层次分析法中高阶平均随机一致性指标_RI_的计算

计算机工程与应用 !""!#$!
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例 $： 对 ! 进行评价， 其层次结构如图 $ 所示。 待评目标 ! ， 其辖有一级评价要 素 "$、 同样地， 对 "! 和 "%； 辖 有 二 级 评 价 要 素 #$$、 对 于 "!， 辖有 于 "$ ， #$!、 #$%、 #$& 和 #$’； 二 级 评 价 要 素 #!$、 对 于 "%， 辖 有 二 级 评 价 要 素 #%$、 #!!、 #!%、 #!&；
求得 !7389%#" ， /,9" ； 第二层次下， 对于 "$ 有：
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指标的值一般无法直接通过查表而得， 这一难点阻碍着层次分析法大面积的推广应用 8!:。文章在深刻剖析层次分析法的 基础上， 给出根据平均随机一致性指标的定义计算高阶平均随机一致性指标值的算法， 并且基于 L+&M2L3 环境在 M.(N0+
=#" 下予以程序实现。该算法已成功运用于中国科学院知识创新工程某智能决策系统中。
判断两两比较矩阵的不一致性是否在可以接受的范围内。 一般 认为判断 矩 阵 ! 基 本 符 合 随 机 一 致 性 指 而言， 当 #% !"#$ 时， 标； 当 #% @"#$ 时， 认为判断矩阵 ! 不符合随 机 一 致 性 指 标 ， 必 须进行调整和修正； 求出比较判断矩阵所对应的 !738（ 特征值的最大值） ， 用 （ !） 乘幂法可以得到高精度的值； 乘幂法： （ %） ， 取 #, 的值进行平均计算。 #,.（ !738?&） -（ &?$ ） 乘幂法求解 !738 的理论分析： …， ， 所对应的特 设实方阵 ! 的 ’ 个特征值为 !)（ )9$ ， !， ’）
! %-1 的基本步骤
运用 %-1 方法解决问题， 大体可按如下步骤进行： （ 将问题分解， 建立层次结构； $） 构造两两比较判断矩阵； （ !） （ 由判断矩阵计算比较元素的相对权重； 9） 计算各层元素的组合权重。 （ ;） 现举例说明上述过程。
%-1 对人们的主观判断 加 以 形 式 化 地 表 达 和 处 理 ， 逐 步
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剔除主观性， 从而尽可能地转化成客观描述。 其正确与成功， 取 决于客观成分能否达到足够合理的地步。 由于理论研究的遍历 与工程实现的采样之间总是存在着（ 或大或小， 往往又是巨大 的） 差距， 在借助于判断矩阵计算出相对权重后， 欲克服两两相
基金项目： 中国科学院知识创新工程国防军工方向性重大项目《 大型数字对象应用环境及其并行模拟》 资助 作者简介： 洪志国， 中国科学院软件研究所博士研究生， 专业方向人工智能、 并行模拟。李焱， 中科院研究生院硕士生。范植华， 中科院软件所研究 员， 博士生导师。王勇， 中科院软件所博士后。
矩阵 ! 因所构造出的 矩 阵 具 有 正 互 反 性 ， 故 被 称 为 正 互 反矩阵。 文 献 =$> 得 出 的 $?$’ 阶 重 复 计 算 $""" 次 的 平 均 随 机 一 致 性指标如下：
阶数
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源自文库
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23345 标度 $ % ’ ) + !， &， (， *
相应上述数的倒数
含义 表示待比较的两个因素有相同的重要性 一个因素比另一个因素稍微重要 一个因素比另一个因素明显重要 一个因素比另一个因素强烈重要 一个因素比另一个因素极端重要 因素之间重要性比较在上述描述之间 一个因素比另一个因素不重要的上述描述
世 纪 4" 年 代 由 5026’3 7’’*) 提 出 的 一 种 定 性 问 题 定 量 化 的 涉及军事指挥、 行之有效的方法 。%-1 的应用范围十分广泛，
89:
经济分析和计划、 行为科学、 管理信息系统、 运筹学方法评价和 教育等许多领域。 按照 从 简 单 到 复 杂 的 认 识 论 规 律 ， %-1 的理论核心在于， 复杂系统大多可以分解为有序的递阶层次结构， 其决策问题通 常表现为一组方案优先顺序的排列问题， 根据特定的选优条件 理论上采 组， 从方案全序里挑选最佳者 8;:。为了给方案组排序， 用对全体方案进行两两比较的遍历法 8<:。
5@8(0$%(： 52 ’&’()I. ’&M 32(V. N/2O(.63 L+*0 %&’()*+, -+./’/,0) 1/2,.33 &..M3 ’ ,0.,W 2& *0. ,2&3+3*.&,) 2G ’ 6’X */+Y ,26+&S G/26 ’ *L2 F*L2 ,26N’/+32& 8$:#U3J’(() N.2N(. ,’& 0’/M() S.* *0. V’(J. 2G -+S0 F>’&W.M >#?#+66.M+’*.() *0/2JS0 ,2&3J(*+&S /.(’*.M *’O(.3， ’&M ’3 ’ /.3J(*， +* 0+&M./3 ’ 6’33 2G ’NN(+,’*+2&3 2G %&’()*+, -+./’/,0) 1/2,.33 8!:#Z& *0. O’3+3 2G ’ *02/2JS0 ’&’()3+3 2G %&’()*+, -+./’/,0) 1/2,.33， *0. ’(S2/+*06 *2 ,’(,J(’*. 