高等代数习题解答(第一章)(完整资料).doc

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高等代数课后答案高等教育出版社

高等代数习题答案（一至四章）第一章多项式习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ，（2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。

3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。

另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。

由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。

从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。

高等代数多项式习题解答(供参考)

第一章多项式习题解答1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r .1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f92926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q .2.q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++-+32|1当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323.因此有m q p m ==++,012.2）q px x mx x ++++242|1由带余除法可得当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，即⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r .1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f解：运用综合除法可得商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r2）i x x g x x x x f 21)(,)(23+-=--=.解:运用综合除法得:商为)25(22i ix x +--,余式为i 89+-.4.把)(x f 表成0x x -的方幂和，即表示成 +-+-+202010)()(x x c x x c c 的形式.1）1,)(05==x x x f ；2）;2,32)(024-=+-=x x x x f3）.1,73)1(2)(0234-=++-+-+=x i x x i ix x x f分析：假设)(x f 为n 次多项式，令0c 即为0x x -除)(x f 所得的余式，商为10021)()()(--++-+=n n x x c x x c c x q .类似可得1c 为0x x -除商)(x q 所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数.解：1）解法一：应用综合除法得.5)(x x f =1)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345+-+-+-+-+-=x x x x x .解法二：把x 表示成1)1(+-x ，然后用二项式展开2）仿上可得432)2()2(8)2(22)2(2411)(+++-+++-=x x x x x f .3）因为5.求)(x f 与)(x g 的最大公因式1）1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f解法一：利用因式分解因此最大公因式为1+x .解法二：运用辗转相除法得因此最大公因式为1+x .2）13)(,14)(2334+-=+-=x x x g x x x f .解：运用辗转相除法得（注意缺项系数补零）3）.124624)(,110)(23424+++-=+-=x x x x x g x x x f)()()22(24)()(123x r x f x x x x f x g +=---=，因此.122))(),((2--=x x x g x f6.求)(),(x v x u 使:))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+1）;22)(,242)(234234---+=---+=x x x x x g x x x x x f解：运用辗转相除法得：因此2)())(),((22-==x x r x g x f .且有)()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=.2）;452)(,951624)(23234+--=++--=x x x x g x x x x x f解：运用辗转相除法得：因此1)())(),((2-=-=x x r x g x f .且有)()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=.3）.1)(,144)(2234--=++--=x x x g x x x x x f解：运用辗转相除法得：因此.1)())(),((2==x r x g x f 且有)()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=.7.设u tx x x g u x x t x x f ++=++++=323)(,22)1()(的最大公因式是一个二次多项式，求u t ,的值.解：运用带余除法有由题意可得，)(1x r 即为)(),(x g x f 的最大公因式.因此有01≠+t .进一步])1(21[)1()2()1()1()(22222t t u x t t t u t t x r +--++-++-+=. 要使)(1x r 为)(),(x g x f 的最大公因式的充要条件是.0)(2=x r 即解得8.证明：如果),(|)(),(|)(x g x d x f x d 且)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合，那么)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.证明：由)(|)(),(|)(x g x d x f x d 可知)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式.下证)(x f 与)(x g 的任意一个公因式是)(x d 的因式.由)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合可知，存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()()(x g x v x f x u x d +=.设)(x ϕ是)(x f 与)(x g 的任意一个公因式，则)(|)(),(|)(x g x x f x ϕϕ.故即).(|)(x d x ϕ因此)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.9.证明：)()(())(),(())()(),()((x h x h x g x f x h x g x h x f =的首项系数为1）.证明：存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.所以有)()()()()()()())(),((x h x g x v x h x f x u x h x g x f +=.即)())(),((x h x g x f 是)()(x h x f 与)()(x h x g 的一个组合.显然有)(|))(),((),(|))(),((x g x g x f x f x g x f .从而)()(|)())(),((),()(|)())(),((x h x g x h x g x f x h x f x h x g x f .由第8题结果)())(),((x h x g x f 是)()(x h x f 与)()(x h x g 的一个最大公因式.又)(x h 是首项系数为1的，因此).())(),(())()(),()((x h x g x f x h x g x h x f =10.如果)(x f ，)(x g 不全为零，证明1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f . 证明：由)(x f ,)(x g 不全为零可得其最大公因式不为零多项式，即.0))(),((≠x g x f 又存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.于是))(),(()()())(),(()()(1x g x f x g x v x g x f x f x u +=. 因此1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f . 11.如果)(x f ，)(x g 不全为零，且))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+，那么1))(),((=x v x u .证明：由)(x f ,)(x g 不全为零可得.0))(),((≠x g x f 由有于是1))(),((=x v x u .12.证明：如果,1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 那么.1))()(),((=x h x g x f证法一、由条件1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 可得存在多项式)(),(11x v x u ； )(),(22x v x u 使得1)()()()(11=+x g x v x f x u ，1)()()()(22=+x h x v x f x u .两式相乘得1)()()()()()]()()()()()()()()([21211221=+++x h x g x v x v x f x h x v x u x g x v x u x f x u x u . 因此有.1))()(),((=x h x g x f证法二、反证法证明.显然.0))()(),((≠x h x g x f 若,1))()(),((≠x h x g x f 则存在不可约多项式)(x p ，使得)(x p 为)(x f 与)()(x h x g 的公因式.因此有)(|)(x f x p 且)()(|)(x h x g x p .由)(x p 的不可约性有)(|)(x g x p 或)(|)(x h x p .若)(|)(x g x p ，则)(x p 为)(x f 与)(x g 的一个公因式，与1))(),((=x g x f 相矛盾.若)(|)(x h x p ，则)(x p 为)(x f 与)(x h 的一个公因式，与1))(),((=x h x f 相矛盾.因此1))()(),((≠x h x g x f 不成立，即有.1))()(),((=x h x g x f13.设)(),(),(),(,),(),(2121x g x g x g x f x f x f n m 都是多项式，而且求证：1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .证明：由),,2,1(1))(),((1n j x g x f j ==，反复利用第12题结果可得1))()()(),((211=x g x g x g x f n .类似可得再反复利用12题结果可得1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .14.证明：如果,1))(),((=x g x f 那么.1))()(),()((=+x g x f x g x f证明：方法一.由,1))(),((=x g x f 存在多项式)(),(x v x u 使得1)()()()(=+x g x v x f x u .从而有,1)())()(())()()((,1))()()(()())()((111111=+-++=++-x g x v x u x g x f x u x g x f x v x f x v x u 因此有.1))()(),((,1))()(),((=+=+x g x f x g x g x f x f 由12题结果结论成立.方法二：用反证法.若.1))()(),()((≠+x g x f x g x f 则存在不可约多项式)(x p ，使得)(x p 为)()(x g x f 与)()(x g x f +的公因式.即)()(|)(x g x f x p 且)()(|)(x g x f x p +.由)(x p 的不可约性及)()(|)(x g x f x p ，有)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p .