第五章自动控制原理线性系统的频域分析
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第5章第26页共160页
L( )dB
20
0.1
§５－１
1
频率特性
10
0
20
20dB / dec
40
c.
1
称为惯性环节的转折频率，
水平线和斜率为－20dB/dec的直线在该处连接。
2013年6月8日星期六
第5章第27页共160页
L( )dB
20
0.1
§５－１
1
频率特性 惯性环节 近似曲线和
2013年6月8日星期六
第5章第17页共160页
（3）找特殊点 找到几个特殊点绘制大致图形
0 c g
| G( j )| 0
| G( jc )| 1
G( j )| 0 G( jc )
G( j g )
|G( j g ) |
2013年6月8日星期六
45
90
第5章第30页共160页
三．积分环节 §５－２
典型环节的频率特性
1 传递函数 G ( s ) s 它的输出量是输入量对时间的积分．
1 1 幅相频率特性 G( j ) e 2 j 上式表明，积分环节的幅频特性与频率 成反
明了系统的频率特性。
主要缺点是不能明显地表示出系统传递函数中各个环 节在系统中的作用。
幅相曲线主要用于判定闭环系统的稳定性，故只需 要概略地绘制。
2013年6月8日星期六
第5章第15页共160页
1 乃氏图的绘制 （1）基本法 1）作表格
| G( j )|
1
表5-1 幅相表
2
| G( j 1 )|
1 1
2 2
20lg 1 2 2
（单位分贝，记为dB） 相频特性为
2013年6月8日星期六
( ) arctg
第5章第25页共160页
伯德图中的对数幅频特性用近似曲线方法绘制。
§５－１
L( )dB
频率特性 1 a.当 « 时，
20
0.1
L( ) 20lg1 0
第五章 线性系统的频域分析
在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量称 为频率响应。系统频率响应与正弦信号之间的关 系成为频率特性。 频率特性不仅能够反映系统的稳态性能，而 且还可以用来研究系统的稳定性和暂态性能。 频域分析法是一种图解分析法，其特点是可 以根据开环频率特性去判断闭环系统的性能，并 能方便地分析系统中的参量对系统暂态响应的影 响，从而进一步指出改善系统性能的途径。
（２）相频特性表示系统在不同频率正弦信号 下输出的相位移． （３）已知系统的传递函数，令 s j ，可 得系统的频率特性。 （４）频率特性包含了系统的全部动态结构参 数，反映了系统的内在性质．
2013年6月8日星期六
第5章第9页共160页
G(jω)可以分为实部和虚部：
1 1 G( j ) j X ( ) jY ( ) 2 2 2 2 1 j 1 1
X(ω)称为实频特性，Y(ω)称为虚频特性
2013年6月8日星期六
第5章第10页共160页
２．频率特性的图形表示
幅相频率特性：
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
G( j) G( j) e
相互关系：
j ( )
Re G( j) j ImG( j)
2013年6月8日星期六
第5章第11页共160页
本章学习频率特性的基本概念、典型环节和 系统的频率特性，乃奎斯特稳定判据及系统相对 稳定性，系统性能的频域分析方法，频率特性的 实验确定方法等.
2013年6月8日星期六
第5章第2页共160页
频率特性的概念 40
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
1 1 为幅频特性 2 2 1 j 1 1 ( ) ( ) arct an 为相频特性 1 j
第5章第7页共160页
2013年6月8日星期六
2013年6月8日星期六
第5章第8页共160页
§５－１
频率特性
（１）幅频特性反映系统对不同频率正弦信号 的稳态衰减（或放大）特性．
1)
0.
