泰勒公式及其应用论
泰勒公式在极限计算上的应用
泰勒公式在极限计算上的应用泰勒公式是数学中一种重要的近似计算工具，它被广泛应用于各种数学分析问题的解决中。
本文将从泰勒公式的原理、应用场景和具体例子等方面进行阐述，以展示泰勒公式在极限计算中的重要性。
一、泰勒公式的原理泰勒公式是以数学家布鲁诺·德·泰勒命名的，它描述了函数在其中一点附近用一系列多项式逼近的方法。
泰勒公式的一般形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中，f(x)是要逼近的函数，a是逼近点，f'(x)、f''(x)等是函数f(x)的各阶导数，R_n(x)是余项。
二、泰勒公式的应用场景1.函数近似计算：在实际问题中，很多函数难以直接求解，但通过泰勒公式可以将其近似为多项式函数进行计算。
这在物理学、工程学以及经济学等领域中得到广泛应用。
2.极限计算：泰勒公式可以通过多项式函数逼近，将复杂的极限计算问题简化为多项式函数的极限计算。
这样可以减少计算的复杂性，并且提高计算的精确度。
三、泰勒公式在极限计算中的应用举例1.计算常函数的其中一点的极限：考虑函数f(x)=a，是一个常数函数。
要计算f(x)在x=a处的极限。
根据泰勒公式，可以将f(x)在a处进行多项式逼近：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)由于f(x)=a，所以f'(x)=0，f''(x)=0，...，f^n(x)=0。
将这些值代入泰勒公式，得到：f(x)=a+R_n(x)当x趋近于a时，余项R_n(x)趋近于0，所以f(x)的极限为a。
2.计算正弦函数的极限：考虑函数f(x) = sin(x)。
浅谈泰勒公式及其应用
浅谈泰勒公式及其应用摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。
泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。
本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。
关键词：泰勒公式 求极限 不等式 行列式泰勒公式的应用1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。
利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。
当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。
例1 求2240cos limx x x e x -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。
解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+-441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x ex-→-解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可。
24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x →-+=112=-带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。
常用泰勒公式
常用泰勒公式泰勒公式是一种近似计算函数值的方法，它是通过函数在某一点的导数值来逼近该点附近的函数值。
在数学和物理学领域，泰勒公式被广泛应用于函数近似、函数求导和数值计算等方面。
下面将介绍泰勒公式的常用形式和应用。
泰勒公式的一般形式是：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! +f'''(a)(x-a)³/3! + ...其中，f(x) 是要求解的函数，在点 x 处的近似值；f(a) 是函数在点 a 处的值；f'(a) 是函数在点 a 处的导数值；f''(a) 是函数在点 a 处的二阶导数值；以此类推。
泰勒公式的原理是利用导数将函数表示为一系列单项式的和，然后根据需要的精度截断级数，得到函数的近似值。
当级数的项数增加时，近似值的精度也会提高。
泰勒公式的应用十分广泛。
例如，在计算机科学领域，泰勒公式被用于开发数值计算算法，例如计算机图形学中的曲线和曲面绘制，以及物理引擎中的碰撞检测和运动模拟等。
在物理学中，泰勒公式被用于近似解析解不存在的问题，例如非线性的运动方程。
此外，泰勒公式还可以用于求解微积分中的极限、导数和积分等问题。
泰勒公式有很多变种形式，例如麦克劳林级数、希尔伯特级数和泊松级数等，它们在不同的数学和物理学问题中具有不同的应用。
总结起来，泰勒公式是一种常用的近似计算函数值的方法。
它通过函数在某一点的导数值来逼近该点附近的函数值，具有广泛的应用领域和实际价值。
无论是在数学、物理还是计算机科学领域，我们都可以看到泰勒公式的身影。
泰勒公式及泰勒级数的应用
泰勒公式及泰勒级数的应用泰勒公式是数学中的一种方法，用来表示一个函数在一些点附近的近似值。
它是通过将函数表示为无穷级数的形式来实现的，这个无穷级数称为泰勒级数。
泰勒公式和泰勒级数在数学和物理的许多领域中都有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用。
泰勒级数在计算机图形学中非常重要。
计算机图形学涉及到绘制和处理图像，而泰勒级数可以用来近似计算复杂的数学函数。
例如，在绘制曲线和曲面时，可以使用泰勒级数来获得光滑的曲线。
此外，泰勒级数在计算机动画和计算机游戏中也有广泛的应用。
在物理学中，泰勒级数广泛应用于描述物理过程。
许多物理现象和运动可以通过使用泰勒级数来近似描述。
例如，在经典力学中，可以使用泰勒级数来近似描述质点的运动轨迹。
在电磁学中，可以使用泰勒级数来描述电场和磁场的分布。
在量子力学中，泰勒级数也被用于描述粒子的波函数。
泰勒级数还经常用于数值计算和科学工程中。
在数值计算中，可以使用泰勒级数来近似计算复杂的数学函数，例如指数函数、三角函数等。
这对于一些没有简单解析表达式的函数非常有用。
在科学工程中，泰勒级数可以用来经验性地建立数学模型，并用于预测和分析实际问题。
例如，在天气预报中，可以使用泰勒级数来预测未来的天气变化。
泰勒级数还可以用于解决微分方程。
微分方程是数学中的一个重要分支，涉及到求解未知函数的变化规律。
有些微分方程没有解析解，而泰勒级数可以作为一种数值方法来近似求解。
通过将微分方程转化为泰勒级数的形式，可以通过迭代计算来获得函数的近似解。
在金融工程中，泰勒级数也有应用。
金融领域涉及到诸如期权定价、风险管理等复杂计算，而泰勒级数可以用来近似计算这些复杂的金融变量。
例如，可以使用泰勒级数来近似计算期权价格和波动率。
总之，泰勒公式及其对应的泰勒级数在数学和物理的许多领域中都有重要的应用。
它可以用来近似计算复杂的函数，描述物理现象和运动，解决微分方程，进行数值计算和科学工程，以及应用于金融工程等领域。
泰勒公式的意义和应用
泰勒公式的意义和应用
泰勒公式是一种在微积分中经常使用的重要工具。
它允许我们将一个复杂的函数表示为无限级数的形式，从而使我们能够更好地了解函数在某一点的性质。
泰勒公式的应用非常广泛。
它可以用于求解微积分和微分方程，以及在物理学和工程学等领域中的建模和分析。
在数值分析和计算机科学中，泰勒公式也是一个重要的工具，用于近似计算和优化算法的设计。
泰勒公式的意义在于，在某一点处对函数进行无限次微分，从而获得函数在这一点的局部性质。
通过泰勒公式，我们能够确定函数在这一点的值、导数、曲率和其他高阶导数，从而更好地理解函数的行为。
在实际应用中，泰勒公式通常被用于求解实际问题中的数值解，如计算机图形学中的渲染、金融学中的期权定价等。
通过利用泰勒公式的近似性质，我们能够将复杂的问题简化为一个简单的数学表达式，并且得到数值解以解决实际问题。
总之，泰勒公式在微积分和其它许多领域中都起着重要作用，它的应用和意义是非常深远的。
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泰勒公式及其应用
第一章 绪论近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.第二章 泰勒公式1.1泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数f .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()[()]n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们. 当n =1时，有1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.1.2泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项0(())n o x x -，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+（ξ也可以写成00()x x x θ+-）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究. 1.3泰勒公式的定义（1）带有佩亚诺(Peano )型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数, 则对此邻域内的点x ,有()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-当00x =时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin )公式.即()(1)21(0)(0)(0)()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n n f f f f x f f x x x x n n θθ++'''=+++++<<+（2）带有拉格朗日(Lagrange )型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有1n +阶导数, 则对此邻域内的点x , 有()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!!(1)!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-++-+-+(ξ介于0x 与x 之间）第三章 泰勒公式的实际应用2.1利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限. 例1 求224cos limx x x ex -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单. 解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+- 441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112lim lim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x e x-→-.解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可.24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x→-+= 112=- 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单. 2.2利用泰勒公式进行近似计算例1 用x e 的10次泰勒多项式求e 的近似值i ，并估计误差. 解：在x e 的泰勒公式中取1,10x n ==,则有111112!3!10!e ≈+++++2.718281801=由于e 的精确度值e 2.718281801=，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计11813()6.81011!11!x e d x ξ==<≈⨯. 必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果.如在ln(1)x +的泰勒多项式中令x =1，取它的前10项计算ln 2的近似值，得到111111111ln 212345678910≈-+-+-+-+-=0.645 634 92…而ln 2=0.693 147 28…，误差相当大，但如改用其他泰勒多项式，如1lnln(1)ln(1)1xx x x+=+--- 23223221()232232n n nx x x x x x x x o x n n ⎡⎤⎡⎤=-+--------+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦352122()3521n nx x x x o x n -⎡⎤=+++++⎢⎥-⎣⎦， 令1,3x =只取前两项便有3111ln 22()333⎡⎤≈+=⎢⎥⎣⎦0.69135…,取前四项则可达到3571111111ln 22()()()3335373⎡⎤≈+++⎢⎥⎣⎦=0.693 124 75…,效果比前面好得多.例2 当x 很小时，推出331111x x x x +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的简单的近似公式. 解： 当x 很小时，111133331122111111x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2224[1][1]3(1)3(1)3(1)x x xx x x ≈+--=--- 43x≈2.3在不等式证明中的应用关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例1 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+- 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.2.4泰勒公式在外推上的应用外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下. 若对于某个值a ，按参数h 算出的近似值1()a h 可以展开成231123()a h a c h c h c h =++++（*）（这里先不管i c 的具体形式），那么按参数2h 算出的近似值1()2h a 就是231123111()2248h a a c h c h c h =++++ (**)1()a h 和1()2ha 与准确值a 的误差都是()o h 阶的.现在，将后(**)式乘2减去（*）式，便得到11232232()()2()21ha a h a h a d h d h -==+++-也就是说，对两个()o h 阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却得到了具有2()o h 阶的近似值2()a h .这样的过程就称为外推.若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从2()a h 出发再次外推，22343344()()2()41ha a h a h a e h e h -==+++-，得到3()o h 阶的近似值3()a h .这样的过程可以进行1k -步，直到11112()()2()()21k k k k k k ha a h a h a o h -----==+-， 满足预先给定的精度.外推方法能以较小的待解获得高精度的结果，因此是一种非常重要的近似计算技术.例 1 单位圆的内接正n 边形的面积可以表示为1()sin(2)2S h h hπ=， 这里1h n=,按照泰勒公式351(2)(2)()223!5!h h S h h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦246123c h c h c h π=++++因此，其内接正2n 边形的面积可以表示为351()()()23!5!h h h S h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦24612314c h c h c h π=++++，用它们作为π的近似值，误差都是()o h 量级的.现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合：4()()()()22()()4123h hS S h S S h h S h S --==+- 那么通过简单的计算就可以知道4623()S h d h d h π=+++2h 项被消掉了！也就是说，用()S h 近似表示π，其精度可以大大提高.2.5求曲线的渐近线方程若曲线()y f x =上的点(,())x f x 到直线y ax b =+的距离在x →+∞或x →-∞时趋于零，则称直线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线.当0a =时称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.显然，直线y ax b =+是曲线()y f x =的渐近线的充分必要条件为lim [()()]0x f x ax b →+∞-+=或lim [()()]0x f x ax b →-∞-+=如果y ax b =+是曲线()y f x =的渐近线，则()()lim 0x f x ax b x →+∞-+=（或()()lim 0x f x ax b x→-∞-+=）. 因此首先有()lim x f x a x →+∞=（或()lim x f x a x→-∞=）. 其次，再由lim [()()]0x f x ax b →+∞-+=（或lim [()()]0x f x ax b →-∞-+=）可得 lim [()]x b f x ax →+∞=-（或lim [()]x b f x ax →-∞=-） 反之，如果由以上两式确定了a 和b ，那么y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线.中至少有一个成立，则称直线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线，当0a =时，称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.而如果()f x 在x 趋于某个定值a 时趋于+∞或-∞，即成立lim ()x f x →∞=±∞则称直线x a =是()f x 的一条垂直渐近线.注意，如果上面的极限对于x →∞成立，则说明直线y ax b =+关于曲线()y f x =在x →+∞和x →-∞两个方向上都是渐近线.除上述情况外，如果当x a +→或a -时，()f x 趋于+∞或-∞，即lim ()x a f x +→=±∞或lim ()x a f x -→=±∞，则称直线x a =是曲线()y f x =的一条垂直渐近线.例1 求 2(1)3(1)x y x -=+的渐近线方程. 解： 设 2(1)3(1)x y x -=+的渐近线方程为y ax b =+，则由定义 2(1)1lim lim 3(1)3x x y x a x x x →∞→∞-===+ 2(1)lim[]3(1)x x b ax x →∞-=-+ 2(1)1l i m []3(1)3x x x x →∞-=-+ =131lim 131x x x →∞-+=-+ 由此13x y =-为曲线y =2(1)3(1)x x -+的渐近线方程。
《高等数学》课程中泰勒公式的应用
《高等数学》课程中泰勒公式的应用泰勒公式是高等数学中一个非常重要的数学工具，它是数学中用来近似计算的一种方法。
泰勒公式的应用涉及到很多方面，下面将讨论一些常见的应用。
1. 函数的近似计算：泰勒公式可以用来对函数进行近似计算，在给定的点附近用一个多项式来近似表示函数的值。
我们可以用泰勒公式来近似计算三角函数、指数函数等复杂函数在某个点的值，从而在数值计算时得到较为准确的结果。
2. 极值问题：泰勒公式可以用来解决极值问题。
对于一个函数，在极值点附近，其函数值相对于极值点的位置是一个关键因素。
通过泰勒公式，我们可以计算函数在极值点附近的表现，从而判断函数在极值点附近的走势。
3. 曲线拟合：泰勒公式可以用来进行曲线拟合。
当我们有一些离散的数据点，想要找到一个函数曲线来拟合这些点时，可以利用泰勒公式来实现。
通过构建泰勒多项式，我们可以将一条曲线与离散数据点进行匹配，从而达到拟合的效果。
4. 数值逼近：泰勒公式可以用来进行数值逼近。
当一个函数在某个点的导数很难计算时，可以利用泰勒公式来逼近这个导数的值。
将泰勒公式展开到适当的阶数，可以得到一个近似值，用来代替实际值进行计算。
5. 工程应用：泰勒公式在工程中有很多实际应用。
在电子电路中，可以利用泰勒公式对电路中的信号进行近似计算，从而优化电路的设计。
在材料力学中，可以利用泰勒公式进行应力分析和变形分析，从而提高材料的性能和使用效果。
泰勒公式作为数学中的一种重要工具，广泛应用于各个领域。
通过泰勒公式，我们可以对复杂的函数进行近似计算，解决一些数值计算中的难题，同时还可以优化工程设计和提高产品性能。
了解和掌握泰勒公式的应用是非常有意义的。
泰勒公式的推导和应用
泰勒公式的推导和应用
什么是泰勒公式?
