运用几何画板动态构造圆锥曲线的方法

运用几何画板动态构造圆锥曲线的方法

贵州省平塘民族中学刘光宜（558300）

摘要本文根据圆锥曲线的第一定义、第二定义以及标准方程，运用尺规作图原理结合几何画板动态生成轨迹的功能，详尽而系统地阐述圆锥曲线的画法和构造。每一类画法及构造的步骤，极富操作性和实践性。直接运用于教学，能够达到激活数学课堂，启迪学生思维，拓展学生数学视野，提升数学教学效率的目的。

关键词圆锥曲线尺规作图原理几何画板动态生成轨迹

一、根据圆锥曲线的第一定义构造圆锥曲线

（一）椭圆

1、椭圆第一定义

一般地，平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（2a>︱F

1F

2

︱）的点M的轨迹叫做椭圆。

其中，定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两定点F

1、F

2

间的距离︱F

1

F

2

︱叫做椭圆的焦距，常数2a叫做椭圆的

长轴的长。

特别地，当2a=︱F

1F

2

︱时，点M的轨迹是线段F

1

F

2

；当2a<︱F

1

F

2

︱时，点M的轨迹不存在。

2、画法步骤

（1）按住shift 键，在画图区上部画一条直线l（隐藏控制点）。再在直线l上构造线段AB，度量线段AB的长度并改为用2a表示。

（2）在线段AB上取一点C，并构造线段AC 和线段BC。

（3）按住shift键在画图区中部画一条线段

F 1F

2

，隐藏线段，保留端点，然后度量两端点的距

离︱F

1F

2

︱,并调整大小使之小于2a。

（4）以F

1

为圆心，线段AC为半径画圆，

以F

2

为圆心，线段BC为半径画圆。构造两圆的交点M和M＇,并设置成“追踪交点”。

（5）构造线段MF

1、MF

2

并度量长度，然后计算MF

1

+MF

2

。

（6）设置点C双向在线段AB上滑动，并编辑生成操作按钮“动画生成轨迹”。或用选择工具拖动点C 在线段AB上滑动生成椭圆（如图1-1）。

（7）用选择工具拖动点B或点A调整线段AB与F

1F

2

的大小关系：当2a=︱F

1

F

2

︱时，动点M与两个定

点F

1、F

2

共线，其轨迹是线段F

1

F

2

；当2a<︱F

1

F

2

︱时，动点M消失，表示其轨迹不存在。

（二）双曲线

1、双曲线第一定义

一般地，平面内到两个定点F

1、F

2

的距离之差的绝对值等于一个常数2a（2a<︱F

1

F

2

︱）的点M的轨迹

叫做双曲线。其中，定点F

1、F

2

叫做双曲线的焦点，两定点F

1

、F

2

间的距离︱F

1

F

2

︱叫做双曲线的焦距，常

数2a叫做双曲线的实轴的长。

l

F1F2 = 4.87

MF1 + MF2 = 6.56厘米

MF2 = 2.48厘米

MF1 = 4.08厘米

2a = 6.56

动态生成轨迹

M'

M

F1F2

图1-1

特别地，当2a=︱F 1F 2︱时，点M 的轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当2a>︱F 1F 2︱时，动点M 的轨迹不存在。

2、画法步骤

（1）在画图区上部画一条直线l （隐藏控制点）。在直线l 上构造线段AB 并度量长度用2a 表示。然后在线段AB 的延长线上以B 为端点构造射线（隐藏控制点），并在射线上取一点C 。构造线段BC 和线段AC 。

（2）按住shift 键在画图区中部画一线段F 1F 2（隐藏线段保留端点）。度量点F 1、F 2的距离︱F 1F 2︱,并使2a<︱F 1F 2︱。

（3）分别以F 1、F 2为圆心，AC 、BC 为半径画圆，并设置两圆的交点为M 、M ＇;用同样的办法，分别以F 2、F 1为圆心，AC 、BC 为半径画圆，也设置两圆的交点为M ＇、M ＇。并同时选中这四点，把它们设置成“追踪交点”。

（4）构造线段MF 1和MF 2并度量他们的长度。然后计算︱MF 1-MF 2︱的值。 （5）设置点C 双向在射线BC 上滑动，并编辑生成操作按钮“动态生成轨迹”。或用选择工具拖动点C 在射线BC 上滑动生成双曲线（如图1-2）。

（6）用选择工具拖动点B 调整线段AB 与F 1F 2的大小关系：当2a=︱F 1F 2︱时，动点M 落在

线段F 1F 2的延长线或反向延长线上，其轨迹是分别以点F 1、F 2为端点的射线；当2a>︱F 1F 2︱时，动点M 消失，表示其轨迹不存在。

二、根据圆锥曲线的第二定义构造圆锥曲线

（一）椭圆

1、椭圆第二定义

一般地，平面内到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比等于一个常数e （0

2、画法步骤

（1）按住shift 线（隐藏控制点）隐藏所画直线。再在线段AB 上取点度量点A 、B 和点A 、C 的距离，的值，并改为用e 表示。

（2）在画图区域中部按住一条竖直的直线l,并在直线l F 。过点F 作直线l 的垂线h,l

2a

MF 1 MF 2 = 2.09厘米

MF 2厘米MF 1厘米F 1F 2 = 3.81厘米

2a = 2.09厘米动态生成轨迹

M'

M'

M'

M

F 2F 1B

C

r

1e + 1

∙KF = 2.29厘米

e = 0.59

AB = 6.32厘米KF = 3.62厘米AC = 3.70厘米动态生成轨迹

M'

J

M H G O 2O 1

E D

K

F

N

图1-2