线性代数二次型及其标准形

所以 r(B) r(A)
注：合同仍然是一种等价关系
ann xn2
称为n维(或n元)的二次型.
关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！
例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在 1,1,0 中取值的标准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。(注：这里规范形要求系数为1的项排
在前面，其次排系数为-1的项。)
目的：对给定的二次型
n
f x1, x2 , , xn aij xi x j (1)
i, j1
找可逆的线性变换(坐标变换)：
第六章 二次型及其标准型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准型 §6.3 正定二次型与正定矩阵
§6.1 二次型及其标准形
引言 判别下面方程的几何图形是什么？
2x2 3xy y2 10 (1)
作旋转变换
x cos( )x~ sin( )~y
y
sin(
)
x~
cos(
) ~y
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 L a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn L an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
第六章 二次型及其标准型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准型 §6.3 正定二次型与正定矩阵
一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 设
若
简记 当C 是可逆矩阵时, 称
为可逆线性变换。
对于二次型，我们讨论的主要问题是：
为什么研究可逆 的变换？
寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn
x2c21
y1
c22 y2 c2n yn
( 其中C (cij ) 可逆 )
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
代入(1)式，使之成为标准形
f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称上面过程为化二次型为标准形。
n
即二次型 f X T AX aij xi x j i , j1
经过可逆线性变换 X CY
使得 f k1 y12 k2 y22
即经过可逆线性变换X CY
kn yn2
可化为 f X T AX (CY )T A(CY ) Y T (CT AC)Y
令B CT AC , B diag(k1, k2, , kn )
( x1, x2 ,L
,
xnபைடு நூலகம்
)
a21
x1
M
a22
x2
L
a2n xn
an1 x1 an2 x2 L ann xn
a11 a12 L
( x1, x2 ,L
,
xn
)
a21 M
a22
L
an1
an2
L
a1n x1
a2n
x2
M
ann
xn
a11 a12 L
令
A
,
6
代入(1)左边，化为：
见下图
5 x~2 1 ~y 2 10 x~2 ~y 2 1
22
4 20
y
~y
x x~
定义 含有n个变量 x1, x2 , , xn 的二次齐次函数
f x1, x2, , xn a11x12 2a12x1x2 2a1n x1xn
a22x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn
例如：二次型 f ( x1, x2 , x3 ) x12 3x32 4x1x2 x2 x3
1 -2 0 x1
(
x1
,
x2
,
x3
)
-2 0
0 1/2
1/2 -3
x2 x3
注：二次型
对称矩阵
定义2： 二次型 f X T AX 把对称矩阵 A 称为二次型 f 的矩阵 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩
a21
a22
L
M
an1
an2
L
a1n
a2n
ann
x1
X
x2
M
xn
则 f X T AX
二次型的矩阵表示（重点）
其中 A 为对称矩阵。
注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。
2、其对角线上的元素 aii 恰好是 x2i i 1,2, , n
的系数。
3、 xi x j 的系数的一半分给 a ji. 可保证 aij a ji.
矩阵的合同：两个 n 阶方阵A、B,若存在可逆矩阵 C, 使得 B CT AC,则称 A 合同于 B.
记作 A ; B
定理 证明
设A为对称矩阵，且A与B合同，则
(1) B CT AC 仍是对称矩阵 (2) r(B) r( A)
(1) BT (CT AC)T CT AT (CT )T CT AC B (2) B CT AC 因为C可逆
例1 写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。
1 2 3 x1
f ( x1, x2 , x3 ) [ x1, x2 , x3 ]4
5
6
x2
xT
Bx
7 8 9 x3
解 f x12 5 x22 9 x33 6 x1 x2 10x1 x3 14x2 x3
1 3 5 x1
x1(a11 x1 a12 x2 L a1n xn )
二次型用和号表示
n
aij xi x j i , j1
x2 (a21 x1 a22 x2 L a2n xn )
L xn (an1 x1 an2 x2 L ann xn )
a11 x1 a12 x2 L a1n xn
[ x1, x2 , x3 ]3
5
7
x2
xT
Ax
5 7 9 x3
r( f ) r( A) 2
问： 在二次型 f xT Ax 中,如不限制 A对称, A唯一吗?
定义 只含平方项的二次型 f k1 x12 k2 x22 kn xn2
k1 [ x1, , xn ]
x1
kn xn