要学习泰勒公式我们先要知道泰勒是一个数学家的名字，“布鲁克，泰勒”18世纪初英国有名的大数学家，泰勒公式就是以他的名字命名。
泰勒公式究竟要做的是什么？
细胞，分子，原子，中子，似乎这个世界只要你无限细分就能得到组成这个世界的统一的基本单位。
而泰勒公式要做的就是将所有的可导函数统一的形式表达出来。
要如何做到？显然有表达式F（x）=f(x)
泰勒公式在x=a处展开为
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……
+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……
设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①
令x=a则a0=f(a)
将①式两边求一阶导数，得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②
令x=a,得a1=f'(a)
对②两边求导，得
f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……
令x=a,得a2=f''(a)/2!
继续下去可得an=f(n)(a)/n!
所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……
+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……
应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，从而可以进行近似计算，也可以计算极限值，等等。
另外，一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理
f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b之间。
泰勒公式及其应用论
本科毕业论文(设计) 论文题目：泰勒公式及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级：指导教师：完成日期：2012年 5月20日泰勒公式及其应用内容摘要本文介绍泰勒公式及其应用，分为两大部分：第一部分介绍了泰勒公式的相关基础知识，包括带Lagrange余项、带Peano余项两类不同泰勒公式；第二部分通过详细的例题介绍了泰勒公式在八个方面的应用.通过本文的阅读，可以提高对泰勒公式及其应用的认识，明确其在解题中的作用，为我们以后更好的应用它解决实际问题打好坚实的基础.关键词：泰勒公式Lagrange余项Peano余项应用The Taylor Formula and The Application Of Taylor FormulaAbstractThis paper focuses on Taylor formula and the application of Taylor formula. It has two parts. The first part of this paper introduces the basic knowledge of the Taylor formula,Including Taylor formula with Lagrange residual term and with Peano residual term. With the detailed examples,The second part introduces eight applications of Taylor formula.By reading this paper,you can build a preliminary understanding of Taylor formula,define the function in problem solving ,in the later application that can be a good reference.Key Words:Taylor formula Lagrange residual term Peano residual term application目录一、泰勒公式 (1)（一）带Lagrange余项的泰勒公式 (1)（二）带Peano余项的泰勒公式 (2)二、公式的应用 (3)（一）、泰勒公式在近似运算上的应用 (3)（二）、泰勒公式在求极限中的应用 (5)（三）、泰勒公式在方程中的应用 (6)（四）、泰勒公式在中值公式证明中的应用 (8)（五）、泰勒公式在有关于界的估计中的应用 (9)（六）、泰勒公式在证明不等式中的应用 (10)（七）、泰勒公式在级数中的应用 (11)（八）、泰勒公式在求高阶导数值中的应用 (13)三、结论 (14)参考文献 (15)序 言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数.这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.[]1因为泰勒公式在解决一些数学问题时的确有着不可替代的作用，故有关它的理论在教材中一般都有比较详细的介绍，而关于它的应用则介绍甚少或不全面.本文比较详细地介绍了泰勒公式在近似计算、求极值、方程、证明中值公式、关于界的估计、证明不等式、级数、高阶导数值等方面的应用.作者在阅读了大量参考文献的基础上，通过例题给出了泰勒公式的许多应用，使我们能更直接的看到泰勒公式在各方面的运用.一、泰勒公式对于函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数.由这些导数构造一个n 次多项式()20000000'()''()()()()()()...()1!2!!n n f x f x f x Tn x f x x x x x x x n =+-+-++-，称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式.[2]泰勒公式根据所带的余项的不同有不同的定义.泰勒公式的余项分为两类，一类是定量的，一类是定性的，它们的本质相同，但性质各异.下面我们来介绍一下：（一）带Lagrange 余项的泰勒公式对于这种泰勒公式，Lagrange 余项是一种定量形式. 定理1[]3 若函数f 在[,]a b 上存在直到n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在直到+1n 阶导函数，则对任意给定的0[,]x x a b ∈、，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()(1)2100000000''()()()()()'()()()...()()2!!(1)!n n nn f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++=+-+-++-+-+，该式称为（带有Lagrange 余项的）泰勒公式.证明 作辅助函数])(!)())(()([)()()('n n t x n t f t x t f t f x f t F -++---= ，1)()(+-=n t x t G ，所以要证明的式子即为)!1()()()()()!1()()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ζζ或. 不妨设x x <0，则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续，在),(0x x 内可导，且 0))(1()()(!)()(')1('≠-+-=--=+n nn t x n t G t x n t f t F ， 又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得)!1()()()()()()()()()()1(''0000+==--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ζζζ， 其中),(),(0b a x x ⊂∈ζ. 所以定理1成立.（二）带Peano 余项的泰勒公式对于这种泰勒公式，Peano 余项是一种定性形式. 定理2[]3 若函数f 在点0x 存在直到n 阶导数，则有0()()(())nf x Tn x o x x =+-，即()200000000''()()()()'()()()...()(())2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+-++-+-，称为函数f 在点0x 处的（带有Peano 余项的）泰勒公式，该公式定性的说明当x 趋于0x 时，逼近误差是较0()nx x -高阶的无穷小量.证明 设)()()(x T x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，现在只需证0)()(lim0=-x Q x R nn x x .由n k x T x f k n k ,,2,1,0)()(0)(0)( ==，可知，0)()()(0)(0'0====x R x R x R n n n n .并易知!)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====- ，因为)(0)(x f n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数)(x f .于是，当o0x U x ∈（）且0x x →时，允许接连使用洛必达（L'Hospital ）法则1-n 次，得到)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n n x x 所以定理2成立.当00x =时，得到泰勒公式)10(,)!1()(!)0(...!2)0('')0(')0()(1)1()(2<<++++++=++θθn n n n x n x f x n f x f x f f x f ，该式称为（带有Lagrange 余项的）麦克劳林公式. 当上式中00x =时有()2''(0)(0)()(0)'(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x o x n =+++++，它称为（带有Peano 余项的）麦克劳林公式.二、公式的应用（一）、泰勒公式在近似运算上的应用利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x xn ≈++++[]4，其误差是余项()n R x . 例1[]5：计算e 的值，使其误差不超过610-.解 应用泰勒公式有11111...2!3!!(1)!e e n n θ=+++++++，(01)θ<<，估3(1)!(1)!n e R n n θ=<++，当=9n 时，便有6331010!3628800n R -<=<， 从而略去9R 而求得e 的近似值为718285.2!91...!31!2111≈+++++≈e . 例2[]5: 求21x edx -⎰的近似值，精确到510-.解 因为21x e dx -⎰中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达），现用泰勒公式的方法求21x e dx -⎰的近似值.在xe 的展开式中以2x -代替x 得24221(1)2!!nx nx x e x n -=-+++-+，逐项积分，得2421111121(1)2!!nx nx x edx dx x dx dx dx n -=-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰111111(1)32!5!2n 1n n =-+-+-++11111111310422161329936075600=-+-+-+-+，上式右端为一个收敛的交错级数，由其余项()n R x 的估计式知71||0.00001575600R ≤<，所以2111111110.7468363104221613299360x e dx -≈-+-+-+≈⎰.由于泰勒公式可以将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，所以当选定函数中的自变量时，就可以进行近似计算.在这个应用中主要注意选择适当的函数，然后运用麦克劳林展开式，带入数值.（二）、泰勒公式在求极限中的应用为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简洁的求出.接下来我们用两个例子来说明： 例3[]6：求极限2240cos limx x x ex -→-.解 考虑到极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子（取=4n ）245cos 1()224x x x o x =-++ ，)(82154222x o x x ex ++-=-，)(12cos 5422x o x ex x +-=--，因而求得，245244001()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→→-+-==-. 例4[]7: 求极限 )3(211ln 3)76(sin 6lim 2202x x xx x x x e x x +--+---→.解 )(!51!31sin 653x o x x x x ++-=， )(402767sin e 5532x o x x x x x ++-=-)(51413121)1ln(55432x o x x x x x x ++-+-=+ )(51413121)1ln(55432x o x x x x x x +-----=-)(52322)1ln()1ln(11ln 553x o x x x x x x x +++=+-+=-+，原式=5505527()40lim 6()5x x o x x o x →++=169.由上边两个例子可见，因为通常情况下对于函数多项式和有理分式的极限问题的计算是十分简单的，所以对于一些复杂的函数可以根据泰勒公式将原来的复杂的问题转化为类似多项式和有理分式的极限问题.综上所述，在式子满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限：(1)用洛必达法则时，次数比较多、求导过程和化简过程比较复杂的情况. (2)分子或分母中有无穷小的差， 且此差不容易转化为等价无穷小替代形式. (3)函数可以很容易的展开成泰勒公式.（三）、泰勒公式在方程中的应用泰勒公式在函数方程中应用比较广泛，题型也比较多，主要有判断根，方程次数等等一些证明类问题，做此类题，要注意观察题目中导数阶数，以便用泰勒公式展开到相应阶数.我们用三个例子来说明： 例5[]8: 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且()0f a >，'()0f a <，对(,)x a ∈+∞，''0f ≤证明 ()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.分析： 这里()f x 是抽象函数，直接讨论()0f x =的根有困难，由题设()f x 在[,)a +∞上二阶可导且()0f a >，'()0f a <，可考虑将()f x 在a 点展开一阶泰勒公式，然后设法应用介值定理证明.证明 因为''()0f x ≤，所以'()f x 单调减少，又'()0f a <，因此>x a 时，''()()0f x f a <<， 故()f x 在(,)a +∞上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有''2()()()()()()()2f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<<.由题设'()0f a <，'()0f ξ≤，于是有lim ()x f x →∞=-∞，从而必存在b a >，使得()0f b <，又因为()0f a >，在[,]a b 上应用连续函数的介值定理，存在0(,)x a b ∈，使0()0f x =，由()f x 的严格单调性知0x 唯一，因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.例6[]8： 设()f x 在(,)-∞+∞内有连续三阶导数，且满足方程，()()'(),01f x h f x hf x h θθ+=++<<. （1）试证：()f x 是一次或二次函数.证明 问题在于证明：''()0f x ≡或'''()0f x ≡.为此将（1）式对h 求导，注意θ与h 无 关.我们有'()'()''()f x h f x h hf x h θθθ+=+++， （2） 从而'()'()'()'()''()f x h f x f x f x h f x h hθθθ+-+-+=+.令0→h 取极限，得''()''()''()f x f x f x θθ-=，''()2''()f x f x θ=. 若21≠θ，由此知)(,0)(''x f x f ≡为一次函数；若21=θ，（2）式给出 111'()'()''()222f x h f x h hf x h +=+++，此式两端同时对h 求导，减去''()f x ，除以h ，然后令0→h 取极限，即得'''()0f x ≡，()f x 为 二次函数. 例7[]9： 已知函数)(x f 在区间(-1,1)内有二阶导数，且(0)'(0)0f f ==，''()()'()f x f x f x ≤+试证：0δ∃>，使得δδ-（，）内()0f x ≡. 