若)(|)(x f x p ，又)()(|)(x g x f x p +，因此有)]())()([(|)(x f x g x f x p -+，即)(|)(x g x p ，也即)(x p为)(x f 与)(x g 的一个公因式，与1))(),((=x g x f 相矛盾.类似可得当)(|)(x g x p 时也与已知1))(),((=x g x f 矛盾.所以.1))()(),()((=+x g x f x g x f15.求下列多项式的公共根：解法一：利用因式分解可得因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2321i ±- 解法二：运用辗转相除法求出)(x f 与)(x g 的最大公因式，最大公因式的根即为所求的公共根.因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2321i ±- 16.判别下列多项式有无重因式：1）;84275)(2345-+-+-=x x x x x x f解：,4421205)('234+-+-=x x x x x f运用辗转相除法可得.)2(44))('),((22-=+-=x x x x f x f 因此2-x 为)(x f 的三重因式.解法二：试根可得2为)(x f 的根)1()2()2()2()43)(2()(23232234++-=----=++--=x x x x x x x x x x x x f .因此2-x 为)(x f 的三重因式.2).344)(24--+=x x x x f解：).12(4484)('33-+=-+=x x x x x f 1))('),((=x f x f .故)(x f 无重因式.17.求t 值使13)(23-+-=tx x x x f 有重根.解法一：要使)(x f 有重根，则1))('),((≠x f x f ..63)('2t x x x f +-= 当,033=-t 即3=t 时 ),(|)(',)1(3363)('22x f x f x x x x f -=+-=2)1())('),((-=x x f x f ，因此1为)(x f 的三重根.当0415=+t ，即415-=t 时，21))('),((+=x x f x f ，21-为)(x f 的二重根. 解法二：设b a x ab a x b a x b x a x x f 22232)2()2()()()(-+++-=--=.因此有由第一个方程有a b 26-=，代人第三个方程有,0132,1)23(232=+-=-a a a a 即 0)12()1(2=+-a a .因此有⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,1t b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=.415,4,21t b a即当3=t 时1为)(x f 的三重根；当415-=t 时，21-为)(x f 的二重根. 18.求多项式q px x ++3有重根的条件.解：令q px x x f ++=3)(.显然当0==q p 时，0为)(x f 的三重根.当0≠p 时， p x x f +=23)('，q x p x xf q px x x f ++=++=32)('31)(3， )427()42729)(32()('222p q p p q x p q x p x f ++-+=. 要使)(x f 有重根，则1))('),((≠x f x f .即,042722=+pq p 即.027423=+q p 显然 0==q p 也满足.027423=+q p 因此)(x f 有重根的条件是.027423=+q p19.如果,1|)1(242++-Bx Ax x 求.,B A解法一：利用整除判定方法，1|)1(242++-Bx Ax x 的充要条件是用2)1(-x 除124++Bx Ax ，余式为零.)31()42()32()1(12224B A x A B A B Ax Ax x Bx Ax --++++++-=++.因此有0)31()42(=--++B A x A B ，即解法二：要使1|)1(242++-Bx Ax x 成立，则1至少是124++Bx Ax 的二重根.因此1既是124++Bx Ax 的根，也是其导数的根.而Bx Ax Bx Ax 24)'1(324+=++.故有解法三：利用待定系数法.令D x D C x D C A x A C Ax D Cx Ax x Bx Ax +-++-+-+=++-=++)2()2()2()()1(12342224因此有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=-.1,02,2,02D D C B D C A A C 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==.1,2,2,1D C B A 20.证明：!!212n x x x n++++ 不能有重根. 证明：令,!!21)(2n x x x x f n++++= 则因此有,!)(')(n x x f x f n +=从而有)!),('())('),((n x x f x f x f n =.!n x n因式只有)0(≠c c 及)1,0(n k c cx k ≤≤≠.而)1,0(n k c cx k ≤≤≠显然不是)('x f 的因式.因此有1)!),('())('),((==n x x f x f x f n. 所以)(x f 没有重根.21.如果a 是)('''x f 的一个k 重根，证明a 是的一个3+k 重根.证明：显然有0)(")(')(===a g a g a g .由a 是)('''x f 的一个k 重根可得a 是)(''x g 的一个1+k 重根，设a 是)(x g 的s 重根，则3,12+=+=-k s k s .本题常见错误证法.错误证法一：由a 是)('''x f 的一个k 重根就得出a 是)(''x f 的一个1+k 重根，a 是)('x f 的一个2+k 重根，a 是)(x f 的一个3+k 重根，于是从而a 是)(x g 的3+k 重根.事实上，由a 是)('''x f 的一个k 重根推不出a 是)(''x f 的一个1+k 重根，a 是)('x f 的一个2+k 重根，a 是)(x f 的一个3+k 重根.如3)()()()(23+-+-+-=+a x a x a x x f k ，则1)(2))(3()('2+-+-+=+a x a x k x f k ， 2))(2)(3()(''1+-++=+k a x k k x f .a 既不是)(x f 的根，也不是)('x f 与)(''x f 的根.错误证法二：由得出a 是)(''x g 的1+k 重根，直接得出a 是)(x g 的3+k 重根，缺了a 是)(x g 与)('x g 的根验证.22.证明：0x 是)(x f 的k 重根的充分必要条件是,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k证明：必要性.设0x 是)(x f 的k 重根，从而0x x -是)(x f 的k 重因式，从而是)('x f 的1-k 重因式，是)(''x f 的2-k 重因式，...，是)()1(x f k -的单因式，而不是)()(x f k 的因式.因此0x 是)(x f ，)('x f ，)(''x f ，...，)()1(x f k -的根，而不是)()(x f k 的根.故有,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k充分性.由,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而0)(0)(≠x f k 可知0x 是)(x f ，)('x f ，)(''x f ，...，)()1(x f k -的根，而不是)()(x f k 的根.因此0x 是)()1(x f k -的单根，是)()2(x f k -二重根，依此类推，是)(x f 的k 重根.23.举例说明断语“如果α是)('x f 的m 重根，那么α是)(x f 的1+m 重根”是不对的.解：例如2)()(1+-=+m x x f α，m x m x f ))(1()('α-+=.α是)('x f 的m 重根，但α不是)(x f 的根.24.证明：如果),(|)1(n x f x -那么)(|)1(n n x f x -.证明：由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 因此有 ),()1()(x h x x f -=从而有).()1()(n n n x h x x f -=即)(|)1(n n x f x -.证法二：要证)(|)1(n n x f x -，只要证1-n x 在复数域上的各个根都是)(n x f 的根.1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos -=+=n k nk i n k x k ππ由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 从而0)1()(==f x f n k .即,2sin 2cos nk i n k x k ππ+= 1,,2,1,0-=n k 都是)(n x f 的根.因此有)(|)1(n n x f x -.25.证明：如果)()(|)1(32312x xf x f x x +++，那么证明：要证)(|)1(),(|)1(21x f x x f x --成立，只要证1是)(1x f 和)(2x f 的根. 12++x x 的两个根为231,23121i i --=+-=εε.由)()(|)1(32312x xf x f x x +++可得)()1()()(23231x g x x x xf x f ++=+.于是即0)1(231)1(,0)1(231)1(2121=+-=--f i f f i f .故有.0)1()1(21==f f 所以 )(|)1(),(|)1(21x f x x f x --.26.求多项式1-n x 在复数范围内和在实数范围内的因式分解.解：1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos-=+=n k nk i n k k ππε故在复数范围内的分解式为)())()(1(112-----=-n n x x x x x εεε . 在实数范围内，因k n k -=εε，)0(n k <<.当n 为奇数时，1-n x 的根中一个为实根，其余为虚根，其分解式为 ]1)([]1)(][1)()[1(12121222212++-++-++--=-+---x x x x x x x x n n n n n εεεεεε .当n 为偶数时，1-n x 的根中二个为实根，即,1±其余为虚根，其分解式为27.求下列多项式的有理根.1);1415623-+-x x x解：多项式可能的有理根为.14,7,2,1±±±±由系数取值可知，x 取负数时，多项式的值均为负的，故该多项式没有负根.检验得2为其根，进一步运用综合除法可得即)74)(2(14156223+--=-+-x x x x x x ，显然742+-x x 没有有理根.因此1415623-+-x x x 仅有一个有理根2，且为单根.2);157424---x x x解：多项式可能的有理根为.41,21,1±±± 因此有)1()12()444()21(1574222224--+=--+=---x x x x x x x x x ，显然12--x x 没有有理根.因此21-为157424---x x x 的二重根. 3).3111462345----+x x x x x解：多项式可能的有理根为.3,1±±检验得1-为其根，进一步运用综合除法可得故)3()1()12)(3()1(3111464222345-+=++-+=----+x x x x x x x x x x x .即1-为其四重跟，3为单根.28.下列多项式在有理数域上是否可约？1);12+x解：显然12+x 无有理根，又为二次的，故在有理数域上不可约. 2);2128234++-x x x解：取素数2=p ，满足艾森斯坦判别法的条件，因此在有理数域上不可约.3）;136++x x解：令,1+=y x).(3918211561)1()1(1)(234563636y g y y y y y y y y x x x f =++++++=++++=++=取素数,3=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约.4）p px x p ,1++为奇素数；解：令1-=y x ，由p 为奇数可得由组合数定义)11(-≤≤p k C k p 均为整数，且12)1()1()1(⋅-+--= k k k p p p C k p ，分子中有因子p ，分母个各数均小于p ，又p 为素数，因此约分时p 不会被约去，因此有k pC p |，取素数为p ，)(y g 满足艾森斯坦判别式条件，因此)(y g 在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约.5）k kx x ,144++为整数.解：令,1+=y x 则有取素数,2=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约.。

