现有介质中麦克斯韦方程组的两难问题

现有介质中麦克斯韦方程组的两难问题*张 涛北京师范大学 低能核物理研究所 北京市辐射中心，北京，（100875）taozhang@摘要现有观点认为：麦克斯韦方程组的法拉第电磁感应定律表达式在真空中和介质中具有相同的形式。

这种观点存在问题。

一般认为方程组的电场强度是介质中的宏观平均电场强度。

在方程组的电场强度受介质极化的影响前提下，现有介质中法拉第电磁感应定律表达式不合理，说明这一表达式没有正确地反映介质中的法拉第电磁感应定律。

反之，在方程组的电场强度不受介质极化的影响前提下（与上述前提相反），则现有介质中安培环路定理表达式不合理。

这种两难情况表明：现有介质中麦克斯韦方程组表达式不全正确。

本文工作旨在提供一个深入研究电磁波与介质相互作用相关问题的线索。

关键词：麦克斯韦方程组介质法拉第电磁感应定律安培环路定理1.前言麦克斯韦电磁理论取得巨大成功，导致了电磁波这一重大发现，使得人们对物质世界的认识发生了重大的变革。

真空中麦克斯韦方程组经无数检验证明是正确的。

众所周知，一百多年前，麦克斯韦电磁理论被提出的时候，电子还没有被发现，人们也不知道原子结构，更谈不上后来量子力学理论建立的电子云学说；人们对介质的内部微观结构没有清晰的认识，对电磁波与介质相互作用缺乏全面的了解。

在这种情况下建立的麦克斯韦方程组尽管在真空中是正确的，但它难以全面反映介质对电磁波的作用。

随后的科学发展使人们对介质、原子结构和电磁波特性等有了较深入的认识，但目前采用的介质中的麦克斯韦方程组在本质上仍然是它初始建立时的形式。

电磁波与介质间的相互作用一直是热点问题，此研究领域中新的现象、技术及理论不断出现，从上个世纪早期的光电效应、激光，到后来的光纤通讯、超慢光速、负折射率等。

在某些理论问题上不同观点争论十分激烈。

有些理论与新的实验现象不符。

事实上，由现有介质中麦克斯韦方程组得到的一些推论也存在问题。

比如，由v=(µ0µrε0εr)-1/2和n=c/v=(µrεr)-1/2得出的普遍色散关系的折射率实部有时出现折射率小于1的结果，根据n=c/v=(µrεr)-1/2，对所有介质而言，这意味着某一频率的单色电磁波在介质中的传播速度有时会大于其在真空中的传播速度，此结*本文由北京市科技新星计划（952870400）、教育部优秀青年教师项目、射线束技术与材料改性教育部重点实验室资助.1果与事实不符。

这些说明电磁波与介质间的相互作用是一个复杂的问题，目前我们对电磁波与介质相互作用过程的认识还不十分清楚。

所有这些情形不利于电磁波相关技术的发展。

本文研究了介质中麦克斯韦方程组的不合理性，旨在提供一个深入研究电磁波与介质相互作用相关问题的线索。

为了简明起见，本文仅考虑绝缘均匀介质，且介质处于静止状态。

2.方程组电场与介质有关前提下，方程组的不合理性现有理论认为，无限大绝缘均匀介质中的麦克斯韦方程组为下面的形式0d =⋅∫∫S E , (1)∫∫∫⋅∂∂−=⋅S B l E d d t , (2) 0d =⋅∫∫S B , (3) S E l B d d ∫∫∫⋅∂∂µε=⋅t, (4) 式中B 是介质中的宏观平均磁感应强度，E 是介质中的宏观平均电场强度，µ是磁导率，ε是介电常数。

式（2）是介质中法拉第电磁感应定律表达式, 式（4）是介质中安培环路定理表达式。

作为并列的方程式，式（1）——（4）中的E 应具有同一含义。

一般认为介质中宏观平均电场强度E 与真空中的电场强度E V 是不同的，[1, 2] 真空空间上存在电场强度E V ，当原来是真空的空间上充满介质后，E V 引起介质极化，形成电极化强度P ，P 反过来又影响介质中的宏观电场强度，最终在介质中存在电极化强度P 和宏观平均电场强度E ，E ≠E V ，E 取决于E V 和P , E 与介质的介电性质有关。

