圆内接四边形的性质与判定定理
第2讲-2 圆内接四边形的性质与判定定理
二圆内接四边形的性质与判定定理图2－2－11．圆内接四边形的性质定理(1)定理1：圆的内接四边形的对角互补．如图2－2－1：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.图2－2－2(2)定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图2－2－2：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定定理及其推论(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．1．“内接于圆的平行四边形、菱形、梯形分别是矩形、正方形、等腰梯形”这种说法正确吗？【提示】正确．根据圆内接四边形的对角互补可证．2．圆内接四边形的性质定理和它的判定定理及推论有何关系？【提示】 性质定理1和判定定理互为逆定理，性质定理2和判定定理的推论互为逆定理．图2－2－3如图2－2－3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，在AB 上截取PA ＝AC ，以PC 为直径的圆分别交AB 、BC 、AC 于D 、E 、F.求证：PA PB ＝DADP.【思路探究】 先利用PC 是圆的直径，得到PF ∥BC ，再利用圆内接四边形的性质，得到DF ∥PC ，最后利用平行线分线段成比例证明结论．【自主解答】 连接DF 、PF. ∵PC 是直径， ∴PF ⊥AC. ∵BC ⊥AC ， ∴PF ∥BC ，∴PA PB ＝FA FC. ∵四边形PCFD 内接于⊙O ， ∴∠ADF ＝∠ACP ， ∵AP ＝AC ， ∴∠APC ＝∠ACP.∴∠ADF ＝∠APC.∴DF ∥PC ， ∴DA DP ＝FA FC ，∴PA PB ＝DA DP .1．在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等． 2．圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．如图2－2－4所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，延长AB和DC相交于点E，EG平分∠AED，且与BC、AD 分别交于F、G.图2－2－4求证：∠CFG＝∠DGF.【证明】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBF＝∠ADE.又EF是∠AED的平分线，则∠BEF＝∠DEG，∴△EBF∽△EDG.∴∠EFB＝∠DGF.又∵∠EFB＝∠CFG，∴∠CFG＝∠DGF.图2－2－5如图2－2－5所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于G，求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．【思路探究】(1)要证D、E、F、G四点共圆，只需找到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等，可取GF的中点H，证点H即为圆心．(2)要证G、B、C、F四点共圆，只需证∠B＝∠AFG(或∠C＝∠AGF)，由D、E为中点，可知DE∥BC，∠B＝∠ADE，故只需证∠ADE＝∠AFG，由D、E、F、G四点共圆可得．【自主解答】(1)如图，连接GF，取GF的中点H.∵DF⊥AB，EG⊥AC，∴△DGF，△EGF都是直角三角形．又∵点H是GF的中点，∴点H到D、E、F、G的距离相等，∴点H是过D、E、F、G的外接圆的圆心，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由(1)知D、G、F、E四点共圆．由四点共圆的性质定理的推论，得∠ADE＝∠AFG.∵AD＝DB，AE＝EC，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠AFG＝∠B，∴G、B、C、F四点共圆．1．解答本题(1)是利用到定点的距离等于定长的点在同一圆上来证明的，本题(2)利用了圆内接四边形判定定理的推论来证明的．2．判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆；(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；(4)与线段两端点连线夹角相等(或互补)的点连同该线段两端点在内共圆．图2－2－6如图2－2－6，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P，求证：E，D，P，F四点共圆．【证明】∵AP⊥BC，F为AC的中点，∴PF是Rt△APC斜边上的中线，∴PF＝FC，∴∠FPC＝∠C，∵E、F、D分别为AB、AC、BC的中点，∴EF∥CD，ED∥FC，∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C，∴∠FPC＝∠FED，∴E、D、P、F四点共圆.如图2－2－7，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.图2－2－7(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．【思路探究】(1)利用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形的性质定理求解．(2)外接圆的圆心在BC边的高上，设出外接圆的半径为r，用r表示BC边上的高．【自主解答】(1)证明：如图，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF，又由对顶角相等得∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE.(2)设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC.连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB ＝75°.∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，外接圆的面积为4π.1．解答本题(2)时关键是找出外接圆的圆心位置，然后用外接圆的半径表示出BC边上的高．2．此类问题综合性较强，考查知识点较为丰富，往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用，最终得到某些结论的成立．如图2－2－8所示，AB、CD都是圆的弦，且AB∥CD，F为圆上一点，延长FD、AB使它们交于点E.求证：AE·AC＝AF·DE.图2－2－8【证明】如图，连接BD，∵AB ∥CD ，∴BD ＝AC. ∵A 、B 、D 、F 四点共圆， ∴∠EBD ＝∠F. 又∵∠DEB ＝∠FEA ， ∴△EBD ∽△EFA. ∴DE AE ＝BD AF .∴DE AE ＝AC AF ， 即AE·AC＝AF·DE.