圆的一般方程(轨迹问题)

(P124,B3) 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的
比是 1 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线.
2
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合
{M
|
|
OM|
1 }
| AM| 2 由两点间的距离公式，得
y
M
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
直译法
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．
所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆.
(P124,B2)长为2a的线段AB的两个端点分别在相互 垂直的两条直线上滑动，则线段AB的中点轨迹为?
x2 y2 a2
轨迹的常用求法:
1.直译法; 2.定义法;
y
B
M
Ｏ
A
x
【课堂练习】
1.已知Rt△ABC中，A(-1,0),B(3,0),
复习引入
【思考1】平面内到一定点A的距离等于定长的
点M的轨迹是什么？
M r
|MA|=r
A
【答】以定点A为圆心，定长r为半径的圆。
【思考2】平面内与两定点A、 B距离相等的点
M的轨迹是什么？
M
|MA|= |MB|
【答】线段AB的垂直平分线。 A
B
典型例题
【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
3.求轨迹方程的步骤：①建系设点（x,y）; ②列式代入； ③化简检验.
(P124,B1)等腰三角形的顶点是A(4,2),底边的一个端 点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它 的轨迹是什么.
解:设另一端点C的坐标为(x,y),依题意,得:|AC|=|AB|, 由两点间距离公式得, (x 4 )2 (y 2 )2(4 3 )2 (2 5 )2 平方整理得,(x-4)2+(y-2)2=10. 这是以点A(4,2)为圆心,以 1 0 为半径的圆,但A､B､C为三
MB
A D
D(14, 03)
Co
x
22
得 (x3)2(y3)2 1为所求。
2
2
【反思】定义法，相当漂亮！
典型例题
【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同 两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说 明轨迹的形状。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
A
MB
o
Px
典型例题
【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同 两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说 明轨迹的形状。
y
M(x,y) B(4,3)
A(2x-4, 2y-3)
所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,
o
x
得 (x3)2(y3)2 1为所求。
2
2
也叫动点转移法，或叫代入法。
注意：求轨迹方程，第一步往往设所求动点坐标为(x,y).
典型例题
【练习】已知线段AB的端点B的坐标是
(4,0),端点A在圆x2+y2=4上运动，求线段
【分析】设M(x,y), 由|MP|=2|MQ|得
x82y22x22y2
化简得 x2 y2 16
直译法
典型例题
【变式】已知两定点A,B间距离为6，动点M与 A,B距离之比为2，求点M的轨迹方程。
y
M （x-5） 2y2 16
B
-3 A
O
3C
x 注意：建系不同，答案不同， 因此建系要恰当，考虑对称、 尽量多落在标轴上.
2
2
相关点法
【小结】这种求轨迹方程的方法叫相关点法。
【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
【分析】设M(x,y), 因为M是AB的中点, B(4,3) ， 所以点A的坐标为 (2x-4, 2y-3) 又因为点A在圆(x+1)2+y2=4上，
明轨迹的形状。
OMMP
y
A M B
(x-2)2+y2=4
(0≤x< 1)
o
C Px
轨迹是圆(x-2)2+y2=4夹在圆x2+y2=4内的圆弧。
【反思】与垂直有关的问题，可考虑勾股定理或 斜率关系，或利用“直角三角形斜边上的中线等 于斜边一半”这个性质（注意讨论特殊情形）。
典型例题
【例2】已知动点M与两定点P (8,0)、 Q(2,0)距 离之比为2，求点M的轨迹方程。
角形的顶点,∴A､B､C三点不共线.当B与C重合时,C(3,5) 当BC为直径时,C(5,-1),
∴端点C的轨迹方程是
(x-4)2+(y-2)2=10(
x y
35且xy
5 -1
).
故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 1 0 为半径的圆,
但要除去(3,5)和(5,-1)两点.如下图所示.
• 规律技巧:在求轨迹方程时,必须考虑C点是 三角形的一个顶点,故A､B､C不能共线,这一 点容易造成失误,应引起高度重视.
典型例题
【拓展】已知两定点A,B间距离为6，动点M与 A,B距离之比为2，则△MAB面积的最大值为？
12
y
M （x-5） 2y2 16
B
-3 A
O
3C
x
反思：坐标法思想，秒！
小结：
1.求轨迹方程时，一般应数形结合，即充分运用几何 图形的性质将形的直观与数的严谨有机结合起来。
2.求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”； 二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等。
OMMP
y
A M B
o
Px
典型例题
【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同 两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说 明轨迹的形状。
(x-2)2+y2=4
(0≤x< 1)
y
A M B
o
Px
典型例题
【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同
两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说
【分析】设M(x,y), A(x0,y0)
因为M是AB的中点，
所以
x
y
x0 4 2
y0 3 2
解得
x0 y0
2x 2y
4 3
又因为点A在圆(x+1)2+y2=4上，
y
M(x,y) B(4,3)
A (x0,y0)
o
x
所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,
得 (x3)2(y3)2 1为所求。
AB的中点M的轨迹方程.
(x-2)2+y2=1
y
A(2x-4, 2y) M(x,y)
o
Bx
典型例题
【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点
A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的
轨迹方程. 【分析2】 | MD| 1| AC|1
2
M的轨迹是以D为圆心， 1为半径的圆,
y