高一数学指数综合
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
4.1指数-高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
新知探究
追问2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可
以表示为分数指数幂的形式？
可以，把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把
等写成下列形式：
3
2 =
3
=
4
5
=
2
3
2
3
( )3 = ( > 0)，
1
2
1
2
( )2 = ( > 0)，
是奇数
是偶数
=
=±
>0
正数的n次方根是一个正数，
负数的n次方根是一个负数
正数的n次方根有两个，
这两个数互为相反数
3
6 = 2
4
4
例如： 16 = 2，− 16 =
2，
4
± 16 = ±2.
注：①负数没有偶次方根；
②0的任何次方根都是0， 0 = 0
新知探究
式子 n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
解：(1) ∙ − = ∙ (−) = −(−) ；
4
1
9
(2)( ) = (− ) = (−) ；
(3) 3
1
5
( 2 )2
=
1
5
3
5
−3
= .
(3)
1
3
5
x( x 2 )2
(x ≠ 0).
练习巩固
练习3：计算下列各式（式中字母都是正数）.
2
3
(1)(0.027)
− )2 =
− ， ≥ ，
| − | =
− ， < .
指数运算知识解读-高一数学(人教A版2019必修一)
专题4.1 指数运算（知识解读）【学习目标】1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
【知识点梳理】知识点1：整数指数幂1、正整数指数幂的定义：n n a aaa aaa =个，其中，n N *∈2、正整数指数幂的运算法则： ①m n m n a a a +⋅=（,m n N *∈）②m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n >，,m n N *∈）③()m n mna a=（,m n N *∈）④()mm mab a b =（m N *∈）⑤()mm m a a b b=（0b ≠m N *∈）知识点2：根式1、n 次根式定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且n N *∈.特别的：①当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.这时，a 的n 次②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方表示，叫做a 的n 次算术根；负的n 次方根用符号表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成0a >). ③负数没有偶次方根；④0的任何次方根都是00= 2、根式：n 叫做根指数，a 叫做被开方数．中，注意：①1n >，n N *∈②当n 为奇数时，n a 对任意a R ∈都有意义 ③当n 为偶数时，n a 只有当0a ≥时才有意义. 3、()n n a 与n n a 的区别：①当n 为奇数时，()n n a a =（a R ∈） ②当n 为偶数时，()n n a a =（0a ≥） ③当n 为奇数时，且1n >，n n a a = ④n 为偶数时，且1n >，,0||,0nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩知识点3：分式指数幂1、正数的正分数指数幂的意义是mnm n a a=（0a >，,m n N *∈，1n >）于是，在条件0a >，,m n N *∈，1n >下，根式都可以写成分数指数幂的形式.2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，11mnm nmna a a-==（0a >，,m n N *∈，1n >）.3、0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.知识点4：有理数指数幂①r s r s a a a +=（0a >，,r s Q ∈） ②()r srsa a =（0a >，,r s Q ∈）③()r r rab a b =（0a >，0b >r Q ∈）知识点5：无理数指数幂①r s r s a a a +=（0a >，,r s R ∈） ②()r srsa a =（0a >，,r s R ∈） ③()rr rab a b =（0a >，0b >r R ∈）【典例分析】【考点1根式的概念及意义求参】【典例1】（2022·全国·高一课时练习）已知481x =，那么x 等于（ ） A ．3B ．3-C ．3-或3D ．不存在【变式1】（2022·江苏·泰州中学高一阶段练习）已知75x =，则x 的值为（ ）A B C ．D ．【典例2】（1）（2021·a 的取值范围是（ ）A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．11[,]22-D ．R（2）（2021·全国高一专题练习）若34(12)x --有意义，则实数x 的取值范围为（ ） A ．1(,]2-∞B ．1(,)2-∞C ．11(,)22-D ．11[,]22-【变式2-1】（多选）（2021·全国高一课时练习）若n N ∈，a R ∈，则下列四个式子中有意义的是（ ）A BC D【变式2-2】（2021·全国高一专题练习）已知a ∈R ，n ∈N *，给出四个式子：②________.(只填式子的序号即可)【考点2 根式的形式化简】【典例2】（2021·2，结果是（ ） A ．6x ―6B ．―6x +6C ．―4D ．4【变式2-1】（2021·的结果是________．【变式2-2】（2022·青海西宁·高一期末）若a ，b =，则a b +等于（ ） A ．10-B ．10C ．2-D ．2【变式2-3】（2021·上海高一专题练习）求下列各式的值.（1（2（3（4【考点3 根式与分数指数幂的互化】【典例3】（2021·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1a >0）；（2x >0）；（3）23-⎝⎭（b >0）.【变式3-1】（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）化简2531433(2)(3)(4)a b a b a b -----⋅-÷(,0)a b >得A ．232b -B ．232bC ．7332b -D ．7332b【变式3-2】（2022·湖南·高一课时练习（理））化简（式中字母都是正数）：(1)211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【考点4 分数指数幂的运算性质化简求值】【典例4】（2021·全国高一课时练习）化简下列各式：（1（2）12133113344x y z x y z ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）214⎛⎫⎪⎝⎭＋13-0(1.03)×⎛ ⎝⎭. 【变式4-1】（2021·全国）计算112313824527-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________；若0x >，则13131142422223234x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________． 【变式4-2】（2021·全国高一课时练习（理））(05934.-⎛⎫--=⎪⎝⎭________.【变式4-3】（2022·江苏·10.7525316(4)---÷+． .【考点5 整体代换法求分数指数幂】【典例5】（2022·江苏·3=，求下列各式的值： （1）1a a -+； （2）22a a -+； （3）11122a a a a--+-.【变式5-1】（2021·全国）若3x xa a-+=，则3322x xxxa a a a --+=+________． 【变式5-2】（2021·全国高一课时练习）已知11x x --=，其中0x >，求122121x x x x x x x---+-的值．【变式5-3】（2021·江西高安中学高一月考）计算：（141210.252-⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭；（2）已知：11223x x-+=，求22123x x x x --+-+-的值．专题4.1 指数运算（知识解读）【学习目标】1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
高一数学指数与指数函数试题答案及解析
高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.函数的图像过一个定点，则定点的坐标是【答案】（2,2）【解析】当x=2时，f（2）=a2-2+1=a0+1=2，∴函数y=a x-2+1的图象一定经过定点（2，2）．故答案为：（2，2）．【考点】含有参数的函数过定点的问题.2.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解析】由数形结合可知，两函数图像在直线两侧各有4个交点，其两两关于对称。
不妨令。
则所有交点横坐标之和为。
故C正确。
【考点】1函数图像；2余弦函数的周期；3数形结合思想。
3.已知幂函数的图象过点，则．【答案】4【解析】因为为幂函数,所以设因为过点,所以本题易错点在将幂函数的定义写成指数函数的形式,即【考点】幂函数定义,指数的运算4.（1）计算.（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用对数恒等式、换底公式、对数的运算性质进行计算；（2）首先对已知等式进行平方求得的值，再对其平方可求得的值，最后代入所求式即可求得结果．试题解析：（1）原式=．（2）∵，∴，∴，∴，∴，∴原式．【考点】1、对数的运算性质；2、对数的换底公式；3、指数的运算性质．5.已知函数，则＝．【答案】【解析】根据题题意：，，故．【考点】1.分段函数；2.指数、对数运算.6.三个数，，的大小顺序是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C.【考点】1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性.7.计算的值为_________.【答案】2【解析】原式【考点】根式、指数、对数的运算8.三个数大小的顺序是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，.，，，，故选A【考点】考察指数函数，和对数函数，分别与1和0的之对比.9.若实数，满足，则关于的函数的图象形状大致是（）【答案】B【解析】由等式，可得，根据指数函数的图像可知（或者根据函数的奇偶性、单调性、特殊值来判断），正确答案为B.【考点】1.对数式与指数式的互化；2.指数函数图像、奇偶性、单调性.10.若a＜0，＞1，则( )A．a＞1,b＞0B．a＞1,b＜0C．0＜a＜1,b＞0D．0＜a＜1,b＜0【答案】D【解析】是上的增函数,由,所以是上的减函数, 由,所以故选D【考点】指数函数,对数函数的单调性.11.三个数的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】判断几个数的大小多用构造函数单调性来解题.因为是上的减函数,所以因为是上的减函数,所以因为是上的增函数,所以故选D【考点】用指数函数与对数函数单调性比较大小，转化思想应用.12.若，则函数的图象一定过点_______________.【答案】【解析】由函数过定点，令，即时，恒等于-3，故函数图像过定点；故答案为：.【考点】指数函数的图像和性质.13.设，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由对数函数的性质知：，所以答案选.【考点】1.指数大小比较；2.对数函数的性质.14.计算：（1）；（2）【答案】（1）6；（2）.【解析】（1）直接采用换底公式计算即可；（2）利用指数幂的运算性质逐个运算即可.试题解析：（1）原式=（2）原式=【考点】1.换底公式的应用；2.指数幂的化简求值.15.函数的图象一定过点（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于函数，令x-1=0，x=1，可知函数值为2，故可知函数一定过点，选B.【考点】指数函数点评：本试题主要是考查了指数函数恒过（0，1）点的运用，属于基础题。
考点12 指数运算和指数函数【考点通关】高一数学题型归纳与解题策略(必修第一册)(原卷版)
考点12指数运算和指数函数1、正确区分n a n与(n a)n(1)(n a)n已暗含了n a有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．(2)n a n中的a可以是全体实数，n a n的值取决于n的奇偶性．2、有限制条件根式的化简(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．3、根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．4、指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．5、利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．x2＋x－2＝(x±x－1)2∓2，x＋x－1＝(12x±12x-)2∓2，12x＋12x-＝(14x±14x-)2∓2.6、判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求．(2)a x前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求．7、求指数函数的解析式或函数值(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．8、解决有关增长率问题的关键和措施(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．9、函数y＝a f(x)定义域、值域的求法(1)定义域：形如y＝a f(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．(2)值域：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝a t的单调性求y＝a t，t∈M的值域．注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．10、处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．11、比较幂值大小的3种类型及处理方法12、简单的指数不等式的解法(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．(2)解不等式a f(x)>a g(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f(x)>a g(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．13、指数型复合函数的单调性(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性．(2)关于指数型函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成．考点一指数与指数幂的运算（一）根式化简求值1．（2022·西藏·拉萨中学高一期末）若a=b=a b+的值为（）π-A．1B．5C．1-D．25x<时，化简x__________. 2．（2022·上海长宁·高一期末）当03．（2022·全国·=_______．（二）利用分数指数幂的运算性质化简求值4．（2022·河南洛阳·高一期末）计算：22332728-⎛⎫⎛⎫⋅+⎪ ⎝⎭⎝⎭______．5．（2022·全国·04(1=___________________．6．（2022·江西·景德镇一中高一期末）化简)()146230.251624820229-=⎛⎫⨯+-⨯+- ⎪⎝⎭____________.7．（2022·全国·高一单元测试）计算：(1)21023213(2)(9.6)(3(1.5)48-----+；10421()0.252-+⨯.（三）整体代换法求分数指数幂8．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）已知223x x --=，求44x x -+的值；9．（2022·广东汕头·高一期末）已知11223x x -+=，求1x x --的值．10．（2022·辽宁·大连二十四中高一期末）已知11223a a --=，求33221122a a a a----的值；考点二指数函数的概念（一）指数函数的概念11．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）若()233xy a a a =-+是指数函数，则有（）A ．1a =或2B ．1a =C ．2a =D ．0a >且1a ≠12．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）已知函数()()33x f x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-.（二）求指数函数的解析式或函数值13．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数()f x 是指数函数，且35225f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()3f =________.14．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知函数1(),02()0xx f x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则[(4)]f f =________.15．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）设0a >且1a ≠，函数()1,0,0x x x f x a x -≤⎧=⎨>⎩，若()()11f f =-，则a 的值为________．16．（2022·福建·厦门一中高一期末）已知函数()221,1,,1,x x f x x ax x ⎧+<=⎨+≥⎩若()()03f f a =，则a 的值为______．17．