第03讲 整式及其因式分解(原卷版)

第03讲整式及其因式分解

1．代数式及求值

(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；

(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；

(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值．

2．整式及有关概念

(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式；

(2)多项式：由几个组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做_；

(3)整式：单项式和多项式统称为整式；

(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．

4．整式的运算

(1)整式的加减

整式加减的实质是合并同类项．把多项式中同类项的系数相加，合并为一项，叫做合并同类项，其法则是：几个同类项相加，把它们的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的___不变．

(2)整式的乘法

①单项式×单项式：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式；

②单项式×多项式：m(a＋b)＝ma＋mb；

③多项式×多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd；

④乘法公式

平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__ _；

完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2

(3)整式的除法

①单项式÷单项式：将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

②多项式÷单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 5．因式分解

(1)定义：把一个多项式化成几个_ 的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法互为逆变形． (2)因式分解的方法 ①提取公因式法：

ma ＋mb －mc ＝m(a ＋b －c)．

公因式的确定：⎩⎪⎨⎪

⎧系数：取各项系数的最大公约数字母：取各项相同的字母指数：取各相同字母的最低次数

(3)因式分解的一般步骤

①如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；

②如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；

③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；

④注意因式分解中的范围：如在有理数范围内分析解因式时x 4－4＝(x 2＋2)(x 2－2)．在实数范围内分解因式时x 4－4＝(x 2＋2)(x ＋2)(x －2)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内分解因式．

考点1： 整式的运算

【例题1】（（2019•湖北武汉•8分）计算：（2x 2）3﹣x 2•x 4．

考点2：因式分解

【例题2】把4a2添上1项或2项，使它能够进行因式分解．

(1)写出3个且要用三种不同的分解方法；

(2)若要求能进行2步或2步以上分解，如何添加？请写出一个即可．

考点3：整式的综合运用

【例题3】)嘉淇准备完成题目：化简：(x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数“”印刷不清楚．

(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；

(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？

一、选择题：

1. （2019•湖南株洲•3分）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（）

A．2x5B．3x3y2C．﹣x2y3D．﹣y5

2. （四川乐山，4，3分）下列等式一定成立的是( )．

A．2m+3n=5mn B．(m3)2=m6 C．m2·m3=m6 D．(m-n)2=m2-n2

3. （2019•湖南株洲•3分）下列各选项中因式分解正确的是（）

A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）

C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2

4. （2018•宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（）

A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b

5. （2018•绍兴）下面是一位同学做的四道题：①（a+b）2=a2+b2，②（﹣2a2）2=﹣4a4，③a5÷a3=a2，④a3•a4=a12．其中做对的一道题的序号是（）

A．①B．②C．③D．④

二、填空题：

6. （2019•湖南怀化•4分）当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于．

7. （2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是．

8. （2019•湖北十堰•3分）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝．

9. 2019•河北•4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．

示例：即4+3＝7

则（1）用含x的式子表示m＝；

（2）当y＝﹣2时，n的值为．