(教材第30页习题2.2第3题)如图2－2－9，已知四边形ABCD 内接于圆，延长AB 和DC 相交于E ，EG 平分∠E ，且与BC 、AD 分别相交于F 、G ，求证：∠CFG ＝∠DGF.图2－2－9(2018·广州调研)四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，AB ＝40°，则∠D ＝__________.【【解析】 如图连接AC.∵AB ＝40°.BC 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝20°，∠BAC ＝90° ∴∠B ＝180°－∠BAC －∠ACB ＝70° ∴∠D ＝180°－∠B ＝110°.【答案】 110°1．四边形ABCD 内接于圆O ，延长AB 到E ，∠ADC ＝32°，则∠CBE 等于( ) A ．32° B ．58° C ．122° D．148°【解析】 根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角知，∠CBE ＝32°.【答案】 A2．下列说法正确的有( )①圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角；②圆内接四边形的对角相等；③圆内接四边形不能是梯形；④在圆的内部的四边形叫圆内接四边形．A．0个 B．1个C．2个 D．3个【解析】①是圆内接四边形的性质定理2，正确．由于圆内接四边形的对角互补，不一定相等，②不正确．圆内接四边形可以是梯形，③不正确；顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形．④不正确．【答案】 B3．如图2－2－10，两圆相交于A，B，过A的直线交两圆于点C，D，过B的直线交两圆于点E，F，连CE，DF，若∠C＝115°，则∠D＝________.图2－2－10【解析】如图，连接AB，∵∠C＝115°，∴∠ABE＝65°，∴∠D＝∠ABE＝65°.【答案】65°4．四边形ABCD内接于圆O，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，则∠D＝________.【解析】∵圆内接四边形的对角互补，∴∠A＋∠C＝180°.又∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝140°.又∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－60°＝120°.【答案】120°一、选择题1．如图2－2－11，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )图2－2－11A．120°B．136°C．144°D．150°【解析】设∠BCD＝3x，∠ECD＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，即∠BCD＝108°，∠ECD＝72°.∴∠BAD＝72°，∴∠BOD＝2∠BAD＝144°.【答案】 C2．如图2－2－12，在⊙O中，弦AB的长等于半径，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数为( )图2－2－12A．30° B．45°C．50° D．60°【解析】连接OA，OB，∵∠BCD＝∠DAE＝80°，∠AOB＝60°，∴∠BCA＝12∠AOB＝30°，∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝80°－30°＝50°.【答案】 C图2－2－133．如图2－2－13所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似三角形的对数为( )A．4 B．3C．2 D．1【解析】利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD.因此共4对．【答案】 A图2－2－144．如图2－2－14，AB 是⊙O 的弦，过A 、O 两点的圆交BA 的延长线于C ，交⊙O 于D ，若CD ＝5 cm ，则CB 等于( )A ．25 cmB ．15 cmC ．5 cm D.52cm【解析】 连接OA ，OB ，OD ， ∵OA ＝OB ＝OD ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∠ODB ＝∠OBD. ∵C ，D ，O ，A 四点共圆， ∴∠OAB ＝∠CDO ，∠CDO ＝∠OBA ， ∴∠CDO ＋∠ODB ＝∠OBA ＋∠OBD ， 即∠CDB ＝∠CBD ，∴CD ＝CB ， ∵CD ＝5 cm ，∴CB ＝5 cm. 【答案】 C 二、填空题图2－2－155．如图2－2－15，以AB ＝4为直径的圆与△ABC 的两边分别交于E ，F 两点，∠ACB ＝60°，则EF ＝________. 【解析】 如图，连接AE. ∵AB 为圆的直径， ∴∠AEB ＝∠AEC ＝90°. ∵∠ACB ＝60°，∴∠CAE ＝30°，∴CE ＝12AC.∵∠C ＝∠C ，∠CFE ＝∠B ， ∴△CFE ∽△CBA. ∴EF AB ＝CE AC， ∵AB ＝4，CE ＝12AC ，∴EF ＝2.【答案】 2图2－2－166．如图2－2－16，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB PA ＝12，PC PD ＝13，则BCAD 的值为________．【解析】 由于∠PBC ＝∠PDA ，∠P ＝∠P ， 则△PAD ∽△PCB ，∴PC PA ＝PB PD ＝BCAD .又PB PA ＝12，PC PD ＝13，∴PB PA ×PC PD ＝12×13. ∴PC PA ×PB PD ＝16，∴BC AD ×BC AD ＝16. ∴BC AD ＝66. 【答案】66三、解答题7．如图2－2－17，四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A 作AE ∥BD 交CB 的延长线于点E.图2－2－17求证：AB·AD＝BE·CD. 【证明】 如图，连接AC. ∵AE ∥BD ，∴∠1＝∠2. ∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.∵∠4是圆内接四边形ABCD 的一个外角，∴∠4＝∠ADC.∴△ABE ∽△CDA ，∴AB CD ＝BE AD， ∴AB·AD＝BE·CD.8．如图2－2－18，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．图2－2－18【解】 (1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD×AB＝mn ＝AE·AC，即AD AC ＝AE AB. 又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB.因此∠ADE ＝∠ACB.所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH.由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC. 