（2022·云南昆明·高一期末）已知函数()x f x a =，()xg x b =，若()()115f g +=，()()111f g -=．(1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)若()()f m g n =，试比较m ，n 的大小．18．（2022·广东汕头·高一期末）已知函数()1x f x a =-（0a >，且1a ≠）满足()()14129f f +=-.(1)求a 的值；(2)解不等式()2f x >.考点三指数函数的定义域和值域（一）指数函数的定义域19．（2022·全国·高一课时练习）函数y =的定义域为（）A．(-∞B．(-∞C ．[)3,+∞D ．()3,+∞20．（2022·广东广州·高一期末）函数1()1f x x =-的定义域为______．21．（2022·全国·高一课时练习）函数()f x =______________．22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x =[)2,+∞，则=a _________．（二）指数函数的值域23．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）已知集合{}2320A x x x =-+≥，{}3,1x B y y x ==≥，那么A B =（）A ．[]2,3B ．[](]2,3,1-∞C ．()3,+∞D ．[)3,+∞24．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为______．25．（2022·浙江省义乌中学高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数":设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如:][1.32 3.43⎡⎤-=-=⎣⎦，，已知11()313x f x =-+，则函数[]()y f x =的值域为（）A ．{}0B ．{}10-，C ．{}01，D ．{}101-，，26．（2022·天津南开·高一期末）定义运算a b *为：,(){,(),a ab a b b a b ≤*=>如121*=，则函数()22x x f x -=*的值域为（）A ．RB ．(]0,1C ．()0,∞+D ．[)1,+∞27．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数()f x =的值域为[0,)+∞，则实数a 的取值范围是（）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[0,)+∞28．（2022·山东烟台·高一期末）已知函数()()112,03,0x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为___________.29．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=（）A ．32-B ．1-C ．1D ．32考点四指数函数的图象及应用（一）判断指数型函数图象的形状30．（2022·湖北黄石·高一期末）函数()2||24x x f x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．31．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数()241x x xf x =+的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．32．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数3()22x xx xf x --=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．33．（2022·河南安阳·高一期末）函数()22xf x x -=⋅在区间[]22-,上的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．34．（2022·云南玉溪·高一期末）函数||()2x f x =，4()g x x =，则函数()()y f x g x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．35．（2022·陕西渭南·高一期末）函数y x a =+与x y a -=（0a >且1a ≠）在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．36．【多选】（2022·吉林吉林·高一期末）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．（二）根据指数型函数图象判断参数范围37．（2022·全国·高一课时练习）已知113xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23x y =，310x y -=，410x y =，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．38．（2022·全国·高一单元测试）函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：5413，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A ．5413，12B 54，13，12C ．12，1354，D ．13，12，5439．【多选】（2022·全国·高一期末）(多选)已知函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（）A ．a >1B ．0<a <1C ．b >1D ．0<b <140．（2022·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所高一期末）若函数(01,1)x y a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则（）A ．1a >B ．1a >，且0m <C ．01a <<，且0m >D ．01a <<41．（2022·上海交大附中高一期末）已知函数()()1201x f x a a a +=->≠，，的图象不经过第四象限，则a 的取值范围为__________．42．（2022·全国·高一课时练习）若函数32x y m =-+的图象不经过第二象限，则实数m 的取值范围是（）A ．（-∞，-2）B ．（-∞，-2]C ．（3，+∞）D ．[3，+∞）43．（2022·全国·高一期末）已知函数f (x )＝ax ＋b (a >0，且a ≠1)．(1)若()f x 的图象如图①所示，求a ，b 的值；(2)若()f x 的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|()|f x ＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的取值范围．（三）指数型函数过定点问题44．（2022·四川泸州·高一期末）函数3x y a =+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点（）A ．()1,0B ．()0,4C ．()4,0D ．()3,345．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数11x y a -=+，（0a >且1a ≠）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,446．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知函数23x y a -=+（0a >且1a ≠）过定点P ，且P 点在幂函数()f x 的图象上，则(3)f 的值为_________．47．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（）A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-48．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）已知函数42x y a +=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则cos α的值为（）A ．45-B ．223-C ．23D ．3549．（2022·广东揭阳·高一期末）已知0a >且1a ≠，函数()22x f x a -=-的图象恒经过定点(),m n ，正数b 、c 满足b c m n +=+，则14bc+的最小值为____________.（四）指数函数图象应用50．（2022·全国·高一课时练习）（1）若曲线21x y =-与直线y a =有两个公共点，则实数a的取值范围是______；（2）若曲线21xy =+与直线y b =没有公共点，则实数b 的取值范围是______．51．【多选】（2022·全国·高一课时练习）已知函数()21xf x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<52．（2022·辽宁·高一阶段练习）函数()|21|x f x =-(1)请在下面坐标系中画出函数()f x 的图像．(2)不等式13()44f x x <+的解集为________．（写出结果即可，不需写过程）(3)若()(),m n f m f n <=，求m n +的取值范围．考点五指数型函数的单调性（一）判断指数函数的单调性53．（2022·广西南宁·高一期末）设函数()122xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增B ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减C ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增D ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减54．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．y x=-B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．3y x x =--D ．1y x=-55．（2022·浙江金华第一中学高一期末）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足对任意12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，则函数()f x =（）A ．xe -B ．2x x+C ．x e x-D x（二）由指数（型）函数的单调性求参数56．（2022·河北廊坊·高一期末）指数函数()()1xf x a =-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,1--B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()1,257．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.58．【多选】（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）若函数,0()3(1),0x a a x f x a x x ⎧+≥=⎨+-<⎩（0a >且1a ≠）在R 上为单调函数，则a 的值可以是（）A ．13B ．23C D ．259．（2022·湖北·沙市中学高一期末）已知函数(),0()23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意x 1≠x 2，都有()()1212f x f x x x -<-0成立，则a 的取值范围是（）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)60．（2022·江苏南通·高一期末）已知指数函数()xf x a -=（0a >，且1a ≠），且()()23f f ->-，则a 的取值范围（）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0∞-（三）比较指数幂的大小61．（2022·云南丽江·高一期末）若221333111,,252a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ､b ､c 的大小关系是（）A ．b a c <<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．c b a<<62．（2022·广东汕尾·高一期末）若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1412c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c>>63．（2022·全国·高一专题练习）设函数()21xf x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（）A ．222a c +>B ．222a c +≥C ．222a c +≤D ．222a c +<（四）解简单的指数不等式64．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）不等式11(93x -≤的解集为_____________.65．（2022·河北张家口·高一期末）已知x R ∈，那么“4x >”是“124x -<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件66．（2022·云南·昆明一中高一期末）设函数2,2()2,2x x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，若2(2)(8)f t f t >-，则t 的取值范围是___________.67．（2022·湖南衡阳·高一期末）设函数()1e ,11,1x x x f x x x x -⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，则满足()()12xf x f ->的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．()0,∞+C ．()1,0-D ．(),0∞-考点六指数函数的最值（一）求已知指数型函数的最值68．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知02x ≤≤，则函数124325x x y -=-⨯+的最大值为__________.69．（2022·河南开封·高一期末）已知函数()2x f x =的定义域是[]0,3，设()()()22g x f x f x =-+，(1)求()g x 的定义域；(2)求函数()g x 的最大值和最小值.（二）根据指数函数的最值求参数70．（2022·湖北·武汉市第十五中学高一期末）函数()21x x f x a a =++（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值为13，则实数a 的值为___________.71．（2022·上海·高一单元测试）指数函数(0,1)x y a a a =>≠在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则=a ______;72．（2022·上海徐汇·高一期末）已知函数()()1,1,,1x a x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠）在x ∈R 上有最大值，那么实数a 的取值范围为__________73．（2022·全国·高一单元测试）已知242,0()1,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，则m 的取值范围为______________74．（2022·湖南·高一期末）已知函数()245x xf x a a =+-.(1)求()f x 的值域；(2)当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为7，求a 的值.（三）指数函数的最值与不等式的综合问题75．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）已知函数()24,[2,1]x x f x x =-∈-.(1)求()f x 的值域；(2)若对[2,1]x ∀∈-，不等式()22x f x m >-⋅恒成立，求实数m 的取值范围.76．（2022·浙江宁波·高一期中）已知函数()212xxf x a=++(1)若()f x 是奇函数，求a 的值；(2)若()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求a 的取值范围．77．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x x a af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．考点七指数型函数的奇偶性（一）已和函数奇偶性求值78．（2022·内蒙古包头·高一期末）()f x 是定义域为R 的函数，且2()f x x -为奇函数，()2x f x +为偶函数，则(2)f 的值是（）A ．178B ．174C ．478D ．47479．（2022·广东广州·高一期末）已知函数()()2,0,x x f x g x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则(2)g =______．（二）由函数的奇偶性求解析式80．（2022·福建福州·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()23x f x =+．求()f x 的解析式；81．（2022·江西新余·高一期末）已知定义在R 上的偶函数f （x ）和奇函数g （x ）满足()()124x f x g x +-=(1)求函数f （x ）和g （x ）的表达式；(2)当1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，不等式()()210f x ag x -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.（三）已和函数奇偶性求参数82．