2020年高中物理竞赛-量子力学-波函数：一维谐振子(共22张PPT)
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2020年高中物理竞赛-量子力学-波函数：态叠加原理、薛定谔方程(共25张PPT)
§2.3 薛定谔方程
➢ 因为有波函数统计解释,因此概率流守恒定律自动 包含在薛定谔方程中
§2.3 薛定谔方程
§2.3 薛定谔方程
➢ 为什么
而与t无关?
§2.3 薛定谔方程
➢ 定态U=U(r), 不显含t
§2.3 薛定谔方程
=> 几率流密度变不变?
§2.3 薛定谔方程
➢ 本征值方程
§2.3 薛定谔方程
2020高中物理学 奥林匹克竞赛
量子力学 （基础版）
§2.2 态叠加原理
➢ 波叠加 经典 合成的波中有各种成分 相干性 量子 相干性 新特点
§2.2 态叠加原理
新特点 • 可能性和概率 • 干涉项的概率性 • 是粒子运动状态概率波自身的干涉,不是不同
粒子之间的干涉
§2.2 态叠加原理
➢ 波叠加原理的表述 a)如果
§2.3 薛定谔方程
➢ 量子力学
• 进入方பைடு நூலகம்式,体现微观世界的特点(量子化) • ->0,过渡到牛顿方程
§2.3 薛定谔方程
➢ 建立方程的启示 自由粒子
已知解=>方程式(不唯一)
§2.3 薛定谔方程
➢ 已知解=>方程式(不唯一)
§2.3 薛定谔方程
一般情况:
§2.3 薛定谔方程
➢ 说明: a)波动力学的基本假定,表征量子体系特征的量h
是可能态
则
也是一个可能态
b)在 中,体系出现
的几率是
➢ 讨论 a)
§2.2 态叠加原理
b)光子偏整态:Malus定律
§2.2 态叠加原理
➢ 讨论
但任何时候观测到的都是一整个光子,
而不是
个光子
2020高中物理竞赛-量子力学-波函数：一维方势阱(共24张PPT)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(1)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(2)
§2.4 一维方势阱
➢ 思考题: 半壁无限势阱时的解如何?
结论:无论Ua^2取何值,都有解(见下一页图)
一维方势阱偶宇称能谱图
§2.4 一维方势阱
b)奇宇称 波函数为sin(kx)
结论:当
时才有解(见下一页图)
一维方势阱奇宇称能谱图
§2.4 一维方势阱
c)当势场趋于无穷时,回到一维无限深势阱的特例
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(2)
2020高中物理学 奥林匹克竞赛
量子力学 （基础版）
§2.4 一维方势阱
➢ 一维无限深势阱
§2.4 一维方势阱
➢ 一维无限深势阱§2.来自 一维方势阱➢ 一维无限深势阱
§2.4 一维方势阱
➢ 一维无限深势阱
一维方势阱波函数图象
一维方势阱波函数图象
§2.4 一维方势阱
➢ 思考题:
• 将势能为零的区间放大或者缩小一倍(分是足 够缓慢的变还是突变两种情况)时,波函数和能 级怎么变?
• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
§2.4 一维方势阱
➢ 一维方势阱
§2.4 一维方势阱
a)偶宇称 波函数为 cos(kx)
关键:用
在
连续以代替波函数
以及导数的连续.好处在于去掉波函数中常数的影响
§2.4 一维方势阱
2020年江苏南师附中高中物理竞赛辅导课件18量子物理基础
身体健康，学习进步！ 活着一天，就是有福气，就该珍惜。当我哭泣我没有鞋子穿的时候，却发现有人没有脚。
说一句谎话，要编造十句谎话来弥补，何苦呢？
人一生中会遇到不顺心的事，会碰到不顺眼的人，如果你不学会原谅，就会活得痛苦，活得累。原谅是一种风度，是一种情怀，它像一把伞， 帮助你在雨季里行路。学会原谅，快乐至上。 知识好像砂石下的泉水，掘得越深，泉水越清。 我这一生就只有两样不会，那就是这也不会那也不会！ 用伤害别人的手段来掩饰自己缺点的人，是可耻的。 自古皆有死，民无信不立。——《论语·颜渊》 接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿 名不正，则言不顺；言不顺，则事不成。——《论语·子路》 受惠的人，必须把那恩惠常藏心底，但是施恩的人则不可记住它。--西塞罗
再由标准条件可求得其它5个系数
讨论： 在粒子总能量低于势垒壁高时，粒 子有一定的概率穿过势垒
----隧道效应
2(x)Bk2xe B 'e k2x
E
1(x)Ai1 k xeA 'e i1 k x
0
3(x)Ceik1x
a
x
贯穿势垒的概率(贯穿系数)为:
T
3(a) 2
A2
~e2
2m(U0E)a
势垒加宽(a增大)或增高(U0增大)， 则T减小
考虑 U0 E 的情况
令 则
k1d2d2x212m2kE121k2202m(U02E)
d22
dx2
k222
0
d23
dx2
k123
0
可得：
1(x)Ai1 k x e A 'e i1 k x
2(x)Bk2xe B 'e k2x
3(x)Ci1 k x eC 'ei1 k x
2020年物理竞赛—量子力学A版—第二章 波函数和方程 波方程(共35张PPT) 课件
一维情况：
x x ( x) x( x)dx
F 是任一 力学量 算符
px px
(
x)
pˆ
x
(
x
)dx
F F ( x)Fˆ( x)dx
三
维
情
况
x ： p
x x px
(r) x(r)dr
(r) pˆ x (r)dr
F
F
(r)Fˆ(r)dr
若波函数未归一化，则
3．方程不能包含状态参量，如 p, E 等，否则方程只能 被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。
（二）自由粒子运动方程
描写自由粒子波函数:
A
exp
i
(
p•
r
Et )
应是所要建立的方程的解。
将上式对 t 微商，得：
i E
i E
t
t
（1）
这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。将Ψ对坐标二次 微商，得：
t
2
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
i d （）d 2 •[ ]d
dt
2
d （）d i •[ ]d
dt
2
其微分形式与 流体力学中连 续性方程的形
式相同
d dt
(r ,
t
)d
• Jd
•J
0
t
闭区域τ
使用 Gauss 定理
J
i [ ]
上找到粒 子的总几 率在单位
2020高中物理竞赛
• 量子力学 • 第二章 第二课时
§3 力学量的平均值和算符的引进
（一）力学量平均值
（1）坐标平均值
（2）动量平均值
24%20一维谐振子ppt
1 2n,
n 0,1,2,
(7)
时，才有一个多项式解，记为 Hn ，上述要 求就是对谐振子的能量 E 有一定限制，即
n n 1 2 , n 1, 2,
此即谐振子的能量本征值
2.4 一维谐振子
(8)
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 利用正交性公式（附录A3，式（12））
(15)
π
2.4
一维谐振子
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 下面讨论一下基态。 首先，基态能量为
0 2
(16)
它并不为零，称为零点能。 其次，处于基态的谐振子在空间概率分布为
0 x
2
a a2 x2 e π
(17)
这是一个Gauss分布，在原点（x=0）处找到 粒子的概率最大。由于粒子能量 0 2 ,
m x n x dx δmn
一维谐振子
2.4
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 最低的三条能级上的谐振子波函数如下:
0 x
a π
1 4
e
a2 x2
2
(13)
1 x
2 x
2a π
1
1 4
1
axe