70 7
1
1
2013年6月8日星期六
第5章第21页共160页
证明惯性环节的幅频特性是一个半圆： 写出实部与虚部各自的参量方程如下：
G4( j )
jT 1
1
T Y ( ) 2 (T ) 1
2
1 X ( ) (T )2 1
1 2 1 2 [ X () ] Y () 2 2
其拉氏变换为
则输出 u2的拉氏变换为
求拉氏反变换，得
u2 U 1m 1
2 2
U1m 1 U 2 (s) 2 2 s 1 s
暂态分量
t
稳态分量
e
U 1m 1 2 2
sin( t )
其中
arctg
第5章第6页共160页
2013年6月8日星期六
RC电路的频率响应稳态响应为： §５－１ 频率特性 U1m lim u2 sin(t ) t 1 2 2 1 1 U1m sin(t ) 1 j 1 j RC电路的频率特性为： 式中 A( )
G ( j ) 1 A( )e j ( ) 1 j
| G( j )| G( j )|
若存在渐近线，找出渐近线，绘出幅相频率 特性图，如果需要另半部分，可以用镜像原 理，做出全频段的幅像特性图
2013年6月8日星期六
第5章第18页共160页
典型环节的乃氏图（幅相频率图）的绘制
1 比例环节
G1( s) k
Im
[G( j )]
2013年6月8日星期六
第5章第24页共160页
伯德图由对数幅频特性和相频特性两个图组成， §５－１ 频率特性 横坐标 是对数坐标，纵轴是线性坐标。 例２ 其中 1s
1 绘制惯性环节 G ( j ) 的伯德图， 1 j
惯性环节的对数幅频特性为：
L( ) 20 lg A( ) 20 lg
0
20
10
20dB / dec
精确曲线的最大误差发生 1 在 处，为
40
20 lg 1 2 2
( )
1
20 lg 2 3dB
0
相频特性可用描点方法
绘制，其特点是曲线关
４ 于 ( ， 5) 奇对称。 1
45
90
2013年6月8日星期六
0
wenku.baidu.com0
1
10
-20dB/dec
（在半对数坐标系 中是和横轴重合 的水平线）
b.当 » 时，
1
40
L( ) 20lg 1 2 2
L( ) 20lg
2013年6月8日星期六
（在半对数坐标系中是直线 方程，斜率为-20dB/dec, dec表示10倍频程）
2013年6月8日星期六
第5章第22页共160页
一阶微分环节：
G5(s ) s 1
Im
G5 ( j) 1 j
0
0 Re 1
2013年6月8日星期六
第5章第23页共160页
（2）对数频率特性图（伯德图） 对数幅频特性曲线以频率ω为横坐标，并采 用对数分度；纵坐标表示对数幅频特性的函数 20lg | G( j )| ，单位为分贝（dB），线性分度， 对数相频特性曲线的横坐标与对数幅频特性 曲线相同；纵坐标表示相频特性的函数值单 位为度（°）线性分度，对数幅频特性和对数 相频特性组成的对数坐标图，称之为伯德图。
2013年6月8日星期六
第5章第1页共160页
频率特性有明确的物理意义，许多元件和稳 定系统的频率特性可用实验方法测定，这对于一 些难于采用分析方法的情况，这一特点具有特别 重要的意义。
频率特性主要适用于线性定常系统，在线性 定常系统中，频率特性与输入正弦信号的幅值和 相位无关。 频率特性的数学基础为傅立叶变换。
1 G ( j ) 1 j
L( ) 20 lg A( ) 20 lg 1 1 2 2
典型环节的频率特性 20
0.1
L( )dB
0
20
1
10
20dB / dec
40
20 lg 1 2 2
( )
0
( ) arctg
结论
Ar=1 ω=0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入
同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
2013年6月8日星期六
第5章第3页共160页
x(t ) y(t ) x(t )
y(t )
0
t
2013年6月8日星期六
第5章第4页共160页
第一节 频率特性
2013年6月8日星期六
第5章第12页共160页
这里规定幅相频率特性图的实轴正方向为相位 §５－１ 频率特性 的零度线，矢量逆时针转过的角度为正，顺时针转 过的角度为负。图中用箭头标明ω从小到大的方向。 由于幅频特性为ω的偶函数，相频特性为ω的奇函 数，则ω从0变化+∞和ω从-∞变化到0的幅相频率特 性曲线关于实轴对称，因此一般只绘制山从0到+∞ 的幅相频率特性曲线。
对图5-1-1所示电路，当 输出阻抗足够大时，可以得 出此电路的传递函数为：
U 2 ( s) 1 1 U1 (s) RCs 1 s 1
RC
2013年6月8日星期六
第5章第5页共160页
设输入
§５－１ 频率特性 u1 U1m sin t
U 1m U1 ( s) 2 s 2
Re[G ( j )] G ( j ) cos[ ( )] Im[G ( j )] G ( j ) sin[ ( )]
当频率ω从零至无穷大变化时，频率特性的模 和幅角也随之变化，G( j ) H ( j ) 矢量端点在复数平 面上画出一条曲线。该曲线表示了以ω为参变量， 模与幅角之间的关系。这条曲线通常被称为幅相频 率特性曲线或奈奎斯特(Nyquist)曲线，该曲线连同 坐标一起称为幅相频率特性图或极坐标图或奈奎斯 特图。
| G( j 2 )|
G( j )