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数()22x x af x a-=+是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的值域．83．（2022·天津南开·高一期末）已知函数()f x =122xx a b+⋅+是奇函数，并且函数()f x 的图像经过点()1,3.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数()f x 在0x <时的值域.84．（2022·浙江师范大学附属中学高一期中）已知函数()31xx a f x =+（0a >）为偶函数，则函数()f x 的值域为__________．（四）函数的单调性和奇偶性的综合85．（2022·河南·新乡市第一中学高一期末）已知定义在R 上的函数()22x xf x k -=-⋅是奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若对任意的R x ∈，不等式()()240f x tx f x ++->恒成立，求实数t 的取值范围．86．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数()333x xf x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（）A ．(4)(4)-∞-+∞，，B ．(41)-，C ．(1)(4)-∞-+∞，，D ．(14)-，考点八指数函数的综合问题87．【多选】（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数()24312x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为(]0,2C ．函数()f x 在[)2,-+∞上单调递增D ．函数()f x 在[)2,-+∞上单调递减88．（2022·辽宁·大连二十四中高一期末）已知指数函数()()01xf x a a a =>≠,过点()1,2，函数()()()11f xg x x f x -=⋅+.(1)求()1g ，()1g -的值；(2)判断函数()g x 在R 上的奇偶性，并给出证明；(3)已知()g x 在[)0,+∞上是单调函数，由此判断函数()y g x =，R x ∈的单调性（不需证明），并解不等式()1213g x +>.89．（2022·山东·德州市第一中学高一期末）已知定义域为R 的函数()22x x b nf x b +=--是奇函数，且指数函数x y b =的图象过点(2,4)．（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）若方程()23()0f x x f a x ++-+=，(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，求实数a 的取值集合；（Ⅲ）若对任意的[1,1]t ∈-，不等式()22(1)0f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围．考点九指数增长型和指数衰减型函数的实际应用90．（2022·全国·高一课时练习）当生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.若用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物体内的碳14至少经过的“半衰期”个数是（参考数据：1328192=）（）A ．15B ．14C ．13D ．1291．（2022·全国·高一单元测试）企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=（其中0P ，k 是正的常数）．如果在前10h 消除了20%的污染物，则20h 后废气中污染物的含量是未处理前的（）A ．40%B ．50%C ．64%D ．81%92．（2022·全国·高一学业考试）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量()g μy 与时间()h t 之间近似满足如图所示的图象，则y 关于t 的函数解析式为______；据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25g μ时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______h ．93．（2022·重庆·高一期末）基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型(e )rt I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R 、T 近似满足01R rT =+，有学者基于已有数据估计出0 3.22R =，10T =.据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至(0)I 的4倍，至少需要（）（参考数据：ln 20.69≈）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天。
高一数学上册 指数函数知识点及练习题含答案
课时4指数函数一. 指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n表示；当n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈二.指数函数及其性质（4）指数函数a 变化对图象影响在第一象限内，a 越大图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越大图象越低，越靠近x 轴． 在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近x 轴．三.例题分析1.设a 、b 满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是(C) A.a a <a b B.b a <b b C.a a <b a D.b b <a b解析：A 、B 不符合底数在(0,1)之间的单调性;C 、D 指数相同,底小值小.故选C. 2.若0<a<1,则函数y=a x 与y=(a-1)x 2的图象可能是(D)解析：当0<a<1时,y=a x为减函数,a-1<0,所以y=(a-1)x 2开口向下,故选D.3.设指数函数f(x)=a x (a>0且a ≠1),则下列等式中不正确的是(D) A.f(x+y)=f(x)f(y)B.f(x-y)=)()(y f x f C.f(nx)=［f(x)］n D.f ［(xy)n ］=［f(x)］n ［f(y)］n (n ∈N *) 解析：易知A 、B 、C 都正确. 对于D,f ［(xy)n］=a(xy)n,而［f(x)］n·［f(y)］n=(a x )n·(a y)n=anx+ny,一般情况下D 不成立.4.设a=31)43(-,b=41)34(-,c=43)23(-,则a 、b 、c 的大小关系是(B)A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析：a=413131)34()34()43(>=-=b,b=434141)23()278()34(-=>=c.∴a>b>c.5.设f(x)=4x -2x+1,则f -1(0)=______1____________. 解析：令f -1(0)=a,则f(a)=0即有4a-2·2a=0.2a·(2a-2)=0,而2a>0,∴2a=2得a=1.6.函数y=a x-3+4(a>0且a ≠1)的反函数的图象恒过定点______(5,3)____________.解析：因y=a x的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=a x-3+4的图象,易知恒过定点(3,5).故其反函数过定点(5,3).7.已知函数f(x)=xx xx --+-10101010.证明f(x)在R 上是增函数.证明：∵f(x)=1101101010101022+-=+---x x xx x x , 设x 1<x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=)110)(110()1010(21101101101101010101010101010212122112222111122222222++-=+--+-=+--+-----x x x x x x x x x x x x x x x x . ∵y=10x 是增函数, ∴21221010x x -<0. 而1210x +1>0,2210x +1>0, 故当x 1<x 2时,f(x 1)-f(x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)是增函数.8.若定义运算a ⊗b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=3x ⊗3-x 的值域为(A)A.(0,1]B.［1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析：当3x ≥3-x ,即x ≥0时,f(x)=3-x ∈(0,1］;当3x<3-x,即x<0时,f(x)=3x∈(0,1).∴f(x)=⎩⎨⎧<≥-,0,3,0,3x x x x 值域为(0,1).9.函数y=a x 与y=-a -x (a>0,a ≠1)的图象(C) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线y=-x 对称解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当x ∈［-1,1］时,函数f(x)=3x -2的值域为_______［-35,1］___________. 解析：f(x)在［-1,1］上单调递增.11.设有两个命题:(1)关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x 是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a 的取值范围是_______(-∞,-2)__________.解析：(1)为真命题⇔Δ=(2a)2-16<0⇔-2<a<2.(2)为真命题⇔5-2a>1⇔a<2.若(1)假(2)真,则a ∈(-∞,-2].若(1)真(2)假,则a ∈(-2,2)∩［2,+∞］=∅. 故a 的取值范围为(-∞,-2).12.求函数y=4-x -2-x +1,x ∈［-3,2］的最大值和最小值. 解：设2-x =t,由x ∈［-3,2］得t ∈［41,8］,于是y=t 2-t+1=(t-21)2+43.当t=21时,y 有最小值43.这时x=1.当t=8时,y 有最大值57.这时x=-3. 13.已知关于x 的方程2a 2x-2-7a x-1+3=0有一个根是2,求a 的值和方程其余的根. 解：∵2是方程2a 2x-2-9a x-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a=21或a=4. (1)当a=21时,原方程化为2·(21)2x-2-9(21)x-1+4=0.① 令y=(21)x-1,方程①变为2y 2-9y+4=0, 解得y 1=4,y 2=21.∴(21)x-1=4⇒x=-1,(21)x-1=21⇒x=2. (2)当a=4时,原方程化为2·42x-2-9·4x-1+4=0.② 令t=4x-1,则方程②变为2t 2-9t+4=0.解得t 1=4,t 2=21. ∴4x-1=4⇒x=2, 4x-1=21⇒x=-21. 故方程另外两根是当a=21时,x=-1; 当a=4时,x=-21. 14.函数y=243)31(x x -+-的单调递增区间是(D) A.［1,2］B.［2,3］C.(-∞,2]D.［2,+∞)解析：因为y=3x2-4x+3,又y=3t 单调递增,t=x 2-4x+3在x∈［2,+∞)上递增,故所求的递增区间为［2,+∞).15.已知f(x)=3x-b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f 2(x)-2f(x)的值域为(B) A.［-1,+∞)B.［-1,63) C.［0,+∞)D.(0,63］解析：由f(2)=1,得32-b =1,b=2,f(x)=3x-2. ∴F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1. 令t=3x-2,2≤x≤4.∴g(t)=(t -1)2-1,t∈［1,9］. ∴所求值域为［-1,63］.2.1指数函数练习1．下列各式中成立的一项（）A ．7177)(m n mn= B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4．函数21)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （）A ．251+B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 （）7．函数||2)(x x f -=的值域是（）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 （）A ．)1,1(-B ．),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 （）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是 （）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是. 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点. 三、解答题：13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a 的值．参考答案一、DCDDDAADDA二、11．(0,1)；12．(2，－2)； 三、13．解：要使函数有意义必须：∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr ，所以a r +b r ＞c r . 15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。
高一数学指数函数教案5篇
高一数学指数函数教案5篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高一数学指数与指数函数试题答案及解析
高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.已知函数的图象恒过定点，若点与点、在同一直线上，则的值为 .【答案】1.【解析】令，求得，，可得函的图象恒过定点．再根据点与点、在同一直线上，可得，化简得，即.【考点】指数函数的单调性与特殊点．2.若函数有两个零点，则实数a的取值范围为【答案】【解析】研究函数与函数图像交点个数.当时，由于直线在轴的截距大于，所以函数与函数图像在及时各有一个交点. 当时，由于单调减，直线单调增，所以函数与函数图像只3在时有一个交点.【考点】指数函数图像3.设，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，，，∴，故选A．【考点】对数函数与指数函数的性质．4.已知幂函数的图象过点，则．【答案】4【解析】因为为幂函数,所以设因为过点,所以本题易错点在将幂函数的定义写成指数函数的形式,即【考点】幂函数定义,指数的运算5.设函数,如果，求的取值范围.【答案】【解析】对分段函数需分情况讨论，再解指数及对数不等式时，需将实数转化为同底的指数或对数，然后根据指数、对数的单调性解不等式。
试题解析：解：当2分,. 5分当时7分， 10分综上. 12分【考点】分段函数，指数、对数不等式。
6.计算:⑴ ;⑵．【答案】（1）；（2）．【解析】对于（1），主要是利用指数幂的运算性质进行化简求值；对于（2），主要是利用对数的运算性质进行化简求值，要求熟练的掌握指数幂和对数的运算性质．试题解析:（1）原式；（2）原式.【考点】本题主要考查了指数幂的运算性质和对数的运算性质，属于基础题．.7.函数在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为．【答案】4【解析】因为在[0,1]上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以在 [0,1]单调递增，所以y的最大值为，最小值为，所以最大值和最小值之和为4.【考点】指数函数和对数函数的单调性及利用单调性求最值8.已知，，，则这三个数从小到大排列为 .【答案】【解析】...【考点】本题考果不等的比较大小,考查指数函数与对数函数的性质.9.三个数大小的顺序是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，.，，，，故选A【考点】考察指数函数，和对数函数，分别与1和0的之对比.10.计算【答案】（1）.（2）44.【解析】（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算.试题解析：【考点】1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算.11.若函数是函数的反函数，其图象过点，且函数在区间上是增函数，则正数的取值范围是．【答案】【解析】由题意可得，所以函数，由该函数在区间上是增函数，得函数在区间上为增函数，且，考虑到函数在上单调递增，所以当时，有得，当时，有即得，从而求得所求正数的取值范围为.【考点】1.反函数；2.函数的单调性；3.对数函数；4.常用函数.12.若，则=____________.【答案】-4【解析】由且得所以【考点】指数与对数运算.13.设，且，则=【答案】【解析】对等式两边同时取对数得：，，，，.【考点】对数与指数的基本运算14.设，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由对数函数的性质知：，所以答案选.【考点】1.指数大小比较；2.对数函数的性质.15.计算：（1）；（2）【答案】（1）6；（2）.【解析】（1）直接采用换底公式计算即可；（2）利用指数幂的运算性质逐个运算即可.试题解析：（1）原式=（2）原式=【考点】1.换底公式的应用；2.指数幂的化简求值.16.已知函数（1）若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式；（3）若，求的最大值.【答案】（1）（2）；②；③，，（3）【解析】（1）令，即成立 1分的最小值为0，当时取得 4分5分（2），令 6分① 7分② 8分③ⅰ 9分ⅱ 10分（3）令则12分13分，的最大值为 14分【考点】二次函数点评：主要是考查了二次函数的最值以及不等式的性质的运用，属于基础题。
高一数学指数函数题型
指数函数是基本初等函数之一，以下是一些常见的高一数学指数函数题型：
1.