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12×(12－2)＝5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.9．如图2－2－19，已知P 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点，通过P 作正方形的边的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.你能判断出E 、F 、G 、H 是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想．图2－2－19【解】 猜想：E 、F 、G 、H 四个点在以O 为圆心的圆上．证明如下：如图，连接OE 、OF 、OG 、OH.在△OBE 、△OBF 、△OCG 、△OAH 中，OB ＝OC ＝OA.∵PEBF 为正方形，∴BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∠OBE ＝∠OBF ＝∠OCG ＝∠OAH ＝45°.∴△OBE ≌△OBF ≌△OCG ≌△OAH.∴OE ＝OF ＝OG ＝OH.由圆的定义可知：E 、F 、G 、H 在以O 为圆心的圆上．10.如图，锐角△ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA 的切点．(1)求证：四点A ，I ，H ，E 共圆；(2)若∠C ＝50°，求∠IEH 的度数．【解】 (1)证明：由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ，结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90°.所以，四点A ，I ，H ，E 共圆．(2)由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆，得，∠IEH ＝∠HAI ；在△HIA 中，∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠B ＋12∠A ＝12(∠B ＋∠A) ＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C. 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ； 所以∠IEH ＝12∠C. 由∠C ＝50°得∠IEH ＝25°.。
圆内接四边形的性质与判定定理(人教A版选修4-1)
【变式1】 如图所示，AD是△ABC外角∠EAC的角 平分线，AD与三角形的外接圆⊙O交于点D. 求证：DB＝DC. 证明 ∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
又∵∠EAD＝∠BCD，∠CAD＝∠CBD.
∴ ∠ DBC＝ ∠ DCB. ∴ DC＝ BD.
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而∠A与∠QFA也互余，
所以∠A＝∠QFC. 所以∠A＝∠QPC. 所以A、B、P、Q四点共圆．
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你敢试一下高考题吗？
【示例2】 (2011·辽宁高考) 如图，A， B，C，
D 四点在同一圆上， AD 的延长线与 BC 的
延长线交于E点，且EC＝ED. (1)证明：CD∥AB； (2) 延长 CD 到 F ，延长 DC 到 G ，使得 EF ＝ EG，证明：A，B，G，F四点共圆． [思维启迪] 利用圆内接四边形的性质与判 定定理证明．
外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等，可取GF的中点H，
证点H即为圆心． (2) 要证 G 、 B 、 C 、 F 四点共圆，只需证 ∠ B ＝ ∠ AFG( 或 ∠ C ＝ ∠AGF)，由D、E为中点，可知DE∥BC，∠B＝∠ADE，故只需 证∠ADE＝∠AFG，由D、E、F、G四点共圆可得．
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所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.
故A，B，G，F四点共圆．
反思感悟 本题考查了圆内接四边形的性质与判定定理．
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因为四边形ABFE内接于圆，
所以∠B＋∠AEF＝180°. 所以∠AEF＝∠C.所以C、D、E、F四点共圆．
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方法技巧
圆内接四边形的性质与判定定理 课件
作用 证明四点共圆
4.判定定理的推论 文字 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这 语言 个四边形的__四__个__顶__点__共__圆__
符号 在四边形Biblioteka BCD中，延长AB到E，若∠CBE＝∠ADC， 语言 则_A_，__B_，__C__，__D_四__点__共__圆_
图形 语言
(1)求证：AD 的延长线 DF 平分∠CDE； (2)若∠BAC＝30°，△ABC 中 BC 边上的高为 2＋ 3.求 △ABC 外接圆的面积.
(1)证明 如图，∵A，B，C，D 四点共圆， ∴∠CDF＝∠ABC.又 AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB， ∴∠ADB＝∠CDF. 又由对顶角相等得∠EDF＝∠ADB， 故∠EDF＝∠CDF， 即 AD 的延长线 DF 平分∠CDE.
规律方法 1.本题证明的关键是如何使用点E、D、 F是中点这一条件. 2.要判定四点共圆，多借助四边形的对角互补或 外角与内对角的关系进行证明.
要点三 圆内接四边形性质与判定的综合运用 例 3 如图，已知△ABC 中，AB＝AC，D 是△ABC 外接圆
劣弧A︵C上的点(不与点 A，C 重合)，延长 BD 至 E.
规律方法 1.在本题的证明过程中，都是利用角 相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得 到比例式相等. 2.圆内接四边形的性质如对角互补，一个外角等 于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平 行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些 等量关系.
要点二 圆内接四边形的判定 例 2 如图，在△ABC 中，E，D，F 分别为 AB，BC，
AC 的中点，且 AP⊥BC 于 P. 求证：E，D，P，F 四点共圆. 解 连接 PF，∵AP⊥BC，F 为 AC 的中点， ∴PF＝12AC.∵FC＝12AC，∴PF＝FC， ∴∠FPC＝∠C.∵E，F，D 分别为 AB，AC，BC 的 中点，∴EF∥CD，ED∥FC， ∴四边形 EDCF 为平行四边形，∴∠FED＝∠C， ∴∠FPC＝∠FED，∴E，D，P，F 四点共圆.
