数值分析原理(吴勃英主编)思维导图
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数值分析学习课件
数值分析学习课件目录1. 内容概要 (2)1.1 数值分析的重要性 (2)1.2 课件内容概述 (3)2. 基础知识准备 (4)2.1 数学知识要点 (6)2.2 计算机基础 (7)2.3 编程基础 (8)3. 数值计算的基本原理 (10)3.1 误差理论 (11)3.2 近似计算 (13)3.3 算法稳定性与收敛性 (15)4. 数值计算方法与技巧 (16)4.1 插值与逼近 (17)4.2 微分与积分计算 (19)4.3 线性代数方程求解 (19)4.4 优化计算方法 (21)5. 数值分析的应用实例 (22)5.1 数据拟合与预测分析 (23)5.2 微分方程数值解法应用 (24)5.3 线性规划优化问题应用 (26)5.4 其他领域的应用实例 (27)6. 实践操作指导 (28)6.1 编程实践环境搭建 (30)6.2 数值计算软件使用介绍 (31)6.3 编程实践案例分析 (32)7. 课程总结与展望 (33)7.1 课程重点内容回顾 (34)7.2 数值分析发展趋势 (35)7.3 学习建议与展望 (37)1. 内容概要数值分析是一个研究数值算法的学科，旨在寻找有效的方法来求解大量的数学问题，特别是那些无法得到精确解或者求解起来过于繁杂的问题。
它在物理学、工程学、经济学、生物技术以及许多其他科学领域中都是至关重要的。
本课程将涵盖数值分析的核心概念和方法，重点是数值线性代数、数值积分、数值微分方程以及数值优化等经典主题。
学生将理解这些问题的数学背景，掌握相关的数值算法，并能够运用编程实现这些算法。
学生还将学习误差分析、收敛性理论以及如何选择和实现适合特定问题的数值方法。
在整个课程中，学生将通过实际问题的解决，如物理模型、金融模型、生物数据的分析和处理等，来应用所学的数值分析知识和技能。
通过本课程的学习，学生不仅能够加深对数值方法的理解，还能增强解决实际问题的能力。
1.1 数值分析的重要性数值分析是利用计算机解决数学问题的重要工具，在许多领域，例如物理、工程、金融、生物等，现实世界的问题常常难以用精确的解析解表达出来。
数值分析第一章PPT
1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
数值分析-第一章ppt课件
数及其图形作出判断. 整理版课件
6
由分部积分法可得:
Ine101xndex
n=1,2,4,6, 8,10,15
e 1 x n ex|1 0 e 1 0 1 nn 1 x ex dx
1 nn 1 I (n 1 ,2 , ).
如果取 I0 = 1–e–1 = 0.63212056 (八位有效数字).
x1,2b
b24ac 2a
直接进行计算则得: x1=109, x2=0. 其中的x2=0明பைடு நூலகம்失真, 这也是由于舍入误差造成的.
整理版课件
8
§1 误差的来源
实际 问题
建立数 学模型
确定计 算方法
编程 上机
由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差
由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差
er(x* )e(x x* )x xx*
同样, 由于精确值 x 经常是未知的, 所以, 需要另
外的近似表达形式. 我们注意如下公式的推导,
当
|
e ( x*) x*
|
较小时,
有
e(x* )e(x* )e(x*x )* (x)
x x*
xx*
[x*[ee((xx**))2]x] *1[e(exx(**x*)]2)
整理版课件
18
乘法相关的误差公式： 设 f (x1, x2)= x1 x2 . e ( x 1 x 2 ) x 2 e ( x 1 ) x 1 e ( x 2 ) e r ( x 1 x 2 ) e r ( x 1 ) e r ( x 2 ) |e ( x 1 x 2 ) | |e ( x 1 ) | |e ( x 2 ) | |e r ( x 1 x 2 ) | |e r ( x 1 ) | |e r ( x 2 ) |
数值分析 PPT课件
n1
(
x
)
这里 （a,b）且依赖于 x。
第12页/共51页
第13页/共51页
定理表明： (1) 插值误差与节点和点 x 之间的距离有关, 节点距离 x 越近, 插值误差一般情况下越小。 (2) 若被插值函数 f(x) 本身就是不超过 n 次的多项式, 则有 f(x)≡g(x)。
第14页/共51页
y1
)
(
(y y1
y0 )( y y0 )( y1
y2 )( y y y2 )( y1
3) y3
)
f
1 ( y2 )
( y y0 )( y y1 )( y y3 ) ( y2 y0 )( y2 y1 )( y2 y3 )
f
1
(
y3
)
(
(y y3
y0 )( y y0 )( y3
定理2 设 f (n)( x) 在 [a,b] 上连续，f (n1)( x) 在 (a,b) 内存在，节点
a x0 x1 xn b, Ln( x) 是满足拉格朗日插值条件的多项式，则 对任何 x [a,b], 插值余项
Rn ( x)
f ( x) Ln( x)
f ( (n1) )
(n 1)!