【最新试题库含答案】高等代数习题及答案(1)

高等代数习题及答案(1)篇一：高等代数习题解答(第一章)高等代数习题解答第一章多项式补充题1．当a,b,c取何值时，多项式f(x)?x?5与g(x)?a(x?2)2?b(x?1) ?c(x2?x?2)相等？6136提示：比较系数得a??,b??,c?. 555补充题2．设f(x),g(x),h(x)??[x]，f2(x)?xg2(x)?x3h2(x)，证明：f(x)?g(x)?h(x)?0．证明假设f(x)?g(x)?h(x)?0不成立．若f(x)?0，则?(f2(x))为偶数，又g2(x),h2(x)等于0或次数为偶数，由于g2(x),h2(x)??[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg2(x)?x3h2(x)等于0或次数为奇数，矛盾．若g(x)?0或h(x)?0则?(xg2(x)?x3h2(x))为奇数，而f2(x)?0或?(f2(x))为偶数，矛盾．综上所证，f(x)?g(x)?h(x)?0．1．用g (x) 除 f (x)，求商q (x)与余式r (x)：1）f (x) = x3- 3x2 -x-1，g (x) =3x2 -2x+1；2）f (x) = x4 -2x+5，g (x) = x2 -x+2．1）解法一待定系数法．由于f (x)是首项系数为1的3次多项式，而g (x)是首项系数为3的2次多项式，1所以商q(x)必是首项系数为的1次多项式，而余式的次数小于 2．于是可设 31 q(x) =x+a , r(x) =bx+c 3根据 f (x) = q(x) g(x) + r(x)，即1 x3-3x2 -x-1 = (x+a)( 3x2 -2x+1)+bx+c 3右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得21 ?3?3a?, ?1??2a??b, ?1?a?c 337262解得 a?? , b?? , c?? ，故得 99917262q(x)?x?, r(x)??x?.3999解法二带余除法．3-21 1 -3-1 -11 ???21 3374 ?-1 337147 ? 399262 ? 9917 ? 39?得17262q(x)?x?, r(x)??x?. 39992） q(x)?x2?x?1,r(x)??5x?7. r(x)??2．m,p,q适合什么条件时，有1）x2?mx?1x3?px?q;2）x2?mx?1x4?px2?q.?1除x3?px1）解 x2?mx得余式为： ?q262x?. 99 r(x)?(p?m2?1)x?(q?m)，?p?m2?1?0;令r(x)?0，即 ? ?q?m?0.故x2?mx?1x3?px?q的充要条件是?m?q; ? 2p?m?1?0.??1除x4?px2?q得余式为： 2）解 x2?mxr(x)??m(p?m2?2)x?(q?p?m2?1)，2???m(p?m?2)?0;令r(x)?0，即 ? 2??q?p?m?1?0. 解得x2?mx?1x4?px2?q的充要条件是?m?0; ? 或 p?q?1??q?1; ?2p?2?m.?3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式r(x)：。

高等代数第三版 (王萼芳石生明著) 课后答案高等教育出版社

（2） A11 =7， A12 =-12， A13 =3， A21 =6， A22 = 4， A23 =-1， A31 =-5， A32 =5， A33 =5， A34 =0。
13
3
16、（1）1 （2） −
（3）-483 （4）
12
8
17、（ 1）按第一行展开，原式= xn + (−1)n+1 yn 。
从而可得
14. 证有题设知 f (x), g(x) = 1，所以存在 v（x）， v（x）使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 从而
u(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=1 即[u(x)-v(x)]f(x)+v(x)[f(x)+g(x)]=1 所以
( f (x), f (x) + g (x)) = 1同理 (g(x), f (x) + g (x)) = 1再有 12 题结论，即证 ( f (x)g(x), f (x) + g(x)) = 1
（2）q（x）= x2 − 2ix − (5 + 2i) ， r(x) = −9 − 8i
4、（ 1）有综合除法： f (x) = 1+ 5(x −1) +10(x −1)2 +10(x −1)3 + 5( x −1)4 + ( x −1)5
（2） f (x) = 11− 24(x + 2) + 22(x + 2)2 − 8(x + 2)3 + (x + 2)4
−1± 3i
15、
。
2
16、（ 1）由 x-2 得三重因式
2