2J* *0. V’(J. 2G -+S0F>’&W.M > ? ’,,2/M+&S *2 *0. M.G+&+*+2& 2G > ? +3 2GG./.M +& *0. N’N./#50. N/2S/’6 2G *0. ’(S2/+*06 J&M./ L+&M2L3 J3+&S M.(N0+ =#" +3 N/2V+M.M ’3 L.((#50. ’(S2/+*06 0’3 O..& 3J,,.33GJ(() ’NN(+.M *2 ’ N/2R.,* 2G *0. +&*.((+S.&* M.,+3+2& 3)3*.6 +& *0. W&2L(.MS. +&&2V’*+2& 2G P0+&.3. %,’M.6) 2G 7,+.&,.3# A26B*038： T+S+*’(+I’*+2& 2& &2&FM+S+*’(+I.M N/2O(.63， %&’()*+, -+./’/,0) 1/2,.33， -+S0F/’&W.M /’&M26+I.M 6’*/+Y ， %V./X ’S. >’&M26 P2&3+3*.&,) ?&M.Y ， 12L./ ’(S2/+*06
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%， $ 1 &， $ 1 ’， $ 1 (， $ 1 )， $ 1 *， $ 1 + 共 $) 个 数 值 中 的 某 一 个 ， 用 充 得 到 ! A的 最 大 特 征 值 的 平 均 值 分大的子样（ 如 $""" 个 子 样 ） 定义随机性指标 %,9（ 用比值 #%.#, - %, 来 !A738， !738?& ） -（ &?$ ）
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判断矩阵
在 6;< 解题手续中， 判断矩阵的构造及其相关的计算， 是
6;< 问题求解的关键 =+>。
图$
首先，构造两两比较 矩 阵 。 在 比 较 矩 阵 ! 中 元 素 的 取 值 （ 一个因素对另一个矩阵的比值） 采用如下的标度：
经过专家问卷调查， 两两比较判断矩阵及单一准则下的权 值 $ 如下： 第一层次下：
关键词 定性问题定量化 层次分析法 高阶随机判断矩阵 文献标识码 % 平均随机一致性指标 中图分类号 51$B 乘幂法
文章编号 $""!FB99$F（ !""! ） $!F"";<F"9
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对于高阶（ 比 在笔者的课题里， 阶数超过 $’ 。那么， &@$’ ） 较判断矩阵而言， 为了进行一致性检验， 相应的值从何得到呢？ 只能根据平均随机一致性指标的定义进行计算。 该算法步骤如 下： 构造随机判断矩阵， 设 计 思 想—让 判 断 矩 阵 中 元 素 的 （ $） 即为两两 比 值随机地取 $?+ 标度下的可能值。对于固定的 ’ （ 较矩阵中的阶数） ， 随 机 地 构 造 出 正 互 反 矩 阵 ! A， 其 中 (A)* （ 由 随机地取自 $ ， 于正互反性， 规定 )+* ） !， %， &， ’， (， )， *， +， $ 1 !， $1
1 征 向 量 为 / ) .（ ， ， …， ） ， …， 满 足 ! /)9 0$ （ )） 0! （ )） 0’ （ )） ) 9$ ， !， ’，
求得 !7389%#"%*’ ， #% 9"#"%) ； 根据以上计算结果， #% 均小于 "#$ ，以上矩阵具备满意的 一致性。 利用上层层次单排序的结果， 以上层元素的组合权重为权 数， 计算对应本层各元素的加权和， 所得结果即为该层元素的 组合权重， 进行层次总排序。经计算得出待评目标 6 各指标的 组合权重为：
层次分析法中高阶平均随机一致性 指标（ !"） 的计算
洪志国 $
$ !
李
焱!
范植华 $
王
勇$
（ 中国科学院软件所 C7D 实验室， 北京 $"""B"） （ 中国科学技术大学计算机系， 合肥 !9""!4 ）
EF6’+(： G’&HI0+0J’K02*6’+(#,26
摘
要
利用层次分析法分析和解决问题时， 要对通过两两比较判断出的矩阵一致性进行检验 8$:。高阶平均随机一致性
$ #$$9"#’)$&:"#!%*$9"#$%("’ $ #$!9"#’)$&:"#!%*$9"#$%("’ $ #$%9"#’)$&:"#!%*$9"#$%("’ $ #$&9"#’)$&:"#!%*$9"#$%("’ $ #$’9"#’)$&:"#"&)(9"#"!)!" &( !""!#$! 计算机工程与应用
$
引言
层次分析法（ 简 称 %-1） 是 !" %&’()*+, -+./’/,0) 1/2,.33，
比未能穷尽的不足， 对判断矩阵做一致性检验， 成为不可或缺 的环节 8=:。 在对判断矩阵进行一致性检验时， 要使用平均随机一致性 参与计算 84:。一般而言， 对于低阶判断矩阵（ 阶数 @! 指标（ >?） ， 其平均随机一致性指标可以查表得到； 但对于高阶判断矩 $< ） ， 平均随机一致性指标的值就无法直接获取了 8B:。 阵（ 阶数 @A$<） 该文提出的算法， 正是解决了两两比较判断矩阵中高阶平均随 的计算问题。 机一致性指标（ >?）