a2 x2
2
(14)
4
a2 x2 a 2 2 2 2 a x 1 e 2
2.4 一维谐振子
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 不难算出在经典禁区
x a1 的概率为
e
1
2
d
e
0
2
d 16%
(18)
2.4
一维谐振子
n 0,1,2,
(7)
时，才有一个多项式解，记为 Hn ，上述要 求就是对谐振子的能量 E 有一定限制，即
n n 1 2 , n 1, 2,
此即谐振子的能量本征值
2.4 一维谐振子
(8)
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 利用正交性公式（附录A3，式（12））
(15)
π
2.4
一维谐振子
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 下面讨论一下基态。 首先，基态能量为
0 2
(16)
它并不为零，称为零点能。 其次，处于基态的谐振子在空间概率分布为
0 x
2
a a2 x2 e π
(17)
这是一个Gauss分布，在原点（x=0）处找到 粒子的概率最大。由于粒子能量 0 2 ,
m x n x dx δmn
一维谐振子
2.4
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 最低的三条能级上的谐振子波函数如下:
0 x
a π
1 4
e
a2 x2
2
(13)
1 x
2 x
2a π
1
1 4
1
axe
a2 x2
2
(14)
4
a2 x2 a 2 2 2 2 a x 1 e 2
2.4 一维谐振子
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 不难算出在经典禁区
x a1 的概率为
e
1
2
d
e
0
2
d 16%
(18)
2.4
一维谐振子
高中物理奥林匹克竞赛专题——量子力学课件(共546张PPT)
（三）Compton 散射 -光的粒子性的进一步证实。
（1） Compton 效应
X--射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。该效应有如下 2 个特点：
1 散射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一 个新的波长为λ'的X光， 且λ' >λ；
2 波长增量 Δλ=λ’ –λ 随散射角增大而增大。这一现象 称为 Compton 效应。
光电效应的两个典型特点的解释
• 1. 临界频率v0
1 V 2 h A
2
2. 光电子动能只决定于光 子的频率
上式亦表明光电子的能量只与光的频率 v 有关，光的强度只决定光子 的数目，从而决定光电子的数目。这样一来，经典理论不能解释的光电效应得到 了正确的说明。
由上式明显看出，能打出电子的光子的最小能量是光电子 V = 0 时由
该式所决定，即
hv -A = 0，
v0 = A / h ， 可见，
（2）光电效应
光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。 这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有 两个突出的特点：
•1.临界频率v0 只有当光的频率大于某一定值v0 时， 才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论 光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的 这一频率v0称为临界频率。
§1 经典物理学的困难
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种尺度的力 学客体体的运动，将其用于分子运动上，气体分子运动论， 取得有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明 电子的行为类似于一个牛顿粒子。
2020年江苏南师附中高中物理竞赛辅导课件18量子物理基础 (共11张PPT)
THE END 祝大家竞赛顺利、学业有成
谢谢观看！
