概率第1讲

1.15.
C
N 2N
−r
(
1 2
)
2
N
−
r
1.16. 3
1.17. 5 局 3 胜制对甲更有利.
典型例题 例 1.6. 若 M 件产品中包含 m 件废品，今在其中任取两件，求
（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率； （2）已知取出的两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率； （3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。 例 1.7. 掷三颗骰子，若已知没有两个相同的点数，试求至少有一个一点的概率。 例 1.8. 在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为 0.2；若乙机未被 击落，就进行还击，击落甲机的概率是 0.3；若甲机也没被击落，则再进攻乙机， 此时击落乙机的概率是 0.4，求这几个回合中： （1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率. 例 1.9. 有枪 8 支，其中的 5 支经过试射校正，3 支未经试射校正，校正过的枪， 击中靶的概率为 0.8，未经校正的枪，击中靶的概率为 0.3，今任取一支枪射击， 结果击中靶，问此枪为校正过的概率是多少？ 例 1.10. 一道考题同时列出 m 个答案，要求学生把其中的一个正确答案选择出来， 某考生可能知道哪个是正确答案，也可能乱猜一个，假设他知道正确答案的概率
.
（5） 袋中有 50 个乒乓球, 其中 20 个黄球, 30 个白球. 今有两人依次随机地 从袋中各取一球, 取后不放回, 问第二人取得黄球的概率是_________.
例 1.3. 一袋中装有 N－1 只黑球和一只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换 入一只黑球，这样继续下去，问第 k 次摸球时摸到黑球地概率是多少。
(B) 25 65
(C) 8 15
(D) 1856 3375
（5） 在某一问卷调查中, 有 50%的被访者会立刻答完并上交问卷表, 在没有 立刻上交问卷表的被访者中,有 40%的人会在调查人员的电话提醒下送回问卷表.
如果只有 4 个人参加这样的问卷调查, 问至少有 3 个人没有任何回音的概率为
(A) (0.3)4 + 4(0.3)3 (0.7)
（2） 已知 P( A) = 0.5, P(B) = 0.6 以及 P(B | A) = 0.8 ，则 P(B | A U B) 等于
（A） 4 5
（B） 6 11
（C） 3 4
（C） 6 7
（3） 设 A , B 是两个随机事件，且 0 < P( A), P(B) < 1, P(B | A) = P(B | A) ，则一
⎝ p⎠ ⎝ p⎠
1
−
⎛ ⎝⎜
q p
⎞ ⎠⎟
a
；
当 p = q = 1 ，甲输光的概率为1 − i
2
a
例 1.13. r 个人相互传球，从甲开始，每次传球时，传球者等可能地把球传给其 余 r − 1个人中的任意一个，求第 n 次传球时仍由甲传出的概率（发球那一次算作 第 0 次）？
例 1.14.
甲、乙、丙三人在一次射击中击中靶子的概率分别为
(B) 4(0.3)3 (0.7)
(C) 4(0.3)3 + (0.7)3
(D) (0.7)4 + 4(0.7)3 (0.3)
例 1.2. 填空题：
（1）
已知 P( A) =
4, 5
P(AB) =
1 ，则 P( A U B ) = 5
.
（2） 已知 P( A) = 0.7, P(B) = 0.9 ，则 P( A U B) − P( AB) 的最大可能值为
例 1.4. 一个随机数发生器只能从1,2,3,L,9 这九个整数中选取一个，并且选那一
个都是等可能的。求在 n 次选择之后所得的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率。 例 1.5. 取一长为 l 的棒，将其折成三段，求此三段能构成一个三角形的概率.
习题参考答案
1.1. （1）B；（2）C；（3）C；（4）A；（5）A
2004 年强化班讲义
（清华大学数学科学系 叶俊）
第一讲 随机事件与概率
内容提要 （1）事件间的关系与运算（四种关系，三种运算） （2）概率及其简单性质（古典溉型，几何溉型，求逆公式，加法公式，减法公
式） （3）条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes 公式） （4）事件独立性与 Bernoulli 概型（独立性的实质及应用，Bernoulli 概型的
（A） P(( A1 U A2 ) | B) = P( A1 | B ) + P( A2 | B )
（B） P( A1B U A2 B) = P( A1B) + P( A2 B)
（C） P( A1 U A2 ) = P( A1 | B) + P( A2 | B)
（D） P(B) = P( A1)P(B | A1) + P( A2 )P(B | A2 )
三个模型）
典型问题 问题 1: 事件的表示与运算 问题 2: 概率的基本公式及应用 问题 3: 古典概型与几何概型的直接计算 问题 4: 事件的独立性及其实质 问题 5: 乘法公式与交事件的计算 问题 6: 全概率公式与 Bayes 公式 问题 7: Bernoulli 试验序列的相关结论
典型例题 例 1.1. 选择题： （1） 已知 0 < P(B) < 1 且 P((A1 U A2 ) | B) = P( A1 | B) + P( A2 | B) ，则下列选项成 立的是
1.2. （1） 2 ；（2）0.4；（3） 1 ；（4） 2 ；（5） 2
5
4
3
5
1.3. 1 − (1 − 1 )k−1 1 NN
1.4.