G( j 1) G( j 2 )
…… …… ……
…… …… ……
2）在复平面上找到相应的点，用光滑曲线连起来。
2013年6月8日星期六
第5章第16页共160页
（2）求实部、虚部 分别计算 G( j ) 的实部和虚部，在复平面上 找到相应点，用光滑曲线连起来。
0
Re
90
90
Re
0
0
2013年6月8日星期六
第5章第20页共160页
3 惯性环节和一阶微分环节 惯性环节：G
1 1 G ( j ) 4( s ) 1 jT Ts 1
[G( j )]
Im
0
45
1
G( j 1 ) G( j
Re
0
∞ 0
0
－45°－63.4° －78.69° －90°
jQ( )
描点后可得惯性环节 的幅相频率特性图
0
1
5
0
P( )
2
1
2013年6月8日星期六
第5章第14页共160页
幅相频率特性曲线的优点是在一张图上同时给出了 整个频率域的幅频特性和相频特性。它比较简洁直观地表
第5章第28页共160页
典型环节的伯德图 一、比例环节:
G( j ) K
L( ) 20 lg K ( ) 0
jQ ( )
K
0
对数幅频特性为一直线
L( )
20 lg K
P( )
0°
2013年6月8日星期六
( )
第5章第29页共160页
二．惯性环节 §５－２
G1( j ) k
k
Re
| G1( j )| k
1 | G1( j )| 0
2013年6月8日星期六
0
第5章第19页共160页
2 积分环节和微分环节
1 1e G2( j ) j
Im
j 2
G3 ( j ) j e
Im
[G( j )]
j 2
1 例１．绘制惯性环节 G ( j ) 的幅相频率 1 j 特性，其中 1s
解： A( )
2013年6月8日星期六
1 1 2 2
， ( ) arctg
第5章第13页共160页
列表
ω A(ω) ψ(ω) 1
0
§５－１2 频率特性 1 5
0.707 0.45 0.196
L( )dB
20
0.1
§５－１
1
频率特性
10
0
20
20dB / dec
40
c.
1
称为惯性环节的转折频率，
水平线和斜率为－20dB/dec的直线在该处连接。
2013年6月8日星期六
第5章第27页共160页
L( )dB
20
0.1
§５－１
1
频率特性 惯性环节 近似曲线和
2013年6月8日星期六
第5章第17页共160页
（3）找特殊点 找到几个特殊点绘制大致图形
0 c g
| G( j )| 0
| G( jc )| 1
G( j )| 0 G( jc )
G( j g )
|G( j g ) |
2013年6月8日星期六
45
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第5章第30页共160页
三．积分环节 §５－２
典型环节的频率特性
1 传递函数 G ( s ) s 它的输出量是输入量对时间的积分．
1 1 幅相频率特性 G( j ) e 2 j 上式表明，积分环节的幅频特性与频率 成反
明了系统的频率特性。
主要缺点是不能明显地表示出系统传递函数中各个环 节在系统中的作用。
幅相曲线主要用于判定闭环系统的稳定性，故只需 要概略地绘制。
2013年6月8日星期六
第5章第15页共160页
1 乃氏图的绘制 （1）基本法 1）作表格
| G( j )|
1
表5-1 幅相表
2
| G( j 1 )|
1 1
2 2
20lg 1 2 2
（单位分贝，记为dB） 相频特性为
2013年6月8日星期六
( ) arctg
第5章第25页共160页
伯德图中的对数幅频特性用近似曲线方法绘制。
§５－１
L( )dB
频率特性 1 a.当 « 时，
20
0.1
L( ) 20lg1 0
第五章 线性系统的频域分析
在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量称 为频率响应。系统频率响应与正弦信号之间的关 系成为频率特性。 频率特性不仅能够反映系统的稳态性能，而 且还可以用来研究系统的稳定性和暂态性能。 频域分析法是一种图解分析法，其特点是可 以根据开环频率特性去判断闭环系统的性能，并 能方便地分析系统中的参量对系统暂态响应的影 响，从而进一步指出改善系统性能的途径。
（２）相频特性表示系统在不同频率正弦信号 下输出的相位移． （３）已知系统的传递函数，令 s j ，可 得系统的频率特性。 （４）频率特性包含了系统的全部动态结构参 数，反映了系统的内在性质．
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第5章第9页共160页
G(jω)可以分为实部和虚部：
1 1 G( j ) j X ( ) jY ( ) 2 2 2 2 1 j 1 1
X(ω)称为实频特性，Y(ω)称为虚频特性
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第5章第10页共160页
２．频率特性的图形表示
幅相频率特性：
幅频特性 相频特性 实频特性 虚频特性
G( j) G( j) e
相互关系：
j ( )
Re G( j) j ImG( j)
2013年6月8日星期六
第5章第11页共160页
本章学习频率特性的基本概念、典型环节和 系统的频率特性，乃奎斯特稳定判据及系统相对 稳定性，系统性能的频域分析方法，频率特性的 实验确定方法等.
