第03讲 整式及其因式分解(原卷版)
专题02 整式和因式分解(讲义)(原卷版)
专题02 整式和因式分解核心知识点精讲1．理解代数式的意义，能够进行代数式的求值．2．理解整式的相关概念，包括单项式、多项式系数、次数、同类项的概念．3．理解同类项的合并方法．4．能够进行整式的加减法、乘除法的运算，混合运算以及化简求值.5．理解同底数幂的运算．6．掌握因式分解的概念、常用方法，如提公因式法、公式法、分组分解法等．7．能够理解运用因式分解的一般步骤．考点1 代数式及求值1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
2.代数式求值：用数值代数式里的字母，计算后所得的结果。
考点2 整式的相关概念1.单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 2313-。
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做多项式的次数。
4.多项式：几个单项式的和叫做多项式。
每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
常数项的次数为0。
5.整式：单项式和多项式统称为整式。
注意：分母上含有字母的不是整式。
6.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
考点3 整式的运算法则1.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
2.整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
3.整式的乘法：),(都是正整数n m aa a n m n m +=∙),(都是正整数）（n m a a mn n m =)()(都是正整数n b a ab n n n =22))((b a b a b a -=-+2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-4.整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数考点4 幂的运算1.同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m •a n ＝a m +n （m ，n 是正整数）（2）推广：a m •a n •a p ＝a m +n +p （m ，n ，p 都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a 2b 2）3与（a 2b 2）4，（x ﹣y ）2与（x ﹣y ）3等；②a 可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．2．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m ）n ＝a mn （m ，n 是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab ）n ＝a n b n （n 是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．3．同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．a m ÷a n ＝a m ﹣n （a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n ）①底数a ≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．考点5 整式的混合运算—化简求值先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．考点6 因式分解1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
第3课时 整式及因式分解(共31张PPT)
(2) 多项式里次数最高的项的次数，叫作这个多项式的
次数 ． ________ 单项式 3. 整式： ________和多项式 ________统称整式．
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考点 3 同类项与合并同类项 因式分解
相同 ，并且相同字母的指数也分 1. 同类项：所含字母________
相同 的项叫作同类项，几个常数项也是同类项． 别________
b＋1
2015
1 ． 那么(a－b) ＝________
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[解析] 由同类项的定义可知， 整式及因式分解
a－2＝1，解得 a＝3， b＋1＝3，解得 b＝2，
所以(a－b) ＝1. 故答案为 1.
2015
【方法点析】 (1)同类项必须符合两个条件：第一，所含字母相同；第二，相 同字母的指数相同，两者缺一不可． (2)根据同类项的概念列方程(组)是解此类题的一般方法．
项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解． 2. 因式分解的方法：
m(a＋b＋c)． (1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝_____________
※确定公因式的关键是一看系数，二看相同字母或因式． 防错提醒： 运用提公因式法分解因式时，若某一项作为公因式提出 来，要用“1”补项，不可漏项．
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因式分解 【失分盲点】
(1)在进行幂的运算时，一要合理选择幂的运算法则；二要 注意结果的符号． (2)不要把同底数幂的乘法和整式的加减法混淆，如a2·a4 ＝a6和a2＋a2＝2a2. (am)n和an·am也容易混淆． (3)单项式除法运算的关键：注意区分“系数相除”与“同 底数幂相除”的含义，如6a ÷3a ＝(6÷3)a ＝2a 一定不能把 同底数幂的指数相除．
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第一章 数与式 第三节 整式与因式分解
3．计算：
(1)m2·m3＝m m55；
(2)(m2)3＝m m66；
(3)a7÷a4＝a a3 3；
(4)(x2y)3＝x x6y63y3；
(5)－4mn＋3mn＝－－mmnn； (6)(mn－3n)－3(m2－n)＝mnmn－－33mm22；
∵m 是方程 x2＋x－2＝0 的根， ∴m2＋m－2＝0，∴m2＋m＝2， ∴原式＝2×(2－1)＝2.
重难点 1：幂的运算 下列运算中，正确的是
A．x2＋2x2＝3x4 B．x2·x3＝x5 C．(x3)2＝x5 D．(xy)2＝x2y
( B)
【思路点拨】 选项 法则 A 合并同类项法则 B 同底数幂的乘法法则 C 幂的乘方运算 D 积的乘方运算
＝3x2＋2x＋1－4x2＋2x－5 ＝－x2＋4x－4， P＝(2x－5)＋(－x2＋4x－4) ＝－x2＋6x－9， 当 x＝1 时，P＝－1＋6－9＝－4.
(7)(m＋4)2＝m2＋m2＋88mm＋＋116；6 (8)(－a－1)(a－1)＝1－1－aa22；
(9)－4x3y5÷2x2y3＝－2－2xxyy22.
4．(RJ 八上 P112 习题 T7 改编)已知 a＋b＝5，ab＝3，则 a2＋b2＝1199 ， (a－b)2＝113 3.
5．分解因式： (1)m2－3m＝m(mm(m－－33))； (2)a2－9＝(a(a＋＋33))((aa－－3)； (3)8a3－2ab2＝3)2a2a(2(2aa＋＋bb))((2a2－a－b)； (4)2x2－4＝2(x2＋(xb＋))(x2－)(x－ 2) )；(在实数范围内分解) (5)(x－y)2－x＋y＝(x－(x－yy))((xx－－y－y－1)； (6)x2＋5x＋4＝ (x(＋x＋1)11))((xx＋＋44)；)
第3讲 代数式、整式与因式分解
(4)(ab)n= anbn (n 为整数,ab≠0);
(5)am÷an= am-n (m,n 为整数,a≠0).
7.计算:
(1)x2·x5= x7 ;
(2)(3;
(4)x8÷x2= x6 .