19 、清风拂过脸霞，是什么将忧愁带来心扉。 3 、上有天，下有地，中间站着你自己，做一天人，尽一天人事儿。 12 、每天给自己一个微笑，因为微笑会把悲伤赶走。 2 、了解一个人需要的不是时间，而是彼此撤去心防。 9 、挫折其实就是迈向成功所应缴的学费。 4 、时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。 9 、人生就像一个大舞台，每个人都有自己所要扮演的角色。至于要表演甚么角色，自己去决定。 13 、在黑暗中迷途的人，只有拥有自信，才能走出黑暗。 14 、我不会对谁都善良，人心换人心，是人都懂得道理。 20 、只有登上山顶，才能看到那边的风光。 4 、哲人无忧，智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了，而是所拥有的一切他都爱。 8 、生活本没有导演，但我们每个人都像演员一样，为了合乎剧情而认真地表演着。 18 、世界上没有做不到的事，只有不想做的事。 14 、好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要和朋友一起分享。 11 、当你跌入谷底的时候，不要绝望，抬起头，你会看见一片灿烂的星空。 11 、人生就像一场乘车旅行，指不定在哪儿就会翻车。 17 、良心无愧信心无畏，恒心无敌青春无悔。 18 、我们的事业是正义的，我们的团结是坚强的。 13 、你最痛苦的时候，窗外有小鸟在快乐地歌唱;你最快乐的时候，有人正受着病魔的折磨，和死亡搏斗，挣扎。 16 、最清晰的脚印留在最泥泞的路上。
2020年
高中物理学奥林匹克竞赛
考前辅导
2020 江苏南京
1
§18-9 一维势垒 谐振子
一.一维势垒 隧道效应 粒子在x方向运动，势能分布为
U
U(x)0U,0,x00,xxaa U 0
2020年高中物理竞赛辅导课件★★第15章 量子力学基础(PPT)
15-2 光的量子性电效应
一、光电效应 爱因斯坦方程的实验规律
光电效应 光照射到金属表面时， 有电子从金属表面逸出的现象。
光电子 逸出的电子。
光电子由K飞向A，回路中 形成光电流。
AK
OO
OO
OO
G
V R
OO
实验规律
光电效应伏安特性曲线
1、单位时间内从阴极逸出 的光电子数与入射光的强
饱 和
Is2
量按波长的分布随温度而不同的电磁辐射
单色辐射本领（单色辐出度）
波长为的单色辐射本领是指单位时间内从物 体的单位面积上发出的波长在附近单位波长间隔
所辐射的能量。
M (T ) W / m3
如果一个物体能全部吸收投射在 它上面的辐射而无反射，这种物 体称为绝对黑体，简称黑体。
BB ( T )
(μm) 0 1 2 3 4 5 6
m
峰值波长
射度最大值向短波方向移动。
二、普朗克量子假设
MB ( T )
实验值
紫
外 灾
难
维恩
MB ( T ) C34T
瑞利--金斯
M B
(T
)
C e 5
C2 T
1
01 2 3 4 5
67
89
( m )
普朗克得到了黑体辐射公式：
M B ( T ) 2hc 2 5
1
hc
e kT 1
c ——光速 k ——玻尔兹曼恒量
1、若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量 传给电子, 光子的能量减少，因此波长变长，频率 变低。
2、若光子和内层电子相碰撞时，碰撞前后光子能 量几乎不变，故波长有不变的成分。
3、因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关，所以 波长改变和散射角有关。
高二物理竞赛课件：量子力学(共15张PPT)
质子的质量比电子的质量大的多，在氢原子 中可近似认为质子静止而电子运动，因此电子 的能量就代表整个氢原子的能量。电子受质子 的库仑力作用，势能函数为
U(r) e2 和方向无关
4 0r
在以质子的位置为原点的直角坐标系中，电 子的能量本征方程为
2 2
2m
x 2
2 y2
2 z2
U
(r
)
发射一个光子，其频率满足: h En Em
相应的波数(波长的倒数)
~nm
En Em hc
1 R( m2
1 n2 )
将氢原子能级公式代入,首次算出里德伯常数
R
me e 4
8
2 0
h3
c
1.0973731534107 m1
玻尔的贡献 1) 揭开了近30年的“巴耳末公式之迷” 2) 首次打开了人们认识原子结构的大门 3) 定态假设和频率假设在原子结构和分子 结构的现代理论中仍是重要概念 4) 为量子力学的建立奠定了基础。但他的
量子力学
说明：
① n=1——基态
n>1——激发态
② En<0 物理意义：电子处于束缚态！ ③ 电离能：使原子电离所需的最小能量
E电离=E∞－En=－En
氢原子
n=1, 电离能为 13.6 eV
n=2, 电离能为 3.39 eV
n=3, 电离能为 1.51 eV
氢原子光谱线的波数公式
当原子从较高能态 En向较低能态 Em 跃迁时，
玻尔假设：L n, n 1,2 •玻尔的量子化概念是正
l 0,1,2,(n 1) 确的，但条件需修正。
称为角量子数 角动量是量子化的
这改动虽不大，但却是原则 性的改动。 •经典力学中，角动量不能
U(r) e2 和方向无关
4 0r
在以质子的位置为原点的直角坐标系中，电 子的能量本征方程为
2 2
2m
x 2
2 y2
2 z2
U
(r
)
发射一个光子，其频率满足: h En Em
相应的波数(波长的倒数)
~nm
En Em hc
1 R( m2
1 n2 )
将氢原子能级公式代入,首次算出里德伯常数
R
me e 4
8
2 0
h3
