，向东
•赤平投影原理
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例9: 已知平面产状310°∠50°，如果绕走向SN轴水 平旋转30 °求旋转后的平面产状。
操作步骤： ❖ 投影平面FD； ❖ 将大圆上若干点沿其所在
纬向小圆逆时针旋转30° （箭头所示）到新位置； ❖ 将旋转后得到的新位置点 旋转到同一经向大圆上， 拟合大圆弧即为旋转后的 平面D′F′投影。
•赤平投影原理
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例9: 已知一角度不整合上覆地层的产状 240°∠30°，下伏老地层产状为120 ° ∠ 40 °， 求新地层水平时老地层的产状。
❖ 投影新地层DHF 、老地层 ABC 的产状;
❖ 将新地层产状恢复水平，旋 转DHF 大圆弧与SN向经向 大圆重合，将大圆弧上各点 转到基圆上。
❖ 将老地层向相同方向旋转相
同角度，使老地层ABC大圆
达到新位置，将新位置各点
拟合大圆即可。
•赤平投影原理
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作业：
P230 9、11、12、16、18
•赤平投影原理
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•赤平投影原理
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（3） 、法线的投影 关键：法线和平面垂直，倾向相反（90°），倾角互 余。 例3: 产状为90 °∠40 °平面的法线投影。
•赤平投影原理
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（4）、已知真倾角求视倾角 例4:某岩层产状300°∠40°，求在
极射赤平投影原理
极射赤平投影原理极射赤平投影是一种地图投影方法，又称为极射投影或天体赤平投影。
它是一种将地球表面投影到一个切平面上的方法，保持地球的极点在地图的中心，使得赤道线在地图上呈现为直线，而经纬线则变成半圆形。
极射赤平投影的主要应用领域包括天文学、地理学以及地图制作等。
极射赤平投影的基本原理是将地球表面上的点，投影到位于地球极点与地球中心之间的一个平面上。
在极射赤平投影中，将地球的极点作为投影的中心，地球表面上的每一个点都沿着从极点到该点的直线被投影到平面上。
这种投影方法使得地球的周长圆变成了一个大圆，而经纬线则成为半圆形。
同时，由于赤道与极点之间的投影长度较长，因此在极射赤平投影中，赤道区域显得更为扭曲，而高纬度地区则比较平缓。
极射赤平投影的优点是可以在投影图上直观地看到赤道线、经线、纬线以及地球的极点。
它在天文学领域中被广泛应用，用于绘制天球图和天空赤平图，方便研究天文现象和观测星体的位置。
此外，在地理学中，极射赤平投影也可用于制作大比例尺地图，以及展示极地和高纬度地区的地理信息。
然而，极射赤平投影也存在一些缺点。
首先，它会引起地图上地理特征的形变和扭曲。
由于赤道区域在投影中较长，因此经度线在赤道区域内变形更为严重，会导致经线错位和拉长。
此外，在高纬度地区，极射赤平投影也存在较大的面积形变和形状变化，使得地图上的地理区域较难准确表示。
极射赤平投影的具体实现可以通过数学公式和计算机图形处理来完成。
数学公式包括投影点坐标的计算方法，以及经纬度坐标与平面坐标的相互转换方法。
计算机图形处理技术则用于实现将地球表面上的点投影到平面上，并进行图形绘制和渲染。
总之，极射赤平投影是一种将地球表面投影到平面上的方法，可用于绘制天球图和天空赤平图，以及制作大比例尺地图。
它在天文学和地理学领域中具有广泛的应用，但也存在地图形变和扭曲的问题。
通过数学公式和计算机图形处理技术，可以实现极射赤平投影的具体实现。
实验九用赤平投影方法解析断层节理构造
针对不同地质条件和工程应用背景，可以开展断层节理构造的分类与评价，为工程 设计和安全评估提供依据。