证明 为了证明)(x f 在0=x 处的邻域内恒为零.我们将（3）式右端的)(x f ，)('x f 在0=x 处按公式展开.注意到(0)'(0)0f f ==.我们有22''()1()(0)'(0)''()22f f x f f x x f x ξξ=++=， '()'(0)''()''()f x f f x f x ηη=+=.从而21()|'()|''()''()2f x f x f x f x ξη+=+， 今限制11[,]44x ∈-，则()'()f x f x +在11[,]44-上连续有界，011[,]44x ∃∈-，使得 001144()'()max ()'().x f x f x f x f x M -≤≤+=+≡我们只要证明0M =即可.事实上20000001()'()''()''()2M f x f x f x f x ξη=+=+， ))('')(''(4100ηξf f +≤， ))()(')()('(410000ηηξξf f f f +++≤， 11242M M ≤⋅=. 即102M M ≤≤.所以0M =，在11[]44-，上()0f x ≡.由以上例题可见，在函数方程方面，泰勒公式对于求二阶或二阶以上的连续导数的问题来说十分的好用，主要是通过作辅助函数，对有用的点进行泰勒公式展开并对余项作合适的处理.（四）、泰勒公式在中值公式证明中的应用由于泰勒公式将函数和它的高阶导数结合了起来，所以遇到这类有高阶导数的证明时，首先应考虑用泰勒公式来求解.接下来我们用一个例子来说明： 例8[]9： 设)(x f 在],[b a 上三次可导，试证：(,)c a b ∃∈，使得31()()'()()'''()()224a b f b f a f b a f c b a +=+-+-. 证明 设k 为使下式成立的实数：31()()'()()()0224a b f b f a f b a k b a +-----=， 这时，我们的问题归为证明：(,)c a b ∃∈，使得'''()k f c =.令31()()()'()()()0224a x g x f x f a f x a k x a +=-----=. 则0)()(==b g a g ，根据Rolle 定理，(,)a b ξ∃∈，使得,0)('=ξg 即：1'()'()''()()202228a a a f f f k a ξξξξξ++-----=. 这是关于k 的方程，注意到)('ξf 在点2ξ+a 处的泰勒公式： 21'()'()''()'''()()022222a a a a f f f f c ξξξξξ++--=++=. （五）、泰勒公式在有关于界的估计中的应用我们知道有些函数是有界的，有的有上界，而有的有下界，结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们将探讨泰勒公式关于界的估计，下面通过例题来分析. 例9[]9： 设)(x f 在[0，1]上有二阶导数，10≤≤x 时|()|1f x ≤，''()2f x <.试证：当10≤≤x时，|'()|3f x ≤.证明 21(1)()'()(1)''()(1)2f f x f x x f x ξ=+-+-， 21(0)()'()()''()()2f f x f x x f x η=+-+-， 所以2211(1)(0)'()''()(1)''()22f f f x f x f x ξη-=+--， 22)1(|)(''|21)(''21|)0(||)1(||)('|x f x f f f x f -+++≤ξη，222(1)213x x ≤+-+≤+=.例10[]10： 设)(x f 二次可微，(0)(1)0f f ==，01max ()2x f x ≤≤=，试证01max ''()16x f x ≤≤≤-.证明 因)(x f 在[0,1]上连续，有最大、最小值.又因01max ()2x f x ≤≤=，(0)(1)0f f ==，最大值在(0,1)内部达到.所以)1,0(0∈∃x 使得001()max ()x f x f x ≤≤=.于是)(0x f 为最大值.由Fermat 定理，有0'()0f x =，在0x x =处按泰勒公式展开，)1,0(,∈∃ηξ使得：22000110(0)()''()(0)2''()22f f x f x f x ξξ==+-=+， 22000110(1)()''()(1)2''()(1)22f f x f x f x ηη==+-=+-.因此22010044max ''()min{''(),''()}min{,}(1)x f x f f x x ξη≤≤≤=---. 而 01[,1]2x ∈时，222000444min{,}16(1)1x x x --=-≤---（）， 01[0,]2x ∈时，222000444min{,}16(1)x x x --=-≤--， 所以 01max ''()16x f x ≤≤≤-.由上边例题可以总结出一些经验，比如当遇到求有关于界的问题，且涉及高阶导数时，通常考虑用泰勒公式来解题.在解题时可以应用这个经验尝试解题.（六）、泰勒公式在证明不等式中的应用当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷.[]7例11[]11： 设)(x f 在],[b a 上二次可微，''()0f x <.试证：12...0,n i a x x x b k ∀≤<<<≤≥，11nii k==∑，有)()(11i ni i i ni i x f k x k f ∑∑==>.证明 取01ni ii x k x==∑，将)(i x f 在0x x =处按泰勒公式展开有：20000))((''21))((')()(x x f x x x f x f x f i i i i -+-+=ξ， ))((')(000x x x f x f i -+<， (1,2,3...,)i n = 以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11nii k==∑，11()0nniii ii i k x x k x x==-=-=∑∑，得)()()(101∑∑===<ni i i i ni ix k f x f x f k.例12[]11: 当0x ≥时，证明31sin 6x x x ≥-. 证明 取31()sin 6f x x x x =-+，00x =，则 '''''''''(0)0(0)0(0)0()1cos (0)0f f f f x x f ====-≥，，，，.带入泰勒公式，其中=3n ，得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时，31sin 6x x x ≥-. 由此可见，关于不等式的证明，有多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.但归结起来都可以看做是泰勒公式的特殊情形，所以证明不等式时，注意应用泰勒公式这个重要方法.（七）、泰勒公式在级数中的应用在级数敛散性的理论中，要判断一个正项级数∑=nn na1是否收敛，通常找一个简单的函数，)0(111>=∑∑==p n b nn p nn n ，在用比较判定法来判定，但是在实际应用中比较困难的问题是如何选取适当的∑=nn pn11（0>p 中的p 值）.如 当2=p ，此时∑∞=121n n收敛，但是+∞=∞→21lim n a n n ， 当1=p 时，此时∑∞=11n n发散，但是01lim =∞→na n n . 在这种情况下我们就无法判定∑=nn n a 1的敛散性，为了更好的选取∑=nn pn11中p 的值，使得lim 1n n p a t n→∞=且0t <<+∞，在用比较判别法，我们就可以判定∑=nn n a 1的敛散性. 例13[]11:讨论级数1n ∞=∑的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法，注意到11lnln(1)n n n +=+，若将其泰勒展开为1n 的幂的形式，相呼应，会使判敛容易进行.解 因为2341111111lnln(1)234n n nn n n nn+=+=-+-+<， 所以<从而0n u=>，故该级数是正项级数.又因为3212n =>==-， 所以332211)22nun n=-<-=.因为31212n n∞=∑收敛，所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例14[]12:求211x x++的幂级数展开式.解利用泰勒公式231111xx x x-=++-36934679103467910(1)(1)1()222222222(1)[sin]3nnx x x x x x x x x x xx x x x x x xnxπ∞=-++++=-+-+-+-+=-+-+-+-++=由例题可见，当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便利用判敛准则.利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.（八）、泰勒公式在求高阶导数值中的应用如果()f x泰勒公式已知，其通项中的加项nxx)(-的系数正是)(!1)(xfnn，从而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导.例15[]12: 求函数x exxf2)(=在1x=处的高阶导数(100)(1)f.解设=+1x u，则eeueuugxf uu⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(，)0()1()()(nn gf=，ue在=0u的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998uouuuue u++++++= ，从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g +++++++= ，而()g u 中的泰勒展开式中含100u的项应为100100!100)0(u g ，从()g u 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++，因此 100(0)121()100!98!99!100!g e =++，100(0)10101g e =⋅,e gf 10101)0()1(100100==.通过泰勒公式求高阶导数，这是泰勒公式比较简单的一种应用，重点就在于掌握，其通项中的加项nx x )(0-的系数正是)(!10)(x f n n .在求导数时只需在系数上乘以!n 即可. 三、结 论泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具.它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用.本文介绍了泰勒公式以及它在八个方面应用，使我们对泰勒公式有了更深一层的理解，对怎样应用泰勒公式解答具体问题有了更深一层的认识，只要在解题过程中注意分析，研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理规则，就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]华东师范大学数学系，《数学分析》（上），高等数学出版社，2008，134-141[2]裴礼文，《数学分析中的典型问题及方法》，高等教育出版社，2009，150-157[3]同济大学数学教研室主编，《高等数学》，人民教育出版社，2007，139-145[4]刘玉琏，《数学分析讲义》，人民教育出版社，2000，120-138[5]张利凯，《高等数学学习辅导》，科学技术文献出版社，2002，138-156[6]M.克莱因，《古今数学思想》，上海科学技术出版社，1988，165-168[7]W.盖勒特、H.奎斯特纳等，《简明数学全书Ⅱ.高等数学与现代数学》，上海科学技术出版社，1985，295-297[8]H.J.巴茨，《数学公式书册》，科学出版社，1987，439-440[9]闵祥伟，《高等数学学习指导与例题分析》，北京邮电大学出版社，2004，520-521，539-540[10]吴炯圻，陈跃辉等，《高等数学及其思想方法与实验》（上），厦门大学出版社，2008，122-127[11]上海财经大学应用数学系，《高等数学》，上海财经大学出版社，2004，66-71[12]蔡子华，《新编高等数学导学》，科学出版社，2002，336-337，369-376（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
泰勒公式与熟练运用技巧
泰勒公式与熟练运用技巧泰勒公式是数学中的一个重要的概念，也是不少工程和物理中不可或缺的基础，因此熟练掌握泰勒公式及其应用技巧可谓是学习科学和工程理论的必备技能。
下面，我们将从基本概念、公式推导、实际应用等方面对泰勒公式及其熟练运用技巧作一简单介绍。
一、泰勒公式基本概念泰勒公式是描述函数在某一点附近的局部表达式。
通常用于误差估计、求近似值、优化计算等方面。
下面是一个通用的泰勒公式：$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f^{(n)}(a)$ 表示函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处的 $n$ 阶导数。
公式右边的和式即是所谓的泰勒级数，其表示了 $f(x)$ 在 $a$ 点的一个局部展开式。
二、泰勒公式的推导泰勒公式的推导可以基于函数求导的定义及泰勒级数的定义，这里不再赘述。
但需要注意的是，为了构造泰勒级数，需要对$f(x)$ 的各阶导数有一定的掌握，同时，对于公式的余项估计也需要一定的技巧。
下面是常用的泰勒公式，它的余项都是带有 $R_n(x)$ 的：$$\begin{aligned}f(x) =& f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots \\&+ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)\end{aligned}$$较为常用的划分是小量 $o$ 和 $O$（又称大 $O$）。
如果 $\lim_{x\rightarrow a} \frac{R_n(x)}{(x-a)^n} = 0$，则称$R_n(x)$ 是 $o((x-a)^n)$，记作 $R_n(x) = o((x-a)^n)$；如果 $\exists M>0, C>0$ 且 $\lim_{x\rightarrow a}\frac{|R_n(x)|}{|(x-a)^n|} \leq M$，则称 $R_n(x)$ 是 $O((x-a)^n)$，记作 $R_n(x) = O((x-a)^n)$。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。
泰勒公式是一种重要的工具，可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。
本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
2.泰勒公式泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。
这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。
2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式具有拉格朗日余项的泰勒公式是最常用的一种泰勒公式。
它可以将一个函数展开为一个幂级数，其中每一项的系数都与函数的导数有关。
这个公式的余项是一个拉格朗日型余项，可以用来估计函数在某个点的误差。
2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有皮亚诺型余项的泰勒公式是一种更精确的泰勒公式。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.3带有积分型余项的泰勒公式带有积分型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.4带有柯西型余项的泰勒公式带有柯西型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
3.泰勒公式的应用泰勒公式在数学分析中有广泛的应用。
本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
3.1利用泰勒公式求未定式的极限利用泰勒公式可以求解一些未定式的极限。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质求解未定式的极限。
3.2利用泰勒公式判断敛散性泰勒公式可以用来判断一些级数的敛散性。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质判断级数是否收敛。
3.3利用泰勒公式证明中值问题泰勒公式可以用来证明一些中值问题。
泰勒公式及其应用
指导教师：
研究意义
在高等数学中,泰勒公式是一个用函数 在某点的信息描述其附近取值的公式. 泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为 简单的多项式函数,是高等数学中重要部 分.泰勒公式可以用函数在某一点的各阶 导数值做系数构建一个多项式来求近似 函数在这一点的领域中的值以及多项式 和实际函数值之间的偏差.