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数学
8.整式的乘除 (1)单项式乘单项式:ac·bc2=abc3; (2)单项式乘多项 式:p(a+b+c)=pa+pb+pc; (3)多项式乘多项 式:(a+b )(p+q)=ap+aq+bp+bq; (4)单项式除以单项式:abc3÷ac2=bc; (5)多项式除以单项式:(am+bm)÷m=a+b.
8.计算:
(1)3x2·5x2= 15x4 ;
(2)3a(5a-2b)=
15a2-6ab ;
(3)(3x+1)(x+ 2)=
3x2+7x+2 ;
(4)10ab3÷(-5ab)=
-2b2
;
(5)(6ab+5a)÷a=
6b+5 .
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9.乘法公式
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)= a2-b2 . (2)完全平方公式:(a±b)2= a2±2ab+b2 .
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数学
19.(2013 广东)下列等式正确的是( B )
A.(-1)-3=1
B.(-4)0=1
C.(-2)2×(-2)3=-26
D.(-5)4÷(-5)2=-52
20.(2015 广东)(-4x)2=( D )
A.-8x2
B.8x2
C.-16x2
D.16x2
整式的乘法与因式分解精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版整式的乘法与因式分解一：[整式的乘法与因式分解]初二数学知识点之整式乘除与因式分解讲解及汇总1.单项式的乘法法那么：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式的乘法法那么：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.多项式与多项式的乘法法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.单项式的除法法那么：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的法那么：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2、乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字语言表达：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.3、因式分解：因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;(2)因式分解必须是恒等变形;(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初二数学知识点解析：二次函数的应用，希望对大家的学习有一定帮助。
2.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中(如右图)，那么此抛物线的解析式为().3.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长到达了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是()4.把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y.那么当y最大时，x所取的值是()A.0.5B.0.4C.0.3D.0.6【考点归纳】1.二次函数的解析式：(1)一般式：();(2)顶点式：();(3)交点式：().2.顶点式的几种特殊形式.线()对称，顶点坐标为(，).⑴当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是();⑵当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是().【典型例题】一、例1橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如下图).假设OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.(1)求这条抛物线的解析式;(2)假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外6.以下函数关系中，是二次函数的是( )A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系小编为大家整理的初二数学知识点解析：二次函数的应用相关内容大家一定要牢记，以便不断提高自己的数学成绩，祝大家学习愉快!二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念;(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三局部：①系数一各项系数的最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;③指数--相同字母的最低次数;(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底〞;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-〞号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。
第03讲 整式及其因式分解-2020年中考数学考点必过精品专题(原卷版)
第03讲整式及其因式分解1．代数式及求值(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值．2．整式及有关概念(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式；(2)多项式：由几个组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做_；(3)整式：单项式和多项式统称为整式；(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．4．整式的运算(1)整式的加减整式加减的实质是合并同类项．把多项式中同类项的系数相加，合并为一项，叫做合并同类项，其法则是：几个同类项相加，把它们的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的___不变．(2)整式的乘法①单项式×单项式：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式；②单项式×多项式：m(a＋b)＝ma＋mb；③多项式×多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd；④乘法公式平方差公式：(a＋b)(a－b)＝___；完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2(3)整式的除法①单项式÷单项式：将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；②多项式÷单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．5．因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个_的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法互为逆变形．(2)因式分解的方法①提取公因式法：ma＋mb－mc＝m(a＋b－c)．(3)因式分解的一般步骤①如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；②如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；④注意因式分解中的范围：如在有理数范围内分析解因式时x4－4＝(x2＋2)(x2－2)．在实数范围内分解因式时x4－4＝(x2＋2)(x＋2)(x－2)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内分解因式．考点1：整式的运算【例题1】（（2019•湖北武汉•8分）计算：（2x2）3﹣x2•x4．考点2：因式分解【例题2】把4a 2添上1项或2项，使它能够进行因式分解．(1)写出3个且要用三种不同的分解方法；(2)若要求能进行2步或2步以上分解，如何添加？请写出一个即可．考点3：整式的综合运用【例题3】)嘉淇准备完成题目：化简：(x 2＋6x＋8)－(6x＋5x 2＋2)．发现系数“”印刷不清楚．(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x 2＋6x＋8)－(6x＋5x 2＋2)；(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？一、选择题：1.（2019•湖南株洲•3分）下列各式中，与3x 2y 3是同类项的是（）A．2x 5B．3x 3y 2C．﹣x 2y 3D．﹣y 52.（四川乐山，4，3分）下列等式一定成立的是()．A ．2m+3n=5mnB ．(m 3)2=m 6C ．m 2·m 3=m 6D ．(m-n)2=m 2-n 23.（2019•湖南株洲•3分）下列各选项中因式分解正确的是（）A．x 2﹣1＝（x﹣1）2B．a 3﹣2a 2+a＝a 2（a﹣2）C．﹣2y 2+4y＝﹣2y（y+2）D．m 2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）24.（2018•宁波）在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2．当AD﹣AB=2时，S 2﹣S 1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b5.（2018•绍兴）下面是一位同学做的四道题：①（a+b）2=a2+b2，②（﹣2a2）2=﹣4a4，③a5÷a3=a2，④a3•a4=a12．其中做对的一道题的序号是（）A．①B．②C．③D．④二、填空题：6.（2019•湖南怀化•4分）当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于．7.（2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是5．8.（2019•湖北十堰•3分）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝．9.2019•河北•4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3＝7则（1）用含x的式子表示m＝；（2）当y＝﹣2时，n的值为．三、解答题：10.老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：(1)求所捂的二次三项式；(2)若x＝6＋1，求所捂二次三项式的值．11.（2018•邵阳）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=．12.在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”(1)若小明同学心里想的是数5，请帮他计算出最后结果；(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等．”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a(a≠0)，请你帮小明完成这个验证过程．13.如图，已知大正方形的边长为a＋b＋c，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc ＋2ac.当大正方形的边长为a＋b＋c＋d时，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd.一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．根据以上结论解决下列问题：(1)若a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，则ab＋bc＋ac＝11；(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．14.如图，已知大正方形的边长为a＋b＋c，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc ＋2ac.当大正方形的边长为a＋b＋c＋d时，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab ＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd.一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．根据以上结论解决下列问题：(1)若a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，则ab＋bc＋ac＝11；(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．。
2023广东中考数学专题课件第3讲 代数式、整式与因式分解
(2)再考虑运用公式法;
(1)a3b－ab＝ab(a＋1)(a－1);
(3)分解因式必须进行到每一 (2)3ax2＋6axy＋3ay2＝
个多项式因式都不能再分解 3a(x＋y)2 .
