圆内接四边形的性质与判定定理

圆内接四边形的性质与判定定理

一、 选择题

1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有

①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；②圆内接四边形对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④在圆内部的四边形叫圆内接四边形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.圆内接四边形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 交于点E ，在下图中全等三角形的对数为 A.2对 B.3对 C.4对 D.5对

3.圆内接四边形ABCD 中，39,25,60,52AB BC CD DA ====,则圆的直径为 A.62 B.63 C.65 D.66

T2 T4 T5

4.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，60,ACB AB a ∠==o

，则CD

=

C.12a

D.13

a 5.圆内接四边形ABCD 中，BA 与CD 的延长线交于点P ,AC 与BD 交于点E,则图中相似三角形有 A.5对 B.4对 C.3对 D.2对

6.如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积为 A.

163 B.8

C.323

D.

D

T6 T7 T12

7.如图，在以BC 为直径的半圆上任取一点P ,过弧BP 的中点A 作AD BC ⊥于D.连接BP 交AD 于点E,交AC 于点F,则:BE EF =

A.1:1

B.1:2

C.2:1

D.以上结论都不对

8.直线370x y +-=与20kx y --=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k =

A.-3

B.3

C.-6

D.6

二、填空题

9.圆内接四边形ABCD 中，cos cos cos cos A B C D +++= . 10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 . 11.圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= .

12.如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=o

，则ADC ∠= . 三、解答题

13.如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=o

，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：2BC DE =.

B

14.求证：在圆内接四边形ABCD 中，AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅.

15.在等边三角形ABC 外取一点P ,若PA PB PC =+，求证：P 、A 、B 、C 四点共圆.

16.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，M 为CD 中点，N 为AB 中点，AC BD ⊥于点E ，连接ON 、ME ，并延长ME 交AB 于点F.求证：MF AB ⊥.

A

D

B

C

17.已知：如图所示，10,8,AB cm BC cm ==CD 平分ACB ∠. (1)求AC 和DB 的长； (2)求四边形ACBD 的面积.

18.在锐角三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，,,,DE AB DF AC E F ⊥⊥为垂足. 求证：E 、B 、C 、F 四点共圆.

B

C

19.如图，矩形ABCD 中，AD=8,DC=6,在对角线AC 上取一点O,以OC 为半径的圆切AD 于点E,交BC 于点F,交CD 于点G. (1)求⊙O 的半径R ；

(2)设,BFE GED αβ∠=∠=，请写出,,90αβo

之间关系式，并证明.

圆内接四边形的性质与判定定理

(参考答案)

一、 选择题

1-5 BBCAB 6-8 DAB 二、填空题

9. 0 10.132

11.90o 12.110o

三、解答题

13.法一：302ABE ABE AB AE ∠=⇒∆=o

在Rt 中， 1

2

AD AE DE ADE ACB AC AB BC ∆∆⇒

===∽ 法二：连接BE,»30ABE DE

∠=⇒o

的度数为60o 60DOE ⇒∠=o 即ODE ∆为正∆ OD DE ⇒=

14.在AC 上取点E,使1,23ADE ∠=∠∠=∠又

AE BC

ADE BDC AE BD AD BC AD BD

⇒∆∆⇒=⇒⋅=⋅∽ ①

1ADE ADB CDE ABD ACD ABD ECD

∠=∠⇒∠=∠∠=∠∆∆又得∽

AB BD

BD EC AB CD EC CD

⇒

=⋅=⋅即 ② ①+②即可

15.延长PC 至D,作CAD BAP ∠=∠，并取AD=AP ，

则ADP ABP ABP ACD ∆≅∆⇒∠=∠⇒P 、A 、B 、C 四点共圆

16.,DE EC DM MC EM DM ⊥=⇒= MDE DEM ⇒∠=∠

90EAF AEF MDE AEF DEM MEC ⇒∠+∠=∠+∠∠=∠+∠=o

17.(1)6,AC BD == (2)49ACB ADB ABCD S S S ∆∆=+=四边形

18.法一：连结EF,,9090180DE AB DF AC AED AFD ⊥⊥⇒∠+∠=+=o

o

o

A

C

⇒A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF BEF C ⇒∠=∠⇒∠+∠

90180

BED DEF C DAF C =∠+∠+∠=+∠+∠=o

o

法二： A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF ⇒∠=∠ 9090AEF DEF DAF C ⇒∠=-∠=-∠=∠o

o

19.(1)1015

6104

OE AO R R AEO ADC R CD AC -∆∆⇒

=⇒=⇒=∽ (2)90EFB EGC βα∠=∠⇒+=o