赤平投影方法在解析断层节理构造方面还有很大的发展空间，可以进一步优化和完 善其理论和方法。
结果的意义和影响
地质研究意义
实验结果对于深入了解区域构造 运动、岩层变形和断层活动具有 重要意义，有助于完善地质理论 体系。
工程应用价值
通过对断层节理的解析，为工程 设计和施工提供地质依据，保障 工程安全和稳定性。
推动学科发展
实验方法和结果可为类似的地质 研究提供借鉴和参考，推动地质 学科的发展。
赤平投影的应用
赤平投影在地质学中广泛应用于分析断层和节理的构造特征 、解释地质现象、预测地下水流和矿产资源分布等方面。
通过赤平投影图，可以直观地了解断层和节理的分布、产状 和相互关系，为地质勘探、矿产资源开发和工程地质勘查等 领域提供重要的参考依据。
03
断层节理构造基础知识
断层节理构造的定义
断层节理构造是指由于地壳运动产生的断裂构造，由节理 面和断层面共同组成。
感谢观看
有很大影响。
赤平投影是一种常用的地质图表 示方法，可以直观地表示各种地 质要素的空间分布和相互关系。
在实际工程中，了解和掌握断层 节理构造的特点和分布规律对于
保证工程安全具有重要意义。
02
赤平投影方法简介
赤平投影的定义
01
赤平投影是一种将三维空间中的 点投影到二维平面上的方法，通 过投影，可以直观地展示出点在 空间中的位置和方向。
节理面是指岩石中的裂隙，通常具有一定的方向性；断层 面则是指岩石断裂错开的面。
实验五 用赤平投影方法确定褶皱枢纽和轴面产状
用赤平投影研究褶皱的注意事项
1.上述有关褶皱的赤平投影方法，严格说来只适于圆柱状 褶皱，如果褶皱为锥形，则翼部不同部位的产状投影将 不会交于一点，而是出现一个投影小圆。 2.对于不协调褶皱来说，曲面迥然不同的各层，要分别投 影，或选用一个有代表性标志层来投影。 3.褶皱是曲面构造，曲面产状变化是及其复杂的，一般说 来产状数据越多，越有代表性，投影效果越好。 4.背斜和向斜的投影图是完全相同，因此，在赤平投影图 上分不出背斜和向斜来。
问题分析： 例2和例1的不同之处在于，例1只有两个产状，例 2有四个产状，这正好表明褶皱面的特点。因为大多数 褶皱的两翼并非平直，而是弯曲的，所以在两翼的不 同部位上测量的产状就会不同。在褶皱不同部位测得 的产状数据越多，就越能真实反应褶皱的几何形态； 对于圆柱状褶皱，每两个不同产状的翼面交线都一一 与枢纽线平行，即都交于β点，但由于测量误差的存 在，各产状大圆弧不可能准确交于一点，而是交于许 多点，但这些交点应密集于一个狭小范围内，枢纽产 状就在这个范围内。
圆，π 圆的极点代表褶皱枢纽（β）
褶皱两翼夹角和轴面产状的判定原则
褶皱两翼夹角的判定
褶皱两翼夹角就是褶皱两翼平面之间的二面角，
任何二面角都是从两平面的公垂面上量得的。在赤平
投影图上褶皱两翼的公垂面就是π圆
例1：已知褶皱两翼产状为10°∠30°和50°∠60° 求该褶皱两翼夹角。
做法：1.在透明纸上标出两翼产状大圆弧AB和CD，交于β 点β就是褶皱枢纽的投影点；
2.以β点为法线作对应大圆弧FG（FG就是π圆），
FG交AB于H，交CD于I，HI的角距就是褶皱两翼的 夹角；
轴面产状的确定
要准确地确定褶皱轴面的产状，除了必知枢
纽产状外，还必须有其它资料，例如轴面走向或轴
赤平投影法
（2）、直线的赤平投影 步骤同1、2即可。 例2：线理产状 330°∠40°投影如下。
9
（3） 、法线的投影 关键：法线和平面垂直，倾向相反（90°），倾角互 余。 例3: 产状为90 °∠40 °平面的法线投影。
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（4）、已知真倾角求视倾角 例4:某岩层产状300°∠40°，求在
335°方向剖面上岩层的视倾角。视倾角为 图19-8中的H′D ′。
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例9: 已知一角度不整合上覆地层的产状 240°∠30°，下伏老地层产状为120 ° ∠ 40 °， 求新地层水平时老地层的产状。
