2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一)
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2019年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2019年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM的斜率的最大值为2/3.（答案：C）2.（2019年天津高考）已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1.（答案：D）3.（2019年全国I高考）已知方程x^2/n^2 - y^2/m^2 = 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(-1,3)。
（答案：A）4.（2019年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。
已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为4.（答案：B）5.（2019年全国II高考）圆(x-1)^2 + (y-4)^2 = 13的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=-2/3.（答案：A）6.（2019年全国II高考）已知F1,F2是双曲线E:x^2/4 -y^2/2 = 1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=1/3，则E的离心率为2/3.（答案：A）7.（2019年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。
P为C上一点，且PF⊥x轴。
过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。
若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1/3.（答案：A）8.（2019年浙江高考）已知椭圆 + y^2/(m^2-1) = 1(m>1)与双曲线- y^2/(n^2-1) = 1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为m，n，则e1+e2=3.（答案：C）解析】Ⅰ）由题意可知，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据离心率的定义可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中$c$为椭圆的焦距之一，即$2c$为椭圆的长轴长度，$a$为椭圆的半长轴长度，$b$为椭圆的半短轴长度，则有：$$\frac{2c}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 即：$$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 又因为焦点$F$在椭圆的一个顶点上，所以该顶点的坐标为$(a,0)$，即$2c=2a$，代入上式可得：$$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$$ 又因为椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$可得：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$$ 即：$$x^2+4y^2=a^2$$ （Ⅱ）（i）设椭圆C的另一个顶点为$V$，则$OV$为椭圆的长轴，$OF$为椭圆的短轴，且$OV=2a$，$OF=\sqrt{3}a$。
2024年新高考版数学专题1_9.5 圆锥曲线的综合问题(分层集训)
解析 (1)设动点P的坐标为(x,y),因为| PF | = 5 ,
d5
所以
(x 1)2 y2
=
5 ,即5[(x+1)2+y2]=|x+5|2,整理得 x2 + y2 =1.所以动点P的
| x5|
5
54
轨迹方程为 x2 + y2 =1.
54
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由(1)可得点A的坐标为(0,-2),故直线AM:y=
AC
·BC
=1,
则点C的轨迹为 ( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线
答案 A
3.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,8)已知圆C的方程为(x-1)2
+y2=16,B(-1,0),A为圆C上任意一点,若点P为线段AB的垂直平分线与直线
AC的交点,则点P的轨迹方程为 ( )
A. x2 + y2 =1
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的离心率e=
2 ,四
2
个顶点组成的菱形的面积为8 2 ,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过☉O:x2+y2= 8
上任意点P作☉O的切线l与椭圆E交于点M,N,求证:
PM
·
3
PN
为定值.
解析 (1)由题意得2ab=8 2 ,e= c = 2 ,a2=b2+c2,
2
3
6
,
0
,∴
PM
=
0,
2
3
6
,
PN
=
0,
2
6 3
,
∴
高考数学专题练习——圆锥曲线(一)
两渐近线于 A， B 两点， 且与双曲线在第一象限的交点为 P， 设 O 为坐标原点， 若
uuur uur uuur
OP OA OB ( , R) ，
3 16 ， 则双曲线的离心率为（ ）
A． 2 3 3
B． 3 5 5
C. 3 2 2
9 D．
8
x2 y 2
24.设 F 为双曲线 C： a2
b2
1(a
OF
点在以原点 O 为圆心，
为半径的圆上， 则直线 PF 的斜率是 _______.
2
40.设抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点为 F ,已知 A， B 为抛物线上的两个动点， 且满足
AFB
60 ,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线
| MN | MN ,垂足为 N,则 | AB | 的最大值
构成以 A1A2 为斜边的直角三角形， 则双曲线离心率 e 的取值范围是（ ）
61
A ． ( 2,
)
2
61
C． (1,
)
2
51
B． ( 2,
)
2
51
D． (
,)
2
6.已 知过 抛物 线 y2 2 px( p 0) 的 焦点 F 的 直线 与抛 物线 交于 A ， B 两点 ， 且 uuur uuur AF 3FB ， 抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 C， AA1 l 于点 A1， 若四边形 AA1CF 的面
①曲线 C恰好经过 6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线 C上任意一点到原点的距离都不超过 ③曲线 C所围成的 “心形 ”区域的面积小于 3. 其中 ， 所有正确结论的序号是（ ）
2；
A. ①
2019届高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线之轨迹方程的求法
圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。
【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。
即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。
例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。
点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。
例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。
记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。
圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))
圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
精编新版2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考题(含标准答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．(2008全国2理)设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．(25)，D ．(22．(2005全国1理)已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为 （A ）23（B ）23（C ）26（D ）3323．(2005全国2文)抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为４，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）（A ）２ （B ）３（C ）４ （D ）５4．（2006）P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x－5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.95．（2004重庆理10）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ） A ．43B ．53C ．2D ．736．(2005福建理)已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+7．（2004全国1理7）椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．（2009全国卷Ⅱ理）已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =( )A.13 C. 23【解析】设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线 ()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , 由||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB ,则1||||2OB AF =, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为1(2)3k ∴==--, 故选D.二、填空题9． 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于B A ,两点，且OB OA ⊥(O 为坐标原点)，若椭圆的离心率]22,21[∈e ，则a 的最大值为_________. 10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________．11．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有A.+=4 B.+=2C.e 12+e 22=4 D.e12+e 22=212．双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为_________.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k = ．14．双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于___ ____。
最新精选2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考题(含参考答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．（2000全国11）过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ） A ．2a B ．a21 C ．4a D ．a4 2．（2006）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．43．在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）（2003京春文9，理5）二、填空题4．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率是 ☆5．椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k ＝ ．（2002天津理，14）6． 抛物线过直线 0x y += 与圆 2240x y y ++= 的交点，且关于y 轴对称，则此抛物线的方程为 ．B7．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是；分析：椭圆的基本量的应用，利用条件建立不等关系.3.8． 如图，在ABC ∆中， 30=∠=∠CBA CAB ，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ▲ .9．若双曲线经过点，渐近线方程是13y x =±，则这条双曲线的方程是 ▲ .10．设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22所围成的三角形区域(包括边界)为E ，P (x ，y )为该区域内的一动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________． 解析：由题知，双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，则其与直线x ＝22的交点为⎝⎛⎭⎫22，22和 ⎝⎛⎭⎫22，－22，所以可求得目标函数z ＝x －2y 的最小值为－22.11．命题p ：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过2F 作21PF F ∠的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值.类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线)0(12222>>=-b a by a x ，1F ，2F 是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过2F 作21PF F ∠的的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值.12．点M 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P,Q ，若△PQM 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_▲_．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心、右焦点、右顶点分别为O 、F 、A ，右准线与x 轴的交点为H ，则FAOH的最大值为 14．已知直线l 1：4x －3y ＋11＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是15．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为 2416．椭圆7x 2＋16y 2＝112的焦点坐标是________________.(3,0)±17．已知F 1、F 2是双曲线-y 2=1的两个焦点,P 在双曲线上,当△F 1PF 2的面积为1时,·的值为________________.【答案】 18．1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的动直线与双曲线相交于两点.（I ）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II ）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.19．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的________条件．20．已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于B A ,两点，且(OA OB O ⊥为坐标原点)，若椭圆的离心率]22,21[∈e ，则a 的最大值为 ． 21．经过点(30)，的直线l 与抛物线22x y =两个交点处的切线相互垂直，则直线l 的斜率k 等于________22．已知点(02)A ，,抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线与点B ，过B 做l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p =_________23．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为____________24．双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为_________. 三、解答题25．已知椭圆中心在原点，上顶点为(0,1)A ，右焦点为(1,0)F ，右准线为l ，l 与x 轴交于P 点，直线AF 交椭圆与点B ．（1）求椭圆的方程；（2）求证：PF 是APB ∠的平分线；（3）在l 上任意取一点Q ，求证：直线,,AQ FQ BQ 的斜率成等差数列．xy O ABF 1F 2 (第11题第19题图26．在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,右顶点为A ,直线BC 过原点O ,且点B 在x 轴上方,直线AB 与AC 分别交直线:1l x a =+于点,E F .（1）若点B ,求ABC ∆的面积；（2）若点B 为动点,设直线AB 与AC 的斜率分别为12,k k . ①试探究12k k ⋅是否为定值.若为定值，请求出值；若不为定值,请说明理由.②求AEF ∆的面积的最小值.27．（10分）如图，已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0），下顶点为A（0，﹣b ），直线AF 与椭圆的右准线交于点B ，与椭圆的另一个交点为点C ，若F 恰好为线段AB 的中点． （1）求椭圆的离心率；（2）若FC=，求椭圆的方程．28． （16分）椭圆22221(0)x y a b a y+=>>上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线//AB OM （1）、求椭圆的离心率e ；（2）、设Q 是椭圆上任意一点，2F 是右焦点，1F 是左焦点，求12FQF ∠的取值范围29．(本小题满分14分)已知椭圆1:C 22+=143x y ,其左准线为1l ，右准线为2l ，抛物线2C 以坐标原点O 为顶点，2l 为准线，2C 交1l 于,A B 两点.（1） 求抛物线2C 的标准方程； （2） 求线段AB 的长度.30．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过(M N 两点； (1）求椭圆的方程；(2）在椭圆上是否存在点P （x,y ）,使P 到定点A （a ,0）(其中9＜a ＜3)的距离的最小值为1？若存在，求出a 的值及点P 的坐标；若不存在，请给予证明（本小题满分14分）。