为止,简记为一“提”、二“套”、
三“检查”.
·数学
代数式与代数式求值
1.(2022吉林)篮球队要购买10个篮球,每个篮球m元,共需要 10m 元.(用含m的代数式表示)
实得:
分
·数学
8.(2022常州)计算:m4÷m2＝ m2 . 9.(2022包头)若一个多项式加上3xy＋2y2－8,结果得 2xy＋3y2－5,则这个多项式为 y2－xy＋3 .
·数学
10.(2022广西)先化简,再求值:(x＋y)(x－y)＋(xy2－2xy)÷x,其 中x＝1,y＝12. 解:原式＝x2－y2＋y2－2y＝x2－2y. 当x＝1,y＝12时,原式＝12－2×12＝0.
教材拓展
·数学
27. (人教8上P112拓广探索变式) (运算能力、几何直观、推 理能力、应用意识、创新意识)已知矩形的面积为3,是否存在 周长为10的矩形?设矩形的长和宽分别为x,y. (1)求x,y满足的关系式,并回答题中的问题; (2)面积为定值a(a＞0)的矩形有多少个?
·数学
解:(1)∵矩形的面积为3,∴x,y满足的关系式为xy＝3. ∵(x－y)2＝x2＋y2－2xy≥0,∴x2＋y2≥6, ∴x2＋y2＋2xy≥12,∴x＋y≥2 3. ∵矩形的周长为2(x＋y),∴2(x＋y)≥4 3. ∵10≥4 3,∴存在周长为10的矩形. (2)∵矩形的面积为xy＝a,即y＝ax, ∴面积为定值a(a＞0)的矩形有无数个.
6.
·数学
《整式的乘法与因式分解》(原卷版)
2022-2023学年人教版数学八年级上册章节考点精讲精练第14章《整式的乘法与因式分解》知识点01：幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.m n ，m n ，n a m n ，m n 知识互联网知识导航5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.细节剖析:公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.知识点02：整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.细节剖析:运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：知识点03：乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.细节剖析:在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相()010.a a =≠mc mb ma c b a m ++=++)(c b a m ,,,()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++22()()a b a b a b +-=-a b ，反项”的平方.2. 完全平方公式：；两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.细节剖析:公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.知识点04：因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 细节剖析:落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次.考点01：单项式乘多项式1．（2022秋•福州月考）若计算（3x 2+2ax +1）•（﹣3x ）﹣4x 2的结果中不含有x 2项，则a 的值为（ ） A ．2B ．0C ．﹣D ．﹣2．（2022秋•商水县月考）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣4xy （3y ﹣2x ﹣3）＝﹣12xy 2□+12xy ，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（ ） A ．+8x 2yB ．﹣8x 2yC ．+8xyD ．﹣8xy 23．（2021秋•沐川县期末）已知A 是多项式，若A ×2xy ＝x 2y 2﹣2x 2y ﹣3xy 2，则A ＝ ．4．（2019秋•闵行区校级月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题：﹣3xy （4y ﹣2x ﹣1）＝﹣12xy 2+6x 2y +□，□的地方被墨水弄污了，你认为□处应填写 ．()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-考点提优练5．（2021秋•廉江市期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy（1）求所捂的多项式；（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．考点02：多项式乘多项式6．（2022秋•铁西区校级月考）若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（）A．m＝﹣5，n＝1 B．m＝﹣5，n＝﹣1 C．m＝5，n＝1 D．m＝5，n＝﹣17．（2022春•雁塔区校级期中）已知（x2+ax）（x2﹣2x+b）的乘积中不含x3和x2项，那么b﹣a＝（）A．﹣2 B．2 C．0 D．48．（2022春•温州期中）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为3a+2b，宽为a+b的长方形，需要B类卡片（）张．A．3 B．4 C．5 D．69．（2022春•通川区期末）已知（x﹣m）（x2﹣2x+n）展开后得到多项式为x3﹣（m+2）x2+x+5，则n2+4m2的值为．10．（2022春•和平区校级月考）已知4x＝10，25y＝10，则（x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣1）的值为．11．（2022春•雅安期末）已知x≠1．观察下列等式：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；…（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n﹣1）＝；（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝；②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝．（3）判断2100+299+298+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．12．（2022春•全椒县期末）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：（1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）；（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；（3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，S1+S2＝20，p+q＝6．求图中阴影部分的面积．考点03：同底数幂的除法13．（2022秋•渝中区校级月考）下列运算正确的是（）A．（x3）2＝x5B．3x2+2x2＝5x4C．x8÷x2＝x6D．（2xy）2＝2x2y214．（2022秋•兰考县月考）下列运算不正确的是（）A．a2•a3＝a5B．a5÷a＝a4C．a4﹣2a4＝﹣a4D．（﹣a2）3＝﹣a515．（2021秋•淮阳区期末）已知25a•52b＝5b，4b÷4a＝4，则代数式a2+b2值是．16．（2022春•东台市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×的值是．17．