《高等代数》第一章矩阵习题答案

第一章矩阵习题一１．设有A 、B 、C 三类商品，它们去年和今年的价格如下表所示：单位：元试用矩阵表示上述表格．解所求的的矩阵为1002009050120150⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭２．写出下列线性方程组的系数矩阵与增广矩阵．（1） ⎩⎨⎧=-=-02132y x y x ；（2） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=-52323203y x z y x z x．解（1）系数矩阵为2312-⎛⎫ ⎪⎝⎭增广矩阵为231120-⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）系数矩阵为103231320-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭增广矩阵为103023123205-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3．写出矩阵()32)()1(⨯-+-=j i A j i 的完全形式．解 234345A -⎛⎫=⎪--⎝⎭4.写出既是上三角形矩阵，又是下三角形矩阵的3阶矩阵的一般形式．解所求的矩阵为000000a b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中a,b,c 为任意数.习题二1．设矩阵,312010403,112112,012110321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C B A（1）计算C A 23-与3A；（2）验证()CB AB B C A +=+与 ()TAB TT=A B ．解（1） 1233043230112010210213A C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭369608033020630426⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=369033256-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭323123123123011011011210210210A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭771123201011256210⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭9221445612141⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭（2） 12330421()(011010)1221021311A C B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭427210211240311⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭171513117⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭123213042101112010122101121311AB CB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭7810701125463⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭171513117⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故 ()CB AB B C A +=+1232178705()01112018142101154TTT AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭211231022117051201121112181411210310T TT T B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 ()TAB TT=A B２．求下列矩阵方程中的矩阵X ：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000011311232021132X ．解移项得31121132202311X ---⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭方程两边同乘以13得3112111(2)2023113X ---⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭411622211433113()4043111131133133⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎪⎝⎭３．已知两个线性变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=+=31332123115423222yy y x y y y x y y x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y zz y , 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．解用矩阵乘法分别表示这两个已知的线性变换为112233201232415x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112233*********y z y z y z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而111222333201310201310232201232201415013415013x z z x z z x z z ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123613124910116z z z -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭即 1123212331236312491016x z z z x z z z x z z z =-++=-+=--+4．计算下列矩阵乘积：(1) ;110217321134⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- (2) ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛123321; (3) ()11312-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ ; (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0431103143110412； (5) ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x ．解（1）71431353201236211⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭ （2） ()31232101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3） ()22111111333-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（4） 132140016711341320540⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭（5）()()111213111121311232122232123212223231323333132333a a a x a a a x x x x a a a x x x x a a a x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111212313121222323131********x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x ⎛⎫ ⎪=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭222111222333122112133113233223()()()a x a x a x a a x x a a x x a a x x =++++++++5．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k ，其中k 为正整数．证明对k 用数学归纳法显然1k =时，结论成立．设当k n =时结论成立，即有101n n A λ⎛⎫= ⎪⎝⎭我们考虑1k n =+时的情形．由归纳假设，我们有1111(1)010101n nn n AA A λλλ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1k n =+时的结论也是成立的．由归纳原理，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k对所有的正整数成立． 6．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A , 证明⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθk k k k A k cos sin sin cos ,其中k 为正整数．证明对k 用数学归纳法．显然1k =时，结论成立．设当k n =时结论成立，即有cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭我们考虑1k n =+时的情形．由归纳假设，我们有1cos sin cos sin sin cos sin cos n n n n A A A n n θθθθθθθθ+--⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin cos sin sin cos cos(1)sin(1)sin cos cos sin sin sin cos cos sin(1)cos(1)n n n n n n n n n n n n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ---+-+⎛⎫⎛⎫==⎪⎪+-+++⎝⎭⎝⎭即1k n =+时的结论也是成立的．由归纳原理，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθk k k k A k cos sin sin cos对所有的正整数成立．7．如果BA AB =矩阵B 就称为与A 可交换．设（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ；（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=213210001A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100010A ．求所有与A 可交换的矩阵．解（１）设与A 可交换的矩阵为a b B c d ⎛⎫=⎪⎝⎭则 1101a b a b b d AB c d cd ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1101a b a a b BA c d c c d +⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭由BA AB =，故a b b d a a b c d c c d +++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭根据矩阵相等的定义，得a c ab d a bc cd c d+=⎧⎪+=+⎪⎨=⎪⎪=+⎩ 解之得0,c a b ==所以，与A 可交换的矩阵0a b B a ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中,a b 为任意数．（２）设与A 可交换的矩阵为xy z B uv w g s t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则 100012222312323232x y z x y z AB uv w u g v s w t g st x u g y v s z w t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭100322012322312322xy z x z y z y z BA uv w u w v w v w g st g t s t s t +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭由BA AB =，故322222322323232322x y z x z y z y z u g v s w t u w v w v w x u g y v s z w t g t s t s t +++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++++++⎝⎭⎝⎭根据矩阵相等的定义，得322x x z y y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，232222u g u w v s v w w t v w +=+⎧⎪+=+⎨⎪+=+⎩，323323222x u g g ty v s s t z w t s t ++=+⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩解之得3110,,,,33222y z g w s w t v w u x v =====+=-+ 所以，与Ａ可交换的矩阵为0033311222x B x vv w w w v w ⎛⎫⎪⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭其中,,x v w 为任意的数．（３）设与A 可交换的矩阵为xy z B uv w g s t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则 010*******0001000100000xy z uv w AB uv w gs t g s t x y z x y BA u v w u v g s t g s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由BA AB =，故000000u v w xy g s t u v g s ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据矩阵相等的定义，得0,,u g s v t x w y ======所以，与Ａ可交换的矩阵为000x yz B xy x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中,,x y z 为任意的数．8．如果CA AC BA AB ==,，证明：A C B C B A )()(+=+；A BC BC A )()(=．证明因CA AC BA AB ==,，故()()A B C AB AC BA CA B C A +=+=+=+ ()()()()()()A BC AB C BA C B AC B CA BC A =====9．如果)(21E B A +=，证明：A A =2当且仅当E B =2．证明因为)(21E B A +=，故22211[()](2)24A B E B B E =+=++如果2A A =．即有211(2)()42B B E B E ++=+ 从而E B =2反之，如果E B =2，容易推出A A =2．10．证明：如果A 是实对称矩阵且0=2A ，那么0=A ．证明设111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么由T A A =，得21111121112112212221222222112122100000n ii n n nn n iT i n n nn nnnn n ni i a a a a a a a aa a a a a aA AA a a a a a a a ===⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑根据矩阵相等的定义得222121110,0,,0n nni i ni i i i a a a ======∑∑∑但是A 为实对称矩阵，即所有的元素均为实数，所以120(1,2,,)i i in a a a i n ===== 从而0=A11．设A 、B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T也是对称矩阵．证明因为A 对称矩阵，故T A A =从而()()T T T T T T T B AB B A B B AB ==所以，AB B T也是对称矩阵．12．设A 、B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =．证明因A 、B 都是n 阶对称矩阵，故T A A =，T B B =如果AB 是对称矩阵，那么()T T T AB AB B A BA ===反之，如果BA AB =，那么()()T T T T AB BA A B AB ===从而AB 是对称矩阵．13．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=567152431A , 试将A 表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和．解 511122157()5222117522T A A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+=- ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭为对称矩阵． 13022115()022235022TA A ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-=-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭为反对称矩阵．并且满足 51113102222571550222211735502222A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14．用待定系数法判定下列矩阵是否可逆，并且在矩阵可逆时求它的逆矩阵：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛3243 ; （2） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10452 ．解（１）设有矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭使得34102301a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么由矩阵的乘法与矩阵相等的定义可以得到下列线性方程组341340230231a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 这个线性方程组有唯一解3,4,2,3a b c d ==-=-=从而3423a b c d -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭容易验证3434341023232301a b c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛3243是可逆矩阵，且134342323--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（２）设有矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭使得251041001a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么由矩阵的乘法与矩阵相等的定义可以得到下列线性方程组25125041004101a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 这个线性方程组无解，所以矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛10452是不可逆矩阵． 15．证明：如果0=kA (k 为正整数)，那么121()k I A I A A A ---=++++．证明因0=kA ，故212121()()k k k k k I A I A A A I A A A A A A A I A I ----++++=++++-----=-=同理可得21()()k I A A A I A I -++++-=根据矩阵可逆的定义，矩阵I A -是可逆矩阵，且121()k I A I A A A ---=++++16. A,B 两个工厂生产M ，N ，P ，其年产量（单位：件）分别为200，300，400；150，200，250. 这三种产品的出厂单价（单位：万元）分别为：3，2，1. 求A,B 两个工厂的年度总产值.解: 分别A 、B 两个工厂生产M 、N 、P 三种产品的年产量为列构成矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛250200150400300200 ，以这三种产品的出厂单价为行的矩阵为 ()123．那么以A,B 两个工厂的年度总产值为行的矩阵为()()11001600250200150400300200123=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛所以A,B 两个工厂的年度总产值分别为1600万元与1100万元．17．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2011A ，求nA ，（n 为正整数）．解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21022022120112011A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==321021023202221202212011AA A 一般地应有 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑-=n 1n 0k k n 2021A 我们对n 用数学归纳法来证明该式．显然n=1时结论成立．假设n=l 时结论成立，即有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑-=n 1l 0k k l 2021A 现在我们考虑n=l+1时的情形．由归纳假设，我们有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=+l l0k k l 1l 20212011AA A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-+=∑1l 1)1l (0k k 2021 ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑-=n 1n 0k k n 2021A 对所有正整数都成立．18．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110011A ，求n A ．解： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100C 10C 21100210121100110011100110011A 12222⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==100C 10C 31100310331100210121100110011AA A 132323一般地应有 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100n 1021)-n(n n 1100C 10C n 1A 1n 2nn 我们对n 用数学归纳法来证明该式．显然n=２时结论成立．假设n=k 时结论成立，即有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100C 10C k 1A 1k 2k k ．现在我们考虑n=k+1时的情形．由归纳假设，我们有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+100C 10C k 1100110011AA A 1k 2k k 1k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++100C 10C 1k 1100C 10C C 1k 111k 21k 11k 1k 2k 即n=l+1时结论也成立，由归纳原理,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100n 1021)-n(n n 1100C 10C n 1A 1n 2n n对所有大于１正整数都成立．19．设()m m m a a a f +++=- 110λλλ，A 是一个n n ⨯矩阵，定义 ()I a A a A a A f m m m +++=- 110．(1) ()12--=λλλf ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011213112A ，(２) ()352+-=λλλf ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A ．试求()A f ．解：(1) ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=10001000101121311201121311222I A A A f⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2123083151000100010112131121015211428 (２) ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100133312533122A f⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30031515510121557⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000．习题三1．计算下列矩阵的乘积：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010110005110230002； (２)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121．解：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛OO =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100310001001011000511023000221A A其中()()10521=⨯=A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1031011111232A ． (２) 把乘积中的两个矩阵分别分块成⎪⎪⎭⎫⎝⎛O =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2213000120010100121A I A A ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=212300032001210131B B I B ．那么 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O=223111212221B A B B A A B B I A I A AB ．而 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+30321217303212131021211B B A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4225， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=90342032301222B A ．从而 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521AB ．2．求下列矩阵的逆矩阵：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1200250000430011； (２)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a21，其中021≠n a a a ．解：(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211200250000430011A A A ．1A 为可逆矩阵，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-131411A ； 2A 为可逆矩阵，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-522112A ．从而A 为可逆矩阵，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----52002100001300141A ． 3．设A 为n 阶矩阵，且满足：O =++I A A 2．求1-A ．解：移项并整理得()I I A A =--及()I A I A =--，所以，A 为可逆矩阵，且 I A A--=-1．4．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=61318175********A ，求1-A ．解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛O =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=B C A A 16131817500230012， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23121A 是可逆矩阵，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-231211A ； ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6181B 是可逆矩阵，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212143B ．由例15 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-O =-----1111111B CA B A A ．经计算，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---23123175212143111CA B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2275231222911，从而 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-2121224375002300121A ．5．已知A 为m 阶可逆矩阵，C 为n 阶可逆矩阵．试证⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O =C A X 是可逆矩阵，并求1-X．解：设有分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211X XX X D ，其中D 的分法使以下的分块乘法有意义，并使得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛OO =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O =n mI I CX CX AX AX X X X X C A XD 121122112221112．比较等式两边，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=O =O ==nm I CX CX AX I AX 12112221由第一，二式得 O ==-22121,X A X ，由第三，四式得 1111,-=O =C X X ．容易验证也有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛OO =n mI I DX ．所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O =---111A C X．6．设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000000000000000121n n aa a a X ，其中()n i a i ,,2,10 =≠，求1-X ．解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-C A aa a a X n n 0000000000000000121，由上题的结果，得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O =---111A C X但 ()11--=n a C ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----1112111000000n a a a A．所以， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--------00000000000000000000001112121111n n n a a a a a X．。

