电路分析基础第4章 正弦稳态电路分析

5
图 4-2
6
4.1.2、同频率正弦量的相位差
设有两个同频率的正弦量为 i1 (t) I m1 sin(t i1 ) i2 (t) I m2 sin(t i2 )
它们的相位各为(t i1)、(t i2 ),初相各为i1、i2 ,而把 i12 (t i1 ) (t i2 ) i1 i2
第 4 章 正弦稳电路分析
4.1 正 弦 量 的 基 本 概 念 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 基本元件VAR相量形式
和KCL、KVL相量形式 4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳 4.5 正 弦 稳 态 中 的 功 率 4.6 正弦稳态电路中的中
的最大功率传输
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1
学习 目标
▪ 正确理解正弦量的概念，牢记正弦量 的三要素。 ▪ 正确区分瞬时值、最大值、有效值和 平均值。 ▪ 深刻理解正弦量的相量表示法。 ▪ 深刻理解和掌握交流电路中电阻、电 容、电感 元件上的电压、电流之间的相 位关系，并能进行相关的计算。 ▪ 正确区分瞬时功率、平均功率、有功 功率、无功功率和视在功率，并会进行 计算。
复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐 角相加；两个复数相除，将模相除，辐角相减。
如：
12
A1 A2 r1e j1 r2e j2 r1r2e j(12) r1r21 2
r e r A1
r e r A2
j 1
1 j 2
2
1
2
1
2
e j
因为通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的辐
4
用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原
点前后正负T/2内曲线由负变正经过零值的那一
点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐
标原点的角度，于是初相角不大于 ，且波形起
点在原点左侧 0 ；反之 0 。
如图4-2
所示，初相分别为0、
2
、
6
、
6
由图可见，初相为正值的正弦量，在t=0时的 值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值后正 弦量，在t=0时的值为负，起点在坐标原点之右。
通常把
XC=
1
C
定义为电容的容抗。
电容元件上，电流振幅为电压振幅的ωC倍 。
19
以上表明电容电流超前电容电压90°，可以 用相量图或波形图清楚地说明。如图4-6所示。
图 4-6 电容元件的波形、相量图
20
3、电感元件
电感元件上电压、电流之间的相量关系式为：
.
.
U jL I
由上式可得 U= ωLI =XLI
由于
A(t) Ae j(t) Ae je jt Aejt A(t) Ae j(t) A cos(t ) j A sin(t )
可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复 数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。
u(t) 2U sin(t u ) Im[ 2Ue j(ttu ) ]
如图4-3（a）、（b）、（c）、（d）分别表 示两个正弦量同相、超前、正交、反相。
8
图 4 -3 i1与i2同相、超前、正较、反相
9
4.1.3 正弦电流、电压的有效值
1、有效值
周期量的有效值定义为：一个周期量和 一个直流量，分别作用于同一电阻，如果经 过一个周期的时间产生相等的热量，则这个 周期量的有效值等于这个直流量的大小。电 流、电压有效值用大写字母I、U表示。
例 已知 u1=141sin(ωt+60o)V ，u 2 =70.7sin(ωt-45o)V 。
.
。
求：⑴ 求相量U1 和U2 ；(2) 求两电压之和的瞬时值 u(t)
（3） 画出相量图
解（1）U• 1＝141 ＝100 60＝100 e j60 (50 j86.6)V
23
•
U2
70.7
图 4-7 电感元件的波形、相量图
22
4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳
4.4.1 复阻 抗设由R、L、C串联组成无源二端电路。如图4-
8所示，流过各元件的电流都为I， 各元件上电压
分别为uR(t)、uL(t)、uC(t)，端口电压为 u (t)。
ui
图 4-8
23
因为 u (t)= uR(t)+u L(t)+ uC(t)
角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复
数相除相当于顺时针旋转矢量。
特别地，复数 e j 的模为1，辐角为。把一个复
数乘以e j就相当于把此复数对应的矢量反时针方向
旋转 角。
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4.2.2 正 弦 量 的 相 量 表 示
设有一复数 A(t) Ae j(t) 它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且 辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为
即
•
•
•
•
I m ( 2 U e jt ) I m ( 2 U R e jt ) I m ( 2 U L e jt ) I m ( 2 U C e jt )
所以
I
m
2
U•R
•
UL
•
UC
e
jt
•
•
•
•
•
•
•
u
U U R U L U C I R I ( jX L ) I ( jX C )
Im Ue ju 2e jt
Im U.