（2021春•毕节市期中）（1）已知3×9m×27m＝311，求m的值．（2）已知2a＝3，4b＝5，8c＝5，求8a+c﹣2b的值．18．（2021春•海州区校级期中）尝试解决下列有关幂的问题：（1）若9×27x＝317，求x的值；（2）已知a x＝﹣2，a y＝3，求a3x﹣2y的值；（3）若x＝×25m+×5m+，y＝×25m+5m+1，请比较x与y的大小．考点04：完全平方公式19．（2022春•北碚区校级期中）设a＝x﹣2020，b＝x﹣2022，c＝x﹣2021，若a2+b2＝56，则c2＝（）A．27 B．24 C．22 D．2020．（2022秋•工业园区校级月考）若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣11，则A、B的大小关系为（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B21．（2022春•汉寿县期末）若x+y＝3，xy＝﹣5，则（x﹣y）2＝．22．（2022春•莱西市期中）小淇将（2018x+2019）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2019x﹣2018）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为．23．（2022春•招远市期末）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．（1）请你检验这个等式的正确性；（2）若a＝2020，b＝2021，c＝2022，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？考点05：完全平方公式的几何背景24．（2022春•碑林区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（）A．28 B．29 C．30 D．3125．（2022春•钱塘区期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝．26．（2022春•皇姑区校级期中）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；（2）观察图2写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；（3）若mn＝﹣3，m﹣n＝5，则：①（m+n）2的值为；②m2+n2的值为；③m4+n4的值为．考点06：平方差公式27．（2022春•新城区校级期中）下列等式成立的是（）A．（﹣x﹣1）（﹣x﹣1）＝x2﹣2x+1B．（﹣x+1）（﹣x+1）＝﹣x2﹣2x+1C．（1+x）（﹣x+1）＝1﹣x2D．（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝﹣x2﹣128．（2021秋•望城区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：7＝7×1＝（4+3）×（4﹣3）＝42﹣32，7就是一个智慧数，8＝4×2＝（3+1）×（3﹣1）＝32﹣12，8也是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．202429．（2022春•铁岭期中）若a2﹣b2＝﹣72，a﹣b＝12，则a+b的值为．30．（2021秋•如皋市期中）小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝．31．（2022春•莲池区期末）阅读理解：我们知道，（a+b）2＝a2+2ab+b2，①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，②①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．所以．利用上面乘法公式的变形有时能简化计算，例如：．发现运用：根据阅读解答问题（1）利用上面乘法公式的变形填空：101×99＝（）2﹣（）2．（2）利用上面乘法公式的变形计算：9.2×10.8．（3）根据平方差公式可得：（m+2）（m﹣2）＝m2﹣22，请利用上面乘法公式的变形验证此等式成立．考点07：平方差公式的几何背景32．（2021秋•台江区期中）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（）A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2） 2＝a2+4a+433．（2020秋•丛台区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是．34．（2019秋•奈曼旗期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将剩下的阴影部分沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为．35．（2022春•潍坊期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．（1）上述操作能验证的等式是．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2﹣ab＝a（a﹣b）（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，求x+2y．②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．考点08：提公因式法与公式法的综合运用36．（2021春•滦州市期末）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）37．（2012春•揭西县校级期中）下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个38．（2022秋•岳麓区校级月考）把ab3﹣9ab分解因式的结果是．39．（2022•本溪模拟）把多项式ax2﹣4ay2分解因式的结果是．40．（2022春•江干区校级期中）（1）解方程组：．（2）因式分解①a2﹣6ab+9b2．②a2b﹣16b．考点09：因式分解-十字相乘法等41．（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣542．（2019秋•天心区校级月考）把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）43．（2022春•酒泉期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2+7x+12＝；（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是．44．（2021秋•顺城区期末）因式分解：（1）（a﹣b）2+4ab；（2）（m﹣4）（m+1）+3m．45．（2020秋•沂南县期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．。
第3节 代数式、整式与因式分解
整式的运算(2023.8，北部湾5年5考)
例1 (2023广西)下列计算正确的是( B ) A．a3＋a4＝a7 B．a3·a4＝a7 C．a4÷a3＝a7 D．(a3)4＝a7
(2024广西模拟)下列运算错误的是( C ) A．－3(a－b)＝－3a＋3b B．3xy2－xy2＝2xy2 C．(a＋b)2＝a2＋b2 D．(－mn3)2＝m2n6
(2024南宁一模)先化简，再求值：[(x＋2y)2－(x＋2y)(x－2y)]÷4y，其中x ＝1，y＝－1.
解：原式＝[x2＋4xy＋4y2－(x2－4y2)]÷4y＝(x2＋4xy＋4y2－x2＋4y2)÷4y＝(4xy ＋8y2)÷4y＝x＋2y，
当x＝1，y＝－1时，原式＝1＋2×(－1)＝－1.
