第五章自动控制原理线性系统的频域分析

Re[G ( j )] G ( j ) cos[ ( )] Im[G ( j )] G ( j ) sin[ ( )]
当频率ω从零至无穷大变化时，频率特性的模 和幅角也随之变化，G( j ) H ( j ) 矢量端点在复数平 面上画出一条曲线。该曲线表示了以ω为参变量， 模与幅角之间的关系。这条曲线通常被称为幅相频 率特性曲线或奈奎斯特(Nyquist)曲线，该曲线连同 坐标一起称为幅相频率特性图或极坐标图或奈奎斯 特图。
∞ 0
0
－45°－63.4° －78.69° －90°
jQ( )
描点后可得惯性环节 的幅相频率特性图
0


1
5

0
P( )
2
1
2013年6月8日星期六
第5章第14页共160页
幅相频率特性曲线的优点是在一张图上同时给出了 整个频率域的幅频特性和相频特性。它比较简洁直观地表
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第5章第24页共160页
伯德图由对数幅频特性和相频特性两个图组成， §５－１ 频率特性 横坐标 是对数坐标，纵轴是线性坐标。 例２ 其中 1s
1 绘制惯性环节 G ( j ) 的伯德图， 1 j
惯性环节的对数幅频特性为：
L( ) 20 lg A( ) 20 lg
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45
90
第5章第30页共160页
三．积分环节 §５－２
典型环节的频率特性
1 传递函数 G ( s ) s 它的输出量是输入量对时间的积分．
1 1 幅相频率特性 G( j ) e 2 j 上式表明，积分环节的幅频特性与频率 成反

第5章第28页共160页
典型环节的伯德图 一、比例环节:
G( j ) K
L( ) 20 lg K ( ) 0
jQ ( )
K
0
对数幅频特性为一直线
L( )
20 lg K

P( )
0°
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( )

第5章第29页共160页
二．惯性环节 §５－２
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第5章第22页共160页
一阶微分环节：
G5(s ) s 1
Im

G5 ( j) 1 j
0
0 Re 1
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第5章第23页共160页
（2）对数频率特性图（伯德图） 对数幅频特性曲线以频率ω为横坐标，并采 用对数分度；纵坐标表示对数幅频特性的函数 20lg | G( j )| ，单位为分贝（dB），线性分度， 对数相频特性曲线的横坐标与对数幅频特性 曲线相同；纵坐标表示相频特性的函数值单 位为度（°）线性分度，对数幅频特性和对数 相频特性组成的对数坐标图，称之为伯德图。
1)
0.
70 7
1
1
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第5章第21页共160页
证明惯性环节的幅频特性是一个半圆： 写出实部与虚部各自的参量方程如下：
G4( j )
jT 1
1

T Y ( ) 2 (T ) 1
2
1 X ( ) (T )2 1
1 2 1 2 [ X () ] Y () 2 2


0
Re
90
90
Re

0
0
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3 惯性环节和一阶微分环节 惯性环节：G
1 1 G ( j ) 4( s ) 1 jT Ts 1
[G( j )]
Im

0
45
1
G( j 1 ) G( j
Re
0
第五章 线性系统的频域分析
在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量称 为频率响应。系统频率响应与正弦信号之间的关 系成为频率特性。 频率特性不仅能够反映系统的稳态性能，而 且还可以用来研究系统的稳定性和暂态性能。 频域分析法是一种图解分析法，其特点是可 以根据开环频率特性去判断闭环系统的性能，并 能方便地分析系统中的参量对系统暂态响应的影 响，从而进一步指出改善系统性能的途径。
0
20

1

10

-20dB/dec
（在半对数坐标系 中是和横轴重合 的水平线）
b.当 » 时，
1
40
L( ) 20lg 1 2 2
L( ) 20lg
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（在半对数坐标系中是直线 方程，斜率为-20dB/dec, dec表示10倍频程）
1 1
2 2
20lg 1 2 2
（单位分贝，记为dB） 相频特性为
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( ) arctg
第5章第25页共160页
伯德图中的对数幅频特性用近似曲线方法绘制。
§５－１
L( )dB
频率特性 1 a.当 « 时，

20
0.1
L( ) 20lg1 0
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RC电路的频率响应稳态响应为： §５－１ 频率特性 U1m lim u2 sin(t ) t 1 2 2 1 1 U1m sin(t ) 1 j 1 j RC电路的频率特性为： 式中 A( )
G ( j ) 1 A( )e j ( ) 1 j
X(ω)称为实频特性，Y(ω)称为虚频特性
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第5章第10页共160页
２．频率特性的图形表示
幅相频率特性：
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
G( j) G( j) e
相互关系：
j ( )
Re G( j) j ImG( j)
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第5章第11页共160页
其拉氏变换为
则输出 u2的拉氏变换为
求拉氏反变换，得
u2 U 1m 1
2 2
U1m 1 U 2 (s) 2 2 s 1 s
暂态分量
t
稳态分量
e


U 1m 1 2 2
sin( t )
其中
arctg
第5章第6页共160页
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第5章第1页共160页
频率特性有明确的物理意义，许多元件和稳 定系统的频率特性可用实验方法测定，这对于一 些难于采用分析方法的情况，这一特点具有特别 重要的意义。
频率特性主要适用于线性定常系统，在线性 定常系统中，频率特性与输入正弦信号的幅值和 相位无关。 频率特性的数学基础为傅立叶变换。
1 G ( j ) 1 j
L( ) 20 lg A( ) 20 lg 1 1 2 2
典型环节的频率特性 20
0.1
L( )dB
0
20

1

10


20dB / dec
40
20 lg 1 2 2
( )
0

( ) arctg
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L( )dB
20
0.1
§５－１

1
频率特性
10
0
20



20dB / dec
40
c.

1

称为惯性环节的转折频率，
水平线和斜率为－20dB/dec的直线在该处连接。
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第5章第27页共160页
L( )dB
20
0.1
§５－１
1
频率特性 惯性环节 近似曲线和
G1( j ) k
k
Re
| G1( j )| k
1 | G1( j )| 0
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0
第5章第19页共160页
2 积分环节和微分环节
1 1e G2( j ) j
Im
j 2
G3 ( j ) j e
Im
[G( j )]
j 2
结论
Ar=1 ω=0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入
同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
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第5章第3页共160页
x(t ) y(t ) x(t )
y(t )
0
t

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第5章第4页共160页
第一节 频率特性
| G( j )| G( j )|
若存在渐近线，找出渐近线，绘出幅相频率 特性图，如果需要另半部分，可以用镜像原 理，做出全频段的幅像特性图
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第5章第18页共160页
典型环节的乃氏图（幅相频率图）的绘制
1 比例环节
G1( s) k
Im
[G( j )]
本章学习频率特性的基本概念、典型环节和 系统的频率特性，乃奎斯特稳定判据及系统相对 稳定性，系统性能的频域分析方法，频率特性的 实验确定方法等.
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第5章第2页共160页
频率特性的概念 40
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:

0
20


10

20dB / dec
精确曲线的最大误差发生 1 在 处，为

40
20 lg 1 2 2
( )