❖ 投影新地层DHF 、老地层 ABC 的产状;
❖ 将新地层产状恢复水平，旋 转DHF 大圆弧与SN向经向 大圆重合，将大圆弧上各点 转到基圆上。
❖ 将老地层向相同方向旋转相 同角度，使老地层ABC大圆 达到新位置，将新位置各点 拟合大圆即可。
例8:有两个平面 ⑴245 °∠30° ⑵145°∠48°
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（二）据共轭剪节理求三个 主应力轴(σ1 、 σ2 、 σ3)
一共轭节理产状 为:70°∠60°和 120°∠60°， 求三个主应力轴产 状。
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（二）面的旋转
❖ 问题：一个产状已知的平面，沿某方向旋转一定角度 后，求此面的产状。
❖ 原理：平面的投影是一个大圆，大圆是无数个点组成 的，因此大圆的旋转实际上是组成该大圆上许多点的 旋转。 球面上任一点绕SN轴 (定轴) 旋转，该点的旋转 轨迹为一圆，此圆为走向东西的一个直立平面，其投 影与吴氏网的纬向小圆重合。因此只要求出大圆上各 点绕轴旋转后的位置，即可知道旋转后的平面产状。
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实例: 一个背斜两翼的产状数据，求
枢纽的产状 (1)、143∠37, (2)、104∠30,
实验五用赤平投影方法确定褶皱枢纽和轴面产状
分析误差来源和改进方法
误差来源
误差主要来源于测量过程和投影图的解读。在测量过程中，可能存在人为操作误差和仪器误差；在投影图解读时， 可能存在对地质现象理解的偏差。
改进方法
为了减小误差，我们可以采取以下措施：提高测量精度、使用更先进的测量设备；加强人员培训，提高对地质现 象的认知水平；采用多种方法相互验证，提高结果的可靠性。
通过不断改进和完善该方法，可以更好地服务于实际地 质工作，促进地质科学的发展。
THANKS
在实验中，学生将学习如何利用赤平投影方法，通过观察和分析褶皱露头点的投影特征，来确定 褶皱枢纽的位置和形态，以及轴面的产状。
掌握分析技巧
学生将学习如何利用赤平投影的分析技巧，来判断褶皱的类型、规模和形成机制，为后续的地质 分析和矿产资源评估奠定基础。
02 实验原理
赤平投影基本原理
1 2
3
定义
赤平投影是一种将三维空间中的点投影到二维平面的方法， 通过保持点在三维空间中的相对角度和距离关系，将它们映 射到二维平面上。
讨论实验结果与实际情况的符合程度
对比分析
我们将实验结果与已知的地质资料进 行了对比，发现赤平投影方法得出的 结果与实际情况较为吻合。这表明该 方法在确定褶皱枢纽和轴面产状方面 具有较高的可信度。
误差分析
尽管实验结果与实际情况较为一致， 但仍存在一定的误差。这些误差可能 源于测量过程中的人为误差、投影图 的解读误差以及地质资料的不确定性。
实验五用赤平投影方法确定褶皱枢纽和
$number
轴面产状
{01}
目 录
• 实验目的 • 实验原理 • 实验步骤 • 实验结果分析 • 实验总结
01 实验目的
掌握赤平投影方法
极射赤平投影基本作图方法
极射赤平投影基本作图方法极射赤平投影基本作图方法§1 极射赤平投影的基本原理一、投影要素1、投影球—以任意长为半径的球，球面即球表面2、赤平面—过投影球球心的水平面3、基圆—赤平面与球面相交的大圆，或称赤平大圆凡过球心的平面与球面相交的大圆，统称为大圆，不过球心的一球面与球面相交所成的圆统称小圆。
4、极射点—球上两极发射点，分上半球投影和下球投影。
二、平面和直线的投影的解析（一）平面投影1、过球心的平面投影任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层面、断层面、节理面或轴面等），必然于球面相交成球面大圆，球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平面，在赤平面上这些穿透点的连线即为该平面的相应大圆的赤平投影，简称大圆弧。