例2 (2022北部湾)先化简，再求值：(x＋y)(x－y)＋(xy2－2xy)÷x，其中x＝1，y＝12 . 【规范答题】
解：原式＝__x_2－__y_2_＋__y_2_－__2_y_(去括号)
＝__x_2_－__2_y__(合并同类项) 当x＝1，y＝12 时，原式＝1_2－__2_×_12__＝__0_____．(代入求值)
(4)乘法公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝㉖____a_2－__b_．2 几何背景：
完全平方公式：(a＋b)2＝㉗_____a_2＋__2_a_b_＋__b__2 __．(a－b)2＝㉘__a_2_－__2_a_b_＋__b_2___． 几何背景：
4．整式的除法 (1)单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，结果作为商的因式，对于只 在 被 除 式 里 含 有 的 字 母 ， 则 连 同 它 的 指 数 作 为 商 的 一 个 因 式 ． 如 4a2b ÷ 2a ＝ (4÷2)·a2－1·b＝2ab. (2)多项式除以单项式：先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 如(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m＝a＋b. 5．整式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左 到右的顺序进行计算．
《整式及因式分解》课件
通过因式分解，可以 将复杂的整式化为简 单的形式，便于理解 和计算。
因式分解是整式的一 个重要组成部分，是 整式运算的基础。
整式与因式分解的区别
整式是由数字和字母通过有限 次的四则运算得到的代数式， 其重点在于运算。
因式分解则是将一个多项式化 为几个整式的积，其重点在于 对多项式的拆分和重组。
总结词：巩 固基础
列举
整式的乘除 运算。
简单的因式 分解。
整式的加减 运算。
代数式的化 简。
进阶练习题
总结词：提升解题技巧
01
02
列举
多项式的乘法与因式分解结合。
03
04
提取公因式法。
公式法分解因式。
05
06
因式分解在方程中的应用。
综合练习题
总结词：检验综合能力
列举
01
02
利用因式分解解决复杂代数问 题。
总结词
列举因式分解的常用方法
详细描述
因式分解的方法有多种，其中最常用的是提公因式法、十字相乘法、分组分解法等。提公因式法是提取多项式的 公因式，然后对剩余部分进行因式分解；十字相乘法是通过尝试不同的组合，使得中间项能够与两边项相乘得到 常数项；分组分解法则是将多项式分组，然后分别进行因式分解。
因式分解的应用
《整式及因式分解》 ppt课件
目录
• 整式 • 因式分解 • 整式与因式分解的关系 • 整式及因式分解的练习题
01
整式
整式的定义
整式是由常数、变量、加、减、 乘、乘方等运算组成的代数式。
整式中，除数不能含有字母，否 则称为分式。
整式可以看作是多项式的特殊情 况，即项数有限且各项次数均为
特训03 因式分解压轴题(原卷版)2023-2024学年七年级数学上册同步讲义全优学案(沪教版)
特训03因式分解压轴题一、解答题1．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m ，n 的式子表示）．方法1：__________________________________________________．方法2：__________________________________________________．(2)若640a b ab +-+-=，求()2a b -的值．(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：2232m mn n ++=______．2．观察下列各式，解答问题：第1个等式：22213-=；第2个等式：22325-=；第3个等式：22437-=；…第n 个等式：______．（n 为整数，且1n ≥）【尝试】(1)根据以上规律，写出第4个等式：______；【发现】(2)根据这个规律写出你猜想的第n 个等式，并说明其正确性；【应用】(3)利用以上规律，直接写出2220232022-的值为______．(4)利用以上规律，求357197+++⋅⋅⋅+的值．3．如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．(1)S =甲_______，S =乙__________（用含a 、b 的代数式分别表示）；(2)利用（1）的结果，说明2a 、2b 、()()a b a b +-的等量关系：(3)应用所得的公式计算：22222111111111123499100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋯-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4)如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明2()a b +、2()a b -、ab 三者的等量关系．4．方法探究：已知二次多项式2421x x --，我们把3x =-代入多项式，发现24210x x --=，由此可以推断多项式中有因式（x ＋3）．设另一个因式为（x ＋k ），多项式可以表示成()()24213x x x x k --=++，则有()2242133x x x k x k --=+++，因为对应项的系数是对应相等的，即34k +=-，解得7k =-，因此多项式分解因式得：()()242137x x x x --=+-．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．问题解决：(1)对于二次多项式24x -，我们把x ＝代入该式，会发现240x -=成立；(2)对于三次多项式3233x x x --+，我们把x ＝1代入多项式，发现32330x x x --+=，由此可以推断多项式中有因式（1x -），设另一个因式为（2x ax b ++），多项式可以表示成()()322331x x x x x ax b --+=-++，试求出题目中a ，b 的值；(3)对于多项式324318x x x +--，用“试根法”分解因式．5．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．(1)探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a 的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为()<b b a 的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵BC a =，AB a b =-，CF b =，∴长方体①的体积为()ab a b -．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a -b =6，ab =2，求33a b -的值．(6)类比以上探究，尝试因式分解：33+a b =．6．阅读下列材料：材料1：将一个形如x ²＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n 则可以把x ²＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（x ＋n ），如：（1）x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；（2）x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）．材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1，解：将“x ＋y 看成一个整体，令x+y ＝A ，则原式＝A ²＋2A ＋1＝（A ＋1）²，再将“A ”还原得：原式＝（x ＋y ＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x 2＋2x ﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x ﹣y ）²﹣8（x ﹣y ）＋16；②分解因式：m （m ﹣2）（m ²﹣2m ﹣2）﹣37．