2.2圆内接四边形的性质与判定定理(人教A版选修4-1)
C
EBC D.
性质定理2
A
（2）
B
E
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结 论中，正确的个数有( B ) ①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A ＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角 与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是 1∶2∶3∶4.
D C
A
B
E
2．圆内接四边形判定定理的推论的证明． 已知：如图所示，四边形ABCD， 延长AB到E，∠EBC＝∠CDA. 求证：A、B、C、D四点共圆．
证明：因为∠EBC＝∠CDA，且 ∠EBC＋∠ABC＝180°， 所以∠CDA＋∠ABC＝180°. 由圆内接四边形的判定定理知A、B、C、D四点共圆．
一般地, 任意四边形都有外接圆吗?为什么?
A D A D A D A D
O B C B C
B
C B C
1.【圆内接四边形的性质】
直接研究较困难，那么我们可以先从问题的反面思考：
如果一个四边形内接于圆，那么这样的四边形有 什么特征？
我们应该从哪些角度来思考呢？
观察下面这组图中的四边形都内接于圆.你能 从中发现这些四边形的共同特征吗？
A．1个
C．3个
B．2个
D．4个
2．圆内接平行四边形一定是( D ) A．正方形 C．等腰梯形 B．菱形 D．矩形
1.【圆内接四边形的性质】
如果多边形所有顶点都在一个圆上.那么这个多边 形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.
思考: 任意三角形都有外接圆.那么 任意正方形有外接圆吗?为什么? 任意矩形有外接圆吗?为什么? 等腰梯形呢?为什么? 需要具备 什么样的 条件呢？
2.圆的内接四边形
综上所述， 综上所述， 点D只能在圆 A 只能在圆 周上， 周上，即A、 、 B、C、D四 、 、 四 点共圆． 点共圆． B
O C
3 四边形存在外接圆的判定定理
说明：在此判定定理的证明中，用到了分类讨论的思想和 说明：在此判定定理的证明中，用到了分类讨论的思想和 分类讨论的思想 反证法．又当问题的结论存在多种情形时， 反证法．又当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种 情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为穷举法 穷举法． 情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为穷举法．于是 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补， 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那 判定定理 么这个四边形的四个顶点共圆． 么这个四边形的四个顶点共圆．
C P Q A F B
练习2：
1、(1)圆内接平行四边形一定是 矩 形. (2)圆内接梯形一定是等腰梯形. (3)圆内接菱形一定是 正方 形. 2.如果四边形一边上的两个顶点的视角 D 相等，那么四边形的四个顶点共圆． 已知：如图，四边形ABCD中， ABCD ∠ADB=∠ACB. A 求证: A、B、C、D四点共圆． 分析:要用圆内接四边形判定定理或推论 无法找到足够 分析 要用圆内接四边形判定定理或推论,无法找到足够 要用圆内接四边形判定定理 的条件,即直接方法不易证明 于是仿照判定定理 即直接方法不易证明,于是仿照判定定理的证明 的条件 即直接方法不易证明 于是仿照判定定理的证明 反证法 用反证法.
C A D
O１
E B
O2
F
变式1：如图，⊙O1和⊙O2都经过 、B两点．过A点的 如图， 都经过A、 两点 两点． 点的
直线CD与 交于点C， 交于点D． 直线 与⊙O1交于点 ，与⊙O2交于点 ．过B点的直线 点的直线 交于点E， 交于点F．求证： EF与⊙O1交于点 ，与⊙O2交于点 ．求证：CE//DF. 与
第2讲 2 圆内接四边形的性质与判定定理
AC 的中点，且 AP⊥BC 于 P，求证：E，D，P，F 四点共圆． 【证明】 ∵AP⊥BC，F 为 AC 的中点，
∴PF 是 Rt△APC 斜边上的中线， ∴PF＝ FC，∴∠ FPC＝∠C， ∵E、F、D 分别为 AB、AC、BC 的中点，
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
(2)G、B、C、F 四点共圆．
课 时 作 业
图 2－2－5
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
课 前 自 主 导 学
【思路探究】 (1)要证 D、E、F、G 四点共圆，只需找 到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等， 可取 GF 的中点 H，证点 H 即为圆心． (2)要证 G、B、C、F 四点共圆，只需证∠B＝∠AFG(或
当 堂 双 基 达 标
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补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果一个四边形的 一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点 共圆；(4)与线段两端点连线夹角相等(或互补)的点连同该线 段两端点在内共圆．
菜 单
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如图 2－2－6，在△ABC 中，E，D，F 分别为 AB，BC，
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内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而 证明一些比例式成立或证明某些等量关系．
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菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
如图 2－2－4 所示，已知四边形 ABCD 内接于⊙ O，延
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长 AB 和 DC 相交于点 E，EG 平分∠AED，且与 BC、AD 分 别交于 F、G.
