第1部分 第3章 数学文化和数学史(三)

例 2 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 三等分任意角问题是数学史上一个著名的问题，直到 1837 年，数学家才证明了“三 等分任意角”是不能用尺规完成的．在探索中，出现了不同的解决问题的方法． 方法一： 如图 1，四边形 ABCD 是矩形，F 是 DA 延长线上一点，G 是 CF 上一点，CF 与
三、三等分角与帕普斯 欧几里得的《几何原本》曾提到尺规作图，所谓尺规作图就是用无刻度的直尺和圆 规，通过有限次的使用，画出符合要求的图形，两千多年来激励着一代代数学家思考探 索，最后证明三等分角问题不能由尺规作图来解决．但古希腊数学家帕普斯(Pappus)(3～ 4 世纪)借助双曲线给出了一种“三等分角”的方法，堪称绝妙！
清代数学家李善兰(1811～1882)与英国传教士伟烈亚力于 1859 年共同翻译《代微积 拾级》，书中首次把“function”翻译为“函数”，此译名沿用至今，这就是中文“函数” 名称的由来. 书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这里的“函”是 包含的意思．进入 20 世纪，随着对函数认识的深化逐渐形成了我们现在所学的现代函 数的概念.
二、一次函数与古代“漏刻” 日常生活中，人们常常利用一次函数解决实际问题，时间的计量就是一个例子，普 通钟表的指针转动的角度是所有时间的一次函数．在古代，许多民族与地区使用水钟来 计时，其中容器泄水的流量也是时间的一次函数．
水钟在中国古代叫“漏刻”或“漏壶”。最初，人们发现陶器中的水会从裂缝中一滴一 滴地漏出来，于是专门制造出一种留有小孔的漏壶，把水注入漏壶内，水便从壶孔中流出来， 另外再用一个容器收集漏下来的水，在这个容器内有一根刻有标记的箭杆，相当于现代钟表 上显示时刻的钟面，用一个竹片或木块托着箭杆浮在水面上，容器盖的中心开一个小孔，箭 杆从盖孔中穿出，这个容器叫做“箭壶”。随着箭壶内收集的水逐渐增多，木块托着箭杆也 慢慢地往上浮，古人从盖孔处看箭杆上的标记，就能知道具体的时刻。后来古人发现，漏壶 内的水多时，流水较快，水少时流水就慢，显然会影响计量时间的精度。于是在漏壶上再加 一只漏壶，水从下面漏壶流出去的同时，上面漏壶的水即源源不断地补充给下面的漏壶，使 下面漏壶内的水均匀地流入箭壶，从而取得比较精确的时刻。
AB 交于点 E，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F，此时∠ECB＝13∠ACB．
图1
方法二：数学家帕普斯借助函数给出一种“三等分锐角”的方法：如图 2，将给定的锐 角∠AOB 置于平面直角坐标系中，边 OB 在 x 轴上，边 OA 与函数 y＝1x的图象交于点 P，以 点 P 为圆心，2OP 长为半径作弧，交 y＝1x的图象于点 R.过点 P 作 x 轴的平行线，过点 R 作 y 轴的平行线，两直线相交于点 M，连接 OM 得到∠MOB，过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H，过
例 1 如图所示是同学们根据古代漏刻制作的简单模型，容器 A 是一个高为 60 cm 的圆柱形玻璃缸，B 是用塑料制作的底托，C 为轻质塑料标尺．模拟计时试验中，同学 们先将容器内的水排空，并将自来水龙头调至均匀间隙滴水状态，经过 3 h 后，标尺显 示底托高度达到 18 cm.请列出底托高度 h 关于所经历时间 t 的函数关系式，并确定此装 置最多还能计时几小时？
第三章 函数
数学文化Biblioteka Baidu数学史(三)
一、函数的由来 “万物皆变”，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．早在 17 世纪初，法 国数学家笛卡儿和费马就已经提出一个变量对于另一个变量的依赖关系.1673 年，德国 数学家莱布尼茨在他的手稿里指出：像曲线上的点变动而变动的几何量，如点的横、纵 坐标，切线的长度，法线的长度等都称为函数.
∴PS＝OP. ∴∠POS＝∠PSO. ∵∠PSO＝∠SPM＋∠SMP＝2∠SMP， ∴∠POS＝2∠SMP. ∵PM∥OB， ∴∠MOB＝∠SMP.
∴∠POS＝2∠MOB． ∴∠MOB＝13∠AOB．
解：设底托高度 h(单位：cm)关于所经历时间 t(单位：h)的函数关系式为 h＝kt(k≠0)． 由题意得当 t＝3 时，h＝18， 则 3k＝18，解得 k＝6. ∴底托高度 h 关于所经历时间 t 的函数关系式为 h＝6t. 当 h＝60 时，6t＝60，解得 t＝10. 10－3＝7( h)． 因此该装置最多还能计时 7 h．
点 R 作 RQ⊥PH 于点 Q，则∠MOB＝13∠AOB．
图2
(1)在“方法一”中，若∠ACF＝40°，GF＝4，求 BC 的长． 解：∵∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F， ∴AC＝AG＝GF＝4. ∵∠ECB＝13∠ACB，∠ACF＝40°， ∴∠ACB＝32∠ACF＝60°. ∴BC＝AC·cos∠ACB＝4×12＝2.
(2)完成“方法二”的证明． 证明：设点 P 的坐标为a，1a，点 R 的坐标为b，1b，则点 Q 的坐标为a，1b，点 M 的坐标为b，1a. 设直线 OM 的解析式为 y＝kx(k≠0)． 将 Mb，1a代入，得1a＝kb，解得 k＝a1b. ∴直线 OM 的解析式为 y＝a1bx.
∵当 x＝a 时，y＝1b， ∴点 Q 在直线 OM 上． ∵PH⊥x 轴，RQ⊥PH，MP∥x 轴，MR∥y 轴， ∴四边形 PQRM 为矩形． 设 PR 交 MQ 于点 S，如解图． 则 SP＝SQ＝SR＝SM， ∴∠SPM＝∠SMP. ∵PR＝2OP，