运筹：第一章

设Ai调往Bj的水泥为Xij吨，则问题化为求解如下模型
第一章：绪论
mk
min s
cij xij
i1 j1
k
xij ai i 1,2......,m
j 1
st
m
xij bj j 1,2,......,k
i1
xij 0 i 1,2,.....m. , j 1,2......k
xk
② |f(xk+1)-f(xk)|〈ε或 f (xk1) f (xk )
f (xk )
③ ||▽f(xk)||=||gK||〈ε
第一章：绪论
三、一维搜索
沿某一已知的方向，求目标函数的极值。一般的一维搜索 的方法很多，常用的有试探法（“成功—失败”、斐波那契法 （分数法）、黄金分割法（0.618法））、插值法（抛物线插值、 三次插值法等）、微积分中的求根法（切线法、平分法等）、 不精确的一维搜索。
库
存
S-L1
量
LT
L2
t
t
S-L3
S LT
s
t
时间
• 某超市欲在某小区附近设立一分店。设立分店有三种可能的 后果：I—赢利额每年增加到300万元，P—维持不设分店的 情况赢利100万元，R—亏损300万元。各种后果出现的概率 经分析判断，估计为0.2、0.5、0.3，试进行决策。
• 请咨询公司来进行市场调查，决策者希望咨询公司 提供未来出现I、P、R中的何种状态。
第一章：绪论
例2：生产计划问题 设某工厂有m种资源A1,A2,…...Am，数量分别为
a1,a2,……am ，用这些资源生产有k种产品B1,B2,…...Bk ，每生产一单位Bj的产品需要消耗资源Ai的量为aij，合 同规定，产品Bj的量不少于dj，已知Bj的单价为Cj，问 如何安排生产才能既履行合同又使收入最多。
第一章：绪论
模型：是研究者对客观现实经过思维抽象后 用文字、图表、符号、关系以及实体来描述所认 识到的客观对象。
形象模型
模型 模拟模型
符号和数学模型
第一章：绪论
最优的解 一般优化方法
数值方法
网络技术
求解 技术
非最优的解 随机模拟技术
最优的解
对策论
分析方法
存贮论
排队论
非最优的解 马尔可夫
分析方法：一般是由数学公式一步求解
对于D的内点，则任意的向量Pk都是可行方向。若 Xk为D的边界点，则有的方向可行，有的方向不可行。
第一章：绪论
设函数f(X)在D ∈ Rn内有定义，对于向量Pk，若它 既是f(X)在Xk处的下降方向，又是在该点处关于域D的 可行方向，则称Pk是函数f(X)在Xk处的可行下降方向。
最优化问题的一般算法： ①给定初始点X0 ，令K=0； ②确定Xk处的可行下降方向Pk ；
x1 x2
vs
x3
x4
x5
y1 y2
y3
vt
y4
y5
第一章：绪论
运筹问题的一般数学模型为：
min(max) s f (X )
st
hi gj
(X (X
) )
0 0
i 1,2......,m j 1,2,......,p
其中：X=（X1，X2，……,Xn）T∈Rn是n维向量又称
为决策变量，f(X)为目标函数，gj(X)，hi(X)为约束函数
1、斐波那契(Fibonacci)法（分数法） 设 y=f(x)是区间[a,b]上的下单峰函数，在此区间内它
有唯一极小点x*。若在此区间内任取两点a1,b1，a1<b1, 并计算函数f(a1),f(b1)，可能出现以下两种情况
①f(a1)<f(b1)，这时极小点x*必在区间[a,b1]内. ②f(a1) ≥f(b1)这时极小点x*必在区间[a1,b]内
梯度为▽f(Xk)=gk
由泰勒公式
f(Xk+αPk)=f(Xk)+αgKT.Pk+0(α)
当 αgKT.Pk<0 时， f(Xk+αPk)<f(Xk), 所以.Pk是f(x)在
Xk处的一个下降方向。所以称gKT.Pk<0的方向Pk为f(x)在
Xk的下降方向
定义：已知区域D ∈ Rn，Xk ∈D对于向量Pk≠0，若 存在实数ã>0，使得任意的α ∈(0, ã )有Xk+αPk ∈D ， 则称Pk为Xk点关于区域D的可行方向
加工描述矩阵D的每一行描述一个工件的加工，每一列的 工序号相同。
(2）非流水型排序问题—（单件作业排序问题）
