高等代数习题解答(第一章)(完整资料).doc

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高等代数习题解答

第一章 多项式

补充题1．当

,,a b c

取何值时，多项式

()5

f x x =-与

2()(2)(1)g x a x b x =-++ 2(2)c x x +-+相等？

提示：比较系数得6136,,5

55

a b c =-=-

=. 补充题2．设(),(),()[]f x g x h x x ∈，2232()()()f x xg x x h x =+，证明：

()()()0f x g x h x ===．

证明 假设()()()0f x g x h x ===不成立．若()0f x ≠，则2(())f x ∂为偶数，又22(),()g x h x 等于0或次数为偶数，由于22(),()[]g x h x x ∈，首项系数（如果有的话）为正数，从而232()()xg x x h x +等于0或次数为奇数，矛盾．若()0g x ≠或()0h x ≠则232(()())xg x x h x ∂+为奇数，而

2()0f x =或2(())f x ∂为偶数，矛盾．综上所证，()()()0f x g x h x ===．

1．用g (x ) 除 f (x )，求商q (x )与余式r (x )： 1）f (x ) = x 3- 3x 2 -x -1，g (x ) =3x 2 -2x +1； 2）f (x ) = x 4 -2x +5，g (x ) = x 2 -x +2． 1）解法一 待定系数法．

由于f (x )是首项系数为1的3次多项式，而g (x )是首项系数为3的2次多项式，所以商q (x )必是首项系数为1

3

的1次多项式，而余式

的次数小于 2．于是可设

q (x ) =13

x +a , r (x ) =bx +c 根据 f (x ) = q (x ) g (x ) + r (x )，即

x 3-3x 2 -x -1 = (13x +a )( 3x 2 -2x +1)+bx +c 右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得 2333a -=-,

1

123a b -=-++,

1a c -=+

解得

79

a =-

,

269

b =-

,

29

c =-

，故得

1

7(),3

9

q x x =- 262().99

r x x =-

-

解法二 带余除法．

3 -2 1 1 -3 -1 -1 13

79

-

1 23- 13

73-

43- -1

73

-

149

79

- 269

- 29

-

得

17(),39q x x =- 262().99

r x x =--

2）

2()1,()57.q x x x r x x =+-=-+ 262

().99

r x x =--

2．,,m p q 适合什么条件时，有

1）231;x mx x px q +-++ 2）2421.x mx x px q ++++ 1）解

21x mx +-除3x px q

++得余式为：

2()(1)()r x p m x q m =+++-，

令()0r x =，即

210;

0.

p m q m ⎧++=⎨

-=⎩

故231x mx x px q +-++的充要条件是

2

;10.

m q p m =⎧⎨

++=⎩

2）解

21x mx ++除42x px q

++得余式为：

22()(2)(1)r x m p m x q p m =-+-+--+，

令()0r x =，即

2

2

(2)0;

10.

m p m q p m ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩

解得2421x mx x px q ++++的充要条件是

0;1m p q =⎧⎨=+⎩ 或 2

1;

2.

q p m =⎧⎨=-⎩ 3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式()r x ： 1）53()258,()3;f x x x x g x x =--=+

2）32(),

()12.f x x x x g x x i =--=-+

1）解法一 用带余除法（略）．

解法二 用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0： -3 2 0 -5 0 -8 0 + -6 18 -39 117 -327

2 -6 1

3 -39 109 -327 所以

432()261339109,()327.q x x x x x r x =-+-+=-

2）解法一 用带余除法（略）．

解法二 用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0：

()f x

1-2i 1 -1 -1 0 + 1-2i -4-2i -9+8i 1 -2i -5-2i -9+8i 所以

2()2(52),()98.q x x ix i r x i =--+=-+

4．把()f x 表成0x x -的方幂和，即表成 201020()()c c x x c x x +-+-+

的形式：

1）50(),1;f x x x == 2）420()23,2;f x x x x =-+=-

3）4320()2(1)37,.f x x ix i x x i x i =--+-++=-

注 设()f x 表成201020()()c c x x c x x +-+-+的形式，则0c 就是()f x 被

x x -除所得的余数，

1

c 就是

()

f x 被

x x -除所得的商式

212030()()c c x x c x x +-+-+

再被0x x -除所得的余数，逐次进行综合除法

即可得到01,,

,.n c c c