2e
jt
Im
U.
m
wk.baidu.com
e
jt
14
式中
.
.
.
U Ue ju 或U m 2 U
同理
.
.
.
I Ie ji 或 I m 2 I
.
.
把这个复数 U 和U m 分别称为正弦量的有效值相
量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只
具有对应关系，而不是相等的关系。
相位，简称初相； ω叫正弦量的角频率。
因为正弦量每经历一个周期的时间T，相位增 加2π，则角频率ω、周期T和频率ƒ之间关系为：
I m、、
2 2f即T 1
T
f
ω、T、ƒ反映的都是正弦量变化的快慢，ω 越大，即ƒ越大或T越小，正弦量变化越快；ω越 小，即ƒ越小或T越大，正弦量变化越慢。
把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。 只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。
▪能进行对称三相电路的计算。
2
4.1 正弦量的基本概念
4.1.1 正弦量的三要素
若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦 交流电。
以电流为例，正弦量的一般解析式为：
波形如图4-1所示
i(t) I m sin(t i )
图 4-1 正弦量的波形
3
图中Im 叫正弦量的最大值，也叫振幅；角
度t 叫正弦量的相位，当t=0时的相位叫初
由于cos2ωt≤1,故此
pR（t）=URIR（1-cos2ωt）≥0
其瞬时功率 的波形图如4-10 所示。由图可见， 电阻元件的瞬时 功率是以两倍于 电压的频率变化 的，而且pR（t） ≥0，说明电阻元 件是耗能元件。
图 4-10 电阻元件的瞬时功率
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电阻的平均功率
PR
1 T
T p(t)dt 1
Z e jZ
R
jX
Z U R2 X 2 I
式中∣Z∣称为阻抗的模，其中X=XL-XC称为电 抗，电抗和阻抗的单位都是欧姆。 Z 称为阻抗 角，它等于电压超前电流的相位角，即
Z
u
i
arctg
X R
arctg
XL
XC R
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4.4.2 复导纳
对于如图4-9 所 示 R、L、C 并联电路，根 据相量形式得 KCL，得到：
所以
Y＝ I ＝ Im U Um
1 Z
,Y
i u
z
Y为无源二端电路的复导纳（或导纳），对 于同一电路，导纳与阻抗互为倒数。
∣Y∣称为导纳模，它等于阻抗模的倒数；对 于同一电路，导纳模与阻抗模也互为倒数。
y称为导纳角，导纳角等于电流与电压的相
位差，它也等于负的阻抗角。
27
4.5 正 弦 稳 态 中 的 功 率
同频率正弦量的相位差，不随时间变化， 与计时起点的选择无关。为了分析问题的方便 ，在一些有关的同频率正弦量中，可以选择其 中的一个初相为零的正弦量为参考，其他正弦 量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较， 即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量 之间的相位差。在n个正弦量中，只能选择一个 为参考正弦量。
•
•
•
•
I IR IL IC
图 4-9 RLC并联电路
•
•
•
•
I G U R ( jBL U L ) jBC U C
•
•
•
GU ( jBL U ) jBC U
•
[G j(BL BC )]U
•
[G jB]U
•
YU
26
由于
•
Y
I
•
U
.