1. 利用泰勒公式求极限。 2. 利用泰勒公式求不等式。 3.利用泰勒公式判断级数的敛散性。 4.利用泰勒公式证明根的唯一性。 5.利用泰勒公式判断函数的极值。 6.利用泰勒公式求初等函数的幂级展开式。 7.利用泰勒公式进行近似运算 8.利用泰勒公式判断函数的凸凹性和拐点 。 9.利用泰勒公式求高阶导数在某点的数 。
谢 谢！
研究目标
泰勒公式在数学研究中有着广泛应用, 泰勒公式的研究有很重要的现实意义.泰 勒公式在微积分的各个领域都有重要的应 用,集中体现了微积分的核心.对泰勒公式 的研究主要包括以下几个方面:（1）求函 数的极值,（2）证明根的唯一性,(3)求泰 勒函数在某点的高阶导数,（4）利用泰勒 函数求函数的近似值和误差,（5）求证函 数的敛散性.
究的路线
1.对资料收搜集和整理 第一阶段 2.文献研究
第二阶段
实 证 研 究
教学设计案例收集
得 出 结 论
1.两种教材的对比研究， 2.结合理论提出教学设计理 念和遵循原则，分析案例
论文的结构及内容
第一部分 第二部分 第三部分 研究目标和意义 泰勒公式的定义 泰勒公式的应用
泰勒公式应用
致谢
经过几个月的查资料、整理材料、写作论文，今天 终于可以顺利的完成论文了. 随着论文的完成，终于可 以让大学的生活划下一个完美的句点．论文得以完成， 要感谢的人实在太多了，首先要感谢我的指导老师－孙 梅娜老师，感谢她能够在论文的选题和写作过程中提供 宝贵的指导性意见．孙梅娜老师指导我的论文的写作的 方向和架构，指正出其中误谬之处，使我有了思考的方 向，使我克服了在论文写作过程中的困难．在此，谨向 孙梅娜老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！同时，论文 的顺利完成，离不开其它各位老师、同学和朋友的关心 和帮助．在整个的论文写作中，各位老师、同学和朋友 积极的帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意 见，在他们的帮助下，论文得以不断的完善，最终帮助 我完整的写完了整个论文．
泰勒公式和泰勒级数的应用（精品）
NEW EDUCATION中专职教泰勒公式和泰勒级数的应○琼台师范高等专科学校何勤一、预备知识泰勒公式：若函数f 在x 0的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则f (x)=f ′(x 0)(x 0-x 0)+f (x 0)2(x -x 0)2+…+f n(x 0)n!(x-x 0)n+R(x)①Rn(x)=f n+1(ξ)(n+1)!(x-x 0)n+1其中ξ在x 与x 0之间，称①为f 在x 0处的泰勒公式。
如果在①中抹去余项R n （x ），那么在x 0处附近f 可用①式右端的多项式来近似代替。
如果函数f 在x=x 0处存在任何阶的导数，这时称形式为f (x)=f ′(x 0)(x-x 0)+f ″(x 0)2(x-x0)2+…+f n(x 0)n!(x-x 0)n+…②的级数为函数f 在x 0的泰勒数。
二、泰勒级数在不等式证明中的应用函数f （x ）在x 0的某邻域上能展开为泰勒级数①，应用对泰勒公式R n (x)的讨论，可能证明一些不等式。
虽然泰勒级数在不等式的证明中应用不多，但是能够应用泰勒公式时，往往能收到事半功倍的效果。
例证明不等式1+x 2-x 28＜1+x 姨（x ＞0)分析：不等式左边是二次三项。
右边是无理式，两者没有明显的大小关系，作差显然不行，作商也比较麻烦，用微分的方法也麻烦，这时，可将1+x 姨用x 0=0时二阶泰勒公式表示出来，然后与左边的二次三项式作比较，进行判断两者的大小关系。
证明：设f （x)=1+x 姨,则f (0)=1f (x)=12(1+x)则f (0)=12f (x)=14(1+x)则f (0)=14f 苁(x)=38(1+x)代入x 0=0的二阶泰勒公式有f （x)=1+x 姨=1+x 2-x 28+116(1+θx)x 3,0＜θ＜1当x ＞0时余项116（1+θx)x 3＞0从而有：1+x 2-x 28＜1+x 姨。
三、在正项级数敛散性判定中的应用1.在级数理论中，要判定一个正项级数∞n =1Σαn是否收敛，通常要找一个较简单(p ＞0),再用比较判别法来判定,在的问题是如何选取适当的∞n =1Σ1np例如（1）若p =2，此时∞n =1Σ1n 2收敛lim n -＞∞a n 1n 2=+∞。
泰勒公式及其在极限运算中的运用(论文)
摘要 (2)1 引言 (4)2 泰勒公式 (5)2.1 n次泰勒多项式 (5)2.2 泰勒公式 (6)2.3 泰勒公式的种类 (6)2.31 含有佩亚诺余项的泰勒公式 (6)2.32 含有拉格朗日余项的泰勒公式 (7)2.33 特殊的泰勒公式 (7)3 利用泰勒公式求极限及其应用 (8)3.1 一些常见的麦克劳林公式 (8)3.2 一些实例分析 (9)4 结论 (17)参考文献 (18)在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算.如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而又满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义.而泰勒公式就起了很好的桥梁作用，本文将系统地阐述对一个函数具有什么条件才能用此多项式近似代替；这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么样的关系；用多项式函数近似代替这个函数的误差又怎样；重点是怎样利用泰勒公式计算极限以及其在极限计算中的应用，对比分析出泰勒公式的优越性.关键词：泰勒公式；近似代替；极限运算AbstractPolynomial in elementary function is the most simple function, because the polynomial function is used only three kinds of add, subtract, multiply computing. If can the rational fractional function, especially the irrational function and elementary transcendental function approximation using polynomial function, and meet the requirements, obviously, the study of functional state and function value approximate calculation has important significance. And there was a very good role of bridge and Taylor formula, this article will systematically expounded is what condition for a function to substitute the polynomial approximation; The polynomial function coefficient and the function of what kind of relationship; Using polynomial function approximation instead of what the function of the error; Focuses on how to use Taylor formula calculation, the application limit and the limit analysis of the superiority of the Taylor formula.Key words：Taylor formula;and approximate replace;limit operation1 引言在数学中，泰勒公式是在级数基础上发展起来的，它是用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用.泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位.通过泰勒公式和极限运算的学习，已经掌握初等函数在某一点的泰勒展式，对于一些高阶的极限运算，直接求极限不好求，利用泰勒公式能很快地求出.所以对泰勒公式的进一步研究是非常重要的.泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力，许多研究者已在此领域获得许多研究成果.例如，[1]刘玉琏、傅沛仁、林玎等人重点谈了无理函数和初等函数用多项式函数近似代替，而这时误差又能满足要求，也即是把函数写成n次泰勒多项式.[3]张筑生体统地谈了用n次多项式来研究可导n次的函数，也就是带小o余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.[4]沈燮昌、邵品琮等人主要是从逼近角度对它进行介绍，并说明泰勒公式的一些应用.其中用泰勒公式来求极限就是一个应用.对于一些高阶的极限运算，要求得其极限是非常困难的.对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的.通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中最重要的内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似运算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面.除此之外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解.下面主要针对泰勒公式在极限中的应用，在一些题目当中，为解题带来了很多的便捷，这同时也为求极限提供了一种很好的方法.2 泰勒公式泰勒公式是微积分学中的一个重要内容，它用n 次多项式来研究可导n 次函数，这种带o 余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.因此，泰勒公式是求极限的重要方法.对泰勒公式及其种类的认识是很有必要的.2.1 n 错误!未找到引用源。
泰勒公式及其应用论文.doc
泰勒公式及其应用摘要：泰勒公式是数学分析中的重要知识,在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的.本文主要阐述了利用泰勒公式进行近似计算和误差分析、求极限、求函数在某点处的高阶导数、求定积分、求某些微分方程的解、巧解行列式、判断函数极值与拐点、判断级数与广义积分的敛散性、证明不等式、证明根的唯一性等方面的应用及技巧.关键字：泰勒公式；应用；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值.一.引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.本文主要探索的是泰勒公式的一些重要应用,并对不同的应用进行相应的分析,并且通过例题分析说明泰勒公式的应用及注意事项和应用技巧.二.泰勒公式及其余项1.泰勒公式的基本概述若函数)(x f 在0x 处存在n 阶导数,则对)(0x U x ∈∀,有)()(!)()(!2)())(()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f n n +-++-''+-'+ , (1)])[()(0n n x x x R -=ο,)(0x x →,即)(x R n 是比n x x )(0-的高阶无穷小. (1)式称为)(x f 在0x 处的泰勒展开式.2.泰勒公式的重要形式泰勒定理中给出的余项])[()(0nn x x x R -=ο称为佩亚诺余项.佩亚诺余项])[(0n x x -ο只是给出来余项的定性描述,它不能估算余项)(x R n 的数值,还需要进一步的进行定量描述.（1）拉格朗日余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)()()(00)(2000x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-+= , (2) 1)1()()!1()()(0++-+=n n n x x n f x R ξ称为拉格朗日余项,其中ξ在x 与0x 之间,称(2)式为)(x f 在0x 的带拉格朗日余项的泰勒公式.当00=x 时, (2)式变成)(!)0(!2)0()0(')0()()(2x R x n f x f f f x f n nn ++++= ,1)!1()()()1(++=+n n x n f x R n ξ,其中ξ在0与x 之间,称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.（2）柯西余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= , (3))()(!)()(0)1(x x x n f x R n n n --=+ξξ,其中ξ在x 与0x 之间,称(3)式为)(x f 在0x 带柯西余项的泰勒公式.当00=x 时, (3)式变成)(!)0(!2)0()0()0()()0(2x R x n f x f x f f x f n n+++''+'+= ,1)1()1(!)()(++-=n n n n x n x f x R θθ,其中10<<θ,称此式为带柯西余项的麦克劳林公式.（3）积分余项若函数)(x f 在)(0x U 内存在1+n 阶的连续导数,则对)(0x U x∈∀有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= , (4)⎰-=+x x n n n dt t x t f n x R 0))((!1)()1(,称(4)式为)(x f 在0x 带积分余项的泰勒公式.3.常见函数的展开式12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ ；)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n nx o n x x x x x ；24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+；)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x ； )(1112n n x o x x x x+++++=- ；+-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m .三.泰勒公式的应用1.利用泰勒公式近似计算和误差估计在研究学习过程中,我们经常因为一些数据是无理数而无法得出具体的数值,但是通过泰勒公式就可以将这些数表示成容易计算并且可以计算的形式,进而得出具体的数值来近似该数.另外绝大多数的数值计算结果都会有误差,但是通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差,同时减少计算的复杂程度.泰勒公式在近似计算和误差估计中应用就显得十分突出.下面在具体例子展示泰勒公式计算的方便与精确.例1 计算e 的值,使其误差不超过610-.解 x e x f =)(,由x n e x f=+)()1(,得到12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ ,10,<<θ)(∞+-∞∈，x .