[2]法拉第电磁感应定律表达式（2）表示变化的磁场会引发涡旋电场。

现有观点认为：作为麦克斯韦方程组的一个方程式，式（2）在真空中和介质中具有相同的形式。

然而，正如下文所述，这种观点不合理。

设在真空中，由一个截面为圆形的介质条围成的封闭圆环中存在一个变化的磁场B （B 处于真空中）；磁场B 垂直于圆环中心线l 所在平面，且磁场B 的对称轴与圆环的对称轴重合，如图1所示。

这样，在圆环中心线l 所在平面上，磁场B 的分布关于圆环圆心呈中心对 称（比如长直螺线管内可产生这样的磁场）。

先暂时将介质圆环移除，在不存在介质圆环情况下（即在真空中），法拉第电磁感应定律表达式成立，∫∫⋅∂∂−S B d t 在原先介质圆环中心线l 位置处引发的环形电场E V 正比于∫∫⋅∂∂−。

由于对称性，环形电场E S B d t V 的数值在l 上处处一致，每一点上E V 的方向指向l 的切线方向。

现在将介质圆环按图1所示放入，则2环形电场E V 引起介质圆环的电极化，以介质圆环中心线l 上极化强度P 表示。

由于对称性，P 方向与环形电场E V 方向一致，P 的数值在l 上处处一致。

当在某一时间段内∫∫⋅∂∂−S B d t 保持不变时（假设∫∫⋅∂∂−S B d t =常数c , c ≠0），环形电场E V 不随时间变化，从而介质电极化强度P 也不随时间变化，介质中极化电流为0。

因而在此暂时稳定状态下，介质圆环的极化不会影响圆环内的磁场B ，并且仍有∫∫⋅∂∂−S B d t =常数c 。

对不同材质的介质圆环，其电极化能力是不同的；在E V 相同，电极化强度P 不同的情况下，最终在介质圆环中心线l 上形成的宏观平均电场强度E （绝对值）也不同（因为介质电极化强度 P 影响介质中的 E ）。

这样，不同材质的介质在其圆环中心线l 上∫⋅l E l d 的值是各不相同的。

即式（2）的右侧∫∫⋅∂∂−S B d t 不变时，介质的不同会导致式（2）的左侧∫⋅l l E d 有所改变。

可见式（2）在介质中不成立，它仅适用于真空中。

如果将图1的磁场和电场均置于介质中，同样可以说明式（2）在介质中不成立。

因为大多数介质的相对磁导率接近1，对于这样的介质，不同介质中的宏观平均磁场几乎相等，即介质对磁场B 的改变作用不大，而不同介质的相对介电常数一般相差较大，导致不同介质中的E 一般差别较大。

这样，在不同介质中，式（2）右侧一般变化很小，左侧一般变化 3较大，即式（2）的右侧一般不等于左侧。

3.方程组电场与介质无关前提下，方程组的不合理性上面探讨了方程组的电场与介质的介电性质有关前提下，介质中麦克斯韦方程组的不合理性。

与上述观点相反，如果认为介质中麦克斯韦方程组的电场强度E 不受介质影响，或者说介质中的宏观平均电场强度E 等于真空中的电场强度，不妨认为这个电场强度是E V ，将E =E V 代入方程式（1）—（4），介质中的麦克斯韦方程组化为0d V =⋅∫∫S E , (5)∫∫∫⋅∂∂−=⋅S B l E d d Vt , (6)0d =⋅∫∫S B , (7) S E l B d d V ∫∫∫⋅∂∂=⋅tµε, (8) 则式（6）所表达的法拉第电磁感应定律在上一节中构造的介质条件下成立，但这样一来，并列方程式（5）—（8）中式（8）所表达的安培环路定理会出问题。

具体分析如下文。

如图2所示，在平板电容器两极板间，一部分是真空，另一部分是介质。

极板之间距离远小于极板直径，因而在电容中心轴线附近、极板之间的空间上，介质中和真空中的电场是均匀的，电场方向同电容中心轴线方向，与极板面垂直（因为假定电场强度E 不受介质影响，即E 与介质存在与否无关）。