1）直立大圆（平面）——为基圆直径2）水平大圆（平面）——为基圆本身3）倾斜大圆（平面）——以基圆直径为弧的大圆弧性质：球面大圆投影后在赤平面上仍为一个圆。
2、不过球心的平面投影不过球心的平面与球面相交成直径小于球直径的小圆、球面小圆投影仍为一个小圆。
1）直立小圆（平面）——部分为基圆内一条弧，部位为基圆外一条弧2）水平小圆（平面）——为基圆的同心圆3）倾斜小圆（平面）①全部位于圆基内的小圆②部位于基圆内，部分在基圆外③全部在基圆外性质：1）球面大圆或球面小圆投影在赤平面仍为一个圆2）半径角距相等的球面小圆（即面积相等的小圆），其投影小圆面积不等，近基圆圆心处，远离圆在大。
3）任何过极射点（P）的球面大圆或小圆其赤平投影均为一条直线。
4）球面大圆或小圆在赤平面上的投影圆的圆心（R’）与作图圆心（C）是不重合的；只有水平球面大圆和水平球面小圆投影后，投影圆心（R’）作图圆心（C）与基圆的圆心O点重合，并且投影圆的圆心（R’）与基圆圆心（O）愈远，R’与C分离愈大。
（二）直线投影过球心的直线无限延伸心交于球面两点，称极点。
1、铅直线投影点为基圆圆心2、水平线投影点为基圆直径的两个端点3、倾斜线股影点，一个在基圆内，另一个在基圆外，称对距点，其角距为180°三、投影网：吴尔福网和施密特网（一）吴氏网的结构及成因原理吴氏网的结构：基圆、径几大圆弧、纬向小圆弧、东西、南北经纬线，间距2°，误差±0.5°1、基圆，赤平大圆，代表水平面，0°-360°方位角刻度2、经向大圆弧，由一系列走向SN的，向东或西倾斜，倾角不同（0°-90°），间隔2°的投影大圆弧（代表倾斜平面）组成。
极射赤平投影原理及使用方法PPT学习教案
二. 赤平投影网的使用方法
(三)法线的赤平投影: 例如: 求一平面产状为90∠40°的法线投影。
1. 透明纸上指北箭头与投影网的0°重合, 从0° 开始, 顺时针数到投影网的90 °处, 用铅笔在该处的基 圆上注记一点。该点为平面的倾向。
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二. 赤平投影网的使用方法
大圆弧
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一. 赤平投影的基本原理 (二) 平面的赤平投影解析:
1. 过球心的平面的赤平投影: 直立大圆在赤平面的赤平投影为基圆的一条直
径(即直立大圆PSFN的投影为NS直径)；水平大圆的赤 平投影就是基圆(WNES)；倾斜大圆的赤平投影是以基 圆直径为弦的大圆弧(ASBN投影成SB’N)
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一. 赤平投影的基本原理 (二) 平面的赤平投影解析:
1. 过球心的平面的赤平投影: 设想通过球心的平面无限延伸，必定与球面相交
构成一个直径与投影球直径相对的大圆。直立平面与 投影球相交为一直立大圆(SPNF)，水平平面与投影球 相交为水平大圆或基圆(WNES)，倾斜平面与投影球相 交为一倾斜大圆(SANB) 。
方向数90 °得K点。 4. 将K点转至一经向大圆弧上, 过K点作出大圆弧FG,
FG大圆弧所代表的平面即为产状为70∠40°和290∠30° 两平面的公垂面, 因而在FG大圆弧上两交线之间的夹角为 真二面角, 其中一对为锐角, 另一对为钝角, 二者互为补角。
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二. 赤平投影网的使用方 法 (四)求两平面的夹角及其等分面:
直径上, 沿着投影网东西直径由投影网圆周向圆心方向数40°, 得一 点A, 该点即为为产状为330∠40°倾斜直线的赤平投影。
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赤平投影原理及讲解
一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。