有: )!1(!1!2111++++++=n e n e θ,故)!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ,当9=n 时,便有691036288003!103)1(-<=<R , 从而略去)1(9R 而求得的近似值为.718285.2!91!31!2111≈+++++≈ e例2 2128x x ≈+-,[0,1]x ∈的绝对误差.解 设()f x =则因为1)0(=f ,21)1(21)('-+=x x f , 21)0('=f ,23)1(41)(''-+-=x x f , 41)0(''-=f ,.)1(83)('''25-+=x x f所以x x f +=1)(带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为：2532)1(168211-++-+=+x x x x x θ,)10(<<θ.从而：161)1(16)(2532≤+=-x x x R θ ,]1,0[∈x . 2.利用泰勒公式求极限正如我们所知的一样,有一些特殊的极限通过一些常规的方法是没有办法直接计算得出来的,比如常见的00、∞∞型等,而通过利用泰勒公式将其中的一些项用泰勒展式替换将函数的极限化为类似于多项式有理式的极限,就可以解决这些问题的极限计算.例3 求30)1(sin lim x x x x e x x --→的极限. 解 因为分母为3x ,故分子的泰勒展开式中取3=n .)(!3!21332x o x x x e x++++= , )(!3sin 43x o x x x +-=.30)1(sin lim x x x x e xx --→3433320)1()](!3)][(!3!21[lim x x x x o x x x o x x x x --+-++++=→324320)(!3lim x x x x o x x x x --+++=→3430)(!3limx x o xx +=→ 31=. 例4 设函数)(x ϕ在],0[+∞上二次连续可微,如果)(lim x x ϕ+∞→存在,且)(''x ϕ在],0[+∞上有界.求证：0)('lim =+∞→x x ϕ.证明 要证明0)('lim =+∞→x x ϕ,即要证明:0>∀ε,0>∆∃ ,当∆>x 时, εϕ<)('x .利用泰勒公式,2)(''21)(')()(,0h h x x h x h ξϕϕϕϕ++=+>∀, 即 2)(''21)]()([1)('h x h x h x ξϕϕϕϕ--+=, (5)记)(lim x A x ϕ+∞→=,因''ϕ有界,所以0>∃M ,使得)()(''a x M x ≥∀≤，ϕ,故由(5)知221))()((1)('Mh x A A h x h x +-+-+≤ϕϕϕ, (6) 对0>∀ε,首先可取0>h ,充分小,使得2212ε<Mh ,然后将h 固定. 因A x x =+∞→)(lim ϕ,所以0>∆∃,当∆>x 时2))()((1εϕϕ<-+-+x A A h x h , 从而由(6)式即得.22)('εεεϕ=+<x3.利用泰勒公式判断函数极值拐点例5 设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)('0=x f ,0)(''0≠x f .证明(i)若0)(''0<x f ,则f 在0x 取得极大值； (ii) 若0)(''0>x f ,则f 在0x 取得极小值. 证明 由条件,可得f 在0x 处的二阶泰勒公式))(()(!2)('')(!1)(')()(20200000x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=. 由于0)('0=x f ,因此2000))](1(2)(''[)()(x x o x f x f x f -+=-. (7) 又因0)(''0≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时,)(''210x f 与)1()(''210o x f +同号. 所以,当0)(''0<x f 时, (7)式取负值,从而对任意)';(0δx U x ∈有0)()(0<-x f x f ,即f 在0x 取得极大值.同样对0)(''0>x f ,可得f 在0x 取得极小值.例6 判定)4,0(是否是x e e x f x x cos 2)(++=-的拐点？解 x e e x f x x sin 2)('--=-,0)0('=f ；''()2cos x x f x e e x -=+-,0)0(''=f ； '''()2sin x x f x e e x -=-+,0)0('''=f ； (4)()2cos x x fx e e x -=+-,(4)(0)40f =≠.因为4n =,所以)4,0(不是)(x f 的拐点.注： 用泰勒公式可证明：若)(x f 在某个),(0δx u 内n 阶可导,且满足0)()('')('0)1(00=+==-x f x f x f n ,且，0)(0)(≠x f n )2(>n ,若：（1）n 为奇数,则))(,(00x f x 为拐点； （2）n 为偶数,则))(,(00x f x 不是拐点.4.利用泰勒公式判断级数的敛散性当我们所要判断的级数的表达式是由不同类型的函数构成的较为复杂的形式的时候,我们直接是很难判断该级数的敛散性的,但是如果利用泰勒公式将其形式化简成统一的形式,就可以利用相应的收敛准则快速地判断级数的收敛性了.下面通过例题说明如何利用泰勒公式判断级数的收敛性.例7 讨论级数)1111(22nn n a n n n ---=∑∑∞-∞-的敛散性. 解 由比较判别法可知：若11lim =∞→pnn n a ,+∞<<p 0,则正项级数∑∞-2n na和正项级数∑∞-21n pn同是收敛和发散.为了选取∑∞-21n pn中的p 的值,可以用泰勒公式研究通项0→n a ,)(∞→n 的阶.n n n a n 1111---=nnn n 1)1(11--⋅=n n n o n n n 11))1(()1(11[122--+++=n n n o n n n 11)1(1112/32/3--+++=)1(12/32/3n o n +=.因为当23=p 时11lim 23=∞→n a nn , 所以正项级数∑∞-21n pn收敛.故∑∞-2n na收敛.即证.5.利用泰勒公式判断广义积分的敛散性.)(x f 为正值函数,要判定dx x f a)(⎰+∞的收敛性.若能找到恰当的p xx g 1)(=,0>p 使l x g x f x =+∞→)()(lim ,又比较判别法的极限形式可判别出无穷积分dx x f a)(⎰+∞的收敛性.这里的问题也是如何选取0>p ,才能应用判别法则呢？运用泰勒公式通过研究)(x f 的阶,就可以解决这类问题.例8 研究广义积分dx xx xx ⎰-1sin sin 的敛散性.解 因为sin sin x xx x =∞-,所以0=x 是瑕点.由比较判别法可以知道,)(l dx x f x q =+∞<<l 0,则1q <时,()1f x dx ⎰收敛；当1q ≥时,()1f x dx ⎰发散. 因为 )(!3)](!3[sin sin 4343x o x x x x o x x x x x x x +--+-=- )](1[6)](611[32x o xx o x ++-=.所以 0sin lim 6sin x x xx x x+→⋅=-.因为1q =,所以广义积分dx xx xx ⎰-10sin sin 发散. 6.利用泰勒公式求函数在某点处的高阶导数如果)(x f 泰勒公式已知,其通项中的加项)()(n a x -的系数是)(!10)(x f n n ,从而可求高阶导数数值)(0)(x f n ,而不必依次求导.例9 写出22()x f x e-=的麦克劳林公式,并求)0()98(f与)0()99(f .解 因)(!2122n nxx o n x x x e +++++= ， (8)用)2(2x -替换(8)中的x ,得)(!2)1(!22212224222n n nn x x o n x x x e+⋅-++⋅+-=- , 由泰勒公式系数的定义,在上述)(x f 的麦克劳林公式中,98x 与99x 的系数分别为!4921)1()0(!9814949)98(⋅⋅-=f ,0)0(!991)99(=f . 由此得到!492!98)1()0(4949)98(⋅⋅-=f ,0)0()99(=f . 例10 求函数x e x x f 2)(=在1=x 处的高阶导数)1()100(f .解 设1+=u x ,则e e u e u u g xf u u ⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(,)0()1()()(n ng f =,u e 在0=u 的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998u o u u u u e u++++++= ,从而))(!100!99!981)(12()(10010099982u o u u u u u u e u g +++++++= ,而)(u g 中的泰勒展开式中含100u的项应为100100!100)0(u g ,从)(u g 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++, 因此)!1001!992!981(!100)0(100++=e g ,10101)0(100⋅=e g , e g f 10101)0()1(100100==.7.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式主要是因为当我们证明的不等式中含有初等函数和多项式的混合物时,我们可利用泰勒公式将其化为统一的形式,方便我们的证明.例11 当0≥x 时,证明361sin x x x -≥.证明 取361sin )(x x x x f +-=,00=x ,则 0)0(=f ,0)0('=f ,0)0(''=f ,x x f cos 1)(''-=,0)0(''≥f .带入泰勒公式,其中3=n ,得3!3cos 1000)(x x x f θ-+++=,其中10<<θ. 故当0≥x 时,361sin x x x -≥. 例12 设)(x f 在区间),(b a 内二阶可导,且0)(''≥x f ,则nn n nnn p p p x f p x f p x f p p p p x p x p x p f +++++≤++++2122121221)()()()(11，其中n p p p ,,21 均为正数；),(,,21b a x x x n ∈ .证明 记nnn p p p x p x p x p x ++++=2122101,则),(0b a x ∈.由于)(x f 在区间),(b a 内二阶可导,故)(x f 在点0x 处一阶泰勒公式成立.20000)(!2)(''))((')()(x x f x x x f x f x f -+-+=ξ,ξ在x 与0x 之间. 因为 0)(''≥x f ,),(b a x ∈,所以 0)(''≥ξf ，))((')()(000x x x f x f x f -+≥.分别取n x x x x ,,21 =,则有))((')()(0001x x x f x f x f -+≥； ))((')()(0002x x x f x f x f -+≥；).)((')()(000x x x f x f x f n -+≥以上各式分别乘以12,,,n p p p ,得))((')()(000111x x x f x f p x f p -+≥； ))((')()(000222x x x f x f p x f p -+≥；))((')()(000x x x f x f p x f p n n n -+≥.将上面n 个不等式相加得].)()[(')()()()()()(02122110002012211x p p p x p x p x p x f x f p x f p x f p x f p x f p x f p n n n n n n ++-+++++++≥+++因为nnn p p p x p x p x p x +++++=2122110,所以)()()()()()(002012211x f p x f p x f p x f p x f p x f p n n n +++≥+++ .即nn n p p p x f p x f p x f p x f +++++≤2122110)()()()(，从而nn n n n n p p p x f p x f p x f p p p p x p x p x p f +++++≤+++++212211212211)()()()(.即证.注： 利用泰勒公式证明函数不等式,主要有两步：(1)构造一个函数)(x f ,选一个展开点0x ,然后写出)(x f 在0x 处带有拉格朗日余项的泰勒公式； (2)根据所给的最高阶导数的大小,函数的界或者三角不等式对),(b a ∈ξ进行放缩. 设函数)(x f 在点0x 附近二阶可导,由泰勒展式显然有结论： （a ）若0)(''≥x f ,则有))((')()(000x x x f x f x f -+≥； （b ）若0)(''≤x f ,则有))((')()(000x x x f x f x f -+≤.8.利用泰勒公式证明根的唯一存在性例13 设)(x f 在),[+∞a 上二阶可导,且0)(>a f ,0)('<a f ,对),(+∞∈a x ,0)('<x f ,证明：0)(=x f 在),(+∞a 内存在唯一实根.分析：这里)(x f 是抽象函数,直接讨论)(x f =0的根有困难,由题设)(x f 在[,)a +∞上二阶可导且()0,'()0f a f a ><,可考虑将)(x f 在a 点展开一阶泰勒公式,然后设法应用介值定理证明.证明 因为0)('≤x f ,所以)('x f 单调减少,又0)('<a f ,因此a x >时,0)(')('<<a f x f ,故)(x f 在),(+∞a 上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有)()(2)('))((')()(2x a a x f a x a f a f x f <<-+-+=ξξ.由题设0)('<a f ,0)('≤ξf ,于是有-∞=+∞→)(lim x f x ,从而必存在a b >,使得0)(<b f ,又因为0)(>a f ,在],[b a 上应用连续函数的介值定理,存在),(0b a x ∈,使0)(0=x f ,由)(x f 的严格单调性知0x 唯一,因此方程()0f x =在),(+∞a 内存在唯一实根.9.利用泰勒公式巧解行列式若一个行列式可看做x 的函数（一般是x 的n 次多项式）,记作)(x f ,按泰勒公式在某处0x 展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例14 求n 阶行列式D =xz z z y xzzyy x zyy y x. (9)解 记D x f n =)(,按泰勒公式在z 处展开：n n n n n n z x n z x f z x z f z x z f z f x f )(!)()(!2)('')(!1)(')()()(2--+-+-+= , (10)易知1)(0000000000--=-----=k ky z z y z y yz y y z y y z y y z D(11)由(11)得,时都成立n k y z z z f k k ,,2,1,)()(1 =-=-. 根据行列式求导的规则,有)()('1x nf x f n n -=,)()1()('2x f n x f n n --=,… ,)(2)('12x f x f =,1)('=x f n (因为x x f =)(1).