精编新版2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考试题(含答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．（1996全国文9）中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为21的椭圆方程是（ ） A ．3422y x +＝1 B ．4322y x +＝1C ．42x ＋y 2＝1 D ．x 2＋42y ＝12．椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =13．(2004安徽春季理)（3）已知F 1、F 2为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点；M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝600，则椭圆的离心率为（ ） （A ）21（B ）22 （C ）33 （D ）234．双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为A 、,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B 、2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、)二、填空题5．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上动点A 作水平直径所在直线的垂线AB ，垂足为点B ,若1,2AM AB =则点M 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 ．6．已知双曲线2222(0)mx my m -=≠的一条准线方程是1y =，则实数m = ．7．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___.8．直线x t =过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若原点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．9．如图，1F ，2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的两支分别交于点A ，B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为 ．10．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一条直线交抛物线于P Q 、两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+qp 11 ．11．过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = .12．已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研理科) 关键字：求离心率的取值范围；特殊法；解不等式 答案.D13．已知曲线C 1方程为x 2－y 28＝1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2方程为(x－3)2＋y 2＝1，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于 点B ，AB ＝3，则直线AB 的斜率为________．解析：如图，由题意可知，C 2为双曲线的右焦点，BA 为圆C 2 的切线，于是，AC 2＝1，AB ＝3，所以BC 2＝2，易知B 为双 曲线的右顶点，故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，由直线 AB 与圆C 2相切得|3k －k |k 2＋1＝1，又k >0，所以k ＝33.14．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足02e <≤，则长轴长的最大值等于________15．已知椭圆19822=++y a x 的离心率21=e ，则a 的值等于16．设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . （1998全国，16）17．双曲线16922y x -＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 . （2001全国，14）18．直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____.（2003上海春，4）三、解答题19．设椭圆C 1：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2：12-=x y 与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）设M （0，45-），N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值．答案: （Ⅰ）22154x y +=（Ⅱ）5试题分析：（Ⅰ）解：由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故b=2． 令y=0得210x -=即1x =±，则F 1(-1，0)，F 2（1，0），故c=1．所以2225a b c =+=．于是椭圆C 1的方程为22154x y +=．…………4分 （Ⅱ）设N （2,1t t -），由于'2y x =知直线PQ 的方程为：2(1)2()y t t x t --=-． 即221y tx t =--．……………………………5分代入椭圆方程整理得：222224(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=,222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ∆=+-++-=4280(183)t t -++,21225(1)15t t x x t ++=+ , 221225(1)204(15)t x x t +-=+,故12PQ x =-==．………………………………7分设点M 到直线PQ 的距离为d，则d ==9分所以，MPQ ∆的面积S 12PQ d =⋅21t +===5≤=………………11分 当3t =±时取到“=”，经检验此时0∆>，满足题意． 综上可知，MPQ ∆．…………………………12分 20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点为 )0,1(1-F ，)0,1(2F ， 左、右顶点分别为A ，B ，离心率为33，动点P 到1F ，2F 的距离的平方和为6．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若），（3,3C ，），（3,3D -，Q 为椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AQ ，BQ分别交直线CD 于点M ，N ． (i)当直线AQ 的斜率为21时，求AMN ∆ 的面积； (ii)求证：对任意的动点Q ，CN DM ⋅为定值．21．（本题满分16分） 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶ 在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．22．（本题满分15分）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，且211F F PF ⊥，314,3421==PF PF . （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.23．（本题满分14分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右顶点为21,A A ，上下顶点为21,B B ， 左右焦点为21,F F ，若211F B F ∆为等腰直角三角形 （1）求椭圆的离心率（2）若211A B A ∆的面积为62，求椭圆的方程24．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P . (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.25．已知焦点在x 轴上，中心在坐标原点的椭圆C 的离心率为45，且过点 （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 分别切椭圆C 与圆222:M x y R +=（其中35R <<）于A 、B 两点，求|AB|的最大值。
2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一)
2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一）1.设F 1，F 2为椭圆22143x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点.（1）求F 1，F 2的坐标；（2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值.2.已知椭圆2214x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B .（1）求△P AB 面积的最大值；（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围.3.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，定点()2,0M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且21MB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.4.已知椭圆C 的标准方程为2211612x y +=，点(0,1)E ．（1）经过点E 且倾斜角为3π4的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由．5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率e ，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是(1)求椭圆1C 与2C 的方程；(2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点.(i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；(ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.6.椭圆C 一个焦点为(1,0)F ，离心率e ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程式．（Ⅱ）定点(0,2)M ，P 为椭圆C 上的动点，求||MP 的最大值；并求出取最大值时P 点的坐标求．（Ⅲ）定直线:2l x =，P 为椭圆C 上的动点，证明点P 到(1,0)F 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数，并求出此常数值．7.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线l 的方程为x =（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点(1,0)B 作直线l 与椭圆C 交于点,P Q （异于椭圆C 的左、右顶点12,A A ）两点，设直线1PA 与直线2QA 相交于点M .①若(4,2)M ，试求点,P Q 的坐标； ②求证：点M 始终在一条直线上.8.设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.9.已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心离为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =． （Ⅰ）求m 的值．（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，记PMF △和PNF △的面积分别为1S 、2S ，求证：12||||S PM S PN =．10.已知常数0m >，向量(0,1)a =，(,0)b m =经过点(,0)A m ，以a b λ+为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ． （1）求点P 的轨迹方程，并指出轨迹E ．（2）若点(1,0)C，当m =M 为轨迹E 上任意一点，求||MC 的最小值．11.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得经MP ，MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．12.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线28x y =的准线上．Ⅰ求椭圆C 的标准方程．Ⅱ点P，(2,Q 在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点． （i ）若直线AB，求四边形APBQ 面积的最大值． （ii ）当A ，B 运动时，满足APQ BPQ =∠∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．13.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b=>>+过点(0,1)A -，且离心率e ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程．（Ⅱ）若椭圆M 上存在点B 、C 关于直线1y kx =-对称，求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上．14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b =>>+的离心率为12，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．若点00(,)M x y 在椭圆C上，则点00,x y N a b ⎛⎫⎪⎝⎭称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB △的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．15.已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，离心率e ，且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||3AB =，求直线l 的方程． （Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形MATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．16.已知一个动圆与两个定圆41)2(22=+-y x 和449)2(22=++y x 均相切,其圆心的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点F （0,2)做两条可相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与曲线C 交于A ,B 两点, l 2与曲线 C 交于C ,D 两点，线段AC ，BD 分别与直线2=x 交于M ，N 两点。
2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一)