当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。
当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
构造地质学 实习讲义 第14章 赤平投影原理与应用简介1203
大圆图解。
圆柱状褶皱：各切面交线平行，且平行于褶皱枢纽， 这些经线大圆交于（β）点，即β轴=褶皱枢纽投影。
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D7054 Cam－O 褶 皱 岩 层 产 状 统 计 图
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D7052Cam－O褶 皱 岩 层 产 状 统 计
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1．投影平面245°∠30°；20°∠60°；340°∠40°；120°∠70°。 2．投影直线42°∠62°；130°∠45°；220°∠50°；315°∠32°。 3．投影平面NW318°∠26°的法线（即极点）。 4．投影包含直线258°∠40°及42°∠62°的平面的产状。 5．已知铁矿层产状为154°∠40°，求下列各方向剖面上的视倾角：80°、330°、290°、 240°。 6．在公路转弯处的两陡壁上，测得板状含金石英脉的视倾斜线产状分别为120°∠16°和 227°∠22°，求该板状含金石英脉的产状。 7．岩层面产状为150°∠40°，岩层面上有擦痕线，其侧伏角为30°SW，求擦痕线的倾伏 向和倾伏角。（提示：作出岩层面的大圆弧后，由大圆弧的走向SW端沿大圆弧数其被纬线小 圆弧所分割的30°，即得擦痕投影。） 8．求平面254°∠30°与145°∠48°的交线产状。 9．求平面335°∠30°与平面235∠48°的夹角及夹角平分面的产状。 10．一圆柱状背斜北西翼产状为330°∠45°，北东翼产状为65°∠35°。求：（1）东西向 直立剖面上两翼的视倾角及两翼之间的夹角；（2）横截面的产状、横截面上两翼的侧伏角及 两翼之间的翼间角。 11. 某地灰岩中发育一对共轭剪节理，一组产状为190∠76°，另一组产状为278°∠53°， 假定两组节理的锐角等分线方向为最大主压应力方向，求三个主应力轴的产状。
赤平投影原理及讲解
赤平投影原理及讲解引言赤平投影是地图学中常用的一种投影方式，其最大的优点是可以充分保证地图上任意一点与赤道的角度都相等。
而赤平投影的实现原理，主要是利用了地球的旋转和中心线的垂直位置。
赤平投影原理坐标系在介绍赤平投影原理之前，我们需要先了解一下坐标系。
通常在地图制作中，我们使用的坐标系为地球坐标系。
地球坐标系是将地球上的点用三维坐标系表示的一种数学模型。
其中，地球坐标系的原点为地球质心，地球的赤道为该坐标系的 XY 平面，而该坐标系的 Z 轴即为地球北极点指向质心的连线。
在地球坐标系中，我们一般采用经度和纬度作为解释地球上位置的方式。
经度是一个定点的短圆弧与本初子午线之间的夹角，而纬度则是一个点与赤道之间的夹角。
它们的表示方式为度、分、秒，分别用符号 °、′、″ 表示。
赤平投影原理赤平投影又称为正射平面投影，需要满足投影面与地球的平面垂直，且中心点正好位于地球的北极或南极上。
投影点与赤道面的夹角都相等。
在赤平投影中，将地球的南北极作为坐标轴的原点，与水平面相交的平面即为投影面。
将该平面放在一张纸上，用垂线去描绘地球上的各个点。
这时，地球上的每一个点都可以在平面上找到一个对应的点，使得该点到点 O（即南极或北极）的距离与该点所对应的角度相等。
由于在赤平投影中，地球上的任何一点都可以延长与南北极的连线垂直于平面，这就形成了“正射平面投影”的名称。
在赤平投影中，投影长度与原长之比始终等于该点到南北极的夹角。
赤平投影的应用赤平投影具有保持等角性的特点，在工程制图、城市规划、制造业等领域得到了广泛的应用。
同时，在天文学中，赤平投影也是观测恒星时使用的一种重要工具。
