数模考试复习题

50 14 . 9 14 . 5
14 . 6 14 . 5
3. 正态分布概率
7. （样本均值的抽样分布：t分布）某银行向审计部门报告，其向企业发放 的短期贷款中，未偿清的贷款额近似服从正态分布，平均值为u=8.5万元， 标准差未知。现审计人员为了验证这个报告结果，随机抽取了25个账目进 行检查，查得平均拖欠贷款额为7.6万元，标准差S=1.6万元。审计人员所关 心的问题是，如果总体u=8.5万元，那么能抽到的样本其X 不超过7.6万元的 机会即概率有多大？
Σf/2=134/2=67，中位数所在“100～150”的组
M
e
L

f / 2 S m 1 fm
d 100
67 52 40
50 118 . 75 （万元）
• 众数：
众数组为“100～150”的组，
M
0
L
1 1 2
d 100
40 32 ( 40 32 ) ( 40 25 )
0
2.7970
• 从1997年的新生儿中随机抽取26名，测得其平均体重为3180g，样本标准 差为300g，而从过去的统计资料知，新生婴儿的平均体重为3140g， 问现 在的新生婴儿的体重有否显著变化？（给定alpha＝0.01) 解答： 是否显著变化，为双边检验问题
H 0: 0
H1 : 0
写出该问题的对偶型问题
min z 2 x1 2 x 2 4 x 3
x1 3 x 2 4 x 3 2 2 x1 x 2 3 x 3 3 x1 4 x 2 3 x 3 5 x , x 0 , x 无约束 3 1 2
Max W = 2 Y1 + 3 Y2 + 5 Y3 Y1 +2 Y2 + Y3 ≤ 2 3Y1 + Y2 + 4Y3 ≤ 2 4Y3 + 3 Y2 + 3Y3 = 4 Y1 ≥ 0, Y2 ≤ 0, Y3 无约束
99,020 120,500 121,000 121,000 101,200 101,500 101,120 121,500 111,000 115,000 98,900
• 计算与思考：宏昌公司可否以金石离合器片取代进口品？
• 解答： 需要测试金石离合器片能否达到11万公里，属于单边检验问题 设： H0: 110,000 H1: 110,000 根据测量数据求得： Xbar = 110,158.18, s =9,912.31， 已知： n =11, df=10， 显著性水平通常设为a=0.05 t0.05(10)=1.8125
P ( B ) P ( A1 ) P ( B / A1 ) P ( A 2 ) P ( B / A 2 ) 0 . 85 0 . 8 0 . 15 0 . 35 0 . 7325
P ( A1 / B ) P ( A1 ) P ( B / A1 ) P(B) 0 . 85 * 0 . 8 0 . 7325 0 . 9283
t x 0 s/ n 110 ,158 . 18 110 , 000 9 , 912 . 31 / 11 0 . 053
0
.01 1.8125
判断：0.053 < 1.8125, 结论：不能拒绝原假设，没有充分的证据证明金石离合器片可 以满足测试要求，达到11万公里的寿命 宏昌公司不能以金石离合器片取代进口品
• 3. 某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，A不少于80单位，B不多 于150单位，C约为180单位。此人准备每天从三种食物中摄取这三种营养 成分。已知三种食物每500克的营养成分含量及食物价格如下表（并假设 营养成分能按食物量成比例严格提取），试建立此人在满足健康需要的 基础上花费最少的数学模型，并写出此模型的标准型和对偶模型
2
50
P( 14.2 ≤ X ≤ 14.6) = (
14 . 6 14 . 5 1 50
) – [ 1- (
14 . 5 14 . 2 1 50
)]
= (0.71)- [1-( 2.12)] = 0.7611 – ( 1-0.9830) = 0.7441 P ( 14.6 ≤ x ≤ 14.9) = ( ) – ( 1 ) = (2.83)- (0.71) 1 50 50 = 0.9977 – 0.7611= 0.2366 14 . 9 14 . 5 P( x ≥ 14.9) = 1- ( ) = 1- 0.9977= 0.023 1
练习
• 将下列线性规划问题化为标准形: Min Z= x1+ 2x2+ 3x3 4x1 + 5x2 + 6x3 = -7 8x1 + 9x2 + 10x3 ≥11 12x1+ 13x2+ 14x3 ≤15 x1 ≥ 0 , x2 ≤0, x3取值无约束
解答： 设x2 ‘ = - x2, 则 x2 ‘ >0 设x3’≥0, x3’’≥0 , 令 x3= x3’- x3’’ 设x4 x5 ≥0, Max Z’= -x1 -2x2 - 3x3 Max Z’= -x1 + 2x2’ – 3(x3’-x3’’) Max Z’= -x1 + 2x2’ – 3x3’ + 3x3’’ -4x1 + 5x2‘ - 6x3 ‘ + 6 x3’’ =7 8x1 - 9x2 ’ + 10x3 ’ -10x3’’ - x4 = 11 12x1 - 13x2’ +14x3 ‘ –14x3’’ +x5 =15 x1 , x2 ‘ , x3’, x3’’, x4 ,x5 ≥ 0
P { X n} ( n8 2 ) 0 . 01 即 1 Φ (
n8 2
) Φ(
8n 2
) 0 . 99
查表得：(8-n) /2 2.33，得 n 3.34，取n =3，故保用年限最长可定为3年。
3. 正态分布概率-重要
6. （样本均值的抽样分布：正态分布再生）某厂生产的烟花的装药量服从 正态分布，按设计装药量的期望值14.5克，标准差1克。如果从产成品中随 机抽取50支，对药量进行检验，问出现下述情况的概率各是多少：（1）样 本平均装药量不足14克；（2）在14.2克到14.6克之间；（3）14.6克到14.9 克之间；（4）超过14.9克。 解答： 1 已知： u=14.5, = 1,设x 为装药量，则X∼N(14.5,12) ; X ~ N(14.5, n ) 14 14 . 5 P( X≤14) = P ( Z ≤ 1 ) = ( - 3.5355) = 1- (3.5355) = 1-0.9998 =0.0002