2019-2020年高考数学大题专题练习圆锥曲线(一)2 21设F1, F2为椭圆7吕1的左、右焦点，动点P的坐标为(一1,m)，过点F2的直线与椭圆交于A, B两点•(1 )求F1 , F2的坐标；(2)若直线PA, PF2, PB的斜率之和为有整数值•2X 22•已知椭圆y 1 , P是椭圆的上顶点•过P作斜率为4k (k M0)的直线I交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B.(1 )求厶PAB面积的最大值；(2)设线段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围3•已知椭圆C2 2a2+b y2=1(a>b>0)的离心率为，定点M (2,0)，椭圆短轴的端点是B , B2，且MB1 MB2•(1)求椭圆C的方程；(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A, B两点，试问x轴上是否存在定点P , 使PM平分Z APB ?若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由•2 2x_ 乂1 4•已知椭圆C的标准方程为16 12，点E(0,1).3n(1)经过点E且倾斜角为一的直线I与椭圆C交于A、B两点，求|AB| .4(2)问是否存在直线P与椭圆交于两点M、N且|ME | |NE |，若存在，求出直线P斜率的取值范围；若不存在说明理由.5•椭圆G与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率e= ，并2 且C2的短轴为G的长轴，G与C2的四个焦点构成的四边形面积是 2 2 •(1)求椭圆G与C2的方程；⑵设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆G长轴两个顶点A , B的连线PA , PB分别与椭圆G交于E , F点•(i) 求证：直线PA , PB斜率之积为常数；(ii) 直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由•6•椭圆C 一个焦点为F(1,°)，离心率(I)求椭圆C的方程式.(n )定点M(0,2) , P为椭圆C上的动点，求|MP|的最大值；并求出取最大值时P点的坐标求.(川)定直线l：x 2 , P为椭圆C上的动点，证明点P到F(1,0)的距离与到定直线I的距离的比值为常数，并求出此常数值.7•如图，已知椭圆0)的右准线I的方程为xr-，焦距为2「3. 3(1)求椭圆C的方程;(2)过定点B(1,0)作直线I与椭圆C交于点P,Q (异于椭圆C的左、右顶点A,A2)两点，设直线PA,与直线QA2相交于点M .①若M (4,2)，试求点P,Q的坐标;②求证：点M始终在一条直线上2 28•设椭圆丰专1(a 3)的右焦点为F ,右顶点为A ,已知(I)求椭圆的方程;(n)设过点 A 的直线I 与椭圆交于点 B ( B 不在x 轴上)，垂直于I 的直线与I 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ，且 MOA MAO ，求直线l 的斜率的取值范围2 2X y9•已知椭圆C:1的右焦点为F ,右顶点为A ，离心离为e ，点P(m,0)(m16 12|AP| (I)求m 的值.(n)设过点F 的直线I 与椭圆C 相交于M 、N 两点，记△ PMF 和A PNF 的面积分别为r r与经过点B( m,0)，以b 4a 为方向向量的直线交于点 P ，其中 R . (1 )求点P 的轨迹方程，并指出轨迹E .(2)若点C(1,0)，当m 2 2时，M 为轨迹E 上任意一点，求| MC |的最小值.1 1 |OT| foAi，其中0为原点，e 为椭圆的离心率|FA|4)满足S 、5，求证:51 | PM | 52 |PN |10•已知常数m r a尾向O\17(m,0)经过点A(m,O)，以a b 为方向向量的直线11.已知椭圆的中心在坐标原点°，焦点在X轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F与X轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点.(I )求椭圆的方程.(n)当直线I的斜率为1时，求△ POQ的面积.(川)在线段°F上是否存在点M (m,0)，使得经MP , MQ为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.12.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于2，它的一个顶点恰好在抛物线X 8y的准线上.I求椭圆C的标准方程.n点P(2,「3) , Q(2, , 3)在椭圆上，A , B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.⑴若直线AB的斜率为乜，求四边形APBQ面积的最大值.6(ii)当A , B运动时，满足/ APQ / BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.(I)求椭圆M 的方程.(H)若椭圆 M 上存在点B 、C 关于直线y kx 1对称，求k 的所有取值构成的集合 S ,并证明对于 k S ，BC 的中点恒在一条定直线上.(1 )求椭圆C 的标准方程.定值；若不为定值，说明理由.(。
2019年高考圆锥曲线部分大题解析
2019年高考圆锥曲线部分大题解析1.已知点P在抛物线C:y^2=4x的y轴左侧（不含y轴）一点，且存在不同的两点A、B满足PA、PB的中点均在C上。
1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；对于抛物线C:y^2=4x上的动点P(x,y)，求△PAB面积的取值范围。
2）若P是半椭圆x^2/4+y^2/16=1上的一点，解析：（1）设P(x,y)，A(y1^2/4,y1)，B(y2^2/4,y2)。
由于PA、PB的中点均在C上，因此有：PA: y^2-2yy1+4x-y1^2=0PB: y^2-2yy2+4x-y2^2=0解得y1+y2=2y，y1y2=8x-y^2.因此，PM的斜率为(y1-y2)/(y/2-x)=2(y1-y2)/(y-4x)，而C的导数为dy/dx=2/y，因此PM与C的切线垂直，即PM垂直于y轴。
2）由(1)可知y1+y2=2y，y1y2=8x-y^2.因此，|PM|=1/2√(y1+y2)^2/4-(y/2-x)^2=y^2/2-3x，|y1-y2|=2√(y1y2)=2√(8x-y^2)。
因此，|PM|·|y1-y2|=1/2(y-4x)^2/3，因此△PAB的面积范围为[6√2,15/√2]。
2.已知斜率为k的直线l与椭圆C: 4x^2/3+y^2/4=1交于A、B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0)。
1）证明：k<-1/2；2）设F为C的右焦点，P为C上一点且FP+FA+FB=0，证明：FP、FA、FB为等差数列，并求出该数列的公差。
解析：（1）由中点弦公式k=-2m/(4/3)=-(3/2)m，因此k<-1/2.2）由题意知FA+FB=2FM，FP=-2FM，因此P(1,-2m)。
因为点P在椭圆上，代入可得m=3，k=-1/2，即|F P|=2/√5.根据第二定义可知，|FA|=2-2x1/√(16-9x1^2)，|FB|=2-2x2/√(16-9x2^2)，|FA|+|FB|=4-(x1+x2)/√(16-9x1^2)(16-9x2^2)。
精编2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考题(含答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．(2008重庆理)已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e ,则双曲线方程为（A ）22x a －224y a =1(B)222215x y a a-=(C)222214x y b b-=(D)222215x y b b-=2．（2010浙江文数）（10）设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为（ ）（A ）x （B ±y=0（C ）x =0 （D ±y=03．（2000上海春13）抛物线y =－x 2的焦点坐标为（ ） A ．（0，41） B ．（0，－41）C ．（41，0） D ．（－41，0） 4．（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为 ( ) m A ．65 B. 75 C. 58 D. 95【解析】设双曲线22221x y C a b-=：的右准线为l ,过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为,知直线AB 的倾斜角16060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=, 由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-11||(||||)22AB AF FB ==+.又15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴= .5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）221205x y +=二、填空题6．已知双曲线1922=-my x 的一个焦点在圆05422=--+x y x 上，则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．7．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F 2，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则此椭圆的离心率e 的取值范围是 ．8．设圆C 位于抛物线22y x =与直线3x =所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为 (2011年高考重庆卷理科15)9．抛物线24x y =的焦点坐标是 .10．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若AM ＝MB ，则该椭圆的离心率为________． 解析：A 点坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐 标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝2b 2，∴e ＝63.11．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是直角三角 形，则该双曲线的离心率是________．解析：将x ＝－c 代入双曲线方程得A ⎝⎛⎭⎫－c ，±b 2a .由△ABE 是直角三角形得b2a ＝a ＋c ，即 a 2＋ac ＝b 2＝c 2－a 2，整理得c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2(－1舍去)．12．设平面区域D 是由双曲线1422=-x y 的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为_______.13． 椭圆12222=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为,M N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ．14．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y x =，且该双曲线与椭圆13622=+y x 有共同的焦点，则双曲线的方程为 ．15．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且位于x轴上方．若点P 到坐标原点O 的距离为F 、O 、P 三点的圆的方程是 ▲ ．16． 已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率 ． 17．如右图：设椭圆()012222>>=+b a by a x 的左，右两个焦点分别为21,F F ，短轴的上端点为B ，短轴上的两个三等分点为Q P ,，且Q PF F 21为正方形，若过点B 作此正方形的外接圆的切线在x 轴上的一个截距为423-，则此椭圆方程的方程为 ▲ ．18．圆锥曲线G 的一个焦点是F ，与之对应的准线是l ，过F 作直线与圆锥曲线G 交于A 、B 两点，以AB 为直径作圆M ，圆M 与l 的位置关系决定G 是何种曲线之间的关系是：19．双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ．20．过点M(p,0)任作一条直线交抛物线y 2=2px(p ＞0)于P 、Q 两点,则+的值为A. B. C.D.【答案】21．若椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是 ▲_ 22．椭圆22132x y +=的焦点坐标为 ▲ . 23．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1， B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ，则双曲线的离心率e ＝ ▲ .24．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线l ，直线l 与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是 ▲ ． 答案： 5 三、解答题25．（1）已知圆222:(0)S x y a a +=>，直线11:l y k x p =+交圆S 于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于E 点，若121k k ⋅=-，证明：E 是CD 的中点；（2）已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>，直线11:l y k x p =+交椭圆T 于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于E 点，若2122b k k a⋅=-．问E 是否是CD 的中点，若是，请给出证明；若不是，请说明理由．26．如图，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m .圆D ：02322=--++y x y x .（1）若圆D 过,A F 两点，求椭圆C 的方程； （2）若直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；（3）在（1）的条件下，若直线m 与x 轴的交点为K ，将直线m 绕K 顺时针旋转4π得直线l ，动点P 在直线l 上，过P 作圆D 的两条切线，切点分别为M 、N ，求弦长MN 的最小值.27．设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点.（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.28．（本小题满分16分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右两焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上一点，且在x 轴上方，212,PF F F ⊥ 2111,,32PF PF λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.（1）求椭圆的离心率e 的取值范围；（2）当e 取最大值时，过12,,F F P 的圆Q 的截y 轴的线段长为6，求椭圆的方程； （3）在（2）的条件下，过椭圆右准线l 上任一点A 引圆Q 的两条切线，切点分别为,M N .试探究直线MN 是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．29．平面内与两定点12(,0),(,0)(0)->A a A a a 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1、A 2两点所在所面的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. (Ⅰ)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C 1：对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，对应的曲线为C2， 设F 1、F 2是C 2的两个焦点，试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面积2S m a =，若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由. (2011年高考湖北当10m -<<时，曲线C 的方程为22221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当0m >时，曲线C 的方程为22221x y a ma-=，C 是焦点在x 轴上的双曲线. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1m =-时，C 1的方程为222x y a +=； 当(1,0)(0,)m ∈-+∞时，C 2的两个焦点分别为1(F -，2(F . 对于给定的(1,0)(0,)∈-+∞m ，C 1上存在点000(,)(0)≠N x y y 使得2=S m a 的充要条件是22200020,0, 12 2x y a y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩①②由①得00y a <≤，由②得0y =，当0a <≤，即102m ≤<，或102m +<≤时， 存在点N ，使2S m a =：a >，即112m -<<，或12m +>时，不存大满足条件的点N.当150,m ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦时，由100(,)NF x y =--，200(,)NF x y =-， 可得22221200(1)NF NF x m a y ma ⋅=-++=- 令1122,NF r NF r ==，12F NF θ∠=,则由21212cos NF NF rr ma θ⋅==-，可得212cos ma r r θ=-， 从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-，于是由2S m a =， 可得221tan 2ma m a θ-=，即2tan m m θ=-， 综上可得：当1,02m ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，在C 1上，存在点N ，使得2S m a =，且12tan 2F NF =;当10,2m ⎛+∈ ⎝⎦时，在C 1上，存在点N ，使得2S m a =，且12tan 2F NF =-;当15,m ⎡⎛⎤+∈-+∞ ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦时，在C 1上，不存在满足条件的点N. 30．已知椭圆如图8—11，162422y x +＝1，直线L ：812yx +＝1，P 是L 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2.当点P 在L 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （1995全国理，26）。
2019届高三数学圆锥曲线大题训练
2019届高三数学圆锥曲线大题训练1、设双曲线：13222=-x ay 的焦点为1F ,2F .离心率为. （1）求此双曲线渐近线1l ,2l 的方程；（2）若A ,B 分别为1l ,2l 上的动点，且2215F F AB =,求线段AB 中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
2、抛物线24y x =上有两个定点A 、B 分别在对称轴的上下两侧，F 为抛物线的焦点，并且|FA|=2，|FB|=5，在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△PAB 的面积最大，并求这个最大面积.3、如图：直线L ：1y mx =+与椭圆C ：222(0)ax y a +=>交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB 。