于是)(x f n 在z x =处的各阶导数为21)()(|)(')('--=-===n n z x n n y z nz z nf z f z f , 31)()1()('|)('')(''--=--===n n z x n y z z n n z nf z fn z f ,… … … …z n n z f n n f z f z x n n n n 2)1()(2)1(|)(111 -=-===--,12)1()()(⋅-= n n z f n n .把以上各导数代入(10)式中,有nn n n n n z x n n n z x z n n n z x y z z n n z x y z z n y z z x f )(!12)1()()!1()21()()(!2)1()()(!1)()(12321-⋅-+---++-⋅--+--+-=----若y z =,有])1([)()(1y n x y x x f n n -+-=-,若y z ≠,有yz z x y y x z x f nn n ----=)()()(.10.利用带积分型余项的泰勒公式求定积分例15 计算⎰<<∈-++b a n n b a N n dx x b x)0(),(,)(12.解 设xx f 1)(=，则21)1()!1()1()(++++-=n n n x n x f ， dx x b x n dx xx b nn b a n ba n n )()1()!1()1()()1(12-+-=-+++⎰⎰ ])()1()(1)(111[!)!1()1(112321n n n n a b a a b a a b a a b n n --++---+-⋅+-=++ ba bn n n 11)1(1)1(++-⋅+-=. 注: 由带积分余项的泰勒公式可得以下引理.引理： 若函数)(x U ,)(x V 在闭区间],[b a 上存在连续的1+n 阶导数，则有b a ban n n n n x V x U x V x U x V x U dx x V x U ⎰-++-=-+)]()()1()()(')()([)()()()1()()1(⎰++-+ban n dx x V x U )()()1()1(1，)3,2,1( =n .11.利用泰勒公式求某些微分方程的解泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用.解析法很难求解的常微分方程,用数值方法求其特解是一种常见的方法,一般用逐步逼近法来进行,其中泰勒公式是常用的工具.下面,就应用泰勒公式求解具有给定x 和y 初值的联立方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dt dx给出初值),,(000t y x . 我们用如下形式表示一个x 和y 的联立方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dt dx(12) 求方程组(12)通过点),,(000t y x 的特解,其中已知).,,(000t y x 我们设想用一种逼近计算求出在下列各点kh t t h t t h t t h t t k +=+=+=+=0030201,,3,2, 处y x ,的近似值,其中h 为t 轴上选取的恰当步长.现在,设在k t t =处,已求出y x ,的近似值,且表示为).(),(k k k k t y y t x x == 由泰勒公式可知：,!3)('''!2)('')(')()(32 ++++=+h t x h t x h t x t x h t x++++=+!3)('''!2)('')(')()(32h t y h t y h t y t y h t y . (13) 令k t t =,即可得出计算11++k k y x 值的公式 3,2,1,0=k,!3)('''!2)('')(')()(321++++=+=+h t x h t x h t x t x h t x x k k k k k k++++=+=+!3)('''!2)('')(')()(321h t y h t y h t y t y h t y y k k k k k k . (14)其中),,('t y x F dtdxx ==, ),,('k k t y x F x k k =, ),,('t y x G dtdy y == , ),,('k k t y x G y k k =,,''t F dt dy y G dt dx x F x ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=,''t G dt dy y G dt dx x G y ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=,),,('),,('),,(''tt y x F y y t y x F x x t y x F x k k k k k k k k k k k k ∂∂+∂∂+∂∂=,),,('),,('),,(''tt y x G y yt y x G x xt y x G y k k k k k k k k k k k k ∂∂+∂∂+∂∂=……,),,()1()1()()1()1()(----∂∂==∂∂=n k n n n k n n n t t y x F x x t F xk k.),,()1()1()()1()1()(----∂∂==∂∂=n k n n n k n n n tt y x G y y t G yk k 当给定了初值条件),,(000t y x 时,由方程(14),令0=k ,则得出：,!3'''!2'''3020001 ++++=h x h x h x x x .!3'''!2'''3020001 ++++=h y h y h y y y其中1x ,1y 在取近似值时的保留项数,取决于步长h 及所需的精确度.当求出1x ,1y 后,再令1k =,可求出2x ,2y ,后面依次类推.取近似值时所要保留的项数,也可由上同样处理.为了说明以上方法,下面举个简单例子.例16 求：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),,(),,(t y x G dtdy t y x F dtdx的解,其初始条件为,0=t 处, 2=x ,0=y .解 首先,我们可选定步长1.0=h ,并依次计算 ,2.0,1.0=t 等处的近似值,由逐次求导得出)3(,,,''''',1''',')1()(≥==-=-=-n x x x x x x t x x n n , )3(,,,''''',1''',')1()(≥==-=-=-n y y y y y t y y n n .因此在0=t 处,有1,1,,1''',1''',0',2',0,200000000========nn y x y x y x y x ,令0=k ,则方程组(14)给出++++=6223012h h h x x=2052.20002.00050.02000.02=++++ .++++=6223012h h h y y2052.20002.00050.02000.02=++++= .接着在1.0=t 处,有2052.2,2052.211==y x ； 1052.2',1052.2'11==y x ；1052.1'',1052.1''11==y x ； 1052.1''',1052.1'''11==y x ；……令1=k ,由方程(14)：++++=!3'''!2'''3111122h x h x h x x x4214.20022.00055.00055.02105.02052.2=+++++= .++++=!3'''!2'''3111122h y h y h y y y4214.20022.00055.00055.02105.02052.2=+++++= .这个过程可以根据需要不断地重复进行.四.总结本文主要介绍了泰勒公式以及它的多个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,对怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]刘玉琏,傅沛仁编.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社,2003：233-234. [2]丁晓庆.工科数学分析[M].北京：科学出版社，2001：191-192.[3]孙清华，孙昊.数学分析疑难分析与解题方法(上)[M].武汉：华中科技大学出版社，2009：140-147. [4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社,2005：173-179. [5]邵剑，陈维新.大学数学考研专题复习[M].北京：科学出版社，2005:62-62. [6]丁凡.浅析泰勒公式的应用[J].数学通讯,2003(13):56-58.[7]斯瑜.泰勒公式在计算中的应用[J].兰州理工大学学报,2005(10):13-16. [8]郑玉仙.泰勒定理的妙用[J].陕西省:高等数学研究，2006(01):46-47.[9]齐成辉.泰勒公式的应用[J].陕西师范大学学报（自然科学版），2003（04）：24-25. [10]王三宝.泰勒公式的应用举例[J].高等函授学报，2005:14-15.Application of Taylor formulaName:Zhao Zaibiao Student ID:2009010287 Tutor:Cui Shuli(Shihezi University College of Science Department of mathematics Zip code:832000)Abstract: Taylor formula is one of the most important knowledge in mathematical analysis,which will achieve the goal to solve some of the math problems quickly.This paper mainly expounds the elaborated using the Taylor formula for approximate calculation and error analysis,limit and function at some point in some higher order derivative,definite integral and differential equation solution,smart solution determinant, judgment of function extreme value and a inflection point, judging progression and improper integral of divergence, the inequality proof and prove the uniqueness of the root of the application and skill.Keywords: Taylor formula；application；limit；inequality；convergence；the existence and uniqueness of the maximum root.。
泰勒公式与导数的应用
泰勒公式与导数的应用泰勒公式和导数都是微积分中的重要概念，它们在数学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
本文将分别介绍泰勒公式和导数的基本概念，并讨论它们在数学和实际问题中的应用。
一、泰勒公式泰勒公式是对函数进行近似的一种方法。
给定一个充分光滑的函数f(x)，泰勒公式可以给出函数在其中一点a附近的展开式。
具体而言，泰勒公式可以用以下形式表示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数f(x)在点a处的二阶导数，f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数，R_n(x)表示剩余的误差项。
泰勒公式是针对泰勒级数的截断形式，泰勒级数可以展开到无穷项，但在实际应用中，往往只需要考虑有限项即可。
截断误差R_n(x)表示由于截断到第n项而产生的误差，当n越大，截断误差越小，展开式越接近原函数。
泰勒公式在数学领域中有广泛的应用，尤其是在函数的近似计算和数值方法中。
例如，通过泰勒公式，我们可以将复杂的函数进行线性近似，从而简化计算。
此外，泰勒公式也为高阶导数的计算提供了一种方法，通过对函数展开，可以逐级求导得到需要的导数。
在物理学和工程学中，泰勒公式也有着重要的应用。
例如，我们可以利用泰勒公式对物体的运动进行描述，从而预测物体在其中一时刻的位置和速度。
此外，在电路分析和信号处理中，泰勒公式常常用于信号的近似和滤波。
导数是微积分中的基本概念，表示函数在其中一点的变化率。
导数可以用以下形式表示：f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，h表示自变量x的增量。
导数在数学中有着广泛的应用。
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用泰勒公式是数学中一种用于近似函数值的方法，它可用来在其中一个点附近的小区间内用多项式来表示一个函数。
泰勒公式可以用于求解函数的近似值、研究函数的性质以及优化算法等方面的应用。
泰勒公式的一般形式如下：设函数f(x)处处可导，且规定x为实数。
若在开区间(a,b)内有无限次可导的函数f(x)则对于(a,b)内的任意实数x及正整数n，有：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+Rn(x)其中，x0为(a,b)内的任意固定点，Rn(x)为用(x-x0)^n的余项，且满足lim Rn(x)=0。
泰勒公式的应用广泛，以下介绍几个常见的应用：1.近似计算：泰勒公式可以用于计算函数在其中一点附近的近似值。
通过截取泰勒级数的前几项，可以用一个简单的多项式代替原函数，从而简化计算。
例如，可以用泰勒公式来近似计算指数函数、三角函数等复杂函数在其中一点附近的函数值，从而简化计算过程。
2.函数展开：泰勒公式可以将一个任意函数在其中一点附近展开成多项式的形式，从而研究函数的性质。
通过观察和分析泰勒展开式的形式，可以推导出函数的导数、极值、拐点等重要性质，进一步理解函数的行为特征。
3.数值优化：泰勒公式可以用于求解优化问题中的极值。
通过将目标函数在极值点展开为泰勒级数，可以通过近似的方式来确定极值点的位置。
这种方法常用于计算机算法中的数值优化问题，例如梯度下降法等。
4.工程应用：泰勒公式在工程中有广泛的应用。
例如，在电子电路设计中，可以使用泰勒公式来近似计算非线性元件的响应特性，从而简化电路的分析和设计。
在物理学中，泰勒公式可以用于解析力学、电磁学等领域的问题，通过近似计算来简化复杂的数学模型。
总结起来，泰勒公式是数学中一个重要的工具，它可以用于近似计算、函数展开、数值优化和工程应用等多个方面。
在实际问题中，泰勒公式的应用可以帮助我们理解和求解复杂的函数及其性质，进而提供了有效的计算和分析方法。
泰勒公式的几种证明及应用
泰勒公式的几种证明及应用泰勒公式是微积分中一个重要的定理，它允许我们通过多项式的Taylor级数来近似复杂函数的值。
本文将介绍泰勒公式的几种证明及应用。
1.麦克劳林级数证明：泰勒公式的一种常见证明方法是通过麦克劳林级数展开。
麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊形式，即当参数a=0时的泰勒级数展开。