P{ (25-25)/5 Z (30-25)/5 } = P { 0 Z 1} = ( 1 ) - ( 0 ) 查标准正态分布表得： = 0.8413 - 0.5000 = 0.3413
3. 正态分布概率
2. 设某厂生产的某种电子产品的寿命服从μ=8年， =2年的正态分布，问 (1)该产品寿命小于5年的概率是多少？ (2)寿命大于10年的概率是多少？ (3)厂方要对外承诺，若该产品在保用期内失效可免费更换，厂方希望将产 品的免费更换率控制在1%以内，问保用年限最长可定为几年？ •解答：设X为该产品的使用寿命，则X∼N(8,22)
(1) P { X 5} Φ ( 58 2 ) Φ ( 1 . 5 ) 1 Φ (1 . 5 ) 0 . 0668
( 2 ) P { X 10 } 1 Φ (
10 8 2
) 1 Φ (1) 0 . 1578
(3)设保用年限最长可定为 n 年，则由题意
50 117 . 39 ( 万元 )
众数小于中位数， 算术平均数大于中位数 本题目属于右偏态分布
f
0
M 0 Me X
x
重要-注意考试时数字的变换
• 2. 某个统计学的教授从过去的经验中注意到，完成家庭作业的学生有0.8 的概率通过这门课，而不完成家庭作业的学生只有0.35的概率通过了这门 课。教授估计在这门课中有85％的学生完成家庭作业。若给定某学生通 过了这门课，则他完成了家庭作业的概率为多少？ • 设A1为完成家庭作业， A2为未完成家庭作业，B为通过课程 • 已知：P(B|A1) = 0.8 , P(B|A2) = 0.35 , P(A1) = 0.85 , • 求： P( A1|B) = ? • 解答： 因为A1 与A2 互补， P(A2) = 1-P(A1) = 0.15
X t /2 ( n 1) S n 1 9 (2.2622) 1.5 10
• 计算得： (17.93, 20.07)
• 案例2。离合器片的使用寿命检测。宏昌公司是进口汽车维修企业。在不 影响质量的前提下，公司希望用国产配件代替进口配件，以降低维修成 本，满足客户需求。金石汽车配件有限公司生产一种离合器片，正好可 以用在宏昌公司维修的某种进口汽车车型。金石离合器片的价格是进口 货的70%，非常有吸引力，但质量能否过关需要检验。 • 进口离合器片的使用寿命为10万千米，保险系数为0.1。所以测试参数应 取11万千米。对金石离合器片随机抽取了11件，送到汽车研究所做走合 试验，得到的寿命数据如下（千米）：
累计数 20 52 92 117 130 134
组中值 25 75 125 175 225 275
x f f
i i
i

25 * 20 75 * 32 125 * 40 175 * 25 225 * 13 275 * 4 134
=16300/ 134 = 121.64
• 中位数
重要-注意考试时题目和数字的变换
• 1. 据统计调查，某地区私营企业注册资金分组资料如下，求该地区私营 企业注册资金的平均数、中位数和众数，并对其分布形态进行简要分析。
注册资金（万元） 0~50 50~100 100~150 150~200 200~250 250~300 合计 • 平均数
x
企业数 20 32 40 25 13 4 134
解答： 已知： 总体 u=8.5, 未知, 样本 n=25, X = 7.6， S=1.6 由于总体标准差未知，所以采用t分布 t
( 24 )
X u S / n
N=25, 自由度 = n-1= 24
t
7 .6 8 .5 1 .6 / 25
a
2 . 8125
查表得 P { X ≤ 7.6} = P ( t ≤ -2.8125 ) ≤ 0.005 .005 抽到样本均值不超过7.6万元的概率小于0.005 -2.8125
因此已知某人通过课程，则他完成了家庭作业的概率为92.83%
3. 正态分布概率
• 第三次课资料: 1。根据统计，北京市初婚年龄服从正态分布，其均值为25岁，标准差为5 岁，问25岁到30岁之间结婚的人其百分数为多少？ 解答： 已知： u=25, =5 设X为初婚年龄，则X~N(25,52) 求P{25 X 30} X 进行Z转换 Z
0
2.787
考
• 不能拒绝原假设，得新生儿的体重无显著变化
这个题很重要
• 1. ( 未知情况下总体均值区间估计) 康明制药公司推出一种安眠药。经使 用随机样本10人作临床试验，测知再一定剂量下样本平均睡眠时间为19 小时，标准差为1.5小时。试求服用该安眠药后睡眠时间总体平均数的 95%置信区间（假设服药后的睡眠时间服从正态分布）。 remark : xbar x • 解答： • 已知： n=10, df=9, xbar=19, s=1.5, a=0.05, 求 u 的95%置信区间 • /2=0.025，n=10, 查表得 t0.025(9)=2.2622 • 置信区间估计为
因为方差未知，因而用t检验。
x 3180 , S 300 , u 0 3140 , 0 . 01 t 0 . 005 ( 25 ) 2 . Hale Waihona Puke Baidu87
t x 0 s/ n 3180 3140 300 / 26 0 . 680 2 . 787
.005 -2.787