（1） 求证：椭圆C ：222(0)ax y a +=>与直线L ：1y mx =+总有两个交点。
（2） 当2a =时，求点P 的轨迹方程。
（3）是否存在直线L ，使OAPB 为矩形？若存在，求出此时直线L 的方程；若不存在，说明理由。
4、已知圆锥曲线1C 的一个焦点为F （1，0），对应这个焦点的准线方程为1x =-，又曲线过(P ，AB 是过F 的此圆锥曲线的弦；圆锥曲线2C中心在原点，其离心率e =，一条准线的方程是1y e=。
（1）求圆锥曲线1C 和2C 的方程。
（2）当AB 不超过8，且此弦所在的直线与圆锥曲线2C 有公共点时，求直线AB 的倾斜角θ的取值范围。
5、正方形的一条边AB 在直线y=x+4上，顶点C 、D 在抛物线y 2=x 上，求正方形的边长.6、如图，已知点(10)F ，， 直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；圆锥曲线大题参考答案1、解：（1）由已知双曲线的离心率为2得：232=+aa 解得a 2=1,所以双曲线的方程为 1322=-x y ，所以渐近线L 1,L 2的方程为03=-x y 和3x y +＝0（2）c 2＝a 2＋b 2＝4，得c ＝2 ，所以4221==c F F ，又2215F F AB =所以AB =10设A 在L 1上，B 在L 2上，设A （x 1 ，)31x ，B(x 2，－)32x所以10)33()(221221=++-x x x x 即10)(31)(221221=++-x x x x设AB 的中点M 的坐标为（x ，y ），则x ＝221x x +，y ＝3221x x - 所以x 1＋x 2＝2x ， x 1－x 2＝23y所以10431)32(22=⨯+x y 整理得：12537522=+y x 所以线段AB 中点M 的轨迹方程为：12537522=+y x ，轨迹是椭圆。
2020年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版) 圆锥曲线综合(解析版)
专题 圆锥曲线综合【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若，求|AB |．【答案】（1）3728y x =-；（2【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r可得123y y =-． 由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．323AP PB =u u u r u u u r故||AB =． 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】（1）2y x =-2y x =-；（2）见解析. 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为或(1,，所以AM 的方程为2y x =-+2y x =． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+．从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．【母题来源三】已知椭圆C ：22221()0x y a b a b +=>>，四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–1，P 4（1）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故C 的方程为2214x y +=．（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t），（t，．则1222122k k t t +=-=-，得2t =，不符合题设，从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）． 将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+．而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=，即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-， 当且仅当1m >-时0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．【命题意图】（1）了解椭圆或抛物线的实际背景，了解椭圆或抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆或抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）了解圆锥曲线的简单应用. （4）理解数形结合的思想. 【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. 【方法总结】（一）求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且. （二）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. （三）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． （3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（四）圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．【河北省保定市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知抛物线E ：28y x =，直线l ：4y kx =-. （1）若直线l 与抛物线E 相切，求直线l 的方程；（2）设(4,0)Q ，0k >，直线l 与抛物线E 交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，若存在点C ，使得四边形OACB 为平行四边形（O 为原点），且AC QC ⊥，求2x 的取值范围. 【答案】（1）142y x =--；（2）201)x <≤. 【解析】（1）由248y kx y x=-⎧⎨=⎩得228(1)160k x k x -++=，由0k ≠及2264(1)640k k ∆=+-=，得12k =-. ∴所求的切线方程为142y x =--. （2）由248y kx y x=-⎧⎨=⎩得228(1)160k x k x -++=， 2264(1)640,k k ∆=+->Q 且0k ≠，12k ∴>-，1228(1),k x x k+∴+= ∴12128()8y y k x x k+=+-=， ∵四边形OACB 为平行四边形，1212=(,)OC OA OB x x y y ∴+=++u u u r u u u r u u u r 28(1)8(,)k kk+=，即C 28(1)8(,)k kk+， ∵AC QC ⊥，0QC AC ∴⋅=u u u r u u u r，又222228(1)8(4,),(,)(,4)k QC AC OB x y x kx k k +=-===-u u u r u u ur u u u r 2228(1)8[4](4)0k QC AC x kx k k +∴⋅=-+-=u u u r u u u r ，即2822k x k =++， ∵0k >，∴2821)x ≥=，当且仅当k =此时，201)x <≤.【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，根与系数关系的应用，也考查平行四边形的性质、数量积和不等式的运算，属于中档题.（1）由248y kx y x =-⎧⎨=⎩得228(1)160k x k x -++=，由题意得00k ≠⎧⎨∆=⎩，解出k 即可.（2）由四边形OACB 为平行四边形，得1212=(,)OC OA OB x x y y +=++u u u r u u u r u u u r，利用根与系数的关系得点C ，又由AC QC ⊥，0QC AC ⋅=u u u r u u u r，通过数量积和不等式的运算，求出2x 的范围即可.2．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试数学试题】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C，且离心率为2. （1）求椭圆E 的方程； （2）若直线1:3l y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，是否存在常数λ，使∠∠AMC ABC =⋅λ恒成立，并说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在. 【解析】（1）由题意知1b =，2c a =. 又因为222a b c =+，所以解得a =所以椭圆方程为2212x y +=.（2）存在常数λ，使∠∠AMC ABC =⋅λ恒成立. 理由如下：由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160k x kx +--=，且>0∆. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221221291816918k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，又因为()11,1CA x y =-u u u r ，()22,1CB x y =-u u u r，()()()()2121212121212444161113339CA CB x x y y x x kx kx k x x k x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+--=+-++⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ()22216412161091839189k k k k k -=+-⋅+=++， 所以CA CB ⊥u u u r u u u r . 因为线段AB 的中点为M ，所以MC MB =， 所以2AMC ABC ∠=∠.所以存在常数2=λ，使∠∠AMC ABC =⋅λ恒成立.【名师点睛】本题主要考查求椭圆的方程以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程与椭圆的简单性质即可，属于常考题型.（1）根据题意得到1b =，2c a =，求出a = （2）先由题意判断出结果，再证明，联立直线与椭圆方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，根据根与系数的关系，以及向量数量积运算，得到0CA CB ⋅=u u u r u u u r，进而可得出结果.3．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学试题】已知△ABC 的周长为6，B ，C 关于原点对称，且(1,0)B -，点A 的轨迹为Γ. （1）求Γ的方程；（2）若(2,0)D -，直线l ：(1)(0)y k x k =-≠与Γ交于E ，F 两点，若1DE k ，k λ，1DFk 成等差数列，求λ的值.【答案】（1）()221243x y x +=≠±；（2）2. 【解析】（1）依题意，(1,0)B -，(1,0)C ，故2BC =， 则42AB AC BC +=>=，故点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），故Γ的方程为221(2)43x y x +=≠±.（2）依题意，112DE DF kk k ⋅=+λ，故2DE DFk kk k =+λ. 联立22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，整理得()22223484120k x k x k +-+-=. 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，则2122834k x x k+=+，212241234k x x k -=+. 故()()121222DE DF k x k x k kk k y y +++=+ ()()()()12122211k x k x k x k x ++=+--1233211x x =++-- ()()()121232211x x x x +-=+--()()1212123221x x x x x x +-=+-++222222832342412813434k k k kk k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--+++ ()2222238682412834k k k k k--=+--++2242=+==λ，则2=λ.【名师点睛】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力、推理论证能力. （1）由椭圆定义得轨迹方程即可； （2）依题意得112DE DF kk k ⋅=+λ，得2DE DF k k k k =+λ，联立22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩消去y ，整理()()121222DE DF k x k x k kk k y y +++=+结合根与系数关系得λ的值即可. 4．【安徽省泗县第一中学2019届高三高考最后一模数学试题】已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆上一点P的坐标为2⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1625. 【解析】（1）由已知c e a ==又222a b c =+，则2a b =.∴椭圆方程为222214x y b b +=，将)2代入方程得1b =，2a =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）不妨设直线AB 的方程为x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -⋅=+，①又以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0)C ， ∴0CA CB ⋅=u u u r u u u r，由11(2,)CA x y =-u u u r ，22(2,)CB x y =-u u u r得()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式得()()2212121(2)(2)0k y y k m y y m ++-++-=，将①代入上式求得65m =或2m =（舍）， 则直线l 恒过点6(,0)5D .∴1211||22△ABCS DC y y =-== 设211(0)44t t k=<≤+，则△ABC S =1(0,]4t ∈上单调递增， 当14t =时，△ABC S 取得最大值1625. 【名师点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆相交的弦长公式，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积最大值的求法，运算量较大，属于中档题.（1）将P 点坐标代入椭圆方程，结合椭圆的离心率列方程，解方程求得,a b 的值，由此求得椭圆方程. （2）设直线AB 的方程为x ky m =+，联立直线AB 的方程和椭圆的方程，消去x ，得到关于y 的一元二次方程，写出根与系数关系，根据0CA CB ⋅=u u u r u u u r列方程，解方程求得m 的值.由此判断出直线l 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，由121||2△ABC S DC y y =-求得三角形面积的表达式，利用换元法，结合二次函数的单调性，求得三角形面积的最大值.5．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019()2222:10x y C a b a b+=>>过点2⎫⎪⎪⎭，,A B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，点P 在椭圆C 上且不与四个顶点重合． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线PA 与y 轴交于N ，直线PB 与x 轴交于M ，试探究AM BN ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）AM BN ⋅是定值，定值为4. 【解析】（1）由题意得：2222222112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2241a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）Q 点P 不与四个顶点重合，∴直线,PA PB 的斜率存在且不为0，设()00,P x y ，且()2,0A ，()0,1B ，∴直线PA 的方程为：()0022y y x x =--，则0020,2y N x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 直线PB 的方程为：0011y y x x -=+，则00,01xM y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 2200000000000000244448211222x y x y x y x y AM BN y x x y x y +++--∴⋅=+⋅+=----+，P Q 在椭圆上，220044x y ∴+=.0000000000000000844822442222x y x y x y x y AM BN x y x y x y x y +----+∴⋅==⨯=--+--+.4AM BN ∴⋅=，为定值.【名师点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题的求解.解决定值类问题的关键是将所求量利用变量进行表示，通过变量间的关系进行化简、消元，从而整理出所求的定值.（1）根据离心率、点⎭在椭圆上和222a b c =+建立方程组，解方程求得结果，从而得到椭圆方程；（2）设()00,P x y ，从而可得,PA PB 方程，求得,M N 的坐标，从而可得AM BN ⋅，根据点()00,P x y 在椭圆上得到220044x y +=，代入AM BN ⋅整理可得定值.6．【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模数学试题】如图，椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，直线n ：x ＝4与x 轴相交于点E ，点M 在直线n 上，且满足BM ∥x 轴．（1）当直线l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）证明：直线AM 经过线段EF 的中点． 【答案】（1）直线AM 的方程为y ＝－x ＋52或y ＝x －52；（2）见解析. 