2.1 引言
许多实际问题都用函数 y=f(x) 来表示某种内在规 律的数量关系。若已知 f(x) 在某个区间 [a,b] 上存在、 连续，但只能给出 [a,b] 上一系列点的函数值表时，或 者函数有解析表达式，但计算过于复杂、使用不方便只 给出函数值表（如三角函数表、对数表等）时，为了研 究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。 因此我们希望根据给定的函数表做一个既能 反映函数 f(x) 的特性，又便于计算的简单函数 P(x)，用 P(x) 近 似 f(x)。这就引出了插值问题。
数值分析课件 第一章 绪论
注：
的每一位都是有效数字， 称是有效数 若 x∗ 的每一位都是有效数字，则 x∗称是有效数
特别， 四舍五入” 特别，经“四舍五入”得到的数均为有效数
Th .1将 x 的近似值 x 表示为x = ±0.a1a2 Lak Lan ×10， 1 1 ×10−(k−1) 是有效数字， 若 ak 是有效数字，则相对误差不超过 ； 21 ∗ ∗ er ，且有 er ≤ ×10−k 反之， 反之，若已知相对误差 ， 2 必为有效数字。 则ak 必为有效数字。
收敛性： 收敛性：方法的可行性
§1
误 差
/* Error */
一、 误差的来源与分类 /* Source & Classification */
1、从实际问题中抽象出数学模型 、 —— 模型误差 /* Modeling Error */ 2、通过观测得到模型中某些参数（或物理量）的值 、通过观测得到模型中某些参数（或物理量） —— 观测误差 /* Measurement Error */ 3、数学模型与数值算法之间的误差 、 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 截断误差 4、由于机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新的误差 、由于机器字长有限， —— 舍入误差 /* Roundoff Error */
注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效数 0.2300有 位有效数字， 00023只有 位有效数 只有2 12300如果写成0.123× 如果写成0.123 则表示最多只有3 字。12300如果写成0.123×105，则表示最多只有3 位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！ 位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！
二、 误差分析的基本概念 /* Basic Concepts */
新教材高中数学第五章计数原理阶段提升课第五课计数原理课件北师大版选择性必修第一册
共有
3A33
＋C23
A2 2
A2 2
＝30
种．综上组成的三位数能被
3
整除，共有
36＋162＋30
＝228 种．
答案：228
2．(1)第一步先将 4 个舞蹈节目捆绑起来，看成 1 个节目，与 6 个演唱节目一起
排，有
A7 7
＝5
040
种方法；第二步再松绑，给
4
个节目排序，有
A4 4
＝24 种方法．
根据分步乘法计数原理，一共有 5 040×24＝120 960 种安排顺序．
【解析】(1)先排前 4
次测试，只能取正品，有
A4 6
种不同测试方法，再从
4 件次
品中选
2
件排在第
5
和第
10
的位置上测试，有
C2 4
·A22
＝A24
种测法，再排余下 4
件的测试位置有
A4 4
种测法．
所以共有不同测法
A4 6
·A24
·A44
＝103
680 种．
(2)第 5 次测试恰为最后一件次品，另 3 件在前 4 次中出现，从而前 4 次有一件正
(2)第一步将
6
个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有
A6 6
＝720
种方
法．
×□×□×□×□×□×□×
第二步再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即□中“×”的位置)这
样相当于
7
个“×”选
4
个来排，一共有
A4 7
＝840 种方法．
根据分步乘法计数原理，一共有 720×840＝604 800 种安排顺序．
数值分析课件第一章
４.减少运算次数 减少运算次数可以不但节省时间，而且减少舍入误差. 例10 计算多项式的值
Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
秦九韶算法：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n-1,,0) P ( x) S . n 0
例： x 3.1415926 , 取三位 取五位 1 * * x3 3.14, | e3 | 0.0015926 0.005 10 2 , 2 1 * * x5 3.1416 | e5 | 0.0000073 0.00005 10 4 . , 2
I 0 1 e1.