高等代数-第1章习题及解答

习题1.11. 判断以下数集是否作成数环。

1)S={}Z ∈; 2) S={}0a a Q ≠∈; 3)S={},a b Z +∈;4）S={},a a b Q +∈.解： 1）错误。

不能包含除0以外的整数。

2）错误。

对差不封闭。

3）正确。

4）正确。

{}{},5,13a bi ab Q a bi a b Q Q +∈+∈2. 填空：1) 包含5i 的最小数域是或 2) 包含的最小数域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈Q a a 31或{}{}{}0.,0,,,,0,1,2,3,,-l S a S a S ka S a S k l a bi a b Q F c di c di ≠≠∈≠∈∈=+∈⋅∈≠≠ 3.证明：如果一个数环S ，那么含有无限多个数。

证明：S 0可设是数环于是其中故含有无限多个数。

4.证明：S=是一个数环，是不是数域？证明： S 为数环，则S 对于数的加、减、乘封闭，且1=1+0i S 设+0，那么0222222220000,()()()()(),d c c di d c di c Q a bi a bi c di ac bd bc ad ic di c di c di cd ac bd bc adi c d c dac bd bc adQ c d ==+≠≠=∈++-++-==++-++-=++++-∈+否则在的情形下，,与矛盾在的情形下,与矛盾因此又由于 22,Q c d a biS S c di∈++∴∈+ 故是数域。

121212,F F F F F F 5.设均为数域，证明也是数域，一定是数域吗？举例说明。

{}121222112,,,F F F F R F a bi a b Q F F F F ==+∈⊄⊄ 112证明：是数域，不一定是数域反例：设F 因 F F 所以不是数域()21,5(5,2)(2,3)(1)112;12(-1)(-2)12123455234125341n n k k k k +=+++++++−−−→−−−→− 习题1.21.计算下列排列的反序数： 1）75231468； 2）n(n-1)21;3)(2k)1(2k-1)2(k+1)k.解：）； 2） 3)2.利用对换把排列12345变成35241。

高等代数第一章答案(多项式)

若()()()x m x l x h +=，且()()x m x p |，()()x l x p |/，则()()x h x p |/。

证法1：由()()x m x p |/有 ()()()x p x m x m 1=。

由()()x l x p |/有()()()()()0,1≠+=x r x r x p x l x l 。

于是 ()()()()()()()()x r x p x l x m x m x l x h ++=+=11。

因()0≠x r ，故()()x h x p |/。

证明2：用反证法。

问：若()()()()x g x h x f x h |,|//，则()()()()x g x f x h +|成立吗？试举例说明。

答：不一定。

例如 ()()()1,1,+=-==x x g x x f x x h ，则()()()()x g x h x f x h |,|//，但()()()()x g x f x h +|。

例如 ()()()2,1,+=-==x x g x x f x x h ，则()()()()x g x h x f x h |,|//，且()()()()x g x f x h +/|。

例求m l ,，使()2523+++=x lx x x f 能被()12++=mx x x g 整除。

解法1：因()()3=∂x f ，()()2=∂x g ，故商()x q 满足()()1=∂x q ，且设()p x x q +=，则由 ()()()x g x q x f =，可得()()p x pm x p m x x lx x +++++=+++1252323，l m p pm p =+=+=,51,2，从而 4,2,2===l m p 。

高等代数北大编第1章习题参考答案

第一章多项式一、习题及参考解答1 .用g(x)除了(x),求商g(x)与余式r(x)：1 ) f (x) = x3 - 3x2 - x -1, g(x) = 3x2 - 2x +1;2 ) f(x) = x4 -2x + 5,g(x) = x2 - x + 2。

解1)由带余除法,可得q(x) =L-Z,“x) =-竺x-2 ；2)同理可得g(x) = / +x-l,r(x) = -5x + 7。

2. 〃?,PM适合什么条件时，有1 ) X2 +/?1¥-1 I X3 + px + c/ 92) x2 + nix + 11 x4 + px2 +q。

解1 )由假设,所得余式为0,即(〃 + l + 〃?2)x + (q-〃?) = O,所以当 1 + 。

时有 /+〃a-11 X* + px +g 0q _ in = 0 .2)类似可得= 于是当〃? = 0时，代入(2)可得〃=夕+ 1;q + 1 —〃一" = 0而当2- 〃 -J = 0时，代入(2)可得4 = 1 04 = ] _, 时，皆有 / + + 1 I X，+ px2 + 9。

综上所诉，当p + nr = 23 .求g(x)除f(x)的商q(x)与余式:1 ) /(x) = 2«?-5x3-8x,g(x) = x + 3 ;2) f(x) = x3-x2 - xg(x) = x-l + 2i o解[)q(x) = 2x4 - 6x3 +13x2 - 39A+ 109 ,r(x) = -327 '2)= x2 -2LV-(5+2/)r(x) = -9 + 8/ °4 .把/1(X)表示成x-%的方幕和，即表成c()+ G(X —“0)+。

2(X — X。

)~ + …+ C n(X — X。

)” + …的形式：1)/(x) = x',x()= 1 ；2) /(X)= X4-2X2+3,X0 =-2 ;3) f (x) = x4 + 2汉3 -(1 + i)x2 -3x + 7 + i,x0 =-i o解 1 ) 由综合除法，可得f(x) = l + 5(x-l) + 10(x-l)2 + 10(x-1)3+5(X-1)4 + (x-1)5 ;2 ) 由综合除法，可得X4-2X2+3=11-24(X + 2) + 22* + 2)2 -8(.r + 2)3 + (x + 2)，;3）由综合除法，可得『+2立3_（1 +82_3工+ （7 +，）= (7 + 5i)-5(x + i) + (-l-i)(x + i)2 -2i(x + i)3 + (x + i),。