赤平投影的应用广泛且其实现原理简单，只需将地球的南北极作为坐标轴的原点，与平面相交，以垂线去描绘地球上的各个点，便可以获得等角性的投影效果。
赤平投影法及其在岩质边坡稳定分析中的运用(工程地质课件)
知识点15 赤平投影法在岩质边坡稳定性分析中的运用
15.3 极射赤平投影作图方法
2.施氏投影网：施密特制作，为等 面积投影网。 特点：能反映出面、线的最发育的 产状方位及其组合特征，进行线、 面规律性研究。
知识点15 赤平投影法在岩质边坡稳定性分析中的运用
（二）吴氏投影网作图方法 1.一组结构面产状绘制 120°∠40°（即：N30°E/SE 40°） ①将透明纸蒙在吴氏网上，按相同半径画出基圆，标注中心“O”及顺时针标注E、S、 W、N方向； ②按走向的方位角，通过圆心作N30°E的方向线，分别标注为C、A； ③转动透明纸，使CA与南北垂线重合（C、A点分别与N、S重合），在倾向点相对的 半圆内的水平线上找出倾角40°的点（倾向为NE、SE时在网左侧找，反之在右侧找）， 标注为K； ④描绘40°经线，即为结构面赤平极射投影弧CMA。
知识点15 赤平投影法在岩质边坡稳定性分析中的运用
OM延长至基圆相交于点P，则：
AC为结构面的走向，OK表示结构面的倾向，G K表示结构面的倾角。
2.两组结构面产状绘制
J1：120°∠40°（即：N30°E/SE 40°）， J2：7 0°∠60° （即：N20°W/NE 60°）
如图作结构面J1、J2的赤平极射投影弧AKC和B FD，两弧相交于点M，连接OM，并延长至基 圆相交于点P。则：OM线的方向即为J1、J2交 线的倾向，PM表示J1、J2交线的倾角。
知识点15 赤平投影法在岩质边坡稳定性分析中的运用
15.3 极射赤平投影作图方法
（一）投影网 1.吴氏（吴尔福）投影网：1902年 俄国学者吴尔福制作，以基圆直径 为20cm且经线和纬线间距为2°的 网格组成。 特点：用它能正确反映点、线、面 的角距关系，误差不超过0.5°其缺 点是投影后的面积受到歪曲。
赤平投影原理与操作方法
赤平投影原理与操作方法
赤平投影是一种把三维球体表面映射到二维平面上的技术。
技术原理是从球体中心到表面上各点的线段与平面垂直，投影到平面上得到的投影坐标。
操作方法：
1. 选择一个球体，并确定其中心坐标和半径大小。
2. 确定投影平面，通常为xoy 平面或者xoz 平面，也可以自定义一个平面。
3. 将球体表面上的每个点投影到平面上得到对应的坐标点。
4. 将投影得到的坐标点按照一定的规律映射到二维平面上形成图像，通常会使用等距投影或者等面积投影等方法进行映射。
5. 根据需要作出相应的修改，例如旋转角度、缩放大小等。
赤平投影可以有效地呈现球体表面上的信息，并且具有保持距离和角度比例不变、投影区域面积相等等优点。
常用于地图制作、天文学和计算机图形学等领域。
第十六章 赤平投影的基本原理和方法
二,投影原理 一切过球心的面和线,延伸后均会与球面相交,并在 球面上形成大圆和点.面的投影为一个大圆弧,线的投影 则为一个点.
三,投影网(吴尔福网-等角距网,施密特网-等面积网) 投影网(吴尔福网-等角距网,施密特网-等面积网)
吴氏网的结构要素 1.基圆 2,两条直径 3,经线大圆 4,纬线小圆
四,投影方法
1.平面的投影方法 (SE120∠30)
2.直线的投影方法 2.直线的投影方法 (NW330∠40) 直线的 ∠
3. 法线的投影方法 法线的投影方法(E90∠40) ∠
4. 求两平面交线的产状 (SE120∠36 \ S180∠20) 求两平面交线的产状
�
1.基圆 :赤道平面与球面的交线,是网的边缘 大圆.由正北顺时针为0-360,每小格为2, 表示方位角. 2,两条直径 :分别为SN走向和EW走向直立平面 的投影.自圆心向基圆为90-0. 3,经线大圆 :是通过球心的一系列走向SN,向E 或W倾斜的平面的投影.自SN直径向基圆代表倾角 由陡至缓的倾斜平面(90-0 ). 4,纬线小圆:是一系列不通过球心的EW走向直立 平面的投影.它们将SN 向直径,经线大圆等分, 每小格为2.