* I 9 0.0684, I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n 1 1 e1 ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10
* *
§3 误差定性分析、避免误差危害
一、算法的数值稳定性
定义3 一个算法若输入数据有 误差, 而在计算过程中舍入 误差不增长, 则称此算法是数值稳定 的, 否则是不稳定的.
例5
1 1 n x 计算I n e x e dx, n 0,1,, 0
并估计误差.
I n 1 nI n1 , n 1,2,,
数值分析
数学学院 李胜坤
第1章
一、什么是数值分析
引论
§1 数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现. 步骤：实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
Pn ( x) an x n an1x n1 a1x a0 .
秦九韶算法：
S n an , S k xS k 1 ak , (k n-1,,0) P ( x) S . n 0
例： x 3.1415926 , 取三位 取五位 1 * * x3 3.14, | e3 | 0.0015926 0.005 10 2 , 2 1 * * x5 3.1416 | e5 | 0.0000073 0.00005 10 4 . , 2
I 0 1 e1.
* I 9 0.0684, I 0 0.6321, ( A) I n 1 nI n1, n 1,2,. ( B) * * I n1 1 (1 I n ), n 9,8,,1. n 1 1 e1 ( I 9 ( ) 0.0684) 2 10 10
* *
§3 误差定性分析、避免误差危害
一、算法的数值稳定性
定义3 一个算法若输入数据有 误差, 而在计算过程中舍入 误差不增长, 则称此算法是数值稳定 的, 否则是不稳定的.
例5
1 1 n x 计算I n e x e dx, n 0,1,, 0
并估计误差.
I n 1 nI n1 , n 1,2,,
数值分析
数学学院 李胜坤
第1章
一、什么是数值分析
引论
§1 数值分析的研究对象与特点
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现. 步骤：实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
数值分析必备知识
( k 1 ) ( k ) i
1 n 1 i ( k 1 ) ( k ) x x ( b a x a x ), i 1 , 2 , n , k 0 , 1 , 2 , i ij ij i j j j 1 j i a ii
或写成向量形式 x（k+1）=x（k）+D-1(b+Lx(k+1)+(U-D)x(k)) , k=0,1,2,…
方程组:
a13 a1n a12 b1 x x x x 2 3 n 1 a11 a11 a11 a11 a 23 a2 n a 21 b2 x1 x3 xn x2 a 22 a 22 a 22 a 22 a n1 an 2 a nn 1 bn xn a x1 a x2 a xn 1 a nn nn nn nn
M
k
1 M
x(1) x(0)
, 即
k ln( )/ln M (1) (0) x x
可以事先估计达到某一精度需要迭代多少步。
ε(1 M )
例如，例1中J-法计算结果如下： k 0 1 2 3 4 5 6 7 x1(k) 0 1.4 1.11 0.929 0.9906 1.01159 1.000251 0.9982364 x2(k) 0 0.5 1.20 1.055 0.9645 0.9953 1.005795 1.0001255 x3(k) 0 1.4 1.11 0.929 0.9906 1.01159 1.000251 0.9982364
从而得迭代公式
a a a b (k1) 13 (k) 1 n (k) 12 (k) 1 x x x x 2 3 n 1 a a a a 11 11 11 11 a2n (k) b a21 (k) a23 (k) (k1) 2 x x x x 2 1 3 n a a a a22 22 22 22 an1 (k) an2 (k) ann b (k1) 1 (k) n x x x x n ann 1 ann 2 ann n1 ann
1 n 1 i ( k 1 ) ( k ) x x ( b a x a x ), i 1 , 2 , n , k 0 , 1 , 2 , i ij ij i j j j 1 j i a ii
或写成向量形式 x（k+1）=x（k）+D-1(b+Lx(k+1)+(U-D)x(k)) , k=0,1,2,…