2.2-圆内接四边形的性质与判定定理-教学课件(人教A版选修4-1)
对应边 △ADC∽△ACE ― ― → 结论 成比例
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s 证明 如图，连接 DC，AB. ∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠B. 又∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠EDC＝∠B， ∴∠ACB＝∠EDC. ∴∠ADC＝∠ACE. 又∵∠EAC＝∠CAD， ∴△ADC∽△ACE， AC AD ∴AE＝AC ，∴AC2＝AD· AE.
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【变式2】 如图所示，在圆内接
四边形ABCD中，AC平分BD， 且AC⊥BD.∠BAD＝72°， 求四边形其余的各角． 解 ∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180ห้องสมุดไป่ตู้.
又∵∠BAD＝72°，∴∠BCD＝108°. 又∵AC平分BD，并且AC⊥BD， ∴AC是四边形ABCD外接圆的直径． ∴∠ABC＝∠ADC＝90°.
[思维启迪] (1)要证D、E、F、G四点共圆，只需找到过这四点的
外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等，可取GF的中点H，
证点H即为圆心． (2) 要证 G 、 B 、 C 、 F 四点共圆，只需证 ∠ B ＝ ∠ AFG( 或 ∠ C ＝ ∠AGF)，由D、E为中点，可知DE∥BC，∠B＝∠ADE，故只需 证∠ADE＝∠AFG，由D、E、F、G四点共圆可得．
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证明 (1)如图，连接GF，取GF的中点H.
∵DF⊥AB，EG⊥AC，∴△DGF，△EGF都是直角三角形．又∵ 点H是GF的中点，∴点H到D、E、F、G的距离相等，∴点H是过 D、E、F、G的外接圆的圆心，∴D、E、F、G四点共圆． (2)连接DE.由(1)知D、G、F、E四点共圆．
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人教版选修4-12.2圆内接四边形的性质与判定定理课件
∴∠E＋∠1＝180°
A
∵ADFB是⊙O2的内接四边形，
∴∠1＝∠F
C
O1
1
∴∠E＋∠F＝180°
E
B
∴CE∥DF
D
O2
F
小结：
圆的内接四边形的性质定理:
圆的内接四边形的对角互补， 并且任何一个外角都等于它的内角 的对角。
问题2：如何判定一个四边形有外接圆？
1.圆内接四边形的性质定理1的逆命 题是什么吗？ 性质定理：圆的内接四边形的对角互补.
A
A+C= 1 3600 =1800， 2
α
O
β
同理∠B＋∠D＝180°.
B
C
圆内接四边形性质定理：
定理1.圆的内接四边形的对角互补.
引申：如果延长BC到E，那么
∠DCE＋∠BCD ＝ 180°.
D
又 ∠A ＋∠BCD＝ 180°；
所以∠A＝∠DCE. A
因为∠A是与∠DCE相邻
O
的内角∠DCB的对角，我们 把∠A叫做∠DCE的内对角。 B
分析：不在同一直线上的三点确定一个圆。
经过A、B、C、三点作⊙O，
D
如果能够由条件得到⊙O过点D，
那么就证明了命题.
A
讨论： ⊙O与点D有几种位置关系？
O
三种：（1）点D在圆⊙O外；
（2）点D在圆⊙O内； （3）点D在圆⊙O上.
B
C
如果我们否定了点D在圆⊙O外和点D在圆⊙O内； 则点D在圆⊙O上成立；
圆内接四边形的判定定理的推论：
推论： 如果四边形的一个外角等于它的内角
的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
已知：在四边形ABCD中，A=DCE，
人教版高中数学选修四教学课件-圆内接四边形的性质与判定定理
2.与圆内接四边形有关的相似三角形 剖析:如图,通过掌握与圆有关的相似三角形的基本图形,可以在 解题过程中遵循正确的思维规律和解题步骤,对图形运用自如,融 为一体,做出连贯反应.
基本图形1
基本图形2
题型一 题型二 题型三
【变式训练2】 如图,两圆☉O1,☉O2相交于点A,B.☉O1的弦BC交 ☉O2于点E,☉O2的弦BD交☉O1于点F.
求证:(1)若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2)若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.
题型一 题型二 题型三
证明:(1)如图,连接AE,AF,AC,AD,则∠3=∠4,∠5=∠6.
1.了解圆内接四边形的概念,掌握圆内接四边形的性质定理及其 应用.
2.理解圆内接四边形的判定定理及其推论,并能解决有关问题. 3.了解反证法在证明问题中的应用.
1.圆内接四边形的性质定理与判定定理 剖析:(1)圆的内接四边形的外角及内对角 如图,圆内接四边形ABCD的内角∠BAD的两个补角∠1和∠2称为 圆内接四边形的外角.因为∠BAD和∠C两角相对,所以∠C称为∠1与 ∠2的内对角,且它们满足∠BAD+∠C=180°,∠1=∠2=∠C.