第十六章 赤平投影的基本原理和方法
第一节 一,赤平投影的要素: 赤平投影的要素: 1,投射球; 2,赤平面; 3,基 ,投射球; ,赤平面; 圆; 4长为半径作成的球.投 ,投影球(投射球) 以任意长为半径作成的球. 影球表面称为球面. 影球表面称为球面. 2,赤平面:过投影球球心的水平面,即赤平投影面. ,赤平面:过投影球球心的水平面,即赤平投影面. 3,基 圆:赤平投影平面(赤平面)与投影球面相交 赤平投影平面(赤平面) 所成的大圆.或称赤平大圆,内设东西和南北经线. 所成的大圆.或称赤平大圆,内设东西和南北经线. 注意:凡是过球心的平面与球面相交所成的圆, 注意:凡是过球心的平面与球面相交所成的圆,统称 大圆. 不过球心的平面与球面相交所成的圆,统称小圆. 大圆. 不过球心的平面与球面相交所成的圆,统称小圆. 4,投射点(极射点) : 球上两极的发射点.由上极 ,投射点(极射点) 极 射点把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称下半球 射点把下半球的几何要素投影到赤平面 投影称下半球 投影.反之, 半球投影. 投影.反之,称上半球投影. 半球投影 我们多采用下半球投影. 我们多采用下半球投影.
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（二）据共轭剪节理求三个 主应力轴(σ1 、 σ2 、 σ3)
一共轭节理产状 为:70°∠60°和 120°∠60°， 求三个主应力轴产 状。
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（二）面的旋转
❖ 问题：一个产状已知的平面，沿某方向旋转一定角度 后，求此面的产状。
❖ 原理：平面的投影是一个大圆，大圆是无数个点组成 的，因此大圆的旋转实际上是组成该大圆上许多点的 旋转。 球面上任一点绕SN轴 (定轴) 旋转，该点的旋转 轨迹为一圆，此圆为走向东西的一个直立平面，其投 影与吴氏网的纬向小圆重合。因此只要求出大圆上各 点绕轴旋转后的位置，即可知道旋转后的平面产状。
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实例: 一个背斜两翼的产状数据，求
枢纽的产状 (1)、143∠37, (2)、104∠30,
(3)、直立，走向104，(4)、 154∠44
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作业： P230 1、2、3、4、5、7、8、
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三、两面夹角的测量及面的旋转方法
（一）两面夹角及角平分线的测量 两相交平面的公垂面和两平面的投影大圆弧相交，其 间的夹角为所求的夹角，角的一半为平分线。
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例9: 已知一角度不整合上覆地层的产状 240°∠30°，下伏老地层产状为120 ° ∠ 40 °， 求新地层水平时老地层的产状。
❖ 投影新地层DHF 、老地层 ABC 的产状;
❖ 将新地层产状恢复水平，旋 转DHF 大圆弧与SN向经向 大圆重合，将大圆弧上各点 转到基圆上。
❖ 将老地层向相同方向旋转相 同角度，使老地层ABC大圆 达到新位置，将新位置各点 拟合大圆即可。
面、断层面、节理面或轴面等）和线，必然与 球面相交成球面大圆和点。
球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平面， 在赤平面上这些穿透点的连线即为该平面的相 应大圆的赤平投影，简称大圆弧。
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1.平面的投影 平面(PGF)产状:SN/90 ° ∠40°,投影 到赤平面上为PHF。PF代表走向，OH代表倾向，DH 代表倾角。 2.线的投影 直线(OG)产状：90 ° ∠40°,投影到赤 平面上为H点。OD为直线的倾伏向，HD为倾伏角。
O
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（5）、求两平面 交线的产状。例5: 求220 °∠ 35 ° 和300 °∠ 55 ° 两平面的交线的 产状（图19-9)。
S2 H
O S1
S2
S1
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（6）求两相交直线所决定的平面产状。 例6: 线理LI 产状为120 °36 °，L2 产状 为180 °∠40°所决定的平面产状。
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6
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2、一般操作步骤：
