24.质数、合数与因数分解(含答案)-

24.质数、合数与因数分解

知识纵横

一个大于1的正整数,若除了1与它自身,再没有其他的约数,•这样的正整数叫做质数;一个大于1的正整数,除了1与它自身,若还有其他的约数,这样的正整数称为合数,这样,我们可以按约数个数将正整数分为三类:

正整数

1⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

单位质数合数

质数、合数有下面常用的性质:

1.1不是质数,也不是合数;2是惟一的偶质数.

2.若质数p│ab,则必有p│a或p│b.

3.若正整a,b的积是质数p,则必有a=p或b=p.

4.算术基本定理:任意一个大于1的整数N能分解成k个质因数的乘积,•若不考虑质因数之间的顺序,则这种分解是惟一的,从而N可以写成标准分解形式:

N=p1a1·p2a2·…p k ak

其中p1

例题求解

【例1】已知三个不同的质数a,b,c满足ab b c+a=2000,那么a+b+c=_____.

(第15届江苏省竞赛题) 思路点拨运用乘法分配律、算术基本定理,从因数分解入手,突破a的值.

解:42 提示：由a(b b c+1)=24×53.

【例2】不超过100的所有质数的乘积减去不超过60且个位数字为7•的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( ).

A.3

B.1

C.7

D.9

思路点拨从寻找适合题意的质数入手.

解:选D 提示2与5的积为10，不超过60且个位数字为7的所有质数共4个，它们是7，17，37，47，10-1=9。

【例3】求这样的质数,当它加上10和14时,仍为质数. (上海市竞赛题)

思路点拨由于质数的分布不规划,不妨从最小的质数进行实验,但这样的质数惟一吗?还需按剩余类的方法进行讨论.

解:3符合要求提示：当p=3k+1时，p+10=3k+11,P+14=3(k+5),显然p+14是合数；当p=3k+2时，p+10=3(k+4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意。

【例4】(1)将1,2,…,2004这2004个数随意排成一行,得到一个数N,求证:N一定是

合数;

(2)若n是大于2的正整数,求证:2n-1与2n+1中至多有一个是质数.

思路点拨 (1)将1到2004随意排成一行的数有很多,不可能一一排出,不妨能找出无论怎样排,所得数都有非1和本身的约数;(2)只需说明2n-1与2n+1中必有一个是合数,不能同为质数即可.

解:提示：（1）因1+2+…+2004=1

2

×2004（1+2004）=1002×2005为3的倍数，

故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数。

（2）因n为大于2的正整数，

则2n-1≥7,2n-1、2n、2n+1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除2n。

【例5】用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地,选用边长为xcm•规格的地砖,恰用n块;若选用边长为ycm规格的地砖,则要比前一种刚好多用124块,已知x、y、n都是正整数,且(x,y)=1,试问这块地有多少平方米? (湖北省荆州市竞赛题) 思路点拨虽然同一块地有不同的铺法,但是这块地的面积不变,利用面积不变建立x、y、n的等式,寻找解题的突破口.

解:提示:设这块地面积为S,则S=nx2=(n+124)y2,得n(x2-y2)=124y2

∵x>y,(x,y)=1,

∴(x2,y2)=1,(x2-y2,y2)=1,得(x2-y2)│124

∵124=22×31,x2-y2=(x+y)(x-y) x+y>x-y且x-y奇偶性相同

∴

31

1

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=

⎩

或

231

2

x y

x y

+=⨯

⎧

⎨

-=

⎩

解得x=16,y=15,此时n=

2

22

124y

x y

-

=900

故这块地面积为S=nx2=900×162=23.04(米)2

学力训练

一、基础夯实

1.在1,2,3,…,n这n个自然数中,已知共有p个质数,q个合数,k个奇数,m个偶数,则(q-m)+(p-k)=________.

2.p是质数,并且p6+3也是质数,则p11-52=________. (北京市竞赛题)

3.若a、b、c、d为整数,且(a2+b2)(c2+d2)=1997,则a2+b2+c2+d2=_________.

4.已知a是质数,b是奇数,且a2+b=2001,则a+b=________. (第16届江苏省竞赛题)

5.以下结论中( )个结论不正确.

(1)1既不是合数也不是质数;(2)大于0的偶数中只有一个数不是合数;(3)•个位数

字是5的自然数中,只有一个数不是合数;(4)各位数字之和是3的倍数的自然数,个个都是合数.

A.1

B.2

C.3

D.4 (2001年“五羊杯”竞赛题)

6.若p为质数,p3+5仍为质数,p5+7为( ).

A.质数

B.可为质数也可为合数

C.合数

D.既不是质数也不是合数 (湖北省黄冈市竞赛题)

7.超级计算机曾找到的最大质数是2859433-1,这个质数的末尾数字是( ).

A.1

B.3

C.7

D.9

8.若正整数a、b、c满足a2+b2=c2,a为质数,那么b、c两数( ).

A.同为奇数

B.同为偶数

C.一奇一偶

D.同为合数

9.设n为自然数,n+3与n+7都是质数,求n除以3所得的余数.

10.试证明:形如111111+9×10n(n为自然数)的正整数必为合数.

二、能力拓展

11.若p、q为质数,m,n为正整数,p=m+n,q=mn,则

p q

n m

p q

m n

+

-

=________.

12.若质数m、n满足5m+7n=129,则m+n=_______. (河北省竞赛题)

13.已知三个质数m、n、p的积等于这三个质数的和的5倍,则m2+n2+p2=_____.

(2004年武汉市选拔赛试题)

14.一个两位质数,将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数,•我们称它为“无

暇质数”,则所有“无暇质数”之和等于________.

15.机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色:•凡能表示为两个合数之和

的自然数都染成红色,不合上述要求的自然数都染成黄色,若被染成红色的数由小到大数下去,则第1992个数是________. (北京市“迎春杯”竞赛题)

16.证明有无穷多个n,使多项式n2+n+41。

(1)表示合数;(2)为43的倍数.