题型一 题型二 题型三
题型一
证明四点共圆
【例1】 如图,在△ABC中,E,D,F分别为AB,BC,AC的中点,且 AP⊥BC于点P.求证:E,D,P,F四点共圆.
分析:连接PF,转化为证明∠FED=∠FPC,先利用中点证明 ∠FED=∠C,再利用AP⊥BC证明PF=FC,得∠C=∠FPC,即得出 ∠FED=∠FPC.
而致错
【例3】 如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AB的延长线
圆内接四边形性质
圆内接四边形性质圆的内接四边形性质：以圆内接四边形ABCD为例，圆心为O，延长AB至E，AC、BD交于P，则：1、圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠CBE=∠ADC3、圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB4、同弧所对的圆周角相等：∠ABD=∠ACD5、圆内接四边形对应三角形相似：△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）6、相交弦定理：AP×CP=BP×DP7、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD[扩展知识]判定定理：1、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于一个圆。
2、如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于一个圆。
3、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆。
4、若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆。
5、如果一个四边形的张角相等，那么这个四边形内接于一个圆。
圆内接四边形：1、四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。
2、圆内接四边形的对角互补。
3、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
4、圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
5、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上。
6、圆内接四边形面积S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]。
（a,b,c,d为四边形的四边长，其中P=(a+b+c+d)/2）。
圆内接四边形的性质与判定定理 课件
【思路探究】 先利用 PC 是圆的直径，得到 PF∥BC， 再利用圆内接四边形的性质，得到 DF∥PC，最后利用平行
线分线段成比例证明结论．
【自主解答】 连接 DF、PF. ∵PC 是直径， ∴PF⊥AC. ∵BC⊥AC，
∴PF∥BC，∴PPAB＝FFAC.
∵四边形 PCFD 内接于⊙O， ∴∠ADF＝∠ACP， ∵AP＝AC， ∴∠APC＝∠ACP.
△ABC 外接圆劣弧 上的点(不与点 A，C 重合)，延长 BD
至 E. (1)求证：AD 的延长线 DF 平
分∠CDE； (2)若∠BAC＝30°，△ABC 中
BC 边上的高为 2＋ 3，求△ABC 外接圆的面积．
图 2－2－7
【思路探究】 (1)利用同弧所对的圆周角相等及圆内接 四边形的性质定理求解．
∴∠ADF＝∠APC.∴DF∥PC，
∴DDAP＝FFAC，∴PPAB＝DDAP.
1．在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直 线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等．
2．圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其 内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而 证明一些比例式成立或证明某些等量关系．
如图 2－2－5 所示，在△ABC 中，AD＝DB， DF⊥AB 交 AC 于 F，AE＝EC，EG⊥AC 交 AB 于 G，求证：
(1)D、E、F、G 四点共圆； (2)G、B、C、F 四点共圆．
图 2－2－5
【思路探究】 (1)要证 D、E、F、G 四点共圆，只需找 到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等， 可取 GF 的中点 H，证点 H 即为圆心．
圆内接四边形的性质与判定定理
1．圆内接四边形的性质定理 (1)定理 1：圆的内接四边形的 对角互补 ．如图 2－2－1： 四边形 ABCD 内接于⊙O，则有：∠A＋ ∠C＝180°，∠B＋ ∠D ＝180°.
圆内接四边形的性质与判定定理课件
DAC= 2,
∴∠BAD=45°. 又∵AC=2 3,∴∠CAB=30°,
∴∠CAD=45°-30°=15°.
错因分析:作图时,未能考虑全面,没有对相对位置关系进行分类讨论, 致使题目答案漏解.
证明:连接 CB,BF.因为四边形 ABEC 为圆内接四边形,所以∠2=∠CEB. 又因为∠1=∠ECB,且∠1=∠2,而∠2=∠CEB,所以∠CEB=∠ECB.所以 BC=BE.在△CBD 与△EBF 中,∠BCA=∠BEA,∠D=∠F,BC=BE,所以 △CBD≌△EBF.
所以 CD=EF.
探究三 易错辨析
圆内接四边形的性质与判定定理
1.性质定理 1 文字语言 圆的内接四边形的对角互补
符号语言 若四边形 ABCD 内接于圆 O,则有∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°
图形语言
作用
证明两个角互补
2.性质定理 2 文字 语言
符号 语言
图形 语言
作用
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 四边形 ABCD 内接于☉O,E 为 AB 延长线上一点, 则有∠CBE=∠ADC
【典型例题 2】 两圆相交于 A,B,过 A 作两直线分别交两圆于 C,D 和 E,F.若∠EAB=∠DAB,求证:CD=EF.
思路分析:连接 CB,BF,要证 CD=EF,只需证明△CBD≌△EBF 即可.从 题图可以看出,∠BCA=∠BEA,∠D=∠F,因此,尚需找一条对应边相等即可. 比如,能否推出 BC=BE 呢?要证 BC=BE,只需∠CEB=∠ECB,有无可能呢? 可以发现,∠ECB=∠1,又已知∠1=∠2,所以只需证∠2=∠CEB 即可.这时 我们发现,四边形 ABEC 是圆内接四边形,根据性质定理,它的外角∠2 与它 的内对角∠CEB 当然相等.至此,结论得证.