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到222()2a b a ab b +=++（1）写出由图2所表示的数学等式：_________________；（2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：________________；（3）已知实数,,a b c 满足2221,1a b c a b c ++=++=．求：①ab bc ca ++的值；②3333a b c abc ++-的值．8．阅读以下内容解答下列问题．七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题：（1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是．（2）对于多项式x 3﹣5x 2+x+10，我们把x ＝2代入此多项式，发现x ＝2能使多项式x 3﹣5x 2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x 3﹣5x 2+x+10中有因式（x ﹣2），【注：把x ＝a 代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x ﹣a ）】，于是我们可以把多项式写成：x 3﹣5x 2+x+10＝（x ﹣2）（x 2+mx+n ），分别求出m 、n 后再代入x 3﹣5x 2+x+10＝（x ﹣2）（x 2+mx+n ），就可以把多项式x 3﹣5x 2+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”．①求式子中m 、n 的值；②用“试根法”分解多项式x 3+5x 2+8x+4．9．阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如22ax bxy cy ++的关于x ，y 的二次三项式来说，方法的关键是将2x 项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积，即12a a a =∙，将2y 项系数c 分解成两个因式1c ，2c 的积，即12c c c =∙，并使1221a c a c +正好等于xy 项的系数b ，那么可以直接写成结果：221221()()ax bxy cy a x c y a y c y ++=++例：分解因式：2228x xy y --解：如图1，其中111=⨯，8(4)2-=-⨯，而21(4)12-=⨯-+⨯所以2228(4)(2)x xy y x y x y --=-+而对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成fk 乘积作为第三列，如果mq np b +=，mk nj d +=，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py f nx qy k =++++例：分解因式222332x xy y x y +-+++解：如图3，其中111=⨯，3(1)3-=-⨯，212=⨯而2131(1)=⨯+⨯-，1(1)231=-⨯+⨯，31211=⨯+⨯所以222332(1)(32)x xy y x y x y x y +-+++=-+++请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①2263342x xy y -+=．②22261915x xy y x y --++-=．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718340x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．10．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：()()()()2111111x x x x x x x x x +++++=++++⎡⎤⎣⎦()()()23111x x x =++=+.（1）上述分解因式的方法是______，共应用了______次；（2）若分解()()()220141111x x x x x x x ++++++++ ，则需应用上述方法______次，结果是______；（3）分解因式：()()()21111n x x x x x x x ++++++++ .（n 为正整数）11．若一个整数能表示成a 2＋b 2（a 、b 是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”。
03整式与因式分解
２． 整式的运算法则: ( １)整式的加减法:①去括号;②合并同类项． ( ２)整式的乘法:同底数幂相乘: ( m , n都是正整数)． ( ３)幂的乘方: ( m , n都是正整数)． ( ４)积的乘方: ( n是正整数)． ( ５)平方差公式:( a＋b )( a－b )＝ ． ( ６)完全平方公式:① , ② ． ( ７)整式的除法: ( m , n都是正整数, a≠０).
第3课 整式与因式分解
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a(a+1) x ( y＋３)( y－3)
A
B
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ末页
1
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考
点
梳
理
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知识点一 代数式及其求值 １． 代数式:用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子 叫做代数式.单独的一个数或一个字母也 是 代数式． ２． 用数值代替代数式中的 字母 ,按照代数式指明的运算, 计算出结果,叫做代数式求值． 知识点二 整式的概念
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典
暴风教育·中新动向
例
解
读
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考点一：
代数式的表示 。
１.( ２０１７咸宁)由于受H７N９禽流感的影响,我市某城区今 年２月份鸡的价格比１月份下降a ％,３月份比２月份下降 b％, 已知１月份鸡的价格为２４元/千克,设３月份鸡的价格为m元/
千克,则( D )
A． m＝24(1－ a％－ b％) C． m ＝24－ a％－ b％ B． m ＝24( 1－ a％)b％ D． m ＝24( 1－ a％)( 1－b％)
分析：根据下降率模型即可列出对应的式子,注意单位“ １”.
课题2整式与因式分解(可编辑Word)
课题2整式与因式分解（可编辑Word）A组基础题组一、选择题1.(2021福州中考)计算a·a-1的结果为( )A.-1B.0C.1D.-a2.(2021石家庄正定模拟)以下运算正确的选项是( )A.a4·a3=a12B.2a(3a-1)=6a3-1C.(3a2)2=6a4D.2a+3a=5a3.(2021保定一模)以下各因式分解正确的选项是( )A.(x-1)2=x2+2x+1B.x2+2x-1=(x-1)2C.x3-9x=x(x+3)(x-3)D.-x2+(-2)2=(x-2)(x+2)4.(2021河北三模)以下计算中,结果是a6的是( )A.a2+a4B.a2·a3C.a12÷a2D.(a2)35.(2021保定徐水模拟)以下运算正确的选项是( )A.5a2+3a2=8a4B.a3·a4=a123=4C.(a+2b)2=a2+4b2D.√646.(2021河北中考)用一根长为a(单位:cm)的铁丝,首尾相接围成一个正方形.要将它按以下图的方式向外等距扩1(单位:cm),失掉新的正方形,那么这根铁丝需添加( )A.4 cmB.8 cmC.(a+4) cmD.(a+8) cm7.(2021保定高阳模拟)a,b,c是三角形的三边,那么代数式(a-b)2-c2的值( )A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定8.