预备阶段 ①将透明纸蒙在吴氏网上， ②画“+”中心， ③标出E、S、W、N方位（顺钟 向）。
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（1）、平面的赤平投影 投影步骤(口诀): A、基圆顺钟找倾向； B、东西直径数倾角（由圆周向圆心数）； C、径向圆弧拟平面； D、复原归位定投影。
例1： 平面产状 120°∠30°投影 操作如下。
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例9: 已知平面产状310°∠50°，如果绕走向SN轴水 平旋转30 °求旋转后的平面产状。
操作步骤： ❖ 投影平面FD； ❖ 将大圆上若干点沿其所在
纬向小圆逆时针旋转30° （箭头所示）到新位置； ❖ 将旋转后得到的新位置点 旋转到同一经向大圆上， 拟合大圆弧即为旋转后的 平面D′F′投影。
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实例: 根据下图向斜两翼的产状数据，推断 鞍状矿层的倾伏向和倾伏角（即向斜枢纽的 产状），并指出钻孔应布置在地表铁矿层露 头的什么地方才能探到地下铁矿层。
(1)、143∠37, (2)、104∠30, (3)、直立， 走向104，(4)、154∠44
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π图解：
是指褶皱面各部位法线的赤平投影图解。对 圆柱状褶皱来说，同一褶皱面的极点在赤平投影 网上将落在一个特定的大圆上或附近。这个大圆 即π圆，π圆的极点代表褶皱枢纽（β）
（7）求平面上的直线产状 例7： 已知平面产状180°∠37°，该平面上一 条直线侧伏向E，侧伏角44°，求直线的倾伏向 和倾伏角。
E 44°
37°
S
15பைடு நூலகம்
二、β图解和π图解
β图解是指以褶皱面各切点的切面所作的经向 大圆图解。在理想的圆柱状褶皱中，各个切面交 线互相平行，这些经向大圆交于一点（β），即褶 皱枢纽的投影。非圆柱状褶皱则要分段投影。
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(二）、投影网：吴尔福网和施密特网
1、吴氏网的结构及成因原理 吴氏网的结构：基圆、径向大圆弧、纬向小圆弧、 东西、南北经纬线，间距2°，误差±0.5°。
（1）、基圆：赤平大圆，代表水平面，0°360°方位角刻度。
（2）、两条直径：EW，SN。 （3）、经向大圆弧：由一系列走向SN的，向东 或西倾斜，倾角不同（0°-90°），间隔2°的投 影大圆弧（代表倾斜平面）组成。 （4）、纬向小圆“为一系列走向东西、直立小 圆的投影小圆弧组成。他们将SN直径、经向大圆和 基圆等分，每小格为2 °。幻灯片 7
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作业：
P230 9、11、12、16、18
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投影要素
1、投影球 2、赤平面:过投影球球心的 水平面 3、基圆:赤平面与球面相交 的大圆（赤平大圆）。 凡过球心的平面与球面相 交的大圆，统称为大圆， 不过球心的平面与球面相 交所成的圆统称小圆。 4、极射点: 球上两极发射 点，分上半球投影和下球 投影
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一、面和线的赤平投影
（一）投影原理 任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层
极射赤平投影 在构造地质学中的应用
极射赤平投影
极射赤平投影 (Stereographic projection)简称赤平投影， 主要用来表 示线、面的方位，及其相互之间的角距关 系和运动轨迹，把物体三维空间的几何要 素（面、线）投影到平面上来进行研究。
特定：方法简便、直观、是一种形象、 综合的定量图解。在构造地质、工程地质、 结晶学和航海上被广泛地应用。
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（2）、直线的赤平投影 步骤同1、2即可。 例2：线理产状 330°∠40°投影如下。
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（3） 、法线的投影 关键：法线和平面垂直，倾向相反（90°），倾角互 余。 例3: 产状为90 °∠40 °平面的法线投影。
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（4）、已知真倾角求视倾角 例4:某岩层产状300°∠40°，求在
335°方向剖面上岩层的视倾角。视倾角为 图19-8中的H′D ′。