1−
8n
+ 5n 9n
−
4n
1.5. 1 4
内容提要 （1）事件间的关系与运算（四种关系，三种运算） （2）概率及其简单性质（古典溉型，几何溉型，求逆公式，加法公式，减法公
.
（3） 设两两独立的三事件 A，B，C 满足条件： ABC = φ ,
P( A) =
P(B)
=
P(C) <
1 2
,
且已知
P(
A
U
B
U
C)
=
9 16
,
则 P( A) =
.
（4） 两个相互独立的事件 A、B 都不发生的概率为 1/9，A 发生 B 不发生的概
率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 P (A) =
2M − m −1
M + m −1
M (M −1)
1.7. 1 2
1.8. （1）0.24；（2）0.424
1.9. 40 49
1.10.
mp
1 + (m −1) p
1.11. （1） 3 ；（2） 1
2
4
1.12.
⎛ ⎜
q
⎞i ⎟
−
⎛ ⎜
q
⎞ ⎟
a
当 p > 0 且 p ≠ 1 (即 p ≠ q )时，甲输光的概率为 2
为 p，而乱猜的概率为1 − p ，设他乱猜答案猜对的概率为 1 ，如果已知他答对 m
了，问他确实知道哪个是正确答案的概率是多少。 例 1.11. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次 品，乙箱中仅装有 3 件合格品，从甲箱中任取 3 件放入乙箱后，求：
（1）乙箱中次品件数 X 的数学期望； （2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
习题参考答案
1.12.
当 p > 0 且 p ≠ 1 (即 p ≠ q )时，甲输光的概率为 2
⎛ ⎝⎜
q⎞i p ⎠⎟
−
⎛ ⎝⎜
q⎞ p ⎠⎟
a
；
1
−
⎛ ⎜
q
⎞ ⎟
a
Байду номын сангаас
⎝ p⎠
当 p = q = 1 ，甲输光的概率为1 − i
2
a
1.13.
pn
=
1 [1 − ( 1 )n−1 ] r r −1
1.14. 6 13
4 5
,
3 4
,
2 3
，他们
同时各打一发，结果有 2 弹击中靶子，求丙脱靶的概率？ 例 1.15. 某售货员同时出售两包各N本的同样的书，每次售书，他等可能地任选 一包，从中取出一本，问第一次售完一包时（不是发现），另一包中尚余r(≤N) 本书的概率pr为多少? 例 1.16. 已知每枚地对空导弹击中敌机的概率为 0.96，问需要发射多少枚导弹才 能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于 0.999. 例 1.17. 甲、乙两选手进行比赛，假定每局比赛甲胜的概率为 0.6，乙胜的概率 为 0.4，问采用 3 局 2 胜制还是 5 局 3 胜制，对甲有利？
定有
（A） P(A B) = P( A B)
（B） P(A B) ≠ P( A B)
（C） P( AB) = P( A)P(B)
（C） P( AB) ≠ P( A)P(B)
（4） 一个班级中有 8 个男生和 7 个女生，今要选出 3 名学生参加比赛，则选出 的学生中，男生数多于女生数的概率为
(A) 36 65
式） （3）条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes 公式） （4）事件独立性与 Bernoulli 概型（独立性的实质及应用，Bernoulli 概型的
三个模型）
典型问题 问题 1: 事件的表示与运算 问题 2: 概率的基本公式及应用 问题 3: 古典概型与几何概型的直接计算 问题 4: 事件的独立性及其实质 问题 5: 乘法公式与交事件的计算 问题 6: 全概率公式与 Bayes 公式 问题 7: Bernoulli 试验序列的相关结论
例 1.12. 设甲有赌本 i(i ≥ 1) 元, 其对手乙有赌本 a − i > 0 元．每赌一次甲以概率 p
赢一元, 而以概率 q = 1 − p 输一元．假定不欠不借，赌博一直到甲乙中有一人输
光才结束．因此，两个人中的赢者最终有总赌资 a 元. 求甲输光的概率． 习题参考答案
1.6. （1） m − 1 ；（2） 2m ；（3） m(2M − m −1)