(2021石家庄赵县模拟)假定ab=-3,a-2b=5,那么a2b-2ab2的值是( )A.-15B.15C.2D.-8二、填空题9.(2021保定博野一模)分解因式:x3y-2x2y+xy= .10.(2021河北中考)假定a,b互为相反数,那么a2-b2= .11.(2021黑龙江大庆中考)分解因式:x3-4x= .12.(2021唐山古冶一模)a-b=3,那么1-a+b的值为.13.(2021张家口模拟)计算:3a3·a2-2a7÷a2= .14.(2021石家庄模拟)假定a2=a+2,那么2a2-2a+2 017的值为.三、解答题15.(2021沧州模拟)先化简,再求值:[(a+b)2-(a-b)2]·a,其中a=-1,b=5.16.(2021沧州海兴模拟)M=7x m+kx2-4x+2,N=x2+2nx+8都是关于x的多项式,假设M与N的差是一个关于x的三次三项式,并且二次项系数为1,求m+n-k的值.17.(2021定州模拟)某餐厅中1张餐桌可坐6人,有以下两种摆放方式:(1)关于第一种方式,4张桌子拼在一同可坐多少人?n张桌子拼在一同可坐多少人?(2)关于第二种方式,4张桌子拼在一同可坐多少人?n张桌子拼在一同可坐多少人?(3)该餐厅有40张这样的长方形桌子,按第二种方式每4张拼成一张大桌子,那么40张桌子可拼成10张大桌子,共可坐多少人?B 组 提升题组一、选择题1.(2021河北中考)2×2×…×2⏞ m 个23+3+…+3⏟ n 个3=( ) A.2m 3n B.2m 3n C.2m n 3 D.m 23n 2.(2021保定博野一模)以下运算正确的选项是( )A.x 3+x 3=2x 6B.(-x 5)4=x 20C.x m ·x n =x mnD.x 8÷x 2=x 43.(2021保定博野一模)以下图形都是由异样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中图①中一共有6个小圆圈,图②中一共有9个小圆圈,图③中一共有12个小圆圈,……,按此规律陈列,那么第7个图形中小圆圈的个数为( )A.21B.24C.27D.30二、填空题4.(2021邢台一模)假定x 2+x-1=(x +12)2+a,那么a= .5.某天数学课上,教员讲了整式的加减运算,小红回到家后拿出自己的课堂笔记,仔细温习教员在课堂上所讲的内容,她突然发现一道标题:(2a 2+3ab-b 2)-(-3a 2+ab+5b 2)=5a 2,空着的中央看不清了,所缺的内容是 .6.(2021沧州南皮三模)假定(x-1)2=2,那么代数式x 2-2x+5的值为 .三、解答题7.(2021山东莘县期末)A=x 2+ax,B=2bx 2-4x-1,且多项式2A+B 的值与字母x 的取值有关,求a,b 的值.8.(2021河北模拟)当一个多位数的位数为偶数时,在其中间拔出一位数k(0≤k≤9,且k 为整数)失掉一个新数,我们把这个新数称为原数的关联数.如:435 729中间拔出数字6可得435 729的一个关联数 4 356 729,其中435 729=729+435×1 000,4 356 729=729+6×1 000+435×10 000.请阅读以上资料,处置以下效果.(1)现有一个4位数2 316,中间拔出数字m(0≤m≤9,且m 为3的倍数),得其关联数,求证:所得的2 316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除;(2)假定一个三位关联数是原来两位数的9倍,请找出满足这样的三位关联数. 答案精解精析A 组 基础题组一、选择题1.C a·a -1=a 1-1=a 0=1,应选C.2.D A.a 4·a 3=a 7,错误;B.2a(3a-1)=6a 2-2a,错误;C.(3a 2)2=9a 4,错误;D.2a+3a=5a,正确.应选D.3.C A.(x-1)2=x 2-2x+1,错误;B.x 2+2x-1无法分解因式,错误;C.x 3-9x=x(x+3)(x-3),正确;D.-x 2+(-2)2=-(x-2)(x+2),错误.应选C.4.D a 2与a 4不是同类项,不能兼并,选项A 不契合;a 2·a 3=a 2+3=a 5,选项B 不契合;a12÷a2=a12-2=a10,选项C不契合;(a2)3=a2×3=a6,应选D.5.D 5a2+3a2=8a2,故A选项错误;a3·a4=a7,故B选项错误;(a+2b)2=a2+4ab+4b2,故C选项错误;易知D选项正确.6.B 依据题意,可得新正方形的边长为(a4+2) cm,那么这根铁丝需添加4·(a4+2)-a=8 cm,应选B.7.B ∵(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c),a,b,c是三角形的三边,∴a+c-b>0,a-b-c<0,∴(a-b)2-c2的值是正数.8.A ∵ab=-3,a-2b=5,∴a2b-2ab2=ab(a-2b)=-3×5=-15,应选A.二、填空题9.答案xy(x-1)2解析原式=xy(x2-2x+1)=xy(x-1)2.10.0 11.x(x+2)(x-2) 12.-2 13.a514.答案 2 021解析∵a2=a+2,∴a2-a=2,∴2a2-2a+2 017=2(a2-a)+2 017=2×2+2 017=2 021.三、解答题15.解析[(a+b)2-(a-b)2]·a=(a2+2ab+b2-a2+2ab-b2)·a=4ab·a=4a2b.当a=-1,b=5时,原式=4×(-1)2×5=20.16.解析M-N=(7x m+kx2-4x+2)-(x2+2nx+8)=7x m+(k-1)x2-(2n+4)x-6.由该多项式的次数为3,得m=3.由该多项式的二次项系数为1,得k-1=1,解得k=2.由该多项式有三项,得2n+4=0,解得n=-2.∴m+n-k=3+(-2)-2=-1.17.解析(1)一张桌子可坐6人,每添加一张桌子添加4人,4张桌子可以坐18人,有n张桌子时可坐6+4(n-1)=(4n+2)人.(2)一张桌子可坐6人,每添加一张桌子添加2人,4张桌子可以坐12人,有n张桌子时可坐6+2(n-1)=(2n+4)人.(3)∵4张桌子可以坐12人,∴40张桌子拼成的10张大桌子一共可坐12×10=120人.B组提升题组一、选择题1.B2.B3.B 观察题图知,图①中有3+3×1=6个小圆圈,图②中有3+3×2=9个小圆圈,图③中有3+3×3=12个小圆圈,……,∴第n个图形中有3+3n=3(n+1)个小圆圈,当n=7时,3×(7+1)=24,应选B.二、填空题4.-545.+2ab6.答案 6解析∵(x-1)2=2,∴x2-2x+1=2,∴x2-2x=1,两边都加上5,得x2-2x+5=1+5=6.三、解答题7.解析∵A=x2+ax,B=2bx2-4x-1,∴2A+B=2(x2+ax)+(2bx2-4x-1)=2x2+2ax+2bx2-4x-1=(2+2b)x2+(2a-4)x-1,由多项式2A+B的值与x取值有关,失掉2+2b=0,2a-4=0,解得a=2,b=-1.8.解析(1)证明:∵这个4位数的前两位为23,后两位为16,∴2 316的关联数是23m16.将关联数与原数10倍相减得:m·102-9×16.∵m和9均为3的倍数,∴关联数与原数10倍的差一定能被3整除.(2)设原数为10a+b,其关联数为100a+10m+b,∵关联数是原数的9倍.∴100a+10m+b=9×(10a+b).∴5a+5m=4b.∴5(a+m)=4b.∵b,m为整数,a为正整数,且a,b,m均为一位数,∴b=5,a+m=4.∴a=1,m=3;a=2,m=2;a=3,m=1;a=4,m=0.∴满足条件的三位关联数为135、225、315和405.。
第3课 整式与因式分解
成一项，叫做 合并同类项．
系数 不变
合并同类项的法则：把同类项
________相加，所得
的结果作为系数，字母和字母的指 ________．
知识梳理
考点一 整式的相关概念
1数．为（_1_）__2单_5a；2项x 式
-22x32y2
5
的-4系数为______，
5
3
（2） _____；-m2n2
12的系四数为___四___，次数
知识梳理
考点一 整式的相关概念 5．多项式的项、常数项、次数：
在多项式常中数，项每个单项式叫做多项 式的项．其中，
不含字母的项叫做 _________．多项式 中次数最高的 相同 多项项式的有次几数项就，是这个系多数项式的次数．一个
知识梳理
考点一 整式的相关概念
7．合并同类项：把多项式中的同类项合并