【解析】（1）由c＝1，得F (1，0)， ∵直线l 与x 轴垂直， ∴x ＝1，由221143x x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：113322或x x y y ==⎧⎧⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩， 当点A 坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 坐标为34,2⎛⎫-⎪⎝⎭， 此时直线AM 的斜率为33()22114--=--，∴直线AM 的方程为31(1)2y x -=-⋅-，即y ＝－x ＋52；当点A 坐标为31,2⎛⎫-⎪⎝⎭，则点M 坐标为34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时直线AM 的斜率为33()22141--=-，∴直线AM 的方程为31(4)2y x -=⋅-，即y ＝x －52. 故直线AM 的方程为y ＝－x ＋52或y ＝x －52.（2）当AB 直线方程为0y =时，直线BM 与x 轴重合，不满足题意； 故可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得3(my ＋1)2＋4y 2＝12，即(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由根与系数关系可得，y 1＋y 2＝2634m m -+，y 1y 2＝2934m -+， ∵EF 的中点N 502，⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M (4，y 2)， ∴NA u u u r ＝11112533,,,,222x y my y NM y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u u r ，∵132my ⎛⎫-⎪⎝⎭×y 2－32y 1＝my 1y 2－32(y 1＋y 2)＝2934m m -+－32×2634m m -+＝0. ∴∥NA NM u u u r u u u u r， 故A ，N ，M 三点共线，所以直线AM 经过线段EF 的中点.【名师点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系问题，直线与圆锥曲线问题常见解法是借助根与系数的关系，将多元问题转化为少元（单元）问题，属于中档题.（1）由直线l 与x 轴垂直，可得直线l 的方程，从而求解出点、A B 的坐标，由BM ∥x 轴可得M 点坐标，从而得出直线AM 的方程；（2）要证直线AM 经过线段EF 的中点N ，即证A ，N ，M 三点共线，即证∥NA NM u u u r u u u u r，设出、A B 两点，联立直线与椭圆的方程，借助根与系数关系，从而得证.7．【湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测（二模）数学试题】已知抛物线()2:20E y px p =>经过点()1,2A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线1x =对称. （1）求抛物线E 的方程及准线方程；（2）设直线12,l l 分别交抛物线E 于、B C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.【答案】（1）24y x =；准线方程为1x =-；（2）10x y +-=.【解析】（1）∵抛物线E 过点()1,2A ， ∴24p =，解得2p =，∴抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．（2）方法一：不妨设B 在C 的左边，从而可设直线AB 的方程为()12(0)x m y m -=->，即21x my m =-+，由2214x my m y x=-+⎧⎨=⎩消去x 整理得24840y my m -+-=． 设(),B B B x y ，则24B y m +=，故42B y m =-，∴2441B x m m =-+，∴点()2441,42B m m m -+-．又由条件得AB 与AC 的倾斜角互补，以m -代替点B 坐标中的m ， 可得点()2441,42C m m m ++--．∴BC ==，且BC 中点的横坐标为2412B Cx x m +=+， ∵以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，∴24112BC m ++==，解得2m =∴()32B --，()32C +-， ∴1BC k =-，∴直线BC 的方程为()(23y x -=--+，即10x y +-=． 方法二：设()()1122,,,B x y C x y ， 因为直线12,l l 关于1x =对称，所以AB 与AC 的倾斜角互补， 所以12122212121222224411221144AB AC y y y y k k y y x x y y ----+=+=+=+=--++--， 所以124y y +=-，所以1212221212124144BC y y y y k y y x x y y --====--+-． 设直线BC 的方程为y x m =-+，由24y x m y x=-+⎧⎨=⎩消去y 整理得()22240x m x m -++=， 所以2121224,x x m x x m +=+=，所以12BC x =-=BC 中点D 的横坐标为1222x x m +=+． 因为以线段BC 为直径的圆与抛物线的准线1x =-相切， 所以12122BC x x ++=，即3m +=1m =，所以直线BC 的方程为1y x =-+，即10x y +-=．【名师点睛】由于在解答圆锥曲线问题中需要涉及大量的计算，所以在解题时要注意“设而不求”、“整体代换”等方法的利用，另外还应注意巧设直线的方程，以达到简化运算的目的，考查直线和圆锥曲线的位置关系及计算能力，属于中档题．（1）将点()1,2A 坐标代入曲线方程求出2p =，于是可得曲线方程．（2）方法一：由题意设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立消元后，根据根与系数的关系求出点B 的坐标，同理得到点C 的坐标，然后根据以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切可求得点,B C 中的参数，进而可得所求方程．方法二：由题意得AB 与AC 的倾斜角互补，由此可得1BC k =-，于是可设直线BC 的方程为y x m =-+，与曲线方程联立消元后，再根据题意求得参数m ，进而得到直线方程． 8．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学试题】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F与椭圆22143x y +=的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M .（1）求抛物线的标准方程； （2）求AB MF的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）2.【解析】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为()1,0， ∴抛物线的焦点为()1,0F ， ∴2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =.（2）①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时，易得：24AB p ==，2MF =，2AB MF=.②当动弦AB 所在直线的斜率存在时，易知AB 的斜率不为0. 设AB 所在直线方程为()1y k x =-，且()11,A x y ，()22,B x y .联立方程：()241y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222220k x k x k -++=，∴()212222k x x k ++=，121x x ⋅=，()21610k ∆=+>，∴12AB x =-=()2241k k +=. ∵FM 所在的直线方程为()11y x k =--，联立方程()111y x kx ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，得点21,M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴MF == ∴()22412k AB MF+==>，综上所述：ABMF的最小值为2.【名师点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．。
2019年高考试题汇编理科数学--圆锥曲线
(2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =，||||1BF AB =，则C 的方程为（ ）A.1222=+y xB. 12322=+y xC.13422=+y xD.14522=+y x答案： B解答：由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又 ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 21=，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程12222=+by a x ，得32=a ，2222=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12322=+yx . (2019全国1)16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =⋅=，则C 的离心率为 . 答案：2解答：由112,0F A AB F B F B =⋅=知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，221()1tan 602b e a=+=+︒=.(2019全国1) 19.已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程； （2）若3=，求||AB . 答案：（1）07128=+-x y ；（2）3134. 解答：（1）设直线l 的方程为b x y +=23，设),(11y x A ，),(22y x B ， 联立直线l 与抛物线的方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy b x y 3232消去y 化简整理得0)33(4922=+-+b x b x ，0494)33(22>⨯--=∆b b ，21<∴b ，9)33(421b x x -⨯=+，依题意4||||=+BF AF 可知42321=++x x ，即2521=+x x ，故259)33(4=-⨯b ，得87-=b ，满足0>∆，故直线l 的方程为8723-=x y ，即07128=+-x y .（2）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy b x y 3232消去x 化简整理得0222=+-b y y ，084>-=∆b ，21<∴b ，221=+y y ，b y y 221=， 3=，可知213y y -=，则222=-y ，得12-=y ，31=y ，故可知23-=b 满足0>∆， ∴3134|13|941||11||212=+⨯+=-⋅+=y y k AB . （2019全国2）8. 若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ） A.2 B.3 C.4 D.8 答案：D 解答：抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±，∴p p22=，∴8=p .（2019全国2）11. 设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若||||PQ OF = ，则C 的离心率为（ ） A.2 B.3 C.2 D.5 答案:A解答：∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=, 又||||OP OQ a ==，∴222a a c +=解得2ca=，即2e =.（2019全国2）21. 已知点(2,0),(2,0)A B -，动点(,)M x y 满足直线AM 和BM 的斜率之积为12-，记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .①证明：PQG ∆是直角三角形； ②求PQG ∆的面积的最大值. 答案： 见解析 解答：(1)由题意得：1222y y x x ⋅=-+-，化简得： 221(2)42x y x +=≠±，表示焦点在x 轴上的椭圆（不含与x 轴的交点）.(2) ①依题意设111100(,),(,),(,)P x y Q x y G x y --，直线PQ 的斜率为k (0)k > ，则101010101010,PG GQ y y y y y y k k x x x x x x ---+===---+，∴2210221012PG GQy y k k x x -⋅==--， 又1111122GQ EQ y y kk k x x x -====--，∴1PG k k=-， ∴PG PQ ⊥，即PQG ∆是直角三角形.②直线PQ 的方程为(0)y kx x =>，联立22142y kx x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得12122121x k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ ， 则直线21111111111:()k PG y x x y x x kx x x k k k k k +=--+=-++=-+， 联立直线PG 和椭圆C ，可得222221122224(1)2(1)(1)40x k x k x x k k k +++-+-=， 则211024(1)2x k x x k ++=+，∴2111012114(1)()222PQGx k S y x x kx k ∆+=+=⋅+ 2222422218()8(1)8(1)1(2)(21)2522()5k k k k k k k k k k k k +++===++++++， 令1t k k=+，则2t ≥，∴2288812(2)5212PQG t t S t t t t∆===-+++， ∵min 19(2)2t t+=， ∴max 16()9PQG S ∆=. （2019全国3）10.双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线的点，O 为坐标原点.若||||PO PF =则PFO ∆的面积为（ ）A: 4B:2C:D:答案: A解析：由双曲线的方程22042x y -=可得一条渐近线方程为2y x =；在PFO ∆中||||PO PF =过点P 做PH 垂直OF因为tan ∠得到PO =;所以12S PFO ∆==;故选A;（2019全国3）15.设1F、2F 为椭圆1203622=+y x C ：的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则M 的坐标为________.答案：)15,3(解析：已知椭圆1203622=+y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ∆中8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ,415828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入1203622=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(.（2019全国3）21.已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点.过D 作C 的两条切线,切点分别是A ,B ,（1）证明：直线AB 过定点;（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积. 答案：见解析； 解答：（1）当点D 在1(0,)2-时，设过D 的直线方程为012y k x =-，与曲线C 联立化简得 20210x k x -+=，由于直线与曲线相切，则有20440k ∆=-=，解得01k =±，并求得,A B 坐标分别为11(1,),(1,)22-，所以直线AB 的方程为12y =； 当点D 横坐标不为0时，设直线AB 的方程为y kx m =+（0k ≠），由已知可得直线AB 不过坐标原点即0m ≠，联立直线AB 方程与曲线C 的方程可得，22y kx mx y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，消y 并化简得2220x kx m --=，∵有两个交点∴2480k m ∆=+>， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理有，122x x k +=，122x x m =-，由已知可得曲线C 为抛物线等价于函数2()2x f x =的图像，则有()f x x '=，则抛物线在11(,)A x y 上的切线方程为111()y y x x x -=-①， 同理，抛物线在22(,)B x y 上的切线方程为222()y y x x x -=-②， 联立①，②并消去x 可得122112y y y y x x x x ---=-， 由已知可得两条切线的交点在直线12y =-上，则有 22122112112222x x x x x x -----=-，化简得，12212112(1)()2x x x x x x x x --=-，∵0k ≠，∴12x x ≠，即1212112x x x x -=，即为2114m m --=-，解得12m =，经检验12m =满足条件，所以直线AB 的方程为12y kx =+过定点1(0,)2， 综上所述，直线AB 过定点1(0,)2得证.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y kx =+，当0k =时，即直线AB 方程为12y =，此时点D 的坐标为1(0,)2-，以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切于1(0,)2F 恰为AB 中点，此时1123322ADBE S AB ED =⋅=⨯⨯=；当0k ≠时，直线AB 方程与曲线方程联立化简得2210x kx --=，122x x k +=，121x x =-，21221y y k +=+，则AB 中点坐标为21(,)2H k k +，由已知可得EH AB ⊥，即2152210EH k k k k k +-⋅=⋅=--， 解得，1k =±，由对称性不妨取1k =，则直线方程为12y x =+， 求得D 的坐标为1(1,)2-，4AB =，E 到直线AB距离1d ==D 到直线AB距离2d ==则121122ADBE S AB d AB d =⋅+⋅=， 综上所述，四边形ADBE 的面积为3或（2019北京）4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.（2019北京）18.已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程：24x y =-，其准线方程为：1y =.(Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ONx x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（2019天津）5.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF=（O 为原点），则双曲线的离心率为C. 2 【答案】D 【解析】 【分析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