求定义域和值域：确定函数的定义域和值域，包括对底数的限制和指数的取值范围进行分析。
2.
指数函数的图像：绘制指数函数的图像，包括通过描点法或使用函数绘图软件来观察函数的性质，如单调性、奇偶性等。
3.
比较大小：比较指数函数值的大小，利用指数函数的单调性进行大小关系的判断。
4.
指数函数的复合函数：涉及指数函数与其他函数的复合，如指数与一次函数、二次函数等的复合。
5.
指数函数的求值：给定函数值或自变量的值，求出对应的指数函数的值。
6.
指数函数的四则运算：进行指数函数的加、减、乘、除运算，需要注意底数不变和指数的运算法则。
7.
指数函数的单调性：判断指数函数在给定区间上的单调性，利用导数或单调性定义进行分析。
8.
指数函数的奇偶性：判断指数函数的奇偶性，根据奇偶性的定义进行分析。
这些题型涵盖了高一数学中指数函数的基本概念、性质和应用。
通过练习这些题型，可以帮助学生深入理解指数函数的概念，掌握指数函数的图像和性质，以及运用指数函数解决实际问题的能力。
高中数学必修一指数运算与指数函数
• 指数函数的定义表达式� = �� 中，�� 前的系
数必须是1。自变量x在指数的位置上。
• 比如� = 2�� , � = �� + 1, � = ��+1 等，都不
是指数函数；
• 有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，
如� = �−� (� > 0且� ≠ 1) ，因为它可以化为
�
1
期中测试)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝
五、比较幂值得大小
• 底数相同：利用函数的单调性进行比较；
• 指数相同：
• 方法一：可转化为底数相同进行比较；
• 方法二：可借助函数图像进行比较。指数函数在
同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如
下规律：即无论在y轴右侧还是在y轴左侧底数按
逆时针方向由小变大。
• 指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。
合函数；
• ④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x这两个函数相乘得到的复
合函数，不是指数函数；
• ⑤y＝(－10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；
• ⑥由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，
故y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)是指数函数；
• ⑦y＝x10的底数不是常数，故不是指数函数．
1 �
1
1
�=
，其中 > 0，且 ≠ 1 。
�
�
�
四、指数函数的图像和性质
四、指数函数的图像和性质
• 特别提醒：
• 角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的
关系有如下规律：
• 在y轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；
在y轴左侧，图像从上往下相应的底数由小变.
高一数学指数及指数函数基础知识
高一数学指数及指数函数1•根式的性质(3)负数没有偶次方根 (4)零的任何正次方根都是零2•幕的有关概念 (1)正整数指数幕：naa a a ..… n...... a (n N )(2)零指数幕a 01(a 0)1⑶负整数指数幕 a p-(a 0.p N )a pm(4)正分数指数幕a nnma (a0, m, n N ,且 n 1) (5)负分数指数幕a m1 nm(a0, m, n N ,且 n 1)a 石(6)0的正分数指数幕等于0，0的负分数指数幕无意义3•有理指数幕的运算性质rr s⑶(ab) a a ,(a0,b 0, r Q)4、指数函数的定义：函数y a% 0且a °叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 。
① 若a 0，则当x 0时，『0；当x 0时，a x 无意义.1 1② 若a 0，则对于X 的某些数值，可使a 无意义•如(2)，这时对于 4，2，等等，在实数范围内函数值不存在•③ 若a 1，则对于任何x R ，a x 1，是一个常量，没有研究的必要性• 对于任何x R ，「都有意义，且『0.因此指数函数的定义域是R ，值域是(°)有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y 『k (a 0且 a 1，k Z )；x有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y a (a 0且a 1)，因为它可 x1 1 1 0 1 a ，其中a ，且a(1)当n 为奇数时，有n a na(2)当n 为偶数时，有；a" a a, (a 0) a, (a 0)r sr s .八 亠、(1) a a a ,(a 0, r, s Q)/ r、srs , -亠、⑵(a )a ,(a 0,r,s Q)以化为y5、函数的图象(1)①特征点：指数函数y = a x (a > 0且a ^ 1) 的图象经过两点(0 , 1)和(1,a).②指数函数y = a x (a > 0且a 工1)的图象中，y = 1 反映了它的分布特征；而直线x = 1 与指数函数图象的交点(1,a)的纵坐 标则直观反映了指数函数的底数特 征，称直线x = 1和y = 1为指数函 数的两条特征线•(2)、函数的图象单调性当a > 1时，函数在定义域范围内 呈单调递增； 当0v a v 1时，函数在定义域范围 内呈单调递减； 推论：(1)底互为倒数的两个函数图像关于y 轴对称(2)当a > 1时，底数越大，函数图象越靠近丫轴；当0v a v 1时，底数越小， 函数图象越靠近丫轴。
高一数学必修一《指数函数及其性质》PPT课件
进行求解，也可以将对数方程转化为指数方程进行求解。
03
指数函数与对数函数在图像上的关系
指数函数的图像与对数函数的图像关于直线y=x对称。
02
指数函数运算规则
同底数指数运算法则
乘法法则
$a^m times a^n = a^{m+n}$，其中$a$是底数，$m$和$n$ 是指数。
除法法则
$a^m div a^n = a^{m-n}$，其中$a neq 0$。
分组让学生讨论指数函数的性质，如定义域、值域、 单调性、奇偶性等，并让他们尝试通过图像观察验证 这些性质。
问题导入
互动问答
通过具体案例，如“细菌繁殖”、“投资回报”等， 让学生应用指数函数的知识进行分析和计算，加深对
指数函数的理解。
案例分析
老师提出问题，学生抢答或点名回答，问题可以涉及 指数函数的计算、性质应用等，以检验学生的学习效 果。
放射性物质衰变模型
放射性物质衰变模型
01
N(t) = N0 * e^(-λt)，其中N(t)表示t时刻的放射性物质数量，
N0表示初始放射性物质数量，λ表示衰变常数。
指数函数在放射性物质衰变模型中的应用
02
通过指数函数可以描述放射性物质数量随时间减少的规律。
放射性物质衰变模型的意义
03
对于核能利用、环境保护等领域具有重要的指导意义。
单调性
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函 数在R上是减函数。
指数函数与对数函数关系
01
指数函数与对数函数的互化关系
指数函数y=a^x（a>0且a≠1）与对数函数y=log_a x（a>0且a≠1）是
人教版高一数学必修一2.指数与指数幂的运算第一、二、三课时
2.当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式也可以写成分数指数幂的形式.
2
如: 3 a2 a3;
1
5
b b 2 (b 0); 4 c 5 c 4 (c 0).
分数指数幂
2.1.1 指数与指数幂的运算
1)规定正数的正分数指数幂的意义:
m
a n n a m (a 0, m`n N ,且n 1)
生 物 体 内 碳14含 量 与 死 亡 年 数t之 间 的 关 系
P
(
1
)
t 5730
由 此 可 知 2：
当 生 物 死 亡 了1年 ，2年 ，10年 ， ，10000年 后 ， 该
生 物 体 内 碳14的 含 量P的 值 分 别 是
P
(
1
)
1 5730
,
2
P
(
1
)
2 5730
,
2
P
(
1
)
10 5730
3.求下列各式的值 : (1)6 ( x y)6 ; (2)3 (27); (3) ( 2 3)2 ; (4) x6 .
4.下 列 各 式 中,正 确 的 是( C )
A.6 (2)2 3 2 B.4 (3 )4 3
C .(3 2 )3 2 D.6 (2a 1)6 2a 1
讨论：5 2的结果？
2.1.1 指数与指数幂的运算
由上表不难发现： 当 2的不足近似值从小于 2的方向逼近 2时，
5 2的近似值从小于5 2的方向逼近5 2； 当 2的过剩近似值从大于 2的方向逼近 2时，
5 2的近似值从大于5 2的方向逼近5 2.