幂，等于这
个数的 n 次幂的倒数，相即加a-n＝______ (a≠0，n 为
正整数) ．
知识梳理
考点三 幂的运算
4．幂的乘方
相乘
幂的乘方，底数不变，指数________．
即：(am)n＝amn (m，n 均为整数)．
5．积的乘方
积
积的乘方等于各因数乘方的________．
即：(ab)n＝anbn (n 为整相数减)．
18．计算：
2x2+xy-y2
知识梳理
考点五 乘法公式 1．平方差公式：(a＋b)(aa2－－bb)2＝________
2．完全平a方2＋公2式ab：＋b2 (a＋b)2a＝2－__2_a_b_＋__b_2______；
(a－b)2＝______________．
知识梳理
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第03讲整式及其因式分解
1．代数式及求值
(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；
(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；
(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值．
2．整式及有关概念
(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式；
(2)多项式：由几个组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做_；
(3)整式：单项式和多项式统称为整式；
(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．
4．整式的运算
(1)整式的加减
整式加减的实质是合并同类项．把多项式中同类项的系数相加，合并为一项，叫做合并同类项，其法则是：几个同类项相加，把它们的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的___不变．
(2)整式的乘法
①单项式×单项式：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式；
②单项式×多项式：m(a＋b)＝ma＋mb；
③多项式×多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd；
④乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__ _；
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
(3)整式的除法
①单项式÷单项式：将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；
②多项式÷单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 5．因式分解
(1)定义：把一个多项式化成几个_ 的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法互为逆变形． (2)因式分解的方法 ①提取公因式法：
ma ＋mb －mc ＝m(a ＋b －c)．
公因式的确定：⎩⎪⎨⎪
⎧系数：取各项系数的最大公约数字母：取各项相同的字母指数：取各相同字母的最低次数
(3)因式分解的一般步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；
②如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；
④注意因式分解中的范围：如在有理数范围内分析解因式时x 4－4＝(x 2＋2)(x 2－2)．在实数范围内分解因式时x 4－4＝(x 2＋2)(x ＋2)(x －2)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内分解因式．
考点1： 整式的运算
【例题1】（（2019•湖北武汉•8分）计算：（2x 2）3﹣x 2•x 4．
考点2：因式分解
【例题2】把4a2添上1项或2项，使它能够进行因式分解．
(1)写出3个且要用三种不同的分解方法；
(2)若要求能进行2步或2步以上分解，如何添加？请写出一个即可．
考点3：整式的综合运用
【例题3】)嘉淇准备完成题目：化简：(x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数“”印刷不清楚．
(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？
一、选择题：
1. （2019•湖南株洲•3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（）
A．2x5B．3x3y2C．﹣x2y3D．﹣y5
2. （四川乐山，4，3分）下列等式一定成立的是( )．
A．2m+3n=5mn B．(m3)2=m6 C．m2·m3=m6 D．(m-n)2=m2-n2
3. （2019•湖南株洲•3分）下列各选项中因式分解正确的是（）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
4. （2018•宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）
A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b
5. （2018•绍兴）下面是一位同学做的四道题：①（a+b）2=a2+b2，②（﹣2a2）2=﹣4a4，③a5÷a3=a2，④a3•a4=a12．其中做对的一道题的序号是（）
A．①B．②C．③D．④
二、填空题：
6. （2019•湖南怀化•4分）当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于．
7. （2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是．
8. （2019•湖北十堰•3分）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝．
9. 2019•河北•4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即4+3＝7
则（1）用含x的式子表示m＝；
（2）当y＝﹣2时，n的值为．
三、解答题：
10. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：
(1)求所捂的二次三项式；
(2)若x＝6＋1，求所捂二次三项式的值．
11. （2018•邵阳）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=．
12. 在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”
(1)若小明同学心里想的是数5，请帮他计算出最后结果；
(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等．”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a(a≠0)，请你帮小明完成这个验证过程．
13. 如图，已知大正方形的边长为a＋b＋c，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc ＋2ac.当大正方形的边长为a＋b＋c＋d时，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab ＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd.一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．根据以上结论解决下列问题：
(1)若a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，则ab＋bc＋ac＝11；
(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．。