S E d V ⋅∫∫∂∂t 的积分面取为靠近电容中心轴线位置、介质与真空交界处的假想圆柱体的表面，圆柱体两个端面1和2的面积相等。

圆柱体轴线与电容器中心轴线重合，圆柱体两个端面与电场垂直。

圆柱端面1在介质中，圆柱端面2在真空中，并使两个端面尽可能相互贴近，使得圆柱体端面面积远大于其侧面面积。

这样，与圆柱体端面相比，圆柱体侧面对积分S E d V ∫∫⋅∂∂t 的贡献可忽略不计。

积分回路l 是圆柱端面2的边界，处于真空中。

当电容充电时，极板之间的电场发生变化。

将式（8）左侧∫⋅l B d 的积分回路取为图2的l （l 处于真空中）。

式（8）右侧S E d V ∫∫⋅∂∂tµε的积分面有两种选取方法：一种是圆柱端面2，另一种是圆柱侧面+圆柱端面1，见图2。

当积分面选取为圆柱端面2时，积分面和积分回路均在真空中，因此有介电常数=真空介电常数ε0，磁导率=真空磁导率µ0，式（8）变为S E l B d d V 00V ∫∫∫⋅∂∂=⋅t εµ. （9） S 是圆柱端面2的面积，也等于圆柱端面1的面积；B V 是l 上真空中的磁感应强度。

当积分 4面选取为圆柱侧面+圆柱端面1时，圆柱侧面对积分贡献可忽略不计，圆柱端面1（即积分 介质(b)圆柱端面1积分回路l圆柱侧面圆柱端面2圆柱端面2圆柱侧面电容极板圆柱端面1(a)真空介质电容极板 图2 (a)电容器剖面图；(b)积分面和积分回路的局部放大示意图。

面）在介质中，因此有介电常数=介质介电常数ε；积分回路l 不变，仍有磁导率=真空磁导率µ0，式（8）变为S E l B d d V 0V ∫∫∫⋅∂∂=⋅tεµ. （10） 式（10）中的电场强度是E V ，这是因为图1的圆柱体空间上E V 是均匀的，而且前面假定“介质中麦克斯韦方程组的电场强度E 不受介质影响，介质中的电场强度E 等于真空中的电场强度E V ”。

比较式（9）和式（10），注意到圆柱体两个端面1和2的面积相等，有ε=ε0. （11）由于是任意的绝缘均匀介质，式（11）表明任意介质的介电常数等于ε0。

如果式（5）—（10）中电场强度不是E V ，而是取另外一个与介质无关的值，同样可以得到“任意介质的介电常数等于同一个常数”的结果，只不过这个常数不一定是ε0。

此结果显然是不合理的。

这说明：如果认为介质中麦克斯韦方程组的电场强度不受介质影响，则介质中安培环路定理表达式会出问题。

4.结论 在现有的介质中麦克斯韦方程组中，如果认为“电场强度E 受介质的影响”，则介质中法拉第电磁感应定律表达式会出问题；反之，如果认为“电场强度E 不受介质的影响”，则介质中安培环路定理表达式会出问题。

这种两难情况表明：现有的介质中麦克斯韦方程组表达式不完全正确。

现有麦克斯韦方程组的法拉第电磁感应定律表达式 5∫∫∫⋅∂∂−=⋅S B l E d d t 仅适用于真空中，不适用于介质中。

这一表达式没有正确地反映介质中的法拉第电磁感应定律。

参考文献[1]韦丹.材料的电磁基础. 北京: 科学出版社，2005,38-39.[2]贾起民，郑永令，陈暨耀. 电磁学（第2版）. 北京: 高等教育出版社, 2001,443-444, 354.Dilemma of Existing Maxwell’s Equations in MediaZhang TaoBeijing Normal University, Institute of Low Energy Nuclear Physics, Beijing 100875, ChinaAbstractSupposing the electric field intensity in a medium is influenced by the medium, it can be shown that Faraday’s law of induction of the existing Maxwell’s equations in media is not correct. Supposing the electric field intensity in a medium is not influenced by the medium, it can be shown that Ampere circuital theorem of the existing Maxwell’s equations in media is not correct. This dilemma indicates that the existing Maxwell’s equations in media are not correct. They do not reflect Faraday’s law of induction in media properly. This work means to offer a clue to deeply research on interaction between electromagnetic wave and media.Keywords : Maxwell’s Equations, media, Ampere circuital theorem , Faraday’s Law of Induction6。