《高等代数》第一章习题及答案

习题1.1解答1.下列数集哪些是数域？哪些是数环？哪些既非数域也非数环？1）所有正实数所成的集合．2）所有偶数（或奇数）构成的集合． 3）某个整数a 的所有整数倍所成的集合．4）F={Q b a b a ∈+,23}．解 1）所有正实数所成的集合对减法不封闭，所以不是数环，当然也非数域．2）所有偶数构成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法不封闭，所以不是数域．3）某个整数a 的所有整数倍所成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法不封闭，所以不是数域．4）在F={Q b a b a ∈+,23} 中取32，显然32×32∉F ，即对乘法不封闭，所以F 不是数环，当然也非数域．2.证明：两个数域的交是一个数域．解设A ，B 是两个数域，则0,1∈A ，0,1∈B ，从而0,1∈A ∩B ；对任意x,y ∈A ∩B ，有x,y ∈A 和x,y ∈B ，从而x+y ∈A ，x-y ∈A ，x ×y ∈A ，x ÷y ∈A （对y ≠0），同样也有x+y ∈B ，x-y ∈B ，x ×y ∈B ，x ÷y ∈B （对y ≠0），所以x+y ∈A ∩B ，x-y ∈A ∩B ，x ×y ∈A ∩B ，x ÷y ∈A ∩B （对y ≠0），故A ∩B 是数域．3*.证明：F={a+bi|a,b ∈Q}（i 是虚单位）是一个数域．解显然0=0+0i ∈F ，1=1+0i ∈F ；对任意a+bi,c+di ∈F ，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ∈F ，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ∈F ，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ∈F ，若c+di ≠0，则(a+bi)÷(c+di)=F i d c ad cb d c bd ac d c di c bi a ∈+-+++=+-+222222)())((．所以F 是数域．4*.证明：G={a+bi|a,b ∈Z}是数环而不是数域．解对任意a+bi,c+di ∈G ，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ∈G ，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i∈G ，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ∈G ，所以G 是数环．数1=1+0i ∈G ，2=2+0i ∈G ，2≠0，但1÷2∉G ，所以G 不是数域．习题1.2解答1.用行的初等变换，将下列矩阵化为行最简形．①⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-213312011 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2605573314122321③⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112110013 ④⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----133331241246104210521 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213312011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-240330011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--200110011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2605573314122321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------129100123032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------129100123032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----23/700200032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----200023/70032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001 ③⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112110013→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443100131211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564036401211 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200036401211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100006400211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100002/31002/101 ④⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----133331241246104210521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----231890126306600010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----660002318901263010521 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11000130001263010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---40000110001263010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10000010000063000521 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100000100000310001012*.用行的与列的初等变换，将上题中的③化成形为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000sE 的矩阵．解接上题中的③的行最简形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100004/61002/101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000100001→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010*********习题1.3解答1.写出以下列行最简形矩阵为增广矩阵的线性方程组的全部解．①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000032100301 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110000010010011 解 ①对应的线性方程组可写为⎩⎨⎧+=-=32312330x x x x令x 3=c ，得x 1=-3c ，x 2=3+2c ，全部解可表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=c x c x c x 321233 其中c 为任意数．② 对应的线性方程组可写为⎪⎩⎪⎨⎧==-=1014321x x x x令x 2=c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=1014321x x c x c x 其中c 为任意数．2.解下列线性方程组：①⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432321321321321x x x x x x x x x x x x③⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x ④⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x 解 ① 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2/54/112/502/174/112/502124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110034111002124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2400034111002124 由于系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，所以原方程组无解．② 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328341325421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----147702814140147705421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000000021105421 对应的同解方程组可写为⎩⎨⎧+=--=-323212452x x x x x令x 3=c ，全部解可表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=cx c x cx 321221 其中c 为任意数．③对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020000100011112 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010002/102/12/11 对应的同解线性方程组可写为⎩⎨⎧=+-=02/12/12/14321x x x x令x 2=c 1，x 3=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=021212142312211x c x cx c c x 其中c 1，c 2为任意数．④ 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111124312325341~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------5957010181014025341~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000005957025341 对应的同解线性方程组可写为⎩⎨⎧+-=--+-=+432432195575324x x x x x x x令x 3=c 1，x 4=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-=++=24132122117/97/57/57/7/7/6c x c x c c x c c x 其中c 为任意数．3.解下列齐次线性方程组：①⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解 ① 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----430013101211~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---430030103/4001 令x 4=c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=cx c x c x c x 43213/433/4 中c 为任意数．② 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---040004001121~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004001121对应的同解方程为⎩⎨⎧=-+-=+04234231x x x x x令x 2=c 1，x 4=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=2431221102c x x c x c c x ③ 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----5132631472137421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----199703419901410707421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----51007/1127/43001410707421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----510011243001410707421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100051001410707421 系数矩阵的秩为4，对应的齐次线性方程组只有零解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x4.讨论a,b 取什么值时下面的线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？①⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++=-+b x a x x x x x x x x 3221321321)5(322 ②⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x ax x x 解 ①系数矩阵的行列式为5111211112--a =400211112--a =(a-2)(a+2)当a ≠2且a ≠-2时，方程组有唯一解。

高等代数(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社

3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++ （3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x --6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+-- 7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩ 8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。

另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。

由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。

从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。

《高等代数》课程习题 .doc

《高等代数》课程习题第1章行列式习题 1.11．计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）x x x x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x （5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2．计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3．用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）114300211321221---（3）500000000400030020001000 (4) dc b a 100110011001---. 4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习题 1.21．计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）655565556 2.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a ab aba -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---谢谢观赏（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习题 1.31．解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习题五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004，（2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）3351110243152113------，（5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ，求3A -2B +C 。

高等代数课后答案高等教育出版社

另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。

由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。

从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。

高等代数北大版课后答案完整版

高等代数（北大高等代数（北大**第三版）答案第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ：1）123)(,13)(223+−=−−−=x x x g x x x x f ；2）2)(,52)(24+−=+−=x x x g x x x f 。

解1）由带余除法，可得92926)(,9731)(−−=−=x x r x x q ；2）同理可得75)(,1)(2+−=−+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++−+32|1，2）q px x mx x ++++242|1。

解1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=−+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=−=++012m q m p 时有q px x mx x ++−+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=−−+=−−010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=−−m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==1q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =−−=+；2）32(),()12f x x x x g x x i =−−=−+。

解1）432()261339109()327q x x x x x r x =−+−+=−；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=−−+=−+。

4．把()f x 表示成0x x −的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +−+−++−+⋯的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =−+=−；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+−+−++=−。

完整版高等代数习题解答(第一章)

完整版高等代数习题解答(第一章)高等代数题解答第一章多项式补充题1.当a,b,c取何值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)^2+b(x+1)+c(x^2-x+2)相等？提示：比较系数得a=-1,b=-1,c=6.补充题2.设f(x),g(x),h(x)∈[x]，f^2(x)=xg^2(x)+x^3h^2(x)，证明：假设f(x)=g(x)=h(x)不成立。

若f(x)≠0，则∂(f^2(x))为偶数，又g^2(x),h^2(x)等于或次数为偶数，由于g^2(x),h^2(x)∈[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg^2(x)+x^3h^2(x)等于或次数为奇数，矛盾。

若g(x)≠0或h(x)≠0，则∂(xg^2(x)+x^3h^2(x))为奇数，而f^2(x)为偶数，矛盾。

综上所证，f(x)≠g(x)或f(x)≠h(x)。

1.用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x) =x^3-3x^2-x-1，g(x) =3x^2-2x+1；2）f(x) =x^4-2x+5，g(x) =x^2-x+2．1）解法一：待定系数法。

由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为1的1次多项式，而余式的次数小于2.于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c。

根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，即x^3-3x^2-x-1=(x+a)(3x^2-2x+1)+bx+c，右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得a=-1/3,b=-2/3,c=-1，故得q(x)=x-1/3,r(x)=-x-1/3.2）解法二：带余除法。

用长除法得商q(x)=x^2+x-1，余式r(x)=-5x+7.2.m,p,q适合什么条件时，有1）x^2+mx-1/x^3+px+q;2）x^2+mx+1/x^4+px^2+q.解：1）将x^3+px+q除以x^2+mx-1得商为x+m+1/(x+m-1)，所以当m≠1时有解。