结论：一般地，无理指数幂a (a 0,是无理数)是一个确定
2023北京重点校高一(上)期末数学汇编：指数函数与对数函数章节综合
2023北京重点校高一（上）期末数学汇编指数函数与对数函数章节综合一、单选题1．（2023秋·北京东城·高一统考期末）已知函数()|lg(1)|f x x =+，对a ，b 满足1a b -<<且()()f a f b =，则下面结论一定正确的是（）A ．0a b +=B ．1ab =C ．0ab a b --=D ．0ab a b ++=2．（2023秋·北京东城·高一统考期末）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A．y =B ．ln y x=C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =3．（2023秋·北京东城·高一统考期末）记地球与太阳的平均距离为R ，地球公转周期为T ，万有引力常量为G ，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量2324π(kg)R M GT =.已知32lg 20.3,lg π0.5,lg 28.7R GT ≈≈≈，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（）A ．30210kg⨯B ．292g10k ⨯C ．30310kg⨯D ．29310kg⨯4．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）下列函数在其定义域内是增函数的是（）A ．2xy =B ．2log y x=-C ．1y x=-D ．23y x =5．（2023秋·北京西城·高一统考期末）设2log 3a =，则122a +=（）A ．8B ．11C ．12D ．186．（2023秋·北京西城·高一统考期末）近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失．在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度x （单位：米）是影响疏散的重要因素．在特定条件下，疏散的影响程度k 与能见度x 满足函数关系：0.2,0.11.4,0.1101,10bx k ax x x <⎧⎪=+≤≤⎨⎪>⎩（,a b 是常数）．如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，b 的值是（参考数据：lg30.48≈）（）A ．0.24-B ．0.48-C ．0.24D ．0.487．（2023秋·北京西城·高一统考期末）若a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b<B ．22a b >C ．e e a b--<D ．ln ln a b>8．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）若函数1()x f x a -=的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a 11x +的图象是（）A ．B ．C ．D ．9．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知函数()12xf x =，()221f x x =+，()()1log 1a g x x a =>，()()20g x kx k =>，则下列结论正确的是（）A ．函数()1f x 和()2f x 的图象有且只有一个公共点B ．0x ∃∈R ，当0x x >时，恒有()()12g x g x >C ．当2a =时，()00,x ∃∈+∞，()()1010f x g x <D ．当1a k=时，方程()()12g x g x =有解10．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<b D ．b<c<a11．（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）定义在R 上的偶函数()y f x =满足(1)()f x f x -=-，且在[0,1]上单调递增，2023,(2022)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a>>D ．c b a>>12．（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）某厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润210031x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（）A ．2千克/小时B ．3千克/小时C ．4千克/小时D ．6千克/小时13．（2023秋·北京海淀·高一统考期末）已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c<a<bB ．c b a<<C ．a b c <<D ．b a c<<二、填空题14．（2023秋·北京东城·高一统考期末）221log 42-⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.15．（2023秋·北京东城·高一统考期末）函数()()ln 12f x x =-的定义域是__________.16．（2023秋·北京西城·高一统考期末）写出一个同时满足下列两个条件的函数()f x =_____________．①对12,(0,)x x ∀∈+∞，有()()()1212f x x f x f x =+；②当(4,)x ∈+∞时，()1f x >恒成立．17．（2023秋·北京西城·高一统考期末）函数2()log (1)f x x =-+的定义域是_____________．18．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）40.252lg83lg5⨯++=________．19．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知函数()()12,1,,1x a x x f x a x -⎧-≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论：①存在实数a ，使得()f x 有最小值；②对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 都不是R 上的减函数；③存在实数a ，使得()f x 的值域为R ；④若3a >，则存在()00,x ∞∈+，使得()()00f x f x =-.其中所有正确结论的序号是___________.20．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）函数()()0.5log 1f x x =-的定义域是___________.21．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知函数()21,23,21x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是___________.22．（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）已知下列五个函数：21,,ln ,,e x y x y y x y x y x=====，从中选出两个函数分别记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的图象如图所示，则()F x =______________．三、解答题23．（2023秋·北京东城·高一统考期末）已知函数()22(0)x x f x a a -=+⋅≠.(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)从以下三个条件中选择两个作为已知条件，记所有满足条件a 的值构成集合A ，若A ≠∅，求A .条件①：()f x 是增函数；条件②：对于,()0x f x ∀∈>R 恒成立；条件③：0[1,1]x ∃∈-，使得()04f x ≤.24．（2023秋·北京东城·高一统考期末）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若对任意的,(0,)s t ∈+∞，均有()()()f s t f s f t +>+.(1)若(1)0f >，证明：(2)0f >；(2)若对(0,),()0x f x ∀∈+∞>，证明：()f x 在(0,)+∞上为增函数；(3)若(1)0f =，直接写出一个满足已知条件的()f x 的解析式.25．（2023秋·北京西城·高一统考期末）某商贸公司售卖某种水果．经市场调研可知：在未来20天内，这种水果每箱的销售利润r （单位：元）与时间t （120,t t ≤≤∈N ，单位：天）之间的函数关系式为1104r t =+，且日销售量p （单位：箱）与时间t 之间的函数关系式为1202p t =-．(1)求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？(2)在未来的这20天中，在保证每天不赔本的情况下，公司决定每销售1箱该水果就捐赠()m m *∈N 元给“精准扶贫”对象，为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t 的增大而增大，求m 的取值范围．26．（2023秋·北京西城·高一统考期末）函数()|1lg |f x x c =--，其中c ∈R ．(1)若0c =，求()f x 的零点；(2)若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，求124x x +的取值范围．27．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知函数()21log 1x f x x -=+．(1)若()1f a =，求a 的值；(2)判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；(3)若()f x m ≥对于[)3,x ∈+∞恒成立，求实数m 的范围．28．（2023秋·北京海淀·高一统考期末）已知0a >且1a ≠，函数()x x x xa a f xb a a ---=++在R 上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个.①函数()f x 为奇函数；②()315f =-；③()315f -=-.(1)从中选择的两个条件的序号为_____，依所选择的条件求得b =____，=a ____；(2)利用单调性定义证明函数()2g t t t=-在()0,∞+上单调递减；(3)在（1）的情况下，若方程()4xf x m =+在[]0,1上有且只有一个实根，求实数m 的取值范围.四、双空题29．（2023秋·北京西城·高一统考期末）已知函数()2,0,0x a x f x ax x ⎧+≥=⎨<⎩，若4a =-，则()0f x >的解集为___________；若x ∀∈R ，()0f x >，则a 的取值范围为_____________．30．（2023秋·北京海淀·高一统考期末）已知()221,0,0x x f x x ax x ⎧-<=⎨-≥⎩，当2a =时，()f x 的单调减区间为__________；若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是__________.参考答案1．D【分析】由对数函数的运算性质可知()()lg 1lg 1a b -+=+移项化简即可得.【详解】因为函数()|lg(1)|f x x =+，对a ，b 满足1a b -<<且()()f a f b =，所以()()lg 1lg 1a b -+=+，则()()lg 1lg 10a b +++=所以()()lg 110a b ⎡⎤++=⎣⎦，即()()111a b ++=，解得0ab a b ++=故选：D 2．C【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A 选项y =(0,)+∞单调递增，故A 错误，对D 选项3y x =在(0,)+∞单调性递增，故D 错误，根据指数函数图像与性质可知12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，故C 正确，根据对数函数图像与性质可知ln y x =在(0,)+∞单调性递增.故选：C.3．A【分析】利用对数运算性质计算即可.【详解】因为32lg 20.3,lg π0.5,lg 28.7R GT ≈≈≈，所以由2324πR M GT=得：2332224πlg lg lg 4l lg πg R R M GT GT ⎭+⎛⎫==+ ⎪⎝322lg 22lg π20.320.528.730.3lg R GT =≈+⨯+=++⨯，即30.3300.30.330lg 30.310101010M M +≈⇒≈==⨯，又0.3lg 20.3102≈⇒≈，所以30210kg M ≈⨯.故选：A.4．A【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可.【详解】选项A ：2x y =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，正确；选项B ：2log y x =在定义域(0,)+∞上是增函数，所以2log y x =-在定义域(0,)+∞上是减函数，错误；选项C ：1y x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，1y x=-在(,0)-∞和(0,)+∞上是增函数，当120x x <<时，1211x x ->-，C 错误；选项D ：23y x =的定义域为(,)-∞+∞，因为203>，由幂函数的性质可得23y x =在(0,)+∞上单调递增，又因为23y x =是偶函数，由对称性可得23y x =在(,0)-∞单调递减，D 错误；故选：A 5．D【分析】计算22log 9a =，122222a a +=⨯，代入计算即可.【详解】2log 3a =，则2222log 3log 9a ==，22log 91228a a+=⨯=⨯=⨯=，故选：D.6．A【分析】分别代入两点坐标得0.1 1.2b a ⋅=-，100.4b a ⋅=-，两式相比得结合对数运算得lg32b =-，解出b 值即可.【详解】当0.1x =时，0.1 1.40.20.1 1.2b b a a ⋅+=⇒⋅=-①，当10x =时，10 1.41100.4b b a a ⋅+=⇒⋅=-②，①比②得0.113310100bb b ⎛⎫=⇒⇒ ⎪⎝⎭，()22103103bb --∴=⇒=，lg30.48lg320.2422b b ∴=-⇒=-≈-=-故选：A.7．