c
1.0973731534107 m1
玻尔的贡献 1) 揭开了近30年的“巴耳末公式之迷” 2) 首次打开了人们认识原子结构的大门 3) 定态假设和频率假设在原子结构和分子 结构的现代理论中仍是重要概念 4) 为量子力学的建立奠定了基础。但他的
量子力学
说明：
① n=1——基态
n>1——激发态
② En<0 物理意义：电子处于束缚态！ ③ 电离能：使原子电离所需的最小能量
E电离=E∞－En=－En
氢原子
n=1, 电离能为 13.6 eV
n=2, 电离能为 3.39 eV
n=3, 电离能为 1.51 eV
氢原子光谱线的波数公式
当原子从较高能态 En向较低能态 Em 跃迁时，
玻尔假设：L n, n 1,2 •玻尔的量子化概念是正
l 0,1,2,(n 1) 确的，但条件需修正。
称为角量子数 角动量是量子化的
这改动虽不大，但却是原则 性的改动。 •经典力学中，角动量不能
2020年江苏南师附中高中物理竞赛辅导课件18量子物理基础(L一维势垒 谐振子) (共11张PPT)
2 d23
2mdx2
E3
考虑 U0 E的情况
令 则
k1d2d2x212m2kE121k2202m(U 02E)
d22
dx2
k222
0
d23
dx2
k123
0
可得：
1 (x ) A i1 k x e A 'e i1 k x
2 (x ) B k 2 x e B 'e k 2 x
3 (x ) C i1 k xe C 'e i1 k x
正向传播
负向传播
因 3 为透射波，无反射波，故C’=0
再由标准条件可求得其它5个系数
讨论： 在粒子总能量低于势垒壁高时，粒 子有一定的概率穿过势垒
----隧道效应 2 (x ) B k 2 x e B 'e k 2 x
E
1 (x ) A i1 k x e A 'e i1 k x
0
3(x)Ciek1x
线性谐振子的 n3 能量是量子化的 n2
U
7 2 5 2
能级均匀分布 n1
3 2
，能隙为h
n0
2
0x
最小能量为(1/2)h
THE END 祝大家竞赛顺利、学业有成
谢谢观看！
a
x
贯穿势垒的概率(贯穿系数)为:
T
3(a)
A2
2
2
~e
2m(U0E)a
势垒加宽(a增大)或增高(U0增大)， 则T减小
二.谐振子
一维谐振子的势能为
U 1 k x21m2x2
U
22
其中 k m
薛定谔方程为
0x
d d2 2x 2 m 2：
E n(n1 2) n0,1 ,
2020年湖北华科附中高中物理竞赛辅导课件(23量子力学基础)B波函数 (共16张PPT)
ka n
则
k
n
a
(n 1,2,3,L )
En
k 2h2 2m
n2
2h2
2ma2
(n 1,2,3L )
方程的解为
(
x)
Asin
n
a
x
(n 1,2,3,L )
17
(x)
Asin
n
a
x
(n 1,2,3,L )
式中的A 可由归一化条件确定：
( x) 2dx
1
即
a
0
A2
sin2
(
n
a
x)dx
1
A2
则
d2( x)
dx2
k
2
(
x)
0
16
d2( x)
dx2
k2
(
x
)
0
通 解
(
x)
Asinkx
Bcoskx
由边界条件得
(0)0 Asin(0) Bcos(0) 0 (1)
(a)0 Asin(ka) Bcos(ka) 0 (2)
由(1)式可得 B 0 ( x) Asinkx
由(2)式可得 Asinka 0 sinka 0
2
h
(
Et
prrr
)
——自由粒子德布 罗意波的波函数
9
二、 波函数的统计解释
用波函数完全描述微观粒子的量子状态是
量子力学的基本假设之一。
波函数模的平方 | (r,t)|2 代表 t 时刻 ，在 r处
粒子出现的几率密度。
t 时刻粒子出现在 r附近dV体积内的几率为：
|
r (r ,
t
)
量子力学一维谐振子(课堂PPT)
证 实 ， 这 纯 属 量 子 效 应 ， 是 由 于 微 观 粒 子 具 有 波 粒 二 象 性 所 导
致 的 。
.
15
2.波 函 数 n(x)和 几 率 密 度 n2 ：
0
02
n0
n0
线
线
x
性
1
谐
n 1
振 子
x
波
函
2
数 n2
x性
12
谐 振
n 1
子
位
x置
概
22
率
n2 密
度
x x
.
16
( 1 ) n （ n 0 , 1 , 2 , . . . ） 有 n 个 节 点 。 (2)宇称为(1)n ：
H()ddH e2/2
d d 2 2 H ()2 d d H 2H ()d d 2 H 2 e 2/2
.
9
代入方(4)程 得u()所满足的方程
d d2 H 22d dH (1)H ()0--------3
这就是所H谓 er的 m方 ite程。
0为方程的常点 0， 邻可 域在 用幂
数展开。 计算表明，一般情解 况为 下无穷级数。 当| |时，() ~e2 ,不能满足有界条件
所以归一化波函数为
n(x) 2 nn ! 1 /2( 1 )ne2x2/2d (dn x)ne 2x2
.