例4:有两个单件作业，其加工描述矩阵D和加工时间矩阵T分别如上. 求：最优排序
D 21,,11,,31
1,2,3 2,2,1
12,3,3,2,2
T 32
4 4
51
库存控制系统 任何库存控制系统都必须回答以下三个问题：
单件工时 零
时.件
件 J1
J2
J3
J4
J5
J6
机床
代 号
A
21
4
7
13
16
6
B
4
7
20
5
10 14
(2）非流水型排序问题—（单件作业排序问题）
问题的描述：
对于一般的单件作业排序问题，要描述一道工序，要用3 个参数：I、J、K表示。I表示工件代号，J表示工序号，K表示 完成工件I的第J道工序的机器的代号。因此，可以用（I，J，K） 来表示工件I的第J道工序是在机器K上进行的这样一件事。于 是，可以用加工描述矩阵的形式来描述所有工件的加工。
一般情况下，很难求出整体最优解，只能求出局部最优 解。
最优解X*对应的目标函数值f(X*) 为最优值，常用f*表 示。
第一章：绪论
定义6：在n维线性空间Rn中，定义实函数||X||，使其满 足以下三个条件：
(1)对任意X ∈Rn有||X|| ≥ 0，当且仅当X=0时，||X||=0 (2)对任意X ∈Rn及实数α有|| αx||=| α|*||x|| (3)对任意X,Y ∈Rn有||X.Y|| ≤ ||X||+||Y|| 则称函数||X||为Rn上的向量范数
时间
库存控制系统
（二）固定间隔期系统 就是订货间隔期都是固定量
库存量
Q1 Q1
t
订货间隔期
Q2 Q2
LT
t
t
目标库存量 时间
库存控制系统
（三）最大最小系统
固定间隔期系统不需要随时检查库存量，到了固定间隔期，各 种不同的物资可以同时订货。这样简化了管理，也节约了订货费。 不同物资的目标库存量可以不同。固定间隔期系统的缺点是不论库 存水平降得多还是少，都要按期订货，当库存水平很高时，订货量 是很少的。订货也是不必要的。为了克服这个缺点，出现了最大最 小系统。
由Xk迭代到Xk+1时，要求f(Xk+1) ≤ f(Xk)这种算法 为下降算法。
下降方向：在点Xk处，对于向量Pk≠0，若存在实 数ã，使得任意的α ∈(0, ã) 有f(Xk+ α Pk)<f(Xk)成立， 则称Pk为函数f(X)在点Xk处的一个下降方向。
第一章：绪论
当f(x)具有连续的一阶偏导数时，并记f(x)在XK处的
设生产Bj产品的数量Xj，则问题化为求解如下模型
第一章：绪论
k
max s c j x j
j 1
k
aij x j ai
i 1,2......,m
j1 st x j d j j 1,2,......,k
x j 0且为整数 j 1,2.....k.
排序问题通常表述为有n项生产任务，在m个设备（生 产单位）上加工，通常包括两类：（1） 流水型m×n 排序问题 （2） 非流水型m×n排序问题 例3：A，B两台机床，加工6种零件，单件工时如下， 求最优排序。
f(X*) ≤f(x)（或f(X*) ≥ f(x) ） 则称X*为最优化问题的局部最优解 定义5：若X* ∈ D，存在X*的某邻域Nε(X*)，使得对于一切X∈ D ∩ Nε(X*)， 恒有 f(X*)<f(x)（或f(X*) > f(x) ） 则称X*为最优化问题的严格局部最优解
结论：整体最优解一定是局部最优解，局部最优解不一定是 整体最优解。
第一章：绪论
3、运筹学的基本概念： 定义1：满足约束条件的X值称为可行解，或可行
点或容许解。 全体可行解构成的集合为可行域记为D。
D={x|hi(X) ≥0,i=1,2,……m,gj(X)=0,j=1,2,……,p,x ∈ Rn}。 若hi(定X义)，2：gj(若X)X为*连∈续D函，数对，于则一D切为X闭∈集D。恒有
数值方法：一般是通过用某种模式一步一步搜索并 不断改进解的过程来求解
第一章：绪论
2、运筹学的数学模型
例1：运输问题 设有m个水泥厂A1,A2,…...Am，年产量分别为 a1,a2,……am ，有k个城市B1,B2,…...Bk用这些水泥厂生 产的水泥，年需求量为b1,b2,……bk，已知由Ai到Bj每吨 水泥的运价为Cij，假设产销平衡，试设计一个调运方 案既满足需求又运费最省。
