20102011学年第一学期徐州市高二数学期末考试理科试题及答案

20102011学年第一学期徐州市高二数学期末考试理科试题及答案江苏省徐州市2010－2011学年度第一学期期末考试高二数学(理)试题一、填空题：本大题共14小题，每题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．抛物线24y x =的焦点坐标是 ▲ ． 2．命题“2,10x x ∀∈>R +”的否定是 ▲ ．3．过点()3,2A 且与直线210x y -+=平行的直线方程是 ▲ ．4．已知直线1l ：230x my ++=与直线2l ：310x y --=相互垂直，则实数m 等于 ▲ ．5．已知正四棱柱的底面边长是3，侧面的对角线长是35 为 ▲ ．6．已知点()8,6A -与圆22:25C x y =+，P 是圆C 上任意一点，则AP 的最小值是 ▲ ．7．已知双曲线1422=-y m x 的一条渐近线方程为x y =，则实数m 等于 ▲ ．8．棱长为1的正方体的外接球的表面积为▲ ．9．曲线()232f x x x =-在1x =处的切线方程为 ▲ ． 10．已知向量()()2,3,2,1,5,1=-=--a b ，则m +a b 与23-a b 相互垂直的充要条件为 ▲ ．11．椭圆()222210x ya b a b=>>+的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过点1F 且垂直于x 轴的弦的弦长等于点1F 到1l的距离，则椭圆的离心率是 ▲ ． 12．设,αβ为两个不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥，则l α⊥；②若,,l m m n αα⊥⊥，则l n ；③若,l αβα⊂，则l β；④若,l l αβ⊥，则αβ⊥．其中正确命题的序号是 ▲ ．13．设F 为抛物线28x y =的焦点，点,,A B C 在此抛物线上，若FA FB FC =++0，则FA FB FC =++ ▲ ． 14．如图，有一块半椭圆形的钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，则梯形ABCD 的面积S 的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知过点()1,4A -的圆的圆心为()3,1C ． ⑴求圆C 的方程；(第14题图)⑵若过点()2,1B -的直线l 被圆C 截得的弦长为45，求直线l 的方程．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，且,E F 分别是,BC CD 的中点．⑴求证：平面PEF ⊥平面PAC ； ⑵求三棱锥P EFC -的体积．17．(本小题满分14分)椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一条直线l 经过点1F 与椭圆交于,A B 两点．⑴求2ABF ∆的周长；⑵若l 的倾斜角为4π，求2ABF ∆的面积．(第16题图)18．(本小题满分16分)某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量()L p 关于行驶速度()km /h v 的函数解析式可以表示为：()3138012012800080p v v v =-+<≤．已知甲、乙两地相距100km ，设汽车的行驶速度为(km /h)x ，从甲地到乙地所需时间为()h t ，耗油量为()L y ． ⑴求函数()t g x =及()y f x =；⑵求当x 为多少时，y 取得最小值,并求出这个最小值．19．(本小题满分16分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC BC =2BD AE ==，M 是AB 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： ⑴求证：CM EM ⊥；⑵求CM 与平面CDE 所成角的大小．20．(本小题满分16分)(第19题图)已知函数()1ln sin g x x x θ=+在[)1,∞+上为增函数，且()0,θ∈π，()f x mx =-()1ln m x m x--∈R ．⑴求θ的值；⑵若函数()()y f x g x =-在[)1,∞+上为单调函数，求实数m 的取值范围；⑶设()2e h x x=，若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得()()()000f x g x h x ->成立，求实数m 的取值范围．江苏省徐州市2010－2011学年度第一学期期末考试高二数学(理)答案与评分标准一、填空题：1．()1,0 2．2,10x x ∃∈R +≤ 3．240x y --= 4．6 5．72 6．5 7．4 8．3π 9．0x y -= 10．171311．12 12．②③④ 13．12 14．2332二、解答题： 15．⑴圆C半径r即为AC，所以()()2213415r AC ==---=+，……………2分所以圆C的方程为()()223125x y --=+． (6)分⑵圆心C到直线l的距离为()225255-=， (8)分当直线l 垂直于x 轴时，方程为2x =，不满足条件，所以直线l 的斜率存在，10分设直线l 的方程为()12y k x =-+，即210kx y k ---=， 由()22312151k k k ---=-+，解得12k =-，所以直线l 的方程为20x y +=．…14分16．