(完整word版)高等代数多项式习题解答

第一章多项式习题解答1. 用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x).5x2. m, p,q 适合什么条件时，有 1) x 2 mx 11 x 3 px qq(x)x 2 x 1, r(x)5x 7.x 3 0x 2 px q xp 10,q m 时 x 2 mx 11 x 3 px1) f(x)x 3 3x 2 2x3x 232x 3xx 1 3 2 2 1x —x -x3 3 7 24 1 x x 3 37 2 14 7 —x ■ x — 3 9 926 2 —x9 9q(x) £ r (x )26 x92) f(x)2x 5, g(x)4 x 4x0x 3 0x 2 x 3 2x 2 x 3 2x 22x 32x x 2xx2x2x 54x 5 x 2 mx 1当且仅当m 2 i,g(x)x 2x 1 1—x 3 3x 2本题也可用待定系数法求解 .当X 2 mx 1| x 3 px q 时，用x 2 mx 1去除x 3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为 x q.于是有因此有m 2 p 1 0, q m .2) x 2 mx 11 x 4 2px q由带余除法可得42/ 2x px q (x mx1)( x2mx 2p 1 m ) m(2pm 2)x (q 1 pm 2) 当且仅当r(x) m(2 p 2m )x (q 1 p m 2) 0 时2x 42mx 11 x pxq .即m(2 p m 2) 2m，即 mQ 或 p 2小m 2,q 1p 0q 1 p,q 1.本题也可用待定系数法求解.当x 2 mx 1|x 4px 2 q 时，用x 2 mx 1去除x 4 px 2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为 x 2 ax q .于是有3. 求 g(x)除 f (x)的商 q(x)与余式 r(x). 531) f (x) 2x 5x 8x, g(x) x 3; 解：运用综合除法可得 32580 6 18 39 1173272 6 1339 109 327商为 q(x) 2x 4 6x 3 13x 2 39x 109，余式为 r(x) 327.4 2x pxq (x 2ax q)( 2x mx 1)(m a)x 3 (ma2q 1)x(a mq)x q.ma q 1 p,a mq 0.消去a 可得m 0,或2p m 2,q 1 p,q 1.x 4 比较系数可得m a 0,2px q (x q)(x mx 1)x 3 (m q)x 2(mq 1)x q .2) f(x) x 3 x 2x,g(x) x 1 2i .解:运用综合除法得：1 2i 11 1 0 1 2i4 2i 9 8i 1 2i5 2i9 8i商为x 2 2ix (5 2i),余式为9 8i .c 0即为x X o 除f (x)所得的余式，商为q(x) q 可得C 1为x x o 除商q(x)所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数解：1)解法一：应用综合除法得•1 1 o o o o o11111 111111 112 3 4 1 1 2 3 4 51 3 6 1 1 3 6 1o1 4 1 1 4 1o 14.把 f(; x)表成x X °的方幂和，即表示成CoC 1(X X o ) C 2(X X o )2的形1) f(x) 5x12) f(x) 4x 2x 23, xo2;3) f(x) 4x2ix 3 (1 i)x 2 3x 7 i,x o1分析：假设 f(x) 为n 次多项式，令f(x)C o G (x X o ) C 2(X X o )2C n (x X o )n式.x o )n1]C o (x X o )[G C 2(x x o )C n (x C 2(x X 。

《高等代数》课程习题 .doc

感谢你的观看《高等代数》课程习题第1章行列式习题 1.11．计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）x x x x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x （5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2．计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3．用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）114300211321221---（3）500000000400030020001000 (4) dc b a 100110011001---. 4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习题 1.21．计算下列行列式：感谢你的观看（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）655565556 2.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn n a a a a a a ---感谢你的观看（5）xaaa x a a a xΛΛΛΛΛΛΛ （6）abb a b a b a 000000000000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 习题 1.31．解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习题五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004，（2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）3351110243152113------，（5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+ΛΛΛΛΛΛΛΛ212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ，求3A -2B +C 。

高等代数[北大版]第1章习题参考答案解析

第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+L 的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。