(完整)2019-2020年高考数学专题练习——圆锥曲线(一)
2019-2020年高考数学专题练习——圆锥曲线（一）一、选择题1.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且斜率为13的直线与双曲线的两渐近线分别交于点A ，B ，并且22F A F B =,则双曲线的离心率为( ）A ．2BC.2D2.设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足：120MAN ∠=o，则该双曲线的离心率为（ ）A ．73B ．3C ．3D ．33.双曲线()22220,01x y a ba b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是（ ）A B ． C. 2 D 14.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点, 若3PF MF =u u u r u u u u r，则MN =（ ）A ．163B ．8C ．16 D5.知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，A 1、A 2是实轴顶点，F 是右焦点，(0,)B b 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得()121,2i PA A i ∆=构成以A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．1)2B ．1)2C ．D ．)+∞6.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =u u u r u u u r，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，1AA l ⊥于点1A ，若四边形1AA CF 的面积为l 的方程为A ．x =B ．x =-C ．2x =-D ．1x =-7.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90°的正角.已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A ．[0,]6πB ．[,]63ππC ．[,]43ππD ．[,]32ππ8.已知直角坐标原点O 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的中心，F 1，F 2为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b +=-没有交点”的概率为（ ）A ．4B ．44- C ．2D ．22-9.已知直线1y x =-与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为2-，则ab=（ ）A ．B ．C ．D ．10.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）A ．3B ．C ．6D ．11.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，(0,6)P ，O 为坐标原点，则四边形OP AB 面积的最小值为（ ） A ．74B ．134C ．3D ．412.若双曲线22131x y m m -=-+的一条渐近线方程为230x y -=，则m 的值为（ ） A ．313B ．2313C ．35D ．7513.已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线的右支上的点，12PF F ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则（ ） A ．||||OB e OA = B ．||||OA e OB =C ．||||OB OA =D ．||OA 与||OB 关系不确定14.已知F 是椭圆C ：22195x y +=的左焦点，P 为C 上一点，4(1,)3A ，则||||PA PF +的最小值为（ ） A ．103B ．113C ．4D ．13315.已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A ．3B ．3C ．3D ．216.双曲线)0(12222>>=-b a by a x 离心率的范围是（ ）A.），（21B. ），（∞+1C.），（∞+2D. ），（221+17.如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若||3||BF BC =，且4||=AF ，则p 为（）A ．34B ．2C ．38 D ．31618.已知过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点且斜率为a b 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点.若椭圆上存在一点P ，满足→→→→=++0OP OB OA （其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．33C.23D ．2119.已知点F 1是抛物线C ：22x py =的焦点，点F 2为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过F 2作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ▲ ） A 62-B 21C 21D 62+20.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(033)F ，，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（ ）A ．221325y x +=B ．221325x y += C.221369y x += D ．221369x y +=21.已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的虚轴长为8，右顶点(a ，0)到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为（ ） A ．221916x y -=B ．221169x y -= C.2212516x y -=D ．2211625x y -=22.已知圆C ：2222310x y x y ++++=与双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．26B ．23C ．43D ．723.设双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的右焦点为F ，过点,λμ作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u r u u u r，316λμ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A ．233B ．355C.322D ．9824.设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．525.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①B. ②C. ①②D. ①②③二、填空题26.过点()0,1M 的直线l 交椭圆22184x y +=于A ，B 两点，F 为椭圆的右焦点，当△ABF 的周长最大时，△ABF 的面积为 ．27.已知F 1，F 2分别为双曲线22:1412x y C -=的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，G ，I 分别为12F PF ∆的重心、内心，若GI ∥x 轴，则12F PF ∆的外接圆半径R = .28.已知点P 在离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，则12PF F ∆的内切圆半径r 与外接圆半径R 之比为 ．29.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为16，左焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若16OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为 ．30.设点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若PMQ ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ．31.平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=（0a b >> ）的离心率3e =，1A ，2A 分别是椭圆的左、右两个顶点，圆1A 的半径为a ，过点2A 作圆1A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆于点Q .则2PQ PA = ．32.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，当FB AB ⊥时，其离心率为51-，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于 .33.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，A ，B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足︒︒=∠=∠45,30MBA MAB ，设椭圆C 的离心率为e ，则=2e ______.34.已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F O ，为坐标原点，点M N ，为抛物线准线上相异的两点，且M N ，两点的纵坐标之积为4-，直线OM ，ON 分别交抛物线于A ，B 两点，若A F B ，，三点共线，则=p _______.35.已知抛物线x y 82=上有一条长为9的动弦AB ，则AB 中点到y 轴的最短距离为 .36.如图：以等边三角形两顶点为焦点且过另两腰中点的椭圆的离心率e = .37.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u ur u u u u r ，则C 的离心率为____________．38.设F 1，F 2为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.39.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.40.设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,已知A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足ο60=∠AFB ,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则||||AB MN 的最大值为 ．41.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，E 为其标准线与x 轴的交点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且||20ME =，则||AB = ．参考答案1.A2.C3.B4.A5.B6.A7.D8.A9.B10.D11.B设A(x ,y ),B(x ,y )1122且x ,y >110,易知)0,1(F ，设直线1:+=my x AB由,0444122=--⇒⎩⎨⎧=+=my y xy my x 所以122144y y y y -=⇒-=21111312(0)42OPAB OPA OFA OFBy S S S S y y y ∆∆∆=++=++>22223222)443)(1(24322123)()0(22143)(x x x x x x x x x x f x x x x x f ++-=-+=-+='⇒>++=易知)(x f 在()1,0上为减函数，所以当11=y 时，min 13()4OPAB S =,故选B12. A双曲线22131x y m m -=-+的一条渐近线方程为230x y -=，可得 (3)(1)0m m -+>，解得(1,3)m ∈-，因为130+--=m x m y 是双曲线的渐近线方程，所以1233m m +=-， 解得313m =，故选A. 13.C，内切圆与x 轴的切点是A ，∵，由圆切线长定理有， 设内切圆的圆心横坐标为x ，则，即， ∴，即A 为右顶点， 在中，由条件有，在中，有，∴.设椭圆 的右焦点为，由，则，根据椭圆的定义可得，所以 15.A设椭圆离心率1e ，双曲线离心率2e ，由焦点三角形面积公式得22123b b =，即2221234a a c +=，即2212134e e +=，设221211,34m n m n e e ==+=即， 由柯西不等式得m n +最大值为43. 16.A 17.C18.A 设的中点，由题意知，两式相减得，则，而，所以，所以直线的方程为，联立，解得，又因为，所以, 所以点代入椭圆的方程，得，所以，故选A.由题意，得，设过的抛物线的切线方程为，联立，，令，解得，即，不妨设，由双曲线的定义得，，则该双曲线的离心率为.故选C.20.C 设椭圆方程为联立方程：，整理得：,设，，则，即，化简得：，又，易得：，∴此椭圆的方程是故选：C 21.A22.B23.A24.A∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=o, 又||||OP OQ a ==，∴222a a c += 解得2ca=，即2e =.25.C 由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确. 由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.26.3104 27.5 28.61- 29.5 30. 6251e --<<31.37 如图所示，设， 则，椭圆方程为，圆的方程为，直线与圆相切，则：，， 直线是斜率为，直线方程为：，联立直线方程与椭圆方程：，整理可得：，即，由弦长公式可得：，在中，，故.32.215“黄金椭圆”的性质是，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．如图，设“黄金双曲线”的方程为，则，，∵，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴黄金双曲线”的离心率e 等于． 33.331- 34.235.25 易知抛物线的准线方程为，设，且的中点为，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，则，由抛物线定义，得（当且仅当三点共线时取等号），即中点到轴的最短距离为.36.31-37.2 由112,0F A AB F B F B =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r 知A 是1BF 的中点，12F B F B⊥u u u r u u u u r ，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，221()1tan 602b e a=+=+︒=.38.(3,15) 已知椭圆1203622=+y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ∆中8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ,415828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入1203622=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(.39.15方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y += 可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 求得315,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=- 求得3152P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PF k ==40.141.8F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点，E（-1，0）为其准线与x轴的交点，设过F的直线为y=k（x-1），代入抛物线方程y2=4x，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点解得k2=1，则x1+x2=6，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+2=8.。
20192020年高考数学大题专题练习圆锥曲线一