假设函数f(x)存在无限阶的导数，将f(x)在x=a处展开为幂级数，则有：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...通过截取级数的前几项，我们就可以用一个多项式来近似原函数的值。
2.极限证明：另一种证明泰勒公式的方法是使用极限。
考虑函数f(x)在x=a处的n阶导数f^(n)(a)，则可以证明当x趋向于a时：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+o((x-a)^n)其中o((x-a)^n)表示当x趋向于a时，高于(x-a)^n的项的阶数。
这个证明方法其实是利用了极限的定义，将函数值的误差与展开式中的余项进行比较。
3.应用：泰勒公式是微积分中非常重要的一个工具，它可以应用于众多的数学和物理问题中。
以下是几个泰勒公式的应用案例：-函数近似：通过泰勒公式，我们可以将复杂的非线性函数近似为多项式的形式，从而简化计算。
这在数值计算、数据分析以及物理模型的建立中非常常见。
-数值积分：泰勒公式可以用于数值积分的方法之一，即将被积函数在其中一点处展开成泰勒级数，并对多项式项进行数值积分。
这种方法可以提高计算的精度和效率。
-数值解微分方程：在数值解微分方程的过程中，泰勒公式可以用于将微分方程转化为一组代数方程，从而实现数值迭代解法。
-物理模型建立：在物理学中，泰勒公式可以用于建立物理模型，例如近似计算质点的运动轨迹、估算电路中的电流大小等。
泰勒公式及泰勒级数的应用
泰勒公式及泰勒级数的应用泰勒公式和泰勒级数是数学中非常重要的概念，它们在各个领域的应用非常广泛。
本文将详细介绍泰勒公式及其应用，以及泰勒级数的定义和相关应用。
一、泰勒公式泰勒公式是一个关于函数在一些点附近的展开式。
给定一个函数$f(x)$和一个点$a$，泰勒公式可以表示为：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$其中，$f'(a)$表示函数$f(x)$在点$a$处的导数，$f''(a)$表示二阶导数，$f'''(a)$表示三阶导数，依次类推。
这个展开式可以一直延伸下去，是一个无穷级数。
泰勒公式是在一个点的附近进行的展开，因此只在局部范围内有效。
当取$a=0$时，泰勒公式变成了麦克劳林级数。
泰勒公式的应用非常广泛，特别是在近似计算和数值分析中。
通过泰勒公式，我们可以用低阶导数来近似计算高阶导数的值，从而简化复杂的计算过程。
二、泰勒级数泰勒级数是指将函数在其中一点进行泰勒展开后的无穷级数表示。
具体而言，给定一个函数$f(x)$和一个点$a$，泰勒级数可以表示为：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$不同于泰勒公式，在泰勒级数中，展开点$a$可以是任意点。
泰勒级数包含了函数在该点附近的无穷阶导数信息，在一些条件下，可以用级数的有限项来逼近原函数的值。
泰勒级数的应用涵盖了许多领域，下面我们分别介绍一些常见的应用。
1.函数逼近泰勒级数可以用来逼近一个函数在其中一点的值。
通过截取级数的有限项，就可以得到原函数在该点的一个近似值。
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本科毕业论文(设计) 论文题目：泰勒公式及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级：指导教师：完成日期：2012年 5月20日泰勒公式及其应用内容摘要本文介绍泰勒公式及其应用，分为两大部分：第一部分介绍了泰勒公式的相关基础知识，包括带Lagrange余项、带Peano余项两类不同泰勒公式；第二部分通过详细的例题介绍了泰勒公式在八个方面的应用.通过本文的阅读，可以提高对泰勒公式及其应用的认识，明确其在解题中的作用，为我们以后更好的应用它解决实际问题打好坚实的基础.关键词：泰勒公式 Lagrange余项 Peano余项应用The Taylor Formula and The Application Of Taylor FormulaAbstractThis paper focuses on Taylor formula and the application of Taylor formula. It has two parts. The first part of this paper introduces the basic knowledge of the Taylor formula,Including Taylor formula with Lagrange residual term and with Peano residual term. With the detailed examples,The second part introduces eight applications of Taylor formula.By reading this paper,you can build a preliminary understanding of Taylor formula,define the function in problem solving ,in the later application that can be a good reference.Key Words:Taylor formula Lagrange residual term Peano residual term application目录一、泰勒公式 (1)（一）带Lagrange余项的泰勒公式 (1)（二）带Peano余项的泰勒公式 (2)二、公式的应用 (3)（一）、泰勒公式在近似运算上的应用 (3)（二）、泰勒公式在求极限中的应用 (5)（三）、泰勒公式在方程中的应用 (6)（四）、泰勒公式在中值公式证明中的应用 (8)（五）、泰勒公式在有关于界的估计中的应用 (9)（六）、泰勒公式在证明不等式中的应用 (10)（七）、泰勒公式在级数中的应用 (11)（八）、泰勒公式在求高阶导数值中的应用 (13)三、结论 (14)参考文献 (15)序 言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数.这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.[]1因为泰勒公式在解决一些数学问题时的确有着不可替代的作用，故有关它的理论在教材中一般都有比较详细的介绍，而关于它的应用则介绍甚少或不全面.本文比较详细地介绍了泰勒公式在近似计算、求极值、方程、证明中值公式、关于界的估计、证明不等式、级数、高阶导数值等方面的应用.作者在阅读了大量参考文献的基础上，通过例题给出了泰勒公式的许多应用，使我们能更直接的看到泰勒公式在各方面的运用.一、泰勒公式对于函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数.由这些导数构造一个n 次多项式()20000000'()''()()()()()()...()1!2!!n n f x f x f x Tn x f x x x x x x x n =+-+-++-，称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式.[2]泰勒公式根据所带的余项的不同有不同的定义.泰勒公式的余项分为两类，一类是定量的，一类是定性的，它们的本质相同，但性质各异.下面我们来介绍一下：（一）带Lagrange 余项的泰勒公式对于这种泰勒公式，Lagrange 余项是一种定量形式. 定理1[]3 若函数f 在[,]a b 上存在直到n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在直到+1n 阶导函数，则对任意给定的0[,]x x a b ∈、，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()(1)2100000000''()()()()()'()()()...()()2!!(1)!n n nn f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++=+-+-++-+-+，该式称为（带有Lagrange 余项的）泰勒公式.证明 作辅助函数])(!)())(()([)()()('n n t x n t f t x t f t f x f t F -++---= ，1)()(+-=n t x t G ，所以要证明的式子即为)!1()()()()()!1()()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ζζ或. 不妨设x x <0，则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续，在),(0x x 内可导，且 0))(1()()(!)()(')1('≠-+-=--=+n nn t x n t G t x n t f t F ， 又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得)!1()()()()()()()()()()1(''0000+==--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ζζζ， 其中),(),(0b a x x ⊂∈ζ. 所以定理1成立.（二）带Peano 余项的泰勒公式对于这种泰勒公式，Peano 余项是一种定性形式. 定理2[]3 若函数f 在点0x 存在直到n 阶导数，则有0()()(())nf x Tn x o x x =+-，即()200000000''()()()()'()()()...()(())2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+-++-+-，称为函数f 在点0x 处的（带有Peano 余项的）泰勒公式，该公式定性的说明当x 趋于0x 时，逼近误差是较0()nx x -高阶的无穷小量.证明 设)()()(x T x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，现在只需证0)()(lim0=-x Q x R nn x x .由n k x T x f k n k ,,2,1,0)()(0)(0)( ==，可知，0)()()(0)(0'0====x R x R x R n n n n .并易知!)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====- ，因为)(0)(x f n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数)(x f .于是，当o0x U x ∈（）且0x x →时，允许接连使用洛必达（L'Hospital ）法则1-n 次，得到)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim )()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n n x x 所以定理2成立.当00x =时，得到泰勒公式)10(,)!1()(!)0(...!2)0('')0(')0()(1)1()(2<<++++++=++θθn n n n x n x f x n f x f x f f x f ，该式称为（带有Lagrange 余项的）麦克劳林公式. 当上式中00x =时有()2''(0)(0)()(0)'(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x o x n =+++++，它称为（带有Peano 余项的）麦克劳林公式.二、公式的应用（一）、泰勒公式在近似运算上的应用利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算，利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x xn ≈++++[]4，其误差是余项()n R x . 例1[]5：计算e 的值，使其误差不超过610-.解 应用泰勒公式有11111...2!3!!(1)!e e n n θ=+++++++，(01)θ<<，估3(1)!(1)!n e R n n θ=<++，当=9n 时，便有6331010!3628800n R -<=<， 从而略去9R 而求得e 的近似值为718285.2!91...!31!2111≈+++++≈e . 例2[]5: 求21x edx -⎰的近似值，精确到510-.解 因为21x e dx -⎰中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达），现用泰勒公式的方法求21x e dx -⎰的近似值.在xe 的展开式中以2x -代替x 得24221(1)2!!nx nx x e x n -=-+++-+，逐项积分，得2421111121(1)2!!nx nx x edx dx x dx dx dx n -=-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰111111(1)32!5!2n 1n n =-+-+-++11111111310422161329936075600=-+-+-+-+，上式右端为一个收敛的交错级数，由其余项()n R x 的估计式知71||0.00001575600R ≤<，所以2111111110.7468363104221613299360x e dx -≈-+-+-+≈⎰.由于泰勒公式可以将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，所以当选定函数中的自变量时，就可以进行近似计算.在这个应用中主要注意选择适当的函数，然后运用麦克劳林展开式，带入数值.（二）、泰勒公式在求极限中的应用为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简洁的求出.接下来我们用两个例子来说明： 例3[]6：求极限2240cos limx x x ex -→-.解 考虑到极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子（取=4n ）245cos 1()224x x x o x =-++ ，)(82154222x o x x ex ++-=-，)(12cos 5422x o x ex x +-=--，因而求得，245244001()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→→-+-==-. 例4[]7: 求极限 )3(211ln 3)76(sin 6lim 2202x x xx x x x e x x +--+---→.解 )(!51!31sin 653x o x x x x ++-=， )(402767sin e 5532x o x x x x x ++-=-)(51413121)1ln(55432x o x x x x x x ++-+-=+ )(51413121)1ln(55432x o x x x x x x +-----=-)(52322)1ln()1ln(11ln 553x o x x x x x x x +++=+-+=-+，原式=5505527()40lim 6()5x x o x x o x →++=169.由上边两个例子可见，因为通常情况下对于函数多项式和有理分式的极限问题的计算是十分简单的，所以对于一些复杂的函数可以根据泰勒公式将原来的复杂的问题转化为类似多项式和有理分式的极限问题.