高等代数第1章习题解

第一章习题解4902411=+，490911411388=⋅+41138823=+，而233881(,)=，所以（9405，5313）=12．设12,,, n a a a Z ∈，证明12121(,,,)((,,,),) n n n a a a a a a a -= 证明：令112(,,,), n d a a a = 2121((,,,),)n n d a a a a -= 由112(,,,), n d a a a =11121,,,,; i n d a i n d a ⇒=-11211112112(,,,),()((,,,),) n n n n d a a a d a d a a a a d d --⇒⇒⇒由212111211((,,,),)(,,,), n n n n d a a a a d a a a d a --=⇒1112112(,,,),(,,,) i n i d a i n d a d a i n ⇒=-⇒=21221(,,,) n d a a a d d ⇒⇒所以12d d =(630,504)=1264536=2·1764+1008, 1764=1008+756,1008=756+252,756=252·3→(1764,4536)=252 252=126·2所以(504, 630, 1764, 4536)=12622;()a b b aq a c c ap bc a pq a bc ⇒=⇒=⇒=⇒1;()a b b aq b a a bp b bp q pq ⇒=⇒=⇒=⇒=1p a b =±⇒=±若a x 对任意整数x 成立,那么取1x =,有11a a ⇒=±;反之,若1a =±,a x 显然成立;若x a 对任意整数x 成立,即a xp =对任意整数x 成立,取00x a =⇒=;反之,若0a =,x a 显然成立.7.设,,a b d Z ∈, 且(,)d a b =, 证明存在,u v Z ∈, 使得d au bv =+如果0a b ==,则000(,)a b a b ==⋅+⋅,所以结论成立; 如果,a b 不全为零,那么一定存在整数,s t 使0as bt +>,令所有这样的正整数组成的集合为D,即:0{|,}D as bt s t Z =+>∈, 由于D 是正整数组成的集合,故必有一个最小整数, 设这个正整数为d ',即有整数,u v 使d au bv '=+ 我们说d '就是,a b 的最大公因数.事实上,对于,a b 的任意公因数h ,显然有h au bv +h d '⇒;如果d '不是,a b 的公因数,不妨设d '不是a 的因数,那么由带余除法,有0,a d q r r d ''=+<<于是 1()()()a au bv q r r a qu b qv r D =++⇒=-+-⇒∈ 这与d '是D 中最小数的假设矛盾.如果P 不是质数,那么有两个大于1的整数,s t 使11,,p st s p t p =<<<< 显然有p st ,按题设,应有p s 或p t ,但这显然不可能..9.设12,S S 都是数环,请问12S S 与12S S 是否是数环,为什么?12S S 是数环,而12S S 未必是数环.事实上:1211,,,,a b S S a b S a b a b ab S ∀∈⇒∈⇒+-∈ 同理: 21,,,a b S a b a b ab S ∈⇒+-∈ 所以12,,a b a b ab S S +-∈ ,即12S S 是数环.取1257{|},{|}S k k Z S k k Z =∈=∈,这时1257,S S ∈∈,但121257121212,S S S S +=∉∉⇒∉所以12S S 未必是数环.,()()()(a c S a c a c b d S ∀++∈⇒+++=+++∈()()()(a c a c b d S +-+=-+-∈2()()()(a c ac bd ad bc S ++=-++∈所以{|,}S a a b Z =+∈是数环;但110S S =+∈=+∈=,而12Z ∉,所以2i S ∉,所以{|,}S a a b Z =+∈不是数域;{,}S a a b Q =+∈ 1.2一元多项式1.若43232231321(),()f x x x x x g x x x x =-+-+=-+-,求()(),()(),f x g x f x g x +-和()()f x g x4324325522()(),()()f x g x x x x f x g x x x x x +=++-=-+-+765432314141210621()()f x g x x x x x x x x =-+-+-+-2.求,,a b c 使22432211251()()x bx x ax x x cx x +--+=++--224322112211()()()()()x bx x ax x b a x ab x a b x +--+=+-+-++-432251x x cx x =++--所以: 2511,,b a ab c a b -=-=+=-213,,a b c ⇒=-==3.,,,a b c d 取何值时,多项式32322()()()f x a b c x a b c x dx =+-++-++与322()()()()g x a c x a d x c a x b =++-+++相等.1234,,,a b c d ====4.将多项式4323223()f x x x ax x =-++-化成2x +的方幂形式43232262852122261()()()()()f x x x x x =+-+++-++ 5.设多项式00(),()f x g x ≠≠,问(),()f x g x 的系数满足什么条件时,公式(()())max{(),()}f x g x f x g x ∂+≤∂∂等号成立?满足什么条件时,小于号成立?1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ,1110()n n n n g x b x b x b x b --=++++ 当0n n a b +≠时,公式中的等号成立; 当0n n a b +=时,公式中的小于号成立;6.设(),(),()[]f x g x h x R x ∈,若222()()()f x xg x xh x =+,则0()()()f x g x h x ===(),()g x h x 至少有一个不是零多项式.由于(),()[]g x h x R x ∈,所以2222(()())max{(),()}g x h x g x h x ∂+=∂∂于是等式222()()()f x xg x xh x =+右边的的次数为奇数,而左边的次数为偶数,这导致矛盾,所以必然有0()()()f x g x h x ===7. .设(),()[]f x g x R x ∈,若00(),()f x g x ≠≠,证明则220()()f x g x +≠11100(),n n n n n f x a x a x a x a a --=++++≠ ,11100(),m m m m m g x b x b x b x b b --=++++≠ ,并且m n ≤于是22()()f x g x +的最高次项的系数为22,()n m a b m n +=或2,()n a m n <,不论是哪种情形,22()()f x g x +的最高次项的系数都不为零,所以220()()f x g x +≠(但这个结论对复数域上的多项式不成立,例如22(),(),f x ix g x x ==但22440()()f x g x x x +=-+=1.3多项式的整除性1.用()g x 除()f x ,求商式()q x 和余式()r x : (1) 322432123(),()f x x x x g x x x =-+-=-+ (2) 4322323(),()f x x x x g x x x =-+-=-+(1) 45164516()()(),(),()f x g x x q x x r x =+-=+=-(2) 221391731391732488824888()()(),(),()f x g x x x x q x x x r x x =--++=--=+ 2.确定,a b 的值,使223()g x x x =-+能整除43236()f x x x x ax b =-+++,得2153()()()()f x g x x x a x b =-++++-,所以53,a b =-=3.下列命题是否成立,为什么?(1)成立,否则由()(),()|()()h x f x h x f x g x +,则()|[()()]()()h x f x g x f x g x +-=导致矛盾;(2)不成立,例如11(),(),()h x x f x x g x x ==+=-,但2|x x ,即()|()()h x f x g x +(3) 不成立,例如22(),(),()h x x f x x g x x ===,但222|x x ,即()|()()h x f x g x(4)成立,由于()(),()()f xg x f x g x ∂=∂,所以(),()f x g x 只相差一个常数因子,所以()|()g x f x 成立.(),()f x g x 被()h x 除得的余式相等.()⇒设1122()()()(),()()()()f x h x q x r x g x h x q x r x =+=+,其中1100()()()r x or r x h x =≤∂<∂和2200()()()r x or r x h x =≤∂<∂于是1212()()()[()()][()()]f x g x h x q x q x r x r x -=-+-,由()[()()]h x f x g x -⇒12()()()h x r x r x -但1212[()()]max{(),()}()r x r x r x r x h x ∂-≤∂∂<∂,这显然不可能,除非120()()r x r x -=,即12()()r x r x =()⇐设12()()()(),()()()()f x h x q x r x g x h x q x r x =+=+,其中00()()()r x or r x h x =≤∂<∂于是12()()()[()()]f x g x h x q x q x -=-()[()()]h x f x g x ⇒-5.常数,,a b c 满足什么条件时,21()g x x ax =++能整除4()f x x bx c =++?2222121()()()()f x g x x ax a b a a x c a =-+-++-++- 所以222010,b a a c a +-=+-=所以221a b c a +=+=1()()()()()g x h x f x q x p x =,2()()()f x h x p x = 所以2112()()()()()()()()()()g x h x h x p x q x p x g x q x p x p x =⇒=()()q x g x ⇒7.证明：对任意非负整数n,都有222111|()n n x x x x ++++++n 用数学归纳法: 当0时,结论显然成立;假设结论在一切不大于n 的非负整数成立,那么在1n +时,3232212121111()[()]()[()]n n n n n x x x x x x x x +++++++=+++++- 221212111[()]()()n n n x x x x x x +++=++++++由归纳假设有222111|()n n x x x x ++++++,同时2212111|()()n x x x x x ++++++所以232311|()n n x x xx ++++++8.设k 是任意正整数,证明|()|()kx f x x f x ⇔,下面证明必要性用反证法:若|()x f x ,则10()(),f x xf x c c =+≠,那么1()[()]()k k k f x xf x c xg x c =+=+,由|()|k k x f x x c ⇒矛盾.9.证明：|()()x f x f x ⇔的常数项为011100(),nn n n n f x a x a xa x a a --=++++≠ 于是由于111|n n n n x a x a x a x --+++ ,1110|()n n n n x f x a x a x a x a --=++++所以111000|()()|n n n n x f x a x a x a x x a a ---+++⇒⇒= 反过来,若00a =,显然有|()x f x 10.证明：11||d n x x d n --⇔()⇐设n dq =,则1211111()()[()()]n dq d q d d q d q x x x x x x ---=-=-=-+++11|d n x x ⇒--()⇒若|d n ,设0,n dq r r d =+<<,于是11111()()n dq r dq r r r r dq r x x x x x x x x x +-=-=-+-=-+-由于111111|,|[()]|d n d r d q d r x x x x x x x ----⇒--,但0r d <<,这显然不可能.所以,必然有0r =,即|d n . 1.4最大公因式 1.求((),())f x g x(1)433234123(),()f x x x x g x x x =+--=+- (2) 32264530(),()f x x x x g x x x =-++=+- (3) 543243211(),()f x x x x x g x x x x =++-+=+++(4) 543257248(),f x x x x x x =-+-+-4325202144()g x x x x x =-+-+(1)2223422155()()()(),()()()f x g x x x x g x x x x x =+-+-=+--+-21212()()()r x x x x x =+-=-+所以1((),())f x g x x =-;(2) 741556()()()(),()()()f x g x x x g x x x =-+-=-+ 所以5((),())f x g x x =-; (3) 1((),())f x g x =(4)322221251()()(),()()()f x x x x g x x x =-++=-+所以22((),())()f x g x x =-2.设111()n n n n f x x a x a x a --=++++ 12121()n n n n g x x a x a x a ----=++++ ,1n >,求((),())f x g x由于10()()()()()()((),())n n n n g x a xg x f x a f x g x x a f x g x a =⎧=-⇒+-=⇒=⎨≠⎩3.设212(),(),m n m n m m f x x x x g x x x m n +-=---=--> ,求((),())f x gx4.对下列各题的(),()f x g x ,求(),()u x v x ,使((),())()()()()f x g x f x u x g x v x =+ （1）432421563()f x x x x x =+-++，3253()g x x x =-+ （2）432242(),f x x x x x =+---43222()g x x x x x =+--- （3）432442(),f x x x x x =--+-321()g x x x x =+--1）2215()()()()f x g x x x x =+--，22231()()()()g x x x x x =-+--21()x x x x -=-所以1((),())f x g x x =-15121225()[()()()])()()x g x x f x x f x -=+-+-所以222421115151555()()x x f x x x g x ⎛⎫⎛⎫-=--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221515()u x x =--，24211555()v x x x =+- （2）32()()f x g x x x =+-，32212()()()g x x x x x =-++-3222()x x x x -=-，所以22((),())f x g x x =-23221112()()()()[()()]()()()()()x g x x x x g x f x g x x x f x x g x -=--+=--+=--++所以：1()u x x =--，2()v x x =+（3）2234()()()()f x g x x x x =---+，2344717()()()g x x x x x =-+++-2493471774128()()()x x x x -+=--+，所以1((),())f x g x =22222212849341717747173443427179241284929245351107()()()()()()()()()()()()()[()()()][()()()()]()()()()x x x x g x x x x x x g x x f x x g x x x x f x g x x f x g x x x x f x x f x x x g x =-+----=--++-+=---=--++=-----++=--++-所以253511074949(),()x x x u x v x --+-== 5.令()f x 与()g x 是[]F x 中的多项式，而,,,a b c d是F中的数，并且满足0ad bc -≠，证明(()(),()())((),())af x bg x cf x dg x f x g x ++=12()((),()),()(()(),()())d x f x g x d x af x bg x cf x dg x ==++ 令 ()()(),()()())u x af x bg x v x cf x dg x =+=+ 那么 ()()(),()()())du x adf x bdg x bv x bcf x bdg x =+=+两式相减整理得：()()()d b f x u x v x ad bc ad bc=---同理：()()(),()()())cu x acf x bcg x av x acf x adg x =+=+()()()c ag x u x v x bc ad bc ad=---由于 111()((),())()|(),()|()d x f x g x d x f x d x g x =⇒11()|()(),()|()()d x af x bg x d x cf x dg x ⇒++ 12()|()d x d x ⇒反过来：2()(()(),()())((),())d x af x bg x cf x dg x u x v x =++=22()|(),()|()d x u x d x v x ⇒22()|()()()()|()()()d b d x u x v x f x ad bc ad bc c a d x u x v x g x bc ad bc ad ⎧-=⎪⎪--⇒⎨⎪-=⎪--⎩21()|()d x d x ⇒所以 12()()d x d x =6.证明定理1.4.7的逆：若1((),()())f x g x h x =，那么1((),())f x g x =与1((),())f x h x =都成立。

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