方程组:
a13 a1n a12 b1 x x x x 2 3 n 1 a11 a11 a11 a11 a 23 a2 n a 21 b2 x1 x3 xn x2 a 22 a 22 a 22 a 22 a n1 an 2 a nn 1 bn xn a x1 a x2 a xn 1 a nn nn nn nn
M
k
1 M
x(1) x(0)
, 即
k ln( )/ln M (1) (0) x x
可以事先估计达到某一精度需要迭代多少步。
ε(1 M )
例如，例1中J-法计算结果如下： k 0 1 2 3 4 5 6 7 x1(k) 0 1.4 1.11 0.929 0.9906 1.01159 1.000251 0.9982364 x2(k) 0 0.5 1.20 1.055 0.9645 0.9953 1.005795 1.0001255 x3(k) 0 1.4 1.11 0.929 0.9906 1.01159 1.000251 0.9982364
从而得迭代公式
a a a b (k1) 13 (k) 1 n (k) 12 (k) 1 x x x x 2 3 n 1 a a a a 11 11 11 11 a2n (k) b a21 (k) a23 (k) (k1) 2 x x x x 2 1 3 n a a a a22 22 22 22 an1 (k) an2 (k) ann b (k1) 1 (k) n x x x x n ann 1 ann 2 ann n1 ann
第一章绪论yjs10
其原理为
计算量 N n flop
注意
(((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
研究生学位课程
22
数值分析
例6 ：求解n元线性方程组 a11x1+a12x2+ … +a1nxn=b1 ┆ ┆ ┆ (1) an11+an2x2+ … +annxn=bn
应用数值方法 使用MATLAB和C语言
编著 （科学出版社）
Robert J.Schilling & Sandra L.Harris （机械工业出版社）
数值分析 数值计算方法 计算方法等 数值分析
李庆扬、易大义、王能超 编著 （清华大学出版社）
研究生学位课程
16
数值分析
1.2 数值算法的基本概念
数值分析
线 性 方 程 组 Ax b, 当 n 20 时, 用克莱姆（ Cramer） 法 则 求 解运 算 次 数 , 约 为9.7 1020， 用 每 秒 1000 次 的 计 算 机 亿 也要算 年。 300
用高斯（ Gauss） 消 元 法 求 解 算 次 数 ,运 约 为3060 .
研究生学位课程
24
数值分析
1.3 误差的基本理论 /* Introduction of error*/
研究生学位课程
25
数值分析
用计算机解决科学计算问题时，需要经历以下 几个环节：
实际 问题
建立数 学模型
确定数值 计算方法
编制程序上 机算出结果
实际问题的精确解与用计算机计算出来的数值 结果之间就有差异，这种差异在数学上称为误差。 数值结果是指在选择某种数值方法之后，编制程 序正确，输入初始数据正确的情形下所获得的数值结 果。
计算量 N n flop
注意
(((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
研究生学位课程
22
数值分析
例6 ：求解n元线性方程组 a11x1+a12x2+ … +a1nxn=b1 ┆ ┆ ┆ (1) an11+an2x2+ … +annxn=bn
应用数值方法 使用MATLAB和C语言
编著 （科学出版社）
Robert J.Schilling & Sandra L.Harris （机械工业出版社）
数值分析 数值计算方法 计算方法等 数值分析
李庆扬、易大义、王能超 编著 （清华大学出版社）
研究生学位课程
16
数值分析
1.2 数值算法的基本概念
数值分析
线 性 方 程 组 Ax b, 当 n 20 时, 用克莱姆（ Cramer） 法 则 求 解运 算 次 数 , 约 为9.7 1020， 用 每 秒 1000 次 的 计 算 机 亿 也要算 年。 300
用高斯（ Gauss） 消 元 法 求 解 算 次 数 ,运 约 为3060 .
研究生学位课程
24
数值分析
1.3 误差的基本理论 /* Introduction of error*/
研究生学位课程
25
数值分析
用计算机解决科学计算问题时，需要经历以下 几个环节：
实际 问题
建立数 学模型
确定数值 计算方法
编制程序上 机算出结果
实际问题的精确解与用计算机计算出来的数值 结果之间就有差异，这种差异在数学上称为误差。 数值结果是指在选择某种数值方法之后，编制程 序正确，输入初始数据正确的情形下所获得的数值结 果。