圆内接四边形的性质与判定定理
A
DA
D
A
D
A
D
O
B
C
B
B C
C
B
C
1.【圆内接四边形的性质】
直接研究较困难，那么我们可以先从问题的反面思考： 如果一个四边形内接于圆，那么这样的四边形有什么特征？ 我们应该从哪些角度来思考呢？
观察下面这组图中的四边形都内接于圆.你能从 中发现这些四边形的共同特征吗？
A
DA
D
A
D
A
D
O
B
C
B
B C
推论 ： 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么
它的四个顶点共圆.
[悟一法] (1)圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或 互补提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供 了一种新的途径． (2)在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意 性质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意 两者的综合运用．(3)构造全等或相似三角形，以达到证 明线段相等、角相等或线段成比例等目的．
(2)如果点D在⊙O内部. 延长AD交圆于点E, 连接CE,则
∠B+∠E=180° ∵∠B+∠ADC=180°
A D
E O
B
C
∴∠E=∠ADC
（2）
这同样与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾.
∴点D不可能在⊙O内.
综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆.
2.【圆内接四边形的判断定理 】
别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，则
FG∥BD,GH∥AC.∵AC⊥BD,
A
H
∴FG⊥GH.同理可证，HE⊥EF.
E
圆内接四边形的性质和判定定理
03
实例证明
对角互补的实例证明
假设圆内接四边形ABCD中，∠A和∠C为 对角。
所以，∠A与∠C互补。
又因为∠A + ∠ADC = 180°（三角形内角 和定理），同理∠C + ∠CDB = 180°。
作直径BD，并连接AD、CD。
由于∠A和∠C是同弧所对的圆周角，根据 圆周角定理，∠A = ∠C。
任意一边所对的圆周角相等的实例证明
作直径BD，并连接AD、CD。 所以，任意一边所对的圆周角相等。
假设圆内接四边形ABCD中，AB、BC、CD、 DA为四边，它们所对的圆周角分别为∠A、∠B 、∠C、∠D。
由于AB、BC、CD、DA是同弧所对的圆周角，根 据圆周角定理，∠A = ∠C，∠B = ∠D。
圆内接四边形的 性质和判定定理
目录
• 引言 • 判定定理 • 实例证明
01
引言Leabharlann 圆内接四边形的定义• 圆内接四边形是指四个顶点都在同一个圆上的四 边形。
圆内接四边形的性质
对角互补
外角等于内对角
圆内接四边形的对角互补，即相对的两个 角的角度和为180度。
圆内接四边形的外角等于其内对角，即与 外角不相邻的两个内角的和为180度。
边与弧的对应关系
弦与弧的对应关系
在圆内接四边形中，相对的边长度相等， 且相对的弧长度也相等。
在圆内接四边形中，相对的弦长度相等， 且相对的弧长度也相等。
对角互补
圆内接四边形的对角互补，即任意两 个相对的角的角度和为180度。
证明：设圆内接四边形ABCD中，∠A 和∠C为相对的角。由于点A、B、C都 在圆上，根据圆的性质，∠A + ∠C = 180度。
+ ∠C + ∠D = 360°。因此，∠A + ∠B = 180°。根据圆的性质，如果一个四边形的外 角等于内对角，那么这个四边形的相对边都 与同一个圆相切，因此该四边形是圆内接四
圆内接四边形的性质与判定定理 课件
2.如图，A,B,C,D四 点在同一个圆上，AD的延长线与BC的延 长线交于E点，且EC=ED． (1)证明：CD∥AB； (2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG， 证明：A,B,G,F四点共圆．
【解析】1.∵过点B，C，D作⊙O,则BC是直径， 又∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°,∴点E也在⊙O上，故点B，C，D， E四点共圆. 答案：在 2.(1)因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD. 因为A，B，C，D四点在同一圆上， 所以∠EDC=∠EBA， 故∠ECD=∠EBA，所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE=BE，因为EF=EG， 故∠EFD=∠EGC, 从而∠FED=∠GEC. 连接AF，BG,则△EFA≌△EGB， 故∠FAE=∠GBE. 又CD∥AB，∠EAB=∠EBA， 所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°. 故A,B,G,F四点共圆.
【想一想】解答题2的关键点及思路是什么？ 提示：(1)当已知条件中出现圆内接四边形时，常用到圆内接 四边形的性质定理来获得角相等或互补，从而为证明三角形相 似或两直线平行等问题创造了条件. (2)当判定四点共圆时，要时刻掌握前面讲的四点共圆的判定 方法，灵活选择适当的方法判定.
圆内接四边形的综合应用 圆内接四边形的综合应用 此类问题综合性较强,考查知识点较为丰富,往往涉及圆内接四 边形的判定与性质的证明和应用,最终得到结论.