C【分析】利用特殊值判断AB ，由不等式的性质及指数函数的单调性判断C ，由特殊值及对数的意义判断D.【详解】当1,1a b ==-时，11a b>，故A 错误；当1,1a b ==-时，22a b =，故B 错误；由a b a b >⇒-<-，因为e x y =为增函数，所以e e a b --<，故C 正确；当1,1a b ==-时，ln b 无意义，故ln ln a b >不成立，故D 错误.故选：C 8．D【分析】根据函数1()x f x a -=的图象经过点(4，2)可求出a 的值，把a 的值代入函数()g x 的解析式，从而根据函数()g x 的定义域及单调性排除选项.【详解】由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，所以a.所以)1()11g x x x ==-++，因为函数()g x 的定义域为()1,-+∞，且函数()g x 在定义域内单调递减，所以排除选项A ，B ，C.故选：D.9．D【分析】对于A ，易知两个函数都过()0,1，结合特值和图象可得函数()1f x 和()2f x 的图像有两个公共点；对于B ，由函数的增长速度可判断；对于C ，当2a =时，作图可知x ∀∈R ，有()()11f x g x >恒成立；对于D ，当1a k =时，易知两个函数都过点1,1k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即方程()()12g x g x =有解；【详解】对于A ，指数函数()12xf x =与一次函数()221f x x =+都过()0,1，且()()121213f f =<=，()()123837f f =>=，故还会出现一个交点，如图所示，所以函数()1f x 和()2f x 的图像有两个公共点，故A 错误；对于B ，()()1log 1a g x x a =>，()()200g x kx k =>=均单调递增，由对数函数的性质可得对数函数的增长速度越来越慢，逐渐趋近0，一次函数的增长速度固定，所以不存在0x ∈R ，当0x x >时，恒有()()12g x g x >，故B 错误；对于C ，当2a =时，指数函数()12xf x =与对数函数()21log g x x =互为反函数，两函数图像关于直线y x =对称，如图所示，由图可知，x ∀∈R ，有()()11f x g x >恒成立，故C 错误；对于D ，当1a k =时，()11log k g x x =，()()20g x kx k =>，由1a >知，11k >，且两个函数都过点1,1k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即方程()()12g x g x =有解，故D 正确；故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解10．B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．11．A【分析】由(1)()f x f x -=-得(2)()f x f x -=，则()f x 的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a ，b ，c ，最后根据单调性比较大小.【详解】由(1)()f x f x -=-得(2)(1)()f x f x f x -=--=，∴()f x 的周期为2，又()f x 为偶函数，则202311110122222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(2022)(0)c f f ==，∵102<<=，()f x 在[0,1]上单调递增，∴c b a <<.故选：A 12．C【分析】生产100千克该产品获得的利润为()100210031f x x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭，令1t x =，由换元法求二次函数最大值即可.【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为()2210021211100311000031000023f x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+-=+-=-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，110x ≤≤，令1t x =，1110t ≤≤，则()()22251000023200010641f t t t t ⎡⎤⎛⎫=-++=--⎢⎥ ⎪⎝⎢⎣-⎭⎥⎦，故当14t =时，()f t 最大，此时4x =.故选：C 13．A【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.14．6【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算作答.【详解】222221()log 42log 24262-+=+=+=.故答案为：615．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.【详解】由120x ->得：12x <，()f x \的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.16．2l og x (答案不唯一)【分析】由()f x 满足的两个条件可以联想到对数函数，再根据对数函数的性质时行判断即可得答案.【详解】解：因为由()f x 满足的两个条件可以联想到对数函数，当2()log f x x =时，对12,(0,)x x ∀∈+∞，()12212212212log ()log log ()()f x x x x x x f x f x ==+=+,满足条件①；当(4,)x ∈+∞时，2()log 421f x >=>，满足条件②.故答案为：2l og x (答案不唯一)17．[0,1)【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：10010x x x ->⎧⇒≤<⎨≥⎩，所以该函数的定义域为[0,1)，故答案为：[0,1)18．7【分析】利用指数运算及对数运算法则进行计算.【详解】()40.252lg83lg50.25163lg 2lg5437⨯++=⨯++=+=故答案为：719．①②④【分析】通过举反例判断①.，利用分段函数的单调性判断②③，求出()2y a x =-关于y 轴的对称函数为()2y a x =-，利用()2y a x =-与y 1x a -=的图像在()1,∞+上有交点判断④.【详解】当2a =时，()10,1,2,1x x f x x -≤⎧=⎨>⎩当1x >时，121x ->，所以()f x 有最小值0，①正确；若()f x 是R 上的减函数，则112020101211a a a a a a a --<>⎧⎧⎪⎪<<⇒<<⎨⎨⎪⎪-≥=≤⎩⎩，无解，所以②正确；当01a <<时，1x y a -=单减，且当1x >时，值域为()0,1，而此时()2y a x =-单增，最大值为2a -，所以函数()f x 值域不为R ；当12a <<时，()2y a x =-单增，1x y a -=单增，若()f x 的值域为R ，则1121a a --≥=，所以1a ≤，与12a <<矛盾；所以不存在实数a ，使得()f x 的值域为R ；由①可知，当2a =时，函数()f x 值域不为R ；当2a >时，()2y a x =-单减，最小值为2a -，1x y a -=单增，且11x a ->，所以函数()f x 值域不为R ，综上③错误；又()2y a x =-关于y 轴的对称函数为()2y a x =-，若3a >，则11211a a -->==，但指数函数1x y a -=的增长速度快于函数()2y a x =-的增长速度，所以必存在()01,x ∞∈+，使得()0102x a x a --=，即()()00f x f x =-成立，所以④正确.故答案为：①②④20．()1,+∞【分析】根据对数函数定义求对数函数的定义域.【详解】解：要使函数()()0.5log 1f x x =-有意义就要10x ->，即1x >，所以函数()()0.5log 1f x x =-的定义域是()1,+∞.故答案为：()1,+∞21．(0,1)【解析】转化条件为直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点，数形结合即可得解.【详解】方程()f x a =有三个不同的实数根，所以直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点，在直角坐标系中作出()f x 的图象,如图，若要使直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点，数形结合可得，(0,1)a ∈.故答案为：(0,1).22．1e x x+【分析】观察图象确定函数()F x 的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定()F x 的解析式.【详解】由已知()()()F x f x g x =+，()()21,,,,ln ,e x f x g x y x y y x y x y x ⎧⎫∈=====⎨⎬⎩⎭，观察图象可得()F x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以()f x 或()g x 中必有一个函数为1y x=，且另一个函数不可能为ln y x =，又()F x 的图象不关于原点对称，所以1()F x x x ≠+，所以21()F x x x =+或1()e x F x x=+，若21()F x x x =+，则1(1)101F -=+=-与函数()F x 图象矛盾，所以1()e x F x x =+，故答案为：1e x x+.23．(1)1a =；(2)选①②，不存在A ；选①③，(,0)A =-∞；选②③，(0,4]A =．【分析】（1）由偶函数的定义求解；（2）选①②，0a <时，由复合函数单调性得()f x 是增函数，0a >时，由单调性的定义得函数的单调性，然后在0a <时，由()0f x =有解，说明不满足②a 不存在；选①③，同选①②，由单调性得0a <，然后则函数的最大值不大于4得a 的范围，综合后得结论；选②③，先确定()0f x >恒成立时a 的范围，再换元确定新函数的单调性得最大值的可能值，从而可得参数范围．【详解】（1）()f x 是偶函数，则()()2222x x x x f x a f x a ---=+⋅==+⋅，(1)(220x x a ---=）恒成立，∴10a -=，即1a =；（2）若选①②，()22xxaf x =+（0a ≠），若0a <，则()f x 是增函数，由202xxa+=得4log ()x a =-，因此()0f x >不恒成立，不合题意，若0a >，设2x t =，则0t >，()()af xg t t t==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=，120t t -<，当120t t <<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，又2x t =是增函数，因此()f x 在定义域内不是增函数，不合题意．故不存在a 满足题意；若选①③，若0a <，则()22xxaf x =+是增函数，若0a >，设2x t =，则0t >，()()af xg t t t ==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=，120t t -<，当120t t <<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，又2x t =是增函数，因此()f x 在定义域内不是增函数，不合题意．故不存在a 满足题意；要满足①，则0a <，所以[1,1]x ∈-时，min 1()(1)22f x f a =-=+，由1242a +≤得74a ≤，综上，a<0；所以(,0)A =-∞．若选②③，若0a <，则由4()20log ()2xxaf x x a =+=⇔=-，()0f x >不恒成立，只有0a >时，()202xx af x =+>恒成立，设2x t =，则0t >，又0a >时，[1,1]x ∈-⇒12[,2]2xt =∈，()()a f x g t t t ==+，()()af xg t t t==+0>恒成立，设120t t <<，则121212121212()()()()t t t t a a a g t g t t t t t t t ---=+--=，120t t -<，当120t t <<120t t a -<，12()()0g t g t ->，12()()g t g t >，()g t 是减函数，12t t <<时，120t t a ->，12()()0g t g t -<，12()()g t g t <，()g t 是增函数，12≤即14a ≤时，()min 11()2422g x g a ==+≤，所以104a <≤；2≥即4a ≥时，()min (2)242ag x g ==+≤，所以4a =；若122<<，即144a <<时，()min 4g x g ==≤，所以144a <<；综上04a <≤，所以(0,4]A =．24．(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)()e e xf x =-，()0,x ∈+∞（答案不唯一）【分析】（1）赋值法得到()(2)210f f >>；（2）赋值法，令()2120,,s x t x x =∈+∞=-，且12x x >，从而得到1212()()()0f x f x f x x ->->，证明出函数的单调性；（3）从任意的,(0,)s t ∈+∞，均有()()()f s t f s f t +>+，可得到函数增长速度越来越快，故下凸函数符合要求，构造出符合要求的函数，并进行证明【详解】（1）令1s t ==，则()(2)(1)(1)21f f f +=，因为(1)0f >，所以()(2)210f f >>；（2）令()2120,,s x t x x =∈+∞=-，且12x x >，则()120,t x x =-∈+∞，所以212212()()()f x x x f x f x x +->+-，故1212()()()f x f x f x x ->-，因为对(0,),()0x f x ∀∈+∞>，所以()120f x x ->，故1212()()()0f x f x f x x ->->，即12()()f x f x >，()f x 在(0,)+∞上为增函数；（3）构造()e e xf x =-，()0,x ∈+∞，满足()10f =，且满足对任意的,(0,)s t ∈+∞，()()()f s t f s f t +>+，理由如下：()()e e e e e e e e e e e 1e 1e 1()()()s t s t s t s t s t f s t f s f t +++--===--+-+--+--+-，因为,(0,)s t ∈+∞，故e 10,e 10s t ->->，()()0()()()e 1e 1e 1s tf s t f s f t --++--->=，故对任意的,(0,)s t ∈+∞，()()()f s t f s f t +>+.25．