总人口S1 出生率S2 死亡率S3 医疗水平S4 期望寿命S5
S1 0
0
0
0
0
S2 1
0
0
0
0
S3 1
0
0
0
1
S4 1
1
1
1
1
S5 1
0
1
0
0
• 结构模型就是应用有向连接图来描述系统各要素间 的关系，以表示一个作为要素集合体的系统模型。 总人口
期望寿命 死亡率 出生率
医疗水平
例：设有5位待业者，5项工作，他们各自能胜任工 作情况如下图，要求设计一个就业方案，使尽量多的 人能就业。
• 首先要考虑是否请咨询公司进行市场研究？考虑该 公司有关市场研究成功率。咨询公司研究结果所提 供的信息为：对设立新分店的方案是赞成还是反对。
• 根据历史资料结合原来估计的先验概率，可以得到： 如将来赢利，咨询公司给出赞成或反对的概率是多 少？
• 将是否进行市场研究作为第一级决策，咨询公司赞成或反对 作为决策后的两种状态。在原来决策树基础上，增加一级决 策，构成增广决策树。
（1）隔多长时间检查一次库存量？
（2）何时提出补充订货？
（3）每次订货多少？
根据以上三个问题的回答方式不同，可以分为 3种典型的库存控制系统
（一）固定量系统
（二）固定间隔期系统
（三）最大最小系统
库存控制系统
（一）固定量系统 就是订货点和订货量都是固定量
库存量
订货量
Q
订货点
Q
Q
发出订货
提前期
订货到达
若β=0, 则称序列{XK}为超线性收敛的。
定义： 设序列{XK}收敛于X*，若对于某个实数P
≥ 1，有
lim
k
xk1 x * xk x * p
,0
则称序列{XK}为P阶收敛的。
第一章：绪论
对于一个算法，还要给出某种终止准则。
常用的终止准则有以下几种：
① ||XK+1-XK||〈ε或
xk1 xk
③确定步长αk，使得f(Xk+αPk)<f(Xk) ；
④令XK+1=XK+Pk； ⑤若XK+1满足某种终止规则，则停止，以XK+1为近似 最优解，否则，令K=K+1转②；
第一章：绪论
如果某算法构造出的点列{XK}能够在有限步内得 到问题的最优解，则称这种算法是收敛的。一个算法 是否收敛，同X0的选取有关。如果只有当X0充分接近 最优解X*时，由算法产生的点列才收敛于X*，则该 算法为局部收敛的算法。如果对于任意的X0 ∈D，由 算法产生的点列都收敛于最优解X*，则该算法为全局 收敛的算法。
第一章： 绪论
第六章： 决策技术
第二章： 无约束最优化方法
第三章：
有约束最优 化方法
第五章： 图与网络技术
多目标优化方法 第四章：
第七章： 对策技术
第八章： 排队论
第九章： 马尔可夫
第一章：绪论
一、运筹学问wk.baidu.com的数学模型与基本概念
1、运筹学的工作步骤
（1）提出和形成问题 （2）建立模型 （3）求解模型 （4）解的检验 （5）解的控制 （6） 解的实施
例如： ||X|| =f(x)=|x|
||X|| = f(x)=(x）2
||X|| =f(x)= X 2
第一章：绪论
二、运筹问题的一般算法
迭代算法：求解最优化问题的基本方法是给定一个 初始可行点X0 ∈D，由这个初始可行点出发依次产生一 个可行点列X1，X2，……,XK，记为{XK}，使得某个XK恰 好是问题的一个最优解，或者该点列{XK}收敛到问题的 一个最优解X*。这就是迭代算法。
f(X*) ≤f(x)（或f(X*) ≥ f(x) ） 则称X*为最优化问题的整体最优解 定义3：若X* ∈ D， 对于一切X∈ D 恒有 f(X*) <f(x)（或f(X*) > f(x) ） 则称X*为最优化问题的严格整体最优解
第一章：绪论
定义4：若X* ∈ D，存在X*的某邻域Nε(X*)，使得对于一切X∈ D ∩ Nε(X*)， 恒有
由于X*为未知的，所以只有全局收敛的算法才有 意义，但局部收敛是全局收敛分析的基础。一个好的 算法必是快速收敛的。收敛速度的快慢有收敛比度量。
第一章：绪论
收敛比的定义：设序列{XK}收敛于X*，而且
lim xk1 x *
k xk x * β为收敛比
若0<β<1,则称序列{XK}为线性收敛的。