【典例训练】 1．如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=70°，CF是△ABC的 边AB上的高，FP⊥BC于点P，FQ⊥AC于点Q，则∠CQP的大小为 _____.
1.任意平行四边形的四个顶点在同一个圆上吗？ 提示：平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，因为它的 对角相等，但不一定互补.当互补时，共圆. 2.在我们学过的特殊四边形中，有哪些四边形的四个顶点共圆？ 提示：有矩形、正方形、等腰梯形，因为它们的四个内角中相 对的两个内角互补.
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圆内接四边形的性质与判定定理
一、 选择题
1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有
①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；②圆内接四边形对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④在圆内部的四边形叫圆内接四边形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.圆内接四边形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 交于点E ，在下图中全等三角形的对数为 A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
3.圆内接四边形ABCD 中，39,25,60,52AB BC CD DA ====,则圆的直径为 A.62 B.63 C.65 D.66
T2 T4 T5
4.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，60,ACB AB a ∠==o
，则CD
=
C.12a
D.13
a 5.圆内接四边形ABCD 中，BA 与CD 的延长线交于点P ,AC 与BD 交于点E,则图中相似三角形有 A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
6.如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积为 A.
163 B.8
C.323
D.
D
T6 T7 T12
7.如图，在以BC 为直径的半圆上任取一点P ,过弧BP 的中点A 作AD BC ⊥于D.连接BP 交AD 于点E,交AC 于点F,则:BE EF =
A.1:1
B.1:2
C.2:1
D.以上结论都不对
8.直线370x y +-=与20kx y --=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k =
A.-3
B.3
C.-6
D.6
二、填空题
9.圆内接四边形ABCD 中，cos cos cos cos A B C D +++= . 10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 . 11.圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= .
12.如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=o
，则ADC ∠= . 三、解答题
13.如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=o
，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：2BC DE =.
B
14.求证：在圆内接四边形ABCD 中，AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅.
15.在等边三角形ABC 外取一点P ,若PA PB PC =+，求证：P 、A 、B 、C 四点共圆.
16.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，M 为CD 中点，N 为AB 中点，AC BD ⊥于点E ，连接ON 、ME ，并延长ME 交AB 于点F.求证：MF AB ⊥.
A
D
B
C
17.已知：如图所示，10,8,AB cm BC cm ==CD 平分ACB ∠. (1)求AC 和DB 的长； (2)求四边形ACBD 的面积.
18.在锐角三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，,,,DE AB DF AC E F ⊥⊥为垂足. 求证：E 、B 、C 、F 四点共圆.
B
C
19.如图，矩形ABCD 中，AD=8,DC=6,在对角线AC 上取一点O,以OC 为半径的圆切AD 于点E,交BC 于点F,交CD 于点G. (1)求⊙O 的半径R ；
(2)设,BFE GED αβ∠=∠=，请写出,,90αβo
之间关系式，并证明.
圆内接四边形的性质与判定定理
(参考答案)
一、 选择题
1-5 BBCAB 6-8 DAB 二、填空题
9. 0 10.132
11.90o 12.110o
三、解答题
13.法一：302ABE ABE AB AE ∠=⇒∆=o
在Rt 中， 1
2
AD AE DE ADE ACB AC AB BC ∆∆⇒
===∽ 法二：连接BE,»30ABE DE
∠=⇒o
的度数为60o 60DOE ⇒∠=o 即ODE ∆为正∆ OD DE ⇒=
14.在AC 上取点E,使1,23ADE ∠=∠∠=∠又
AE BC
ADE BDC AE BD AD BC AD BD
⇒∆∆⇒=⇒⋅=⋅∽ ①
1ADE ADB CDE ABD ACD ABD ECD
∠=∠⇒∠=∠∠=∠∆∆又得∽
AB BD
BD EC AB CD EC CD
⇒
=⋅=⋅即 ② ①+②即可
15.延长PC 至D,作CAD BAP ∠=∠，并取AD=AP ，
则ADP ABP ABP ACD ∆≅∆⇒∠=∠⇒P 、A 、B 、C 四点共圆
16.,DE EC DM MC EM DM ⊥=⇒= MDE DEM ⇒∠=∠
90EAF AEF MDE AEF DEM MEC ⇒∠+∠=∠+∠∠=∠+∠=o
17.(1)6,AC BD == (2)49ACB ADB ABCD S S S ∆∆=+=四边形
18.法一：连结EF,,9090180DE AB DF AC AED AFD ⊥⊥⇒∠+∠=+=o
o
o
A
C
⇒A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF BEF C ⇒∠=∠⇒∠+∠
90180
BED DEF C DAF C =∠+∠+∠=+∠+∠=o
o
法二： A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF ⇒∠=∠ 9090AEF DEF DAF C ⇒∠=-∠=-∠=∠o
o
19.(1)1015
6104
OE AO R R AEO ADC R CD AC -∆∆⇒
=⇒=⇒=∽ (2)90EFB EGC βα∠=∠⇒+=o。