⑴连结BD ，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，因为E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以EF BD，所以EF AC⊥，………………………4分 因为PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ， 所以EF PA ⊥，因为PA AC A=，所以PAC EF 平面⊥，因为EF ⊂平面PEF ，所以平面PEF ⊥平面PAC．…………………………8分 ⑵11111123323P EFC EFC V S PA -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=．……………………………………14分17．由椭圆的定义，得12122,2AF AF a BF BF a +=+=，又ABBF AF =+11，所以，2ABF ∆的周长aBF AF AB 422=++=．又因为42=a，所以2=a ，故2ABF ∆点周长为8．………………………………6分⑵由条件，得)0,1(1-F ，因为AB 的倾斜角为4π，所以AB 斜率为1，故直线AB的方程为1+=x y ．………………………………………………………8分由221,1,43y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x，得9672=--y y ， (10)分设),(,),(2211y x B y x A ，解得12362362y y +-=所以，212121112212222277ABF S F F y y ∆=⋅-=⨯⨯=．…………………………14分18．⑴从甲地到乙地汽车的行驶时间为()()1000120t g x x x==<≤，………2分 则()313100812800080y f x pt x x x⎛⎫===-+⋅⎪⎝⎭()2180015012012804x x x =+-<≤．………………………………………8分 ⑵332280080640640x x y x x-'=-=，由0y '=，得80x =，列出下表： x ()0,80 80()80,120 ()f x ' -+()f x↓极小值11.25↑所以，当80x =时，y 取得极小值也是最小值11.25．…………………………15分答：当汽车的行驶速度为80km/h 时，耗油量最少为11.25L ．…………………16分19．⑴分别以,CB CA 所在直线为,x y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz-．…………………………………………2分设AE a =，则()(),,0,0,2,M a a E a a --， 所以()(),,0,,,CM a a EM a a a =-=-，………4分所以()()00CM EM a a a a a ⋅=⨯-⨯⨯-=++，所以CM EM ⊥．…………………………8分⑵()()0,2,,2,0,2CE a a CD a a =-=，设平面CDE 的法向量(),,x y z =n ， 则有20,220,ay az ax az -+=⎧⎨+=⎩即2,,z y x z =⎧⎨=-⎩令1y =，则()2,1,2=-n ，…………………12分21022cos ,23a a CM CM a CM ⨯--⨯⨯⋅===⨯++n n n，…………………14分所以，直线CM 与平面CDE 所成的角为45︒．…………………………………16分20．⑴由题意，()2110sin g x x xθ'=-+≥在[)1,∞+上恒成立，即2sin 10sin x x θθ⋅-⋅≥． 因为()0,θ∈π，所以sin 0θ>，故sin 10x θ⋅-≥在[)1,∞+上恒成立，因为sin 1y x θ=⋅-是增函数，所以只要1sin 10θ⋅-≥，即sin 1θ≥，所以sin 1θ=，因为()0,θ∈π，所以2θπ=．…………………………………3分 ⑵由⑴得，()1ln g x x x =+，所以()()2ln mf xg x mx x x-=--． 令()()()2ln mF x f x g x mx xx=-=--，则()222mx x mF x x -'=+．因为()F x 在其定义域内为单调函数， 所以220mxx m -+≥或者220mxx m -+≤在[)1,∞+上恒成立，…………5分220mx x m -+≥等价于()212m x x +≥，即221xm x +≥在[)1,∞+上恒成立，而22211112xx x x xx==⋅++，当且仅当1x =是等号成立，所以1m ≥．…7分对于220mx x m -+≤在[)1,∞+上恒成立，设()22x mx x mϕ=-+，则①当0m =时，20x -≤在[)1,∞+上恒成立； ②()0,11,1220,m m m ϕ⎧<⎪⎪<⎨⎪⎪=-<⎩解得0m <．所以0m ≤． 综上，m的取值范围是(][),01,-∞∞+．…………………………………………10分⑶设()()()()2e2ln m H x f x g x h x mx x x x=--=---． ①当0m ≤时，因为[]1,x e ∈，所以10m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，且2e2ln 0x x--<，所以()0H x <， 所以在[]1,e 上不存在一个x ，使得()()()000f x g x h x ->成立．…………12分②当0m >时，()222222e 22em mx x m H x m x x x x-'=-=++++，因为[]1,e x ∈，所以2e 20x -≥，又2mx m >+，所以()0H x '>在[]1,e 上恒成立，所以()H x 在[]1,e 上是单调增函数，()()maxe 4emH x H e m ==--． 所以只要e 40e m m -->，解得24e e 1m >-． 故m的取值范围是24e ,e 1⎛⎫∞ ⎪-⎝⎭+．…………………………………………………16分。