13
最常用的几个态：
n0，基态
E0
1 2
，
n 1,
第一激 0(x发)态 E11/223e122x，2
（偶宇称）
1(x) 2
1/2
12x2
xe2
（ 奇 宇 称 ）
n 2,2第 (x) 二2激 发1/2态 (2 E22.x2 521)e，1 22x2
9 一维线性谐振子ppt
( x) an n ( x)
n
展开系数
m ( x) ( x)dx m ( x) an n ( x)dx an m ( x) n ( x)dx n n
an mn am
n
C.一维谐振子每一个能量的本征值对应有一个本 征函数，即能级是不简并的。 D.坐标算符或动量算符作用于本征函数 上，结果 是 1
2 d 2 1 ˆ H m 2 x 2 2m dx 2 2
ˆ H 不显含时间，是谐振子的能量算符。
• 9.2求解定态Schrodinger方程 ˆ H ( x) E ( x) • 即 • A). 取 B) 定义无量纲能量、无量纲坐标
E
2 d 2 1 ( m 2 x 2 ) ( x) E ( x) 2m dx 2 2 1 d2 ( 2 x 2 ) ( x) E ( x) m 1 得 2 dx
1 1 2 2 7 3 3 3 ( x) 1 4 (2 x 3 x) exp( x ) E3 2 2 3
量子力学概率与经典概率的比较
兰线是经典概率 密度 红线是量子概率密度
谐振子势能曲线和概率密度分布
• 9.4本征值和本征函数的数学性质 • A.能量本征值取分立值，即谐振子的能量是量
n 0,1,2,....
• 本征函数和对应的本征值举例
1 2 2 0 ( x) 1 4 exp( x ), 2 2 1 2 2 1 ( x) 1 4 x exp( x ) 2
1 E0 2 3 E1 2 5 E2 2
1 1 2 2 2 2 2 ( x) 1 4 (2 x 1) exp( x ) 2 2
n
展开系数
m ( x) ( x)dx m ( x) an n ( x)dx an m ( x) n ( x)dx n n
an mn am
n
C.一维谐振子每一个能量的本征值对应有一个本 征函数，即能级是不简并的。 D.坐标算符或动量算符作用于本征函数 上，结果 是 1
2 d 2 1 ˆ H m 2 x 2 2m dx 2 2
ˆ H 不显含时间，是谐振子的能量算符。
• 9.2求解定态Schrodinger方程 ˆ H ( x) E ( x) • 即 • A). 取 B) 定义无量纲能量、无量纲坐标
E
2 d 2 1 ( m 2 x 2 ) ( x) E ( x) 2m dx 2 2 1 d2 ( 2 x 2 ) ( x) E ( x) m 1 得 2 dx
1 1 2 2 7 3 3 3 ( x) 1 4 (2 x 3 x) exp( x ) E3 2 2 3
量子力学概率与经典概率的比较
兰线是经典概率 密度 红线是量子概率密度
谐振子势能曲线和概率密度分布
• 9.4本征值和本征函数的数学性质 • A.能量本征值取分立值，即谐振子的能量是量
n 0,1,2,....