Ie ji Ue ju
I e j(i u ) Y e jY U
根据有效值的定义，则有
i I T 2Rdt 2 RT 0
则周期电流的有效值为
i I 1 T 2 dt
T0
10
2、正弦量的有效值
对于正弦电流，设 i(t) I m sin(t i )
I sin I
T 1 T0
2 m
2 (t i)dt
Im2 2T
T
0 [1 c os2(t i )]dt
50 45 50e j45
(35.35
j35.35)V
24
15
（2）
•
•
•
U U 1U 2 (50 j86.6) (35.35 j35.35)
99.5531 99.55e j31
u(t) 99.55 2 sin(t 31)V
（3） 相量图如图4-4所示
图 4-4
16
4.3 基本元件VAR相量形式 和KCL、KVL相量形式
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图 4-5 电阻元件的电压、电流相量及波形图
其相量关系为：
•
2U
•
2R I
•
•
即 U RI
•
•
其中 U Uu , I Ii
18
2、 电容元件
电容元件上电压、电流之间的相量关系式为：
.
.
I jC U
将上式改写为：
I
Ii jCUu CUu 90
即
I CU
或
U
I
C
1
C
I
XCI
i u 90
4.3.1 基本元件VAR的相量形式
在交流电路中，电压和电流是变动的，是时间的函数
。电路元件不仅有耗能元件的电阻，而且有储能元件电
u Ri
感和电容。下面分别讨论它们的伏安关系式（即VAR）
的相量形式。
1 、 电阻元件
根据欧姆定律得到
2U sin(t u ) 2RI sin(t i )
上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流 是同相的，相量、波形图如图4-5所示。
叫做它们的相位差。正弦量的相位是随时间
变化的，但同频率的正弦量的相位差不变，等
i12
于它们的初相之差。
初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零
，这样的两个正弦量叫做同相。同相的正弦量 同时达到零值，同时达到最大值，步调一致。 两个正弦量的初相不等，相位差就不为零，不 同时达到最大值，步调不一致，
7
， 量则 正如表 交果示 ；i如112滞果后0i，122 ，则如表果，示则i1超1两2 前个2i正2，;如弦则果量两反个1相2正。弦0
0
T
T 0
U R I R
URIR
cos2t dt
URIR
I 2RR
U2 R
可见对于电阻元件，平均功率的计算公式
与直流电路相似。
2. 电感元件的功率 在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为
iL t 2IL sin tA
则电感电压为：
uL (t)
2
I
L
X
L
s
in(t
2
Im2 2T
t
T 0
I
2 m
2
I Im 0.707
2
m
同理
U
1 2
U
m
0.707U m
11
4.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法
4.2.1 复数的运算规律
复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减）时， 将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相 减）。如：
A1 a1 jb1 r11 A2 a2 jb2 r22 相加、减的结果为： A1±A2=（a1+jb1）±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2)
u i 90
上式表明电感上电流滞后电压为90°。
通常把XL=ωL定义为电感元件的感抗，它是电 压有效值与电流有效值的比值即 XL=ωL。对于 一定的电感L，当频率越高时，其所呈现的抗感 越大，反之越小。在直流情况下，频率为零， XL=0，电感相当于短路。
21
电感元件的波形、相量图如图4-7所示。可以 看出，电感上电流滞后电压为90°。
4.5.1 R、L、C元件的功率和能量 1 .电阻元件的功率 设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬 时功率为 pR(t)= u(t)I(t)
设流过电阻元件的电流为
IR (t)=Im sinωt A 其电阻两端电压为
uR(t)=Im R sinωt =Um sinωt V
则瞬时功率为
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pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2ωt =URIR（1-cos2ωt）W
•
I[R j(X L X C )]
•
I (R jX )
•
IZ
•
即：
•
I
＝U
Z
24
上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律。Z为
该无源二端电路的复阻抗（或阻抗），它等于端
口电压相量与端口电流相量之比，当频率一定时，
阻抗Z是一个复常数，可表示为指数型或代数型，
即：
•
Z
U
•
I
U e j(u i ) I