2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一）1.设F 1，F 2为椭圆22143x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点. （1）求F 1，F 2的坐标；（2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值.2.已知椭圆2214x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B .（1）求△P AB 面积的最大值；（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围.3.已知椭圆2222:10x y C a b a b 的离心率为5，定点2,0M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且21MB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.4.已知椭圆C 的标准方程为2211612x y +=，点(0,1)E ． （1）经过点E 且倾斜角为3π4的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由．5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率2e ，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程；(2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点.(i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；(ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.6.椭圆C 一个焦点为(1,0)F ，离心率2e =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程式．（Ⅱ）定点(0,2)M ，P 为椭圆C 上的动点，求||MP 的最大值；并求出取最大值时P 点的坐标求．（Ⅲ）定直线:2l x =，P 为椭圆C 上的动点，证明点P 到(1,0)F 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数，并求出此常数值．7.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线l 的方程为43x =，焦距为23.（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点(1,0)B 作直线l 与椭圆C 交于点,P Q （异于椭圆C 的左、右顶点12,A A ）两点，设直线1PA 与直线2QA 相交于点M .①若(4,2)M ，试求点,P Q 的坐标； ②求证：点M 始终在一条直线上.8.设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.9.已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心离为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =． （Ⅰ）求m 的值．（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，记PMF △和PNF △的面积分别为1S 、2S ，求证：12||||S PM S PN =．10.已知常数0m >，向量(0,1)a =，(,0)b m =经过点(,0)A m ，以a b λ+为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ． （1）求点P 的轨迹方程，并指出轨迹E ．（2）若点(1,0)C，当m =M 为轨迹E 上任意一点，求||MC 的最小值．11.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得经MP ，MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．12.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线28x y =的准线上．Ⅰ求椭圆C 的标准方程．Ⅱ点P，(2,Q 在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点． （i ）若直线AB，求四边形APBQ 面积的最大值． （ii ）当A ，B 运动时，满足APQ BPQ =∠∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．13.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b =>>+过点(0,1)A -，且离心率e ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程．（Ⅱ）若椭圆M 上存在点B 、C 关于直线1y kx =-对称，求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上．14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b =>>+的离心率为12，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00,x y N a b ⎛⎫⎪⎝⎭称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB △的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．15.已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，离心率e ，且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||AB =，求直线l 的方程． （Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形MATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．16.已知一个动圆与两个定圆41)2(22=+-y x 和449)2(22=++y x 均相切,其圆心的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点F （0,2)做两条可相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与曲线C 交于A ,B 两点, l 2与曲线 C 交于C ,D 两点，线段AC ，BD 分别与直线2=x 交于M ，N 两点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一）1.设F 1，F 2为椭圆22143x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(－1,m )，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点. （1）求F 1，F 2的坐标；（2）若直线P A ，PF 2，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值.2.已知椭圆2214x y +=，P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B .（1）求△P AB 面积的最大值；（2）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内部，求斜率k 的取值范围.3.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为5，定点()2,0M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且21MB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.4.已知椭圆C 的标准方程为2211612x y +=，点(0,1)E ． （1）经过点E 且倾斜角为3π4的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求||AB ． （2）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =，若存在，求出直线p 斜率的取值范围；若不存在说明理由．5.椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率2e =，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程；(2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于E ，F 点.(i)求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；(ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.6.椭圆C 一个焦点为(1,0)F ，离心率2e =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程式．（Ⅱ）定点(0,2)M ，P 为椭圆C 上的动点，求||MP 的最大值；并求出取最大值时P 点的坐标求．（Ⅲ）定直线:2l x =，P 为椭圆C 上的动点，证明点P 到(1,0)F 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数，并求出此常数值．7.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线l 的方程为43x =，焦距为23.（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点(1,0)B 作直线l 与椭圆C 交于点,P Q （异于椭圆C 的左、右顶点12,A A ）两点，设直线1PA 与直线2QA 相交于点M .①若(4,2)M ，试求点,P Q 的坐标； ②求证：点M 始终在一条直线上.8.设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.9.已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心离为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =． （Ⅰ）求m 的值．（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，记PMF △和PNF △的面积分别为1S 、2S ，求证：12||||S PM S PN =．10.已知常数0m >，向量(0,1)a =r ，(,0)b m =r 经过点(,0)A m ，以a b λ+r r 为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-r r为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ．（1）求点P 的轨迹方程，并指出轨迹E ．（2）若点(1,0)C，当m =M 为轨迹E 上任意一点，求||MC 的最小值．11.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得经MP ，MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．12.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线28x y =的准线上．Ⅰ求椭圆C 的标准方程．Ⅱ点P，(2,Q 在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点． （i ）若直线AB，求四边形APBQ 面积的最大值． （ii ）当A ，B 运动时，满足APQ BPQ =∠∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．13.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b =>>+过点(0,1)A -，且离心率e ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程．（Ⅱ）若椭圆M 上存在点B 、C 关于直线1y kx =-对称，求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上．14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b =>>+的离心率为12，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00,x y N a b ⎛⎫⎪⎝⎭称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB △的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．15.已知椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，离心率e ，且椭圆经过点(0,1)．过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若||AB =，求直线l 的方程． （Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形MATB 是菱形，且点T 在椭圆上．若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．16.已知一个动圆与两个定圆41)2(22=+-y x 和449)2(22=++y x 均相切,其圆心的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点F （0,2)做两条可相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与曲线C 交于A ,B 两点, l 2与曲线 C 交于C ,D 两点，线段AC ，BD 分别与直线2=x 交于M ，N 两点。
求证|MF |:|NF |为定值.17.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点，A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：8x =，且1AA l ⊥，垂足为A 1，1BB l ⊥，垂足为B 1，若(3,0)D ，且△A 1B 1D 的面积是△ABD 面积的5倍，求△ABD 面积的最大值．试卷答案1.解：（Ⅰ）1F (1,0)-，2F (1,0)（Ⅱ）（i ）当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知m =0.（ii ）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，1122(,),(,)A x y B x y . 由题意得121, 1.x x ≠-≠- 直线P A 的斜率为1111()11y m kx k m x x --+=++；直线2PF 的斜率为2m-； 直线PB 的斜率为2222()11y m kx k m x x --+=++. 由题意得1212()()()0121kx k m kx k m m x x -+-++-+=++.化简整理得1212(4)3()(45)0.(*)k m x x m x x k m --+-+= 将直线AB 的方程(1)y k x =-代入椭圆方程，化简整理得2222(43)84120k x k x k +-+-=.由韦达定理得221212228412,.4343k k x x x x k k -+==++ 代入(*)并化简整理得216200k m k m ++=.从而220.161km k =-+ 当0k =时，0m =；当0k ≠时，220||5||.1612k m k =≤=+ 故m 的所有整数值是－2,－1,0,1,2.2.解：（Ⅰ）由题意得椭圆的上顶点(),P 01，设点A 为(),x y 00.因为B 是A 关于原点O 的对称点，所以点B 为(),x y --00.设PAB ∆的面积为S ，则PAO PB PAO S S S S PO x x ∆∆∆=+==⨯=0001222. 因为x -≤≤022，所以当x =±02时，S 有最大值2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()(),,,(,P B x y x --≠000010且)y ≠-01. 所以，直线PB 的斜率为y x +001，线段PB 的中点为,x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭00122，于是PB 的中垂线方程为y x x y x y -⎛⎫-=-+ ⎪+⎝⎭00001212. 令x =0，得N 的纵坐标()N x y y y --=+22000121.又直线l 的方程为y kx =+1，将方程代入x y +=2214并化简得()k x kx ++=221480. 由题意，,,k k x y k k-=-=++200228141414 所以，()()()N k k k k k y k k k ----++==--+++222222222814112141414142114. 因为点N 在椭圆内部，所以k k-<-<+22121114.解得k -<<44. 又由已知k ≠0，所以斜率k的取值范围是()(,)-0044U .3.(1)由222222519a b b e a a -===-，23b a =， 依题意，12MB B △是等腰直角三角形， 从而2b =，故3a =，所以椭圆C 的方程是22194x y +=.(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为2x my =+， 将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得：()224916200m y my ++-=，1221649my y m -+=+，1222049y y m -?+， 若PM 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0PA PB K K +=， 设(),0P n ，则有12120y yx n x n+=--， 将112x my =+，222x my =+代入得，()()1212220my y n y y +-+=， 整理得()290n m -=，由于上式对任意实数m 都成立，所以92n =.综上，存在定点9,02P 骣琪琪桫，使PM 平分APB ∠.4.