综上所述，在式子满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限：(1)用洛必达法则时，次数比较多、求导过程和化简过程比较复杂的情况. (2)分子或分母中有无穷小的差， 且此差不容易转化为等价无穷小替代形式. (3)函数可以很容易的展开成泰勒公式.（三）、泰勒公式在方程中的应用泰勒公式在函数方程中应用比较广泛，题型也比较多，主要有判断根，方程次数等等一些证明类问题，做此类题，要注意观察题目中导数阶数，以便用泰勒公式展开到相应阶数.我们用三个例子来说明： 例5[]8: 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且()0f a >，'()0f a <，对(,)x a ∈+∞，''0f ≤证明 ()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根.分析： 这里()f x 是抽象函数，直接讨论()0f x =的根有困难，由题设()f x 在[,)a +∞上二阶可导且()0f a >，'()0f a <，可考虑将()f x 在a 点展开一阶泰勒公式，然后设法应用介值定理证明.证明 因为''()0f x ≤，所以'()f x 单调减少，又'()0f a <，因此>x a 时，''()()0f x f a <<， 故()f x 在(,)a +∞上严格单调减少.在a 点展开一阶泰勒公式有''2()()()()()()()2f f x f a f a x a x a a x ξξ=+-+-<<.由题设'()0f a <，'()0f ξ≤，于是有lim ()x f x →∞=-∞，从而必存在b a >，使得()0f b <，又因为()0f a >，在[,]a b 上应用连续函数的介值定理，存在0(,)x a b ∈，使0()0f x =，由()f x 的严格单调性知0x 唯一，因此方程()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根. 例6[]8： 设()f x 在(,)-∞+∞内有连续三阶导数，且满足方程，()()'(),01f x h f x hf x h θθ+=++<<. （1）试证：()f x 是一次或二次函数.证明 问题在于证明：''()0f x ≡或'''()0f x ≡.为此将（1）式对h 求导，注意θ与h 无 关.我们有'()'()''()f x h f x h hf x h θθθ+=+++， （2） 从而'()'()'()'()''()f x h f x f x f x h f x h hθθθ+-+-+=+.令0→h 取极限，得''()''()''()f x f x f x θθ-=，''()2''()f x f x θ=. 若21≠θ，由此知)(,0)(''x f x f ≡为一次函数；若21=θ，（2）式给出 111'()'()''()222f x h f x h hf x h +=+++，此式两端同时对h 求导，减去''()f x ，除以h ，然后令0→h 取极限，即得'''()0f x ≡，()f x 为 二次函数. 例7[]9： 已知函数)(x f 在区间(-1,1)内有二阶导数，且(0)'(0)0f f ==，''()()'()f x f x f x ≤+试证：0δ∃>，使得δδ-（，）内()0f x ≡. 证明 为了证明)(x f 在0=x 处的邻域内恒为零.我们将（3）式右端的)(x f ，)('x f 在0=x 处按公式展开.注意到(0)'(0)0f f ==.我们有22''()1()(0)'(0)''()22f f x f f x x f x ξξ=++=， '()'(0)''()''()f x f f x f x ηη=+=.从而21()|'()|''()''()2f x f x f x f x ξη+=+， 今限制11[,]44x ∈-，则()'()f x f x +在11[,]44-上连续有界，011[,]44x ∃∈-，使得 001144()'()max ()'().x f x f x f x f x M -≤≤+=+≡我们只要证明0M =即可.事实上20000001()'()''()''()2M f x f x f x f x ξη=+=+， ))('')(''(4100ηξf f +≤， ))()(')()('(410000ηηξξf f f f +++≤， 11242M M ≤⋅=. 即102M M ≤≤.所以0M =，在11[]44-，上()0f x ≡.由以上例题可见，在函数方程方面，泰勒公式对于求二阶或二阶以上的连续导数的问题来说十分的好用，主要是通过作辅助函数，对有用的点进行泰勒公式展开并对余项作合适的处理.（四）、泰勒公式在中值公式证明中的应用由于泰勒公式将函数和它的高阶导数结合了起来，所以遇到这类有高阶导数的证明时，首先应考虑用泰勒公式来求解.接下来我们用一个例子来说明： 例8[]9： 设)(x f 在],[b a 上三次可导，试证：(,)c a b ∃∈，使得31()()'()()'''()()224a b f b f a f b a f c b a +=+-+-. 证明 设k 为使下式成立的实数：31()()'()()()0224a b f b f a f b a k b a +-----=，这时，我们的问题归为证明：(,)c a b ∃∈，使得'''()k f c =.令31()()()'()()()0224a x g x f x f a f x a k x a +=-----=. 则0)()(==b g a g ，根据Rolle 定理，(,)a b ξ∃∈，使得,0)('=ξg 即：1'()'()''()()202228a a a f f f k a ξξξξξ++-----=. 这是关于k 的方程，注意到)('ξf 在点2ξ+a 处的泰勒公式： 21'()'()''()'''()()022222a a a a f f f f c ξξξξξ++--=++=. （五）、泰勒公式在有关于界的估计中的应用我们知道有些函数是有界的，有的有上界，而有的有下界，结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们将探讨泰勒公式关于界的估计，下面通过例题来分析. 例9[]9： 设)(x f 在[0，1]上有二阶导数，10≤≤x 时|()|1f x ≤，''()2f x <.试证：当10≤≤x时，|'()|3f x ≤.证明 21(1)()'()(1)''()(1)2f f x f x x f x ξ=+-+-， 21(0)()'()()''()()2f f x f x x f x η=+-+-， 所以2211(1)(0)'()''()(1)''()22f f f x f x f x ξη-=+--， 22)1(|)(''|21)(''21|)0(||)1(||)('|x f x f f f x f -+++≤ξη， 222(1)213x x ≤+-+≤+=.例10[]10： 设)(x f 二次可微，(0)(1)0f f ==，01max ()2x f x ≤≤=，试证01max ''()16x f x ≤≤≤-.证明 因)(x f 在[0,1]上连续，有最大、最小值.又因01max ()2x f x ≤≤=，(0)(1)0f f ==，最大值在(0,1)内部达到.所以)1,0(0∈∃x 使得001()max ()x f x f x ≤≤=.于是)(0x f 为最大值.由Fermat 定理，有0'()0f x =，在0x x =处按泰勒公式展开，)1,0(,∈∃ηξ使得：22000110(0)()''()(0)2''()22f f x f x f x ξξ==+-=+， 22000110(1)()''()(1)2''()(1)22f f x f x f x ηη==+-=+-.因此22010044max ''()min{''(),''()}min{,}(1)x f x f f x x ξη≤≤≤=---. 而 01[,1]2x ∈时，222000444min{,}16(1)1x x x --=-≤---（）， 01[0,]2x ∈时，222000444min{,}16(1)x x x --=-≤--， 所以 01max ''()16x f x ≤≤≤-.由上边例题可以总结出一些经验，比如当遇到求有关于界的问题，且涉及高阶导数时，通常考虑用泰勒公式来解题.在解题时可以应用这个经验尝试解题.（六）、泰勒公式在证明不等式中的应用当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷.[]7例11[]11： 设)(x f 在],[b a 上二次可微，''()0f x <.试证：12...0,n i a x x x b k ∀≤<<<≤≥，11nii k==∑，有)()(11i ni i i ni i x f k x k f ∑∑==>.证明 取01ni ii x k x==∑，将)(i x f 在0x x =处按泰勒公式展开有：20000))((''21))((')()(x x f x x x f x f x f i i i i -+-+=ξ，))((')(000x x x f x f i -+<， (1,2,3...,)i n = 以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11nii k==∑，11()0nniii ii i k x x k x x==-=-=∑∑，得)()()(101∑∑===<ni i i i ni ix k f x f x f k.例12[]11: 当0x ≥时，证明31sin 6x x x ≥-. 证明 取31()sin 6f x x x x =-+，00x =，则 '''''''''(0)0(0)0(0)0()1cos (0)0f f f f x x f ====-≥，，，，.带入泰勒公式，其中=3n ，得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时，31sin 6x x x ≥-. 由此可见，关于不等式的证明，有多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.但归结起来都可以看做是泰勒公式的特殊情形，所以证明不等式时，注意应用泰勒公式这个重要方法.（七）、泰勒公式在级数中的应用在级数敛散性的理论中，要判断一个正项级数∑=nn na1是否收敛，通常找一个简单的函数，)0(111>=∑∑==p n b nn p nn n ，在用比较判定法来判定，但是在实际应用中比较困难的问题是如何选取适当的∑=nn pn11（0>p 中的p 值）.如 当2=p ，此时∑∞=121n n收敛，但是+∞=∞→21lim n a n n ， 当1=p 时，此时∑∞=11n n发散，但是01lim =∞→na n n . 在这种情况下我们就无法判定∑=nn n a 1的敛散性，为了更好的选取∑=nn pn11中p 的值，使得lim 1n n p a t n→∞=且0t <<+∞，在用比较判别法，我们就可以判定∑=nn n a 1的敛散性. 例13[]11:讨论级数1n ∞=∑的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法，注意到11lnln(1)n n n +=+，若将其泰勒展开为1n 的幂的形式，相呼应，会使判敛容易进行.解 因为2341111111lnln(1)234n n n nn n nn+=+=-+-+<， 所以<从而0n u=>，故该级数是正项级数.又因为3212n =>==-， 所以332211)22nun n=-<-=.因为31212n n∞=∑收敛，所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例14[]12:求211x x++的幂级数展开式.解利用泰勒公式231111xx x x-=++-36934679103467910(1)(1)1()222222222(1)[sin]3nnx x x x x x x x x x xx x x x x x xnxπ∞=-++++=-+-+-+-+=-+-+-+-++=由例题可见，当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便利用判敛准则.利用基本初等函数的幂级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.（八）、泰勒公式在求高阶导数值中的应用如果()f x泰勒公式已知，其通项中的加项nxx)(-的系数正是)(!1)(xfnn，从而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导.例15[]12: 求函数x exxf2)(=在1x=处的高阶导数(100)(1)f.解设=+1x u，则eeueuugxf uu⋅+=+==+2)1(2)1()1()()(，)0()1()()(nn gf=，ue在=0u的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998uouuuue u++++++= ，从而))(!100!99!981)(12()(10010099982uouuuuuueug+++++++= ，而()g u 中的泰勒展开式中含100u的项应为100100!100)0(u g ，从()g u 的展开式知100u 的项为100)!1001!992!981(u e ++，因此 100(0)121()100!98!99!100!g e =++，100(0)10101g e =⋅,e gf 10101)0()1(100100==.通过泰勒公式求高阶导数，这是泰勒公式比较简单的一种应用，重点就在于掌握，其通项中的加项nx x )(0-的系数正是)(!10)(x f n n .在求导数时只需在系数上乘以!n 即可. 三、结 论泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具.它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用.本文介绍了泰勒公式以及它在八个方面应用，使我们对泰勒公式有了更深一层的理解，对怎样应用泰勒公式解答具体问题有了更深一层的认识，只要在解题过程中注意分析，研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理规则，就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献[1]华东师范大学数学系，《数学分析》（上），高等数学出版社，2008，134-141[2]裴礼文，《数学分析中的典型问题及方法》，高等教育出版社，2009，150-157[3]同济大学数学教研室主编，《高等数学》，人民教育出版社，2007，139-145[4]刘玉琏，《数学分析讲义》，人民教育出版社，2000，120-138[5]张利凯，《高等数学学习辅导》，科学技术文献出版社，2002，138-156[6]M.克莱因，《古今数学思想》，上海科学技术出版社，1988，165-168[7]W.盖勒特、H.奎斯特纳等，《简明数学全书Ⅱ.高等数学与现代数学》，上海科学技术出版社，1985，295-297[8]H.J.巴茨，《数学公式书册》，科学出版社，1987，439-440[9]闵祥伟，《高等数学学习指导与例题分析》，北京邮电大学出版社，2004，520-521，539-540[10]吴炯圻，陈跃辉等，《高等数学及其思想方法与实验》（上），厦门大学出版社，2008，122-127[11]上海财经大学应用数学系，《高等数学》，上海财经大学出版社，2004，66-71[12]蔡子华，《新编高等数学导学》，科学出版社，2002，336-337，369-376。