2013年6月8日星期六
第5章第2页共160页
频率特性的概念 40
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
1 1 为幅频特性 2 2 1 j 1 1 ( ) ( ) arct an 为相频特性 1 j
第5章第7页共160页
2013年6月8日星期六
2013年6月8日星期六
第5章第8页共160页
§５－１
频率特性
（１）幅频特性反映系统对不同频率正弦信号 的稳态衰减（或放大）特性．
1)
0.
70 7
1
1
2013年6月8日星期六
第5章第21页共160页
证明惯性环节的幅频特性是一个半圆： 写出实部与虚部各自的参量方程如下：
G4( j )
jT 1
1
T Y ( ) 2 (T ) 1
2
1 X ( ) (T )2 1
1 2 1 2 [ X () ] Y () 2 2
其拉氏变换为
则输出 u2的拉氏变换为
求拉氏反变换，得
u2 U 1m 1
2 2
U1m 1 U 2 (s) 2 2 s 1 s
暂态分量
t
稳态分量
e
U 1m 1 2 2
sin( t )
其中
arctg
第5章第6页共160页
2013年6月8日星期六
RC电路的频率响应稳态响应为： §５－１ 频率特性 U1m lim u2 sin(t ) t 1 2 2 1 1 U1m sin(t ) 1 j 1 j RC电路的频率特性为： 式中 A( )
G ( j ) 1 A( )e j ( ) 1 j
| G( j )| G( j )|
若存在渐近线，找出渐近线，绘出幅相频率 特性图，如果需要另半部分，可以用镜像原 理，做出全频段的幅像特性图
2013年6月8日星期六
第5章第18页共160页
典型环节的乃氏图（幅相频率图）的绘制
1 比例环节
G1( s) k
Im
[G( j )]
2013年6月8日星期六
第5章第24页共160页
伯德图由对数幅频特性和相频特性两个图组成， §５－１ 频率特性 横坐标 是对数坐标，纵轴是线性坐标。 例２ 其中 1s
1 绘制惯性环节 G ( j ) 的伯德图， 1 j
惯性环节的对数幅频特性为：
L( ) 20 lg A( ) 20 lg
0
20
10
20dB / dec
精确曲线的最大误差发生 1 在 处，为
40
20 lg 1 2 2
( )
1
20 lg 2 3dB
0
相频特性可用描点方法
绘制，其特点是曲线关
４ 于 ( ， 5) 奇对称。 1
45
90
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0
wenku.baidu.com0
1
10
-20dB/dec
（在半对数坐标系 中是和横轴重合 的水平线）
b.当 » 时，
1
40
L( ) 20lg 1 2 2
L( ) 20lg
2013年6月8日星期六
（在半对数坐标系中是直线 方程，斜率为-20dB/dec, dec表示10倍频程）
2013年6月8日星期六
第5章第22页共160页
一阶微分环节：
G5(s ) s 1
Im
G5 ( j) 1 j
0
0 Re 1
2013年6月8日星期六
第5章第23页共160页
（2）对数频率特性图（伯德图） 对数幅频特性曲线以频率ω为横坐标，并采 用对数分度；纵坐标表示对数幅频特性的函数 20lg | G( j )| ，单位为分贝（dB），线性分度， 对数相频特性曲线的横坐标与对数幅频特性 曲线相同；纵坐标表示相频特性的函数值单 位为度（°）线性分度，对数幅频特性和对数 相频特性组成的对数坐标图，称之为伯德图。
2013年6月8日星期六
第5章第1页共160页
频率特性有明确的物理意义，许多元件和稳 定系统的频率特性可用实验方法测定，这对于一 些难于采用分析方法的情况，这一特点具有特别 重要的意义。
频率特性主要适用于线性定常系统，在线性 定常系统中，频率特性与输入正弦信号的幅值和 相位无关。 频率特性的数学基础为傅立叶变换。
1 G ( j ) 1 j
L( ) 20 lg A( ) 20 lg 1 1 2 2
典型环节的频率特性 20
0.1
