泰勒公式及其应用论

本科毕业论文(设计) 论文题目：泰勒公式及其应用

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专业：数学与应用数学

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完成日期：2012年 5月20日

泰勒公式及其应用

内容摘要

本文介绍泰勒公式及其应用，分为两大部分：第一部分介绍了泰勒公式的相关基础知识，包括带Lagrange余项、带Peano余项两类不同泰勒公式；第二部分通过详细的例题介绍了泰勒公式在八个方面的应用.

通过本文的阅读，可以提高对泰勒公式及其应用的认识，明确其在解题中的作用，为我们以后更好的应用它解决实际问题打好坚实的基础.

关键词：泰勒公式 Lagrange余项 Peano余项应用

The Taylor Formula and The Application Of Taylor Formula

Abstract

This paper focuses on Taylor formula and the application of Taylor formula. It has two parts. The first part of this paper introduces the basic knowledge of the Taylor formula,Including Taylor formula with Lagrange residual term and with Peano residual term. With the detailed examples,The second part introduces eight applications of Taylor formula.

By reading this paper,you can build a preliminary understanding of Taylor formula,define the function in problem solving ,in the later application that can be a good reference.

Key Words:Taylor formula Lagrange residual term Peano residual term application

目录

一、泰勒公式 (1)

（一）带Lagrange余项的泰勒公式 (1)

（二）带Peano余项的泰勒公式 (2)

二、公式的应用 (3)

（一）、泰勒公式在近似运算上的应用 (3)

（二）、泰勒公式在求极限中的应用 (5)

（三）、泰勒公式在方程中的应用 (6)

（四）、泰勒公式在中值公式证明中的应用 (8)

（五）、泰勒公式在有关于界的估计中的应用 (9)

（六）、泰勒公式在证明不等式中的应用 (10)

（七）、泰勒公式在级数中的应用 (11)

（八）、泰勒公式在求高阶导数值中的应用 (13)

三、结论 (14)

参考文献 (15)

序 言

泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数.这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.

[]

1

因为泰勒公式在解决一些数学问题时的确有着不可替代的作用，故有关它的理论在教材中一般都有比较详细的介绍，而关于它的应用则介绍甚少或不全面.本文比较详细地介绍了泰勒公式在近似计算、求极值、方程、证明中值公式、关于界的估计、证明不等式、级数、高阶导数值等方面的应用.作者在阅读了大量参考文献的基础上，通过例题给出了泰勒公式的许多应用，使我们能更直接的看到泰勒公式在各方面的运用.

一、泰勒公式

对于函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数.由这些导数构造一个n 次多项式

()2

0000000'()''()()()()()()...()1!2!!

n n f x f x f x Tn x f x x x x x x x n =+-+-++-，

称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式.

[2]

泰勒公式根据所带的余项的不同有不同的定义.泰勒公式的余项分为两类，一类是定量的，一类是定性的，它们的本质相同，但性质各异.下面我们来介绍一下：

（一）带Lagrange 余项的泰勒公式

对于这种泰勒公式，Lagrange 余项是一种定量形式. 定理1

[]

3 若函数f 在[,]a b 上存在直到n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在直到+1n 阶导函数，

则对任意给定的0[,]x x a b ∈、，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得

()(1)2100000000''()()()()()'()()()...()()2!!(1)!n n n

n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++=+-+-++-+-+，

该式称为（带有Lagrange 余项的）泰勒公式.

证明 作辅助函数

])(!

)

())(()([)()()('

n n t x n t f t x t f t f x f t F -++---= ，1)()(+-=n t x t G ，

所以要证明的式子即为

)!

1()

()()()()!1()()()1(000)1(0+=

+=++n f x G x F x G n f x F n n ζζ或. 不妨设x x <0，则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续，在),(0x x 内可导，

且 0

))(1()()(!

)()(')1('

≠-+-=--=+n n

n t x n t G t x n t f t F ， 又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得

)!

1()

()()()()()()()()()1(''0000+=

=--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ζζζ， 其中),(),(0b a x x ⊂∈ζ. 所以定理1成立.

（二）带Peano 余项的泰勒公式

对于这种泰勒公式，Peano 余项是一种定性形式. 定理2

[]

3 若函数f 在点0x 存在直到n 阶导数，则有0()()(())n

f x Tn x o x x =+-，即

()2

00000000''()()()()'()()()...()(())2!!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+-++-+-，

称为函数f 在点0x 处的（带有Peano 余项的）泰勒公式，该公式定性的说明当x 趋于0x 时，逼近误差是较0()n

x x -高阶的无穷小量.

证明 设

)()()(x T x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，

现在只需证

0)()

(lim

0=-x Q x R n

n x x .

由n k x T x f k n k ,,2,1,0)()(0)

(0)( ==，可知，

0)()()(0)

(0'0====x R x R x R n n n n .

并易知