导数--函数的极值练习题及答案.doc

函数的极值练习题

一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

1.下列说法正确的是

A. 当f′ ( x0)=0 时，则f ( x0) 为f ( x) 的极大值

B. 当f′ ( x0)=0 时，则f ( x0) 为f ( x) 的极小值

C. 当f′ ( x0)=0 时，则f ( x0) 为f ( x) 的极值

D. 当f ( x0) 为函数f ( x) 的极值且 f ′( x0)存在时，则有 f ′( x0)=0

2.下列四个函数，在 x=0处取得极值的函数是

① y=x3

A. ①②② y=x2+1③ y=|x|④ y=2x

B. ②③

C.③④

D. ①③

3.函数 y=6x

的极大值为1x2

4.函数 y=x3－3x 的极大值为 m,极小值为 n,则 m+n 为

=ln 2x+2ln x+2 的极小值为

－1

C.－1

=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于

二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）

7.函数 f ( x)= x3－3x2+7的极大值为___________.

8.曲线 y=3x5－5x3共有___________个极值.

9.函数 y=－ x3+48x－3的极大值为___________；极小值为___________.

10. 函数

f (

x

)= －

3

x 32 的极大值是 ___________，极小值是 ___________.

x 2

11. 若函数= 3 2 +27 在=－ 1 时有极大值，在=3 时有极小值，则

+ ax + x x

y x bx

a=___________, b=___________.

三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）

12. 已知函数 f ( x )= x 3+ ax 2+ + , 当x =－ 1 时，取得极大值7；当x =3 时，取

bx c

得极小值 . 求这个极小值及a、b、 c 的值.

13. 函数f ( x)= x+ a

+b有极小值2，求a、b应满足的条件. x

14. 设y=f ( x) 为三次函数，且图象关于原点对称，当x=1

时， f ( x)的极小2

值为－ 1，求函数的解析式.

函数的极值

7.7 8.

两 －131 10.0 －

1

11. －3 －9

2

12. 解： f ′ ( x )=3 x 2+2ax +b .

据题意，－ 1，3 是方程 3x 2+2ax +b =0 的两个根，由韦达定理得

1 3

2a

3

∴ a =－3, b =－ 9，∴ f ( x )= x 3

－ 3x 2

－ 9x +c

1 3

b 3

∵ f ( －1)=7, ∴c =2，极小值 f (3)=3 3－ 3× 32－ 9× 3+2=－ 25 ∴极小值为－ 25， a =－ 3, b =－ 9, c =2.

13. 解： f ′ ( x )=

x 2

a

x 2

由题意可知 f ′( x )=0 有实根，即 x 2－ a =0 有实根

∴ a >0，∴ x = a 或 x =－ a ，∴ f ′ ( x )=

( x

a)( x a )

x 2

令 f ′ ( x )>0, 得 x <－ a 或 x > a ; 令 f ′ ( x )<0, 得－ a

∴ f ( x ) 在 x =－ a 时取得极大值； f ( x ) 在 x = a 时取得极小值 2.

∴ a + a

+ =2，即 2

a + =2

a

∴ a 、b 应满足的条件为 a >0, b =2(1 － a ).

14. 解：设函数解析式为 f ( x )= ax 3+bx ， f ′ ( x )=3 ax 2+b ∵ f ′( 1 )=0, f ( 1

)= － 1

2

2

3 a b

a

4

得

4

b

解得 ∴ f ( x )=4 x 3－ 3x

a 1

b 3

8 2