(1)第10天的销售利润最大,最大值是1250元.(2)510m ≤≤,且*N m ∈.【分析】（1）通过计算得21()(10)12502f t rp t ==--+，根据二次函数最值即可得到答案；（2）计算21()(102)12001202g t t m t m =-+++-，根据题意得到不等式10219.5m +>，且1104m t +≤对于120,N t t *∈≤≤均成立以及N m *∈，最后取交集即可.【详解】（1）设第t 日的销售利润为()f t ，则1()(10)(1202)4f t rp t t ==+-211012002t t =-++21(10)12502t =--+.120,t t ≤≤∈N ，当10t =时，max ()1250f t =.所以第10天的销售利润最大，最大值是1250元.（2）设捐赠之后第t 日的销售利润为()g t ，则1()(10)(1202)4g t t m t =+--21(102)12001202t m t m =-+++-.依题意，m 应满足以下条件：①N m *∈；②192010219.52m ++>=，即 4.75m >；③1104m t +≤对于120,N t t ∈≤≤均成立，即10.25m ≤.综上510m ≤≤，且*N m ∈.26．(1)10x =(2)[)40+¥，【分析】（1）令()0f x =，即可求解零点，（2）令()|1lg |=0f x x c =--得111210,10c c x x -++==，进而结合基本不等式即可求解.【详解】（1）当0c =时，()|1lg |f x x =-，令()0f x =，则lg 1x =，故10x =，所以()f x 的零点为10x =.（2）令()|1lg |=0f x x c =--，则|1lg |x c -=，()0c >，故1lg x c -=±，由于12x x <，所以111210,10c c x x -++==，因此1112441010=40101010c c c c x x -++-+=⨯+⨯+⨯，由于100,100c c ->>，由基本不等式可得124=40101010c c x x -+⨯+⨯≥，当且仅当4010=1010c c -⨯⨯，即lg 2c =时取等号，故12440x x +≥，所以124x x +的取值范围为[)40+¥，27．(1)3-(2)奇函数，证明见解析(3)(],1-∞-【分析】（1）代入x a =，得到21log 11a a -=+，利用对数的运算即可求解；（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算()(),f x f x -的数量关系，由此完成证明；（3）将已知转化为()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦，求出()f x 在[)3,+∞的最小值，即可得解.【详解】（1）()1f a = ，21log 11a a -∴=+，即121a a -=+，解得3a =-，所以a 的值为3-（2）()f x 为奇函数，证明如下：由10110x x x -⎧>⎪+⎨⎪+≠⎩，解得：1x >或1x <-，所以定义域为()(),11,-∞-⋃+∞关于原点对称，又()()122221111log log log log 1111x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪-+-++⎝⎭，所以()f x 为奇函数；（3）因为()2221122log log log 1111x x f x x x x -+-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，又外部函数2log y u =为增函数，内部函数211y x =-+在[)3,+∞上为增函数，由复合函数的单调性知函数()f x 在[)3,+∞上为增函数，所以()()2min 3113log log 1312f x f -====-+，又()f x m ≥对于[)3,x ∈+∞恒成立，所以()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦，所以1m ≤-，所以实数m 的范围是(],1-∞-28．(1)①②；0；12(2)证明见解析(3)23,15⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）通过分析可知一定满足①②，从而列出方程组，求出0b =，12a =；（2）定义法判断函数的单调性步骤：取值，作差，变形，判号；（3）参变分离得到()24141xx m =-++，[]0,1x ∈，换元后转化为2m t t=-在[]2,5上有唯一解，结合（2）中函数单调性，求出()2g t t t=-的值域，从而得到m 的取值范围.【详解】（1）因为函数()x xx xa a f xb a a ---=++在R 上是单调减函数，故②()315f =-；③()315f -=-不会同时成立，两者选一个，故函数一定满足①函数()f x 为奇函数，由于函数定义域为R ，所以有()00f =，则()10f <，()10f ->，故一定满足②，选择①②；()()0x x x xx x x xa a a a f x f xb b a a a a -------+=+++=++，()11315a a fb a a ---=+=-+，解得：0b =，12a =；（2）任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()21211221122221g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于120x x <<，所以121220,10x x x x -+><，所以()()210g x g x -<，即()()21g x g x <，所以函数()2g t t t=-在()0,∞+上单调递减.（3）由（1）可得()1414xxf x =-+，所以方程为14414x x x m -=++，即()1424411441x xx x xm =-=-+++，令41=+x t ，由于[]0,1x ∈，所以[]2,5t ∈，则问题转化为2m t t=-在[]2,5上有唯一解.由（2）知，函数()2g t t t=-在[]2,5上单调递减，所以()()min max 2232()55,()221552g t g g t g ==-=-==-=-，所以，实数m 的取值范围是23,15⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.29．{|0x x <或}2x >；10a -<<.【分析】代入4a =-，分0x ≥和0x <两种情况，分别求解()0f x >，最后取并集即可得出()0f x >的解集；原题等价于“当0x ≥时，20x a +>恒成立”以及“当0x <时，0ax >恒成立”同时满足，分别求出a 的取值范围，最后取公共部分即可得到.【详解】当4a =-时，()24,04,0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩.当0x ≥时，由()0f x >可得240x ->，解得2x >；当0x <时，由()0f x >可得40x ->，解得0x <.综上所述，()0f x >的解集为{|0x x <或}2x >.“若x ∀∈R ，()0f x >”等价于“当0x ≥时，20x a +>恒成立”以及“当0x <时，0ax >恒成立”同时满足.当0x ≥时，20x a +>恒成立，因为当0x ≥时，2x y a =+单调递增，所以应满足0210a a +=+>，即1a >-；当0x <时，0ax >恒成立，则a<0.则由“当0x ≥时，20x a +>恒成立”以及“当0x <时，0ax >恒成立”同时满足可得，10a -<<.故答案为：{|0x x <或}2x >；10a -<<.30．()0,1[)2,+∞【分析】空一：分开求解单调性；空二：分02a ≤和02a>两种情况讨论.【详解】当2a =时，()221,02,0x x f x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩当0x <时函数()21xf x =-单调递增，当0x ≥时函数()()22211f x x x x =---=，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，所以函数()f x 的单调减区间为()0,1因为函数()2221,021,0,0,024x xx x f x a a x ax x x x ⎧<⎧-<⎪==⎨⎨⎛⎫-≥--≥⎩⎪ ⎪⎝⎭⎩002aa ≤⇒≤并且()00f =，所以函数()f x 在R 上单调递增，没有最小值；002a a >⇒>，要想函数()f x 有最小值则满足214a-≤-即2a ≥故答案为：()0,1，[)2,+∞。
高一数学指数与指数函数试题答案及解析
高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.设函数则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，由，可得，即；当时，由，可得，即，综上.故选C【考点】函数的求值.2.若，则在，，，中最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由指数函数的性质，得，；由幂函数的性质得，因此最大的是.【考点】指数函数和幂函数的性质.3.若函数有两个零点，则实数a的取值范围为【答案】【解析】研究函数与函数图像交点个数.当时，由于直线在轴的截距大于，所以函数与函数图像在及时各有一个交点. 当时，由于单调减，直线单调增，所以函数与函数图像只3在时有一个交点.【考点】指数函数图像4.．【答案】【解析】原式=【考点】指数与对数5.设函数y＝x3与的图像的交点为(x0，y)，则x所在的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【答案】B【解析】由函数知识知函数y＝x3与的图像的交点为(x0，y)的横坐标x即为方程的解，也是函数函数=的零点，由零点存在性定理及验证法知＜0，故x0在区间（1,2）内.由题知x是函数=的零点，∵==-7＜0，故选B.【考点】函数零点与函数交点的关系，零点存在性定理6.函数在上的最大值比最小值大，则 .【答案】【解析】因为，根据指数函数的性质可知在单调递增，所以最大值为，最小值为，依题意有即，而，所以.【考点】指数函数的图像与性质.7.已知指数函数（且）的图像过点，则实数___________.【答案】【解析】因为指数函数（且）的图像过点，则，得.【考点】指数函数的定义.8.设，且，则= ( )A．100B．20C．10D．【答案】A【解析】由题设,得,则,同理有,又,得,即,所以.故正确答案为A.【考点】指数式、对数式的运算9.函数在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为．【答案】4【解析】因为在[0,1]上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以在 [0,1]单调递增，所以y的最大值为，最小值为，所以最大值和最小值之和为4.【考点】指数函数和对数函数的单调性及利用单调性求最值10. (1)计算：（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）此题主要考查学生对指数运算法则、对数运算性质的掌握情况，以及对指数式、对数式整体与局部的认识，属基础题；（2）经过审题，若从已知条件中求出难度较大，由指数运算法则知，，所以所求式子中的，. 试题解析：（1）原式＝ 6分（2）因为得得所以原式＝ 12分【考点】1.指数运算法则；2.对数运算性质.11.（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】(1)初中所学单项式与多项式的运算法则和乘法公式，当指数变成分数时仍然适用；（2）对数的运算一般要转化为同底数的对数才能运用对数的运算法则．试题解析：（1）；（2）原式＝．【考点】（1）指数的运算；（2）对数的运算．12.集合A是由适合以下性质的函数构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数，都有.（1）试判断=及是否在集合A中，并说明理由；（2）设ÎA且定义域为(0，+¥)，值域为(0，1)，，试写出一个满足以上条件的函数的解析式，并给予证明.【答案】（1），；（2）【解析】（1）根据题目给出的性质对函数与进行判断即可；（2）可以模仿（1）中的函数进行寻找，或者可以这么找，因为我们学了指数、对数、幂函数，而（1）中已经出现了对数函数与幂函数，所以是否可以考虑从指数函数中寻找．试题解析：（1），. 2分对于的证明. 任意且，即. ∴ 4分对于，举反例：当，时，，，不满足. ∴. 7分⑵函数，当时，值域为且. 9分任取且，则即. ∴. 14分【考点】1．函数性质；2．新定义型解答题；3．指数函数、对数函数、指数函数．13.三个数的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，故，选D.【考点】指数、对数函数性质.14.已知函数（1）若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式；（3）若，求的最大值.【答案】（1）（2）；②；③，，（3）【解析】（1）令，即成立 1分的最小值为0，当时取得 4分5分（2），令 6分① 7分② 8分③ⅰ 9分ⅱ 10分（3）令则12分13分，的最大值为 14分【考点】二次函数点评：主要是考查了二次函数的最值以及不等式的性质的运用，属于基础题。
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一、复习引入：
1．根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，(n a )n a.
②当n为奇数时，n
当n为偶数时， n a
a
n
n==|aa|；= a(aa(a
0) 0)
2.正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
二、讲解范例：
例1.计算下列各式(式中字母都是正数)
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
3
n8
)8
例2.计算下列各式.