解：（Ⅰ）l 经过点(0,1)E 且倾斜角为3π4， 所以直线l 的方程为1y x =-+，联立22111612y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩或227157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴||7AB ． （Ⅱ）设直线:p y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 将直线:p y kx m =+与椭圆联立可得：2211612y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(34)84480k x kmx m +++-=， ∴2222644(34)(448)0k m k m ∆=-+->， ∴221612k m +>，∴122834km x x k -+=+，212244834m x x k-=+， 设MN 中点00(,)F x y ， ∴12024234x x km x k +-==+，002334m y kx m k =+=+， ∵||||ME NE =，∴EF MN ⊥，∴1EFk k ⋅=-，∴2231341434mk k km k -+⋅=--+， ∴2(43)m k =-+代入①可得：2221612(43)k k +>+， ∴4216830k k +-<，解得1122k -<<．故直线p 斜率的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．5.(1)依题意2e =，设22122:12x y C b b +=，22222:124x y C b b+=，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积1222222S b b =创=，解得：21b =.所以椭圆221:12x C y +=，222:124x y C +=.(2)(i)设()00,P x y ，则2200124x y +=，()2,0A -，()2,0B.02PA k x =+，02PB k x =-.所以：2200220042222PA PBy x k k x x -?==---. 直线PA ，PB 斜率之积为常数2-. (ii)设()11,E x y ，则221112x y +=.112EA k x =+，112EB k x =-，所以：221122101112222EA EBx y k k x x -?==---，同理：12FA FB k k ?-， 所以：14FA FB FA FB k k k k 鬃=，由EA PA k k =，FB PB k k =，结合(i)有 18EA FB k k ?-.6.解：（Ⅰ）根据题意得1c =，2c e a ==， ∴2a =，1c =，1b =，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设P 点坐标为10(,)x y ，则220012x y +=，2222220000000||(2)22(2)46(2)10MP x y y y y y y +--+---+-++∵011y -≤≤，∴当01y =-时，MP 取得最大值3．∴||MP 最大值为3，此时P 点坐标为(0,1)-．（Ⅲ）设P 点(,)x y ，则2212x y +=，P 点到(1,0)F的距离为：=)x ==-， P 到直线2x =的距离为2x -，∵)22x x -=- 故P 到(1,0)F．7.解:⑴由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===2222322334c b a c ca 得 ⎩⎨⎧==12b a 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵①因为()12,0A -，()22,0A ，()4,2M ，所以1MA 的方程为1(2)3y x =+，代入2244x y +=，22144[(2)]03x x -+=+，即4(2)[(2)(2)]09x x x -=+++，因为12A x =-，所以1013P x =，则1213P y =，所以点P 的坐标为1012(,)1313． 同理可得点Q 的坐标为64(,)55-．②设点()00,M x y ，由题意，02x ≠±．因为()12,0A -，()22,0A ， 所以直线1MA 的方程为00(2)2y y x x =++，代入2244x y +=，得220044[(2)]02yx x x -+=++，即2204(2)[(2)(2)]0(2)y x x x x -=++++，因为12A x =-，所以2022002220002082(2)4(2)24241(2)P y x x x y x y x -+==-++(+)++，则0022004(2)(2)4P x y y x y +=++，故点P 的坐标为2000222200004(2)4(2)(2,)(2)4(2)4x x y x y x y +-+++++． 同理可得点Q 的坐标为2000222200004(2)4(2)(2,)(2)4(2)4x x y x y x y ---+-+--+． 因为P ，Q ，B 三点共线，所以PB QB k k =，11Q PP Q y y x x =--． 所以()()0000222200002200222200004(2)4(2)(2)4(2)44(2)422121(2)424x y x y x y x y x x x y x y +--++-+=--+----++++，即000022220000(2)(2)(2)123(2)4x y x y x y x y +--=+---+， 由题意，00y ≠，所以002222000022(2)123(2)4x x x y x y +-=+---． 即2222000000003(2)(2)4(2)(2)(2)12(2)x x x y x x x y +--+=-+--．所以22000(4)(1)04x x y -+-=，则040x -=或220014x y +=．若220014x y +=，则点M 在椭圆上，P ，Q ，M 为同一点，不合题意．故04x =，即点M 始终在定直线4x =上．16分8.（Ⅰ）解：设F (c ，0)，由|FA |e|OA ||OF |311=+，即)(311c a a c a c -=+，可得a 2－c 2=3c 2，又a 2－c 2=b 2=3，所以c 2=1，因此a 2=4.所以，椭圆的方程为13422=+y x . （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k .解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k ky B .由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF .由HF BF ⊥，得0=⋅，所以034123449222=+++-k ky k k H ，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=. 设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y .9.解：（Ⅰ）∵椭圆C 的方程为2211612x y +=，∴4a =，b =2c =， ∴12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-， ∵||21||42FA AP m ==-， ∴8m =．（Ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则有12S S =，||||PM PN =，符合题意， 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)1616480k x k x k +-+-=， 可知0∆>恒成立，且21221643k x x k +=+，2122164843k x x k -=+， ∵12121212(2)(2)8888PM PN y y k x k x k k x x x x --+=+=+---- 122112(2)(8)(2)(8)(8)(8)k x x k x x x x --+--=--121212210()32(8)(8)kx x k x x kx x -++=--2222121648162103243430(8)(8)k k k k k k k x x -⋅-⋅+++==--，∴MPF NPF =∠∠，∵PMF △和PNF △的面积分别为：11||||sin 2S PF PM MPF =∠，21||||sin 2S PF PN NPF =∠， ∴12||||S PM S PN =．10.解：（1）∵(,)a b m λλ+=r r，∴直线AP 的方程为：()y x m mλ=-①式，又4(,4)b a m λλ-=-r r，∴直线BP 的方程为：4()y x m mλ=-+②式， 由①式，②式消去入得22224()y x m m =--，即22214x y m +=，故点P 的轨迹方程为22214x y m +=．当2m =时，轨迹E 是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆，当2m >时，轨迹E是以原点为中心，以(为焦点的椭圆， 当02m <<时，轨迹E是以原点为中心，以(0,为焦点的椭圆．（2）当m =时，22184x y +=，∵M 为轨迹E 是任意一点， ∴设,2sin )M θθ，∴||MC=∵cos [1,1]θ∈-，∴当cos θ=时，||MC11.（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为22221(0)x y a b a b +=>>，∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴1b c ==，a =，故所求椭圆方程为2212x y +=．（Ⅱ）右焦点(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 由22221x y y x ⎧+=⎨=-⎩得，23210y y +-=，解得11y =-，213y =，∴1212112||||||223DOQ S OF y y y y =⋅-=-=△． （Ⅲ）假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<， 使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形建菱形，因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 由22221x y y kx ⎧+=⎨=-⎩可得：2222(12)4220k x k x k +-+-=， ∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，11(,)MP x m y =-u u u r ，22(,)MQ x m y =-u u u u r ，2121(,)PQ x x y y =--u u u r，其中210x x -≠，以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形()MP MQ PQ ⇔+u u u r u u u u r u u u r⊥，∴()0MP MQ PQ +⋅=u u u r u u u u r u u u r，即12211221(2)()()()0x x m x x y y y y +-+++-=， ∴1212(2)()0x x m k y y +-++=，∴22222442201212k k m k k k ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得222(24)0k k m -+=， ∴22(0)12k m k k =≠+，∴102m <<．12.解：Ⅰ设椭圆C 的标准方程为2221(0)x y a b a b2+=>>，∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线28x y =的准线2y =-上， ∴2b -=-，即2b =， 又∵c a =222a b c =+， ∴4a =，c =故椭圆C 的标准方程为221164x y +=． Ⅱ（i ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB的方程为y x t =+，联立22416y t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得223120x t +-=， 由0∆>，计算得出t <<，∴12x x +=，212312x x t =-，∴12||x x -==∴四边形APBQ的面积121||2S x x =⨯-，当0t =时，max 12S =．（ii ）∵APQ BPQ =∠∠，则PA ，PB 的斜率互为相反数，可设直线PA 的斜率为k ， 则PB 的斜率为k -，直线PA的方程为：(2)y k x -=-，联立22(2)416y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)82)2)160k x k k x k +++-=，∴12x +=同理可得：22x + ∴212216414k x x k -+=+，12x x -12121212()4AB y y k x x k k x x x x -+-===-- ∴直线AB．13.（1）∵椭圆M 过点(0,1)A -，∴1b =．∵=c e a =222a b c =+，∴2a =． ∴椭圆M 的方程为2214x y =+．（2）依题意得0k ≠，因为椭圆M 上存在点B ，C 关于直线1y kx =-对称， 所以直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上，设直线BC 的方程为1y x t k =-+，11(,)B x y ，22(,)C x y ．由22144y x t kx y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩++，得22222(4)8440k x ktx k t k --=++． 由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=--=->++，得22240k t k --<． ∵12284ktx x k =++， ∴BC 的中点坐标为2224,44kt k t k k ⎛⎫⎪⎝⎭++．又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，∴2224144k t ktk k k =⋅-++，∴22314k t k =+，代入22240k t k --<，得k <或k ．∴S k k ⎧⎪=<⎨⎪⎩k >⎪⎭．∵22143k t k =+， ∴对于k S ∀∈，线段BC 的中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上．14.（1）由12e =，得2a c =， 又222a b c =+，∴b =， ∴椭圆2222:431x y C c c +=．∵点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在c上，∴22914143c c +=，得1c =， ∴2a =，b ，∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x P ⎛ ⎝，22x Q ⎛ ⎝，由以PQ 为直径的圆经过坐标原点，得0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，即1212043x x y y +=①， 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得222(34)84(3)0k x mk m +++-=，由22226416(34)(3)0k m k m ∆=-+->，得22340k m +->．而122834mk x x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+，②所以22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+③， 将②③代入①得222224(3)3(4)04(34)4(34)m m k k k --+=++，即22243m k -=． 又∵||AB ，原点O 到直线:l y kx m =+的距离d =，∴1||2AOBS AB d ==△， 把22243m k -=代入上式得AOB S △ 故AOB △15.（1）由题意可得2221b ca abc =⎧⎪⎪⎨⎪⎪=⎩+，解得a 1b c ==，∴椭圆C 的方程为2212x y =+．（2）设直线l 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则 22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩+，消去y 得2222(21)4220k x k x k --=++， 2122421k x x k =++，21222221k x x k -=+．∵423AB =， ∴22222242242(1)42121k k k k k ⎡⎤⎛⎫-⎢-⋅⎥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+++，化简得427250k k --=即22(1)(75)0k k -=+， 解得1k =±．故直线l 的方程为1y x =-或1y x =--．（3）由（2）可知(0,1)A -，41,33B ⎛⎫⎪⎝⎭，假设存在点(,0)M m ，设00(,)T x y ，则220000001244()033122x y x m y x m y ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩+++，解得26(0,1)m ±=∉， 故不存在点(,0)M m ，使得以MA ，MB 为邻边的四边形MATB 是菱形．16.（1）设动圆圆心为，半径为 ∵两个定圆为和∴其圆心分别为，，半径分别为，∵∴两个定圆相内含 ∵动圆与两个圆均相切 ∴，∴∴动点的轨迹为以，为焦点，以4为长轴长的椭圆∴曲线的方程为（2）当，平行于坐标轴时，可知当，不平行于坐标轴时，设，将的方程代入曲线的方程中消去化简得：∴，同理可得，由直线中令可得①∵与曲线交于，两点，与曲线交于，两点∴，代入①式化简得∴同理可得∵∴综上所述，17.（1）依题意222221,21231,,c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得4,2,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为2211612x y +=． （2）设直线AB 与x 轴相交于点(,0)R r 1|3|||2ABD A B S r y y ∆=-⋅-，111115||2A B D A B S y y ∆=⨯⨯-， 由于115A B D ABD S S ∆∆=且11||||A B A B y y y y -=-， 得55|3|r =⨯-，4r =（舍去）或2r =， 即直线AB 经过点(2,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的直线方程为：2x my =+， 由222,3448,x my x y =+⎧⎨+=⎩即22(34)12360m y my ++-=， 1221234m y y m -+=+，1223634y y m -=+，121||2ABD S y y ∆=-===，令1t =≥，所以212121313ABD t S t t t∆==++， 因为11333()t t t t+=+，所以13t t +在)+∞上单调递增，所以在[1,)t ∈+∞上单调递增， 所以134t t+≥，所以3ABD S ∆≤（当且仅当1t ==，即0m =时“=”成立）， 故ABD S ∆的最大值为3．。