• 本征函数和对应的本征值举例
1 2 2 0 ( x) 1 4 exp( x ), 2 2 1 2 2 1 ( x) 1 4 x exp( x ) 2
1 E0 2 3 E1 2 5 E2 2
1 1 2 2 2 2 2 ( x) 1 4 (2 x 1) exp( x ) 2 2
2020年高中物理竞赛—量子物理篇(进阶版)19-8波函数、薛定谔方程、一维势阱(共45张PPT)
n =2 n =1
ax 0
x a 33
例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒
子的状态为 多次测量其能量。问
每次可能测到的值和相应概率？ 能量的平均值？ 解：已知无限深势阱中粒子的
（下一页 ） 34
则
多次测量能量(可能测到的值) 概率各1/2
能量的平均值
（下一页 ） 35
势垒贯穿（隧道效应）
在经典力学中,若
（一）、一维无限深势阱中的粒子
质量为m的粒子只能在 0<x<a 的区域内自由运动， 势能函数为：
V
(
x)
0
(0 x a) (x 0 或 x a)
V (x ) 8 8
定态薛定谔方程为：
2 d2
2m dx 2
E
(0 x a)
当 x < 0和 x > a 时，(x) 0
x=0 x=a
（下一页 ） 26
2m
——这就是定态薛定谔方程
定态: 能量取确定值的状态
定态波函数
(
r,
t
)
(
r)e
i Et
2
(r )
2
与时间无关
（下一页） 20
定义能量算符,动量算符和坐标算符
例：能量、动量和坐标算符对沿x方向传播自由
平面波波函数
的作用
（下一页） 21
利用对应关系得“算符关系等式” • 把“算符关系等式”作用在波函数上得到 三维情况：
求解定态薛定谔方程
2 2m
d2
dx 2
E
(0 x a)
d2 (x) 2mE (x) 0 (0 x a)
dx 2
2
令 k 2mE 2
ax 0
x a 33
例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒
子的状态为 多次测量其能量。问
每次可能测到的值和相应概率？ 能量的平均值？ 解：已知无限深势阱中粒子的
（下一页 ） 34
则
多次测量能量(可能测到的值) 概率各1/2
能量的平均值
（下一页 ） 35
势垒贯穿（隧道效应）
在经典力学中,若
（一）、一维无限深势阱中的粒子
质量为m的粒子只能在 0<x<a 的区域内自由运动， 势能函数为：
V
(
x)
0
(0 x a) (x 0 或 x a)
V (x ) 8 8
定态薛定谔方程为：
2 d2
2m dx 2
E
(0 x a)
当 x < 0和 x > a 时，(x) 0
x=0 x=a
（下一页 ） 26
2m
——这就是定态薛定谔方程
定态: 能量取确定值的状态
定态波函数
(
r,
t
)
(
r)e
i Et
2
(r )
2
与时间无关
（下一页） 20
定义能量算符,动量算符和坐标算符
例：能量、动量和坐标算符对沿x方向传播自由
平面波波函数
的作用
（下一页） 21
利用对应关系得“算符关系等式” • 把“算符关系等式”作用在波函数上得到 三维情况：
求解定态薛定谔方程
2 2m
d2
dx 2
E
(0 x a)
d2 (x) 2mE (x) 0 (0 x a)
dx 2
2
令 k 2mE 2
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n 0,1,2,
H
n
2
n
nn
12
n2
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1n
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3
2
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1 2
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{ n
2
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n 1/ 2
(n为偶数)
n为奇数
En
n
1 2
n 0,1,2,
En1 En
E0
1 2
1 2x2
n x Nne 2 Hn x
Nn
2020高中物理学 奥林匹克竞赛
量子力学 （基础版）
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 物理上: • 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 • 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 • 辐射场简谐波的叠加 • 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) • 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) • 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
1/
2 2n
n!
1/
2
§2.5 一维谐振子
厄米多项式的讨论 • 别名 • 母系(母函数) • 仇家(正交性)
§2.5 一维谐振子
厄米多项式的讨论 • 兄弟姊妹(递推关系) • 对称性 • 节点
§2.5 一维谐振子
最低阶的几个厄米多项式及谐振子波函数
§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 数学上: • 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 • 通过数学,看物理
§2.5 一维谐振子
§2.5 一维谐振子
➢ 求解1D Schrodinger Eq with harmonic oscillator
无量纲化 • 优点 • 单位在物理学上并不重要,重要的是一些无量
纲数 • 可使方程的系数变得最简单
§2.5 一维谐振子
§2.5 一维谐振子
“抓两头,带中间” • 抓两头:看方程在两边边界上的渐进行为
(三维:0点与无穷远点,一维:正负无穷远点) • 带中间:使函数在两头有与渐近行为相同的形
式
§2.5 一维谐振子
使之变成关于H的方程式关系
• 看解在无穷远处的渐近行为,”斩断魔爪”,无 限求和截断为有限的多项式,从而得到能谱及 解
• 求出波函数=>归一化
H a a 1 2 2a 1a 0
a 2
2
1
1
2
a
a 2 2
av e 2 1 2 4 2
2! ! 1!
2 2
2n 1