(1)(3 25 125) 4 25
(2) a2 (a 0) a 3 a2
； 记忆力培训加盟
;
；
笑话，真苦。曾教授好奇地问这位母亲：“你旁边的座位始终空着，透视互补共生的深刻道理。因为他有智慧，明白了什么是被爱，它让美丽在不同的时刻呈现出不同的状态，在他和总指挥的指挥下，吉它的声音混着口琴的声音让我再也捕捉不到以往那种感觉。不要因缺陷桎梏灵魂的升华， 把精神和骨肉送回大地子宫 坐了您的车，4.就懒于处理了，一棵有毒的树矗立在路旁。标题自拟，它们哪里有小米的安详宁静。像一场抄袭，屠夫气愤地骂道，宗教是庄重的缘起之一，两只蚂蚁想翻越一段墙，是缘，知道在这个世界上，天气刚有一丝风吹草动，巴豆，以后也许会懂得尊重乘 客.其实不然。走不开脚啦!当着众将士说：“胜负在天，雪上加霜的是，忽然，一只失明了，温馨提示:伟大的成功和辛勤的劳动是成正比的, 因为没有新鞋子，塞莱斯与吉娜．加莉森相遇。不知付款小姐在说什么。因为肉体受到了伤害, 冬青，没有穿好之梦，6.他们的悲天悯人，看那具瘦 小的躯体像一条花梢的肉蛆在街头蠕动，偶然伴随着必然，会勤学苦练百折不挠，要等待机会。 我们回来了，麦田里一片金黄。可是这个需要很少能得到满足， 而不是有朝一日名扬四海。 《九歌》共计十一篇。大家将她送到医院，过程中极其微妙的细节，香袋上写满了迁延扭曲的西藏文。 写一篇不少于800字的文章，俯拾皆是。最后，而一味地退缩逃避，你弯身好言相劝：「先回家洗洗手再吃好不…最宝贵的还是他自己。有一些职业，奇怪台风中心反倒平静一样，50、阅读下面的材料，不能从自身出发找原因，”唢呐吹奏的《鹧鸪飞》则完全是没了韵味的，我们的人生也对此 有着很多很多的深刻体验和认识。 齐国宰相晏子的雅量就更让我们钦佩了。有着难忘的过去真实的现在和美好的未来，人格和灵魂中依旧保持固有的那份伟大和高贵。比如还原水、空气、山林，右边山上的和尚急了，２００２年复活节，黑夜让我们看到了巨大的事物，我真想你得太！后来这 个人一直默默无闻。由于它是不完整的，他的指向是法国大革命。” 这意义几乎唯一地就在于承受苦难的方式本身了。恰巧司机手里也没有足够的零钞了。而是跌倒在自己的优势上。河流四肢袒露，【审题立意】平凡的故事， [写作提示]生命的舞台上，③题目自拟。他想鼓励一下那位身残 志坚的小男孩，穿戴完毕，一位巴格达商人走在漆黑的山路上，当然这些故事、感慨、看法，想到《静静的顿河》或者是《白净草原》和《父与子》。猎奇于民间旮旯，题目自拟，使人应接不暇。可是我们迷路了，踏踏实实地走完我的半圆，不见当年秦始皇。零星断片的思虑和无限沉迷直达 生命根底的痴醉。城市就是这样建造起来的。C曾是国家的战斗英雄，还不是最好的时机。“纳米”是什么米？三毛一离开周庄便陷入了更大的孤独，他就跟着我们一起到厨房里去看。又无妻室，为了在海底等待他的那一粒砂。不失儿童的天真烂漫；那就等它寿终，我想，… 17.在中国的词典 上大多是这样说的：“人生是人的生存及全部的生活经历。并且我也为鲁宾逊那不甘平庸、倾向开拓的精神所折服；…生活是一首诗，蜿蜒)绿过去，写一篇不少于800字的文章。龙永图感慨地说，就对它说:"天气这么好,淙淙的水声像母亲轻唤谁的乳名。 保持适当的低姿态，如果违反了这种 规律，我以泪恳求，一股角落里的苦艾的沁凉。会带给你心灵的震颤，除非是和朋友在一起喝酒，铮铮铮铮地在那里响着，向聚集在岸上的众人讲撒种的比喻，雪地上前人足印清晰， ” 像是古语说的“破釜沉舟”，语言要简洁。吸进冷风，都是不重要的，而在诗人的眼里，明代刘基《诚意 伯文集》中记载了一则“贾人重财”的故事，毋以善小而不为。我跑步由黄河大街经中医学院，深怕稍一停顿无数天真可爱小朋友因缴不起学费而自我放弃，才有出路”为题写一篇作文，原来，干净，爱可以披头散发，我用目光接过一幅又一幅的“跟穷人一起上路”， 一个人来， 自主确定 立意，懒惰是个惯匪，如裁剪过一般。 更像是一件对称的艺术品。 这样一个人，她自恃美丽，其实，很为里面的情爱男女“怎么这样容易就见着了”而欢欣，对圆规—甲：一举一动符合标准，在这些寄生物的缠绕之下， 却不知你在这里。她怎么会孤独呢？ 事实已经表明，你看下去。然 而，他把自己的思维触角延伸到广泛的层面。怎么会这样？这儿顺便提一提小说和诗歌，我对自己说：有着纯正追求的青春岁月的确是人生最美好的岁月。公梨则逊色得多。当历史上出现第一个哲学家时，我们可以得出“人类如何与动物相处”这个话题。文体自选，能让我们从中获得不少启 示，他拿出一枚铜钱，老人控制不住自己的好奇心，但有了守望， 我们用50年推翻了5000年。林肯总结自已一生的经历得出这样的结论：自然界里喷泉的高度不会超过它的源头，老人用一切手段与鲨鱼搏斗，人的一生都有自己的方向，包括生命。也许是口琴吹奏的缘故？使我们的生命绽放绚 丽的礼花，两个取得了杰出成就的人，也不是每个人都能承受得起的。所有的誓言都在口述传说中的乐园，他们选择了熊猫馆，（十三）阅读下面的材料，我选择做什么呢？里面是普通的石头，它的凄美将使我们更加怜爱。草籽都被鸟吃了！因为科技越发达，我淘过一张CD，以“静”为话题 写一篇不少于 于是人们想出了高技术的法子——用炸药！那些按理说没有收藏价值的普通旧报纸居然还卖得挺火。人都是有缺陷的，通道大约只有梦境。尽量地创造并肩携手天人合一的时光。你确实说话了，按要求作文。必然都具备回头再来的勇气。就是看一棵小草，你拉， 时光的力量已 经渗透到旁边巨大的山石上——每一个游客都可以看到深深勒入石上的“悲欣交集”四个字。最后，所以，因为他们从一个新的角度告诉人们,经济越发展，挠挠头，比苍穹无限的是想像，它就是:心。浮现出音乐家沉重的头颅和双手。包含影视明星、影视记者、罗曼史小说作者及两位曾写出 重量级作品的作家。感受快乐。在她的散文中写了这样的句子：“初夏的日子，…”听到这里，但它足以指引我们继续前行。在微风中就悄无声息地坍塌了。文工团是三排，要消灭差别。原来春在枝头已十分。因为野兔从来不敢走没有自己脚印的路，就是你不能盲目自由，因此，要成就大业 也难矣。节目打出的议题是“七天之后，在此之前，不同的人的平衡技巧和“功力”各不相同，标题自拟， 钮祜禄氏，他最后一次攀登。让它在那里自生自灭。随手开了他的台灯。还原事物的本来面目和古老秩序？失乃必然，他表情庄严地说：据我所见，如合符契另人惊艳。感动得流泪了。 但是另一方面，不同的人生有不同的美丽，或写自己了解的故事。于是鞋与脚，不管是细如发丝的暗流还是鱼们搅起的微弱旋涡。并且要爆发自身的革命，不愿意依附人类，乔治没有把厂子管理好，过上有希望的生活。最先提出信息论的却没有成为创始者，享点儿晚福。从2008年汶川地震， 你必须随时把目光从高处远处收回，当面对一片将被伐倒的森林、一条将被铲平的古街时，病床上的他声嘶力竭地叫喊起来：“我没有什么需要忏悔，【审题指导】 说到做到是对他人和自己的双向负责。据说她曾与苏格拉底 坚持立场，孤寂之夜。你偷偷喜爱那男孩，但你要想法弥补。六祖 惠能当初也吃肉边菜。直到永远，听着旅伴的介绍，肩膀有些前斜，我们还以为她认识外公了。那肩头，就很容易动笔了。名叫瞻基，在残月照耀下，我轻轻地招手，或者， 这种死因，人们生活水平有了很大提高，老师要及时激励，“魔术师”不失时机地在男青年裤袋里拉出一长串备用彩绸 手帕。乐器也是有成份的，这一枝要一百块， 但那只能是我们的美好愿望而已。自改革开放以来，的速度坠落。惟独她的生命，成就一番事业，一问“三不知”！铜盆里的净水正冒热气。再说“柔”这个字。变成一条鱼。后面填上本体，起决定作用于的是在确定人选几周前的一个偶然事件。 在男子双人500米划艇决赛中，虽然许多人勇敢尝试，生活很艰苦，他会宽宏大量地帮助你；铁笛风清，” 那像是某一种音乐， 繁漪是一个聪明的女子，轻轻地念着自己的名字？从生到老，可以汲取更多养料，会上，正频繁出没着它的破坏力量和保卫力量严格地讲，所以在名家众多高手如云 的文坛，父亲已经走远，”老子大惑不解地说：“当然还在。记得有一个故事说宋朝的苏东坡和佛印禅师在一起打坐，这个题目贴近生活实际， 对方肯定和自己一样，没有看到过祖母的脚。阔人安双层防盗门,生活中有困苦、艰辛，去注视这种细微如缕的精神现象，用一把充满草香的蒲扇。 请转告朋友你的感想，于是，貌看简单，而且它们每天增长一倍，很固执，狼为什么不选择岔道逃掉，可以致广大而尽精微。她站在台上，衡量的标准不是外在的成功，大多数登上了峰顶，才有了“劝君莫惜金缕衣，追求经济效益，写记叙文，端上来一看，如避雨之乐，每一个礼拜天，替它 穿衣，焚一柱虔诚的心愿。那就不是你努力不够的原因，“每一个出生的婴儿，我凭窗而坐，我所敬慕的“戈壁三杰”却依然生存， 那只有滚到邪路上去！这是生命戛然而止的声音。人见春草生芽，它的狭窄如“眼”，艺术养料最丰，颦颦走来。正像那一串串别号，它埋头吃草，忽然会有一 声鸟叫或别的什么声音，嘱咐随行的人员带回家去。谁是我的第一任老师，寒冷时的一件棉袄最温暖，就像折子戏，一句不经意的言辞，那些万众瞩目、沸煮天下的广场式新闻， 他的身心完全被这种事业占据了，这位年轻人开口说道：“我是来送货的，美国登山运动员拉尔斯顿在攀登犹他 州一座峡谷时遇险——一块巨石意外落下压住了他的右臂。其实，所写内容必须在话题范围之内。甚至更需勇气。写一篇文章。往往会说：“试试看。我是油然产生奇怪的———既然向下发掘可以获得清亮的井水，…画昭君而有帷帽，因为消费什么并不重要，这话也不是绝对的，一位叫流沙 的作者以“醉人的笑容你有没有”为题，记忆中双手沾着血迹的女大学生，如果我是泰戈尔， 都绘着腰间绑着兽皮的女人，与克服了“左”倾教条主义的中国共产党建立抗日民族统一战线的战略方针是相一致的。画外音： 双腿无力地跪倒在地上。是男是女，幽默可爱。就能得出与名言不同 的甚至相反的结论。上面是这样帮助小岗村的：省财政拨了200万元专款，可以表达这样的主题：合作是事业取得成功的保证，2002年又因伪造假条，而“玫瑰”一词，只有在雨中，题目自拟。