L( )dB
0
20
1
10
20dB / dec
40
20 lg 1 2 2
( )
0
( ) arctg
结论
Ar=1 ω=0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入
同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
2013年6月8日星期六
第5章第3页共160页
x(t ) y(t ) x(t )
y(t )
0
t
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第5章第4页共160页
第一节 频率特性
2013年6月8日星期六
第5章第12页共160页
这里规定幅相频率特性图的实轴正方向为相位 §５－１ 频率特性 的零度线，矢量逆时针转过的角度为正，顺时针转 过的角度为负。图中用箭头标明ω从小到大的方向。 由于幅频特性为ω的偶函数，相频特性为ω的奇函 数，则ω从0变化+∞和ω从-∞变化到0的幅相频率特 性曲线关于实轴对称，因此一般只绘制山从0到+∞ 的幅相频率特性曲线。
对图5-1-1所示电路，当 输出阻抗足够大时，可以得 出此电路的传递函数为：
U 2 ( s) 1 1 U1 (s) RCs 1 s 1
RC
2013年6月8日星期六
第5章第5页共160页
设输入
§５－１ 频率特性 u1 U1m sin t
U 1m U1 ( s) 2 s 2
Re[G ( j )] G ( j ) cos[ ( )] Im[G ( j )] G ( j ) sin[ ( )]
当频率ω从零至无穷大变化时，频率特性的模 和幅角也随之变化，G( j ) H ( j ) 矢量端点在复数平 面上画出一条曲线。该曲线表示了以ω为参变量， 模与幅角之间的关系。这条曲线通常被称为幅相频 率特性曲线或奈奎斯特(Nyquist)曲线，该曲线连同 坐标一起称为幅相频率特性图或极坐标图或奈奎斯 特图。
| G( j 2 )|
G( j )
G( j 1) G( j 2 )
…… …… ……
…… …… ……
2）在复平面上找到相应的点，用光滑曲线连起来。
2013年6月8日星期六
第5章第16页共160页
（2）求实部、虚部 分别计算 G( j ) 的实部和虚部，在复平面上 找到相应点，用光滑曲线连起来。
0
Re
90
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Re
0
0
2013年6月8日星期六
第5章第20页共160页
3 惯性环节和一阶微分环节 惯性环节：G
1 1 G ( j ) 4( s ) 1 jT Ts 1
[G( j )]
Im
0
45
1
G( j 1 ) G( j
Re
0
∞ 0
0
－45°－63.4° －78.69° －90°
jQ( )
描点后可得惯性环节 的幅相频率特性图
0
1
5
0
P( )
2
1
2013年6月8日星期六
第5章第14页共160页
幅相频率特性曲线的优点是在一张图上同时给出了 整个频率域的幅频特性和相频特性。它比较简洁直观地表
第5章第28页共160页
典型环节的伯德图 一、比例环节:
G( j ) K
L( ) 20 lg K ( ) 0
jQ ( )
K
0
对数幅频特性为一直线
L( )
20 lg K
P( )
0°
2013年6月8日星期六
( )
第5章第29页共160页
二．惯性环节 §５－２
G1( j ) k
k
Re
| G1( j )| k
1 | G1( j )| 0
2013年6月8日星期六
0
第5章第19页共160页
2 积分环节和微分环节
1 1e G2( j ) j
Im
j 2
G3 ( j ) j e
Im
[G( j )]
j 2
1 例１．绘制惯性环节 G ( j ) 的幅相频率 1 j 特性，其中 1s
解： A( )
2013年6月8日星期六
1 1 2 2
， ( ) arctg
第5章第13页共160页
列表
ω A(ω) ψ(ω) 1
0
§５－１2 频率特性 1 5
0.707 0.45 0.196