运用几何画板动态构造圆锥曲线的方法

运用几何画板动态构造圆锥曲线的方法贵州省平塘民族中学刘光宜（558300）摘要本文根据圆锥曲线的第一定义、第二定义以及标准方程，运用尺规作图原理结合几何画板动态生成轨迹的功能，详尽而系统地阐述圆锥曲线的画法和构造。

每一类画法及构造的步骤，极富操作性和实践性。

直接运用于教学，能够达到激活数学课堂，启迪学生思维，拓展学生数学视野，提升数学教学效率的目的。

关键词圆锥曲线尺规作图原理几何画板动态生成轨迹一、根据圆锥曲线的第一定义构造圆锥曲线（一）椭圆1、椭圆第一定义一般地，平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（2a>︱F1F2︱）的点M的轨迹叫做椭圆。

其中，定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两定点F1、F2间的距离︱F1F2︱叫做椭圆的焦距，常数2a叫做椭圆的长轴的长。

特别地，当2a=︱F1F2︱时，点M的轨迹是线段F1F2；当2a<︱F1F2︱时，点M的轨迹不存在。

2、画法步骤（1）按住shift 键，在画图区上部画一条直线l（隐藏控制点）。

再在直线l上构造线段AB，度量线段AB的长度并改为用2a表示。

（2）在线段AB上取一点C，并构造线段AC 和线段BC。

（3）按住shift键在画图区中部画一条线段F 1F2，隐藏线段，保留端点，然后度量两端点的距离︱F1F2︱,并调整大小使之小于2a。

（4）以F1为圆心，线段AC为半径画圆，以F2为圆心，线段BC为半径画圆。

构造两圆的交点M和M＇,并设置成“追踪交点”。

（5）构造线段MF1、MF2并度量长度，然后计算MF1+MF2。

（6）设置点C双向在线段AB上滑动，并编辑生成操作按钮“动画生成轨迹”。

或用选择工具拖动点C 在线段AB上滑动生成椭圆（如图1-1）。

（7）用选择工具拖动点B或点A调整线段AB与F1F2的大小关系：当2a=︱F1F2︱时，动点M与两个定点F1、F2共线，其轨迹是线段F1F2；当2a<︱F1F2︱时，动点M消失，表示其轨迹不存在。

（二）双曲线1、双曲线第一定义一般地，平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于一个常数2a（2a<︱F1F2︱）的点M的轨迹叫做双曲线。

其中，定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两定点F1、F2间的距离︱F1F2︱叫做双曲线的焦距，常数2a叫做双曲线的实轴的长。

lF1F2 = 4.87MF1 + MF2 = 6.56厘米MF2 = 2.48厘米MF1 = 4.08厘米2a = 6.56动态生成轨迹M'MF1F2图1-1特别地，当2a=︱F 1F 2︱时，点M 的轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当2a>︱F 1F 2︱时，动点M 的轨迹不存在。

2、画法步骤（1）在画图区上部画一条直线l （隐藏控制点）。

在直线l 上构造线段AB 并度量长度用2a 表示。

然后在线段AB 的延长线上以B 为端点构造射线（隐藏控制点），并在射线上取一点C 。

构造线段BC 和线段AC 。

（2）按住shift 键在画图区中部画一线段F 1F 2（隐藏线段保留端点）。

度量点F 1、F 2的距离︱F 1F 2︱,并使2a<︱F 1F 2︱。

（3）分别以F 1、F 2为圆心，AC 、BC 为半径画圆，并设置两圆的交点为M 、M ＇;用同样的办法，分别以F 2、F 1为圆心，AC 、BC 为半径画圆，也设置两圆的交点为M ＇、M ＇。

并同时选中这四点，把它们设置成“追踪交点”。

（4）构造线段MF 1和MF 2并度量他们的长度。

然后计算︱MF 1-MF 2︱的值。

（5）设置点C 双向在射线BC 上滑动，并编辑生成操作按钮“动态生成轨迹”。

或用选择工具拖动点C 在射线BC 上滑动生成双曲线（如图1-2）。

（6）用选择工具拖动点B 调整线段AB 与F 1F 2的大小关系：当2a=︱F 1F 2︱时，动点M 落在线段F 1F 2的延长线或反向延长线上，其轨迹是分别以点F 1、F 2为端点的射线；当2a>︱F 1F 2︱时，动点M 消失，表示其轨迹不存在。

二、根据圆锥曲线的第二定义构造圆锥曲线（一）椭圆1、椭圆第二定义一般地，平面内到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比等于一个常数e （0<e<1）的点M 的轨迹叫做椭圆。

其中，定点F 叫做椭圆的一个焦点，定直线l 叫做椭圆相应于点F 的一条准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

2、画法步骤（1）按住shift 线（隐藏控制点）隐藏所画直线。

再在线段AB 上取点度量点A 、B 和点A 、C 的距离，的值，并改为用e 表示。

（2）在画图区域中部按住一条竖直的直线l,并在直线l F 。

过点F 作直线l 的垂线h,l2aMF 1 MF 2 = 2.09厘米MF 2厘米MF 1厘米F 1F 2 = 3.81厘米2a = 2.09厘米动态生成轨迹M'M'M'MF 2F 1BCr1e + 1∙KF = 2.29厘米e = 0.59AB = 6.32厘米KF = 3.62厘米AC = 3.70厘米动态生成轨迹M'JM H G O 2O 1E DKFN图1-2构造线段FK 后隐藏所画的垂线h ，度量线段FK 的长度︱FK ︱，并计算11F K e +的值 。

（3）以点K 为圆心，11F K e +为半径画圆交线段FK 于点D,并隐藏所画的圆。

过点D 作直线m 与直线l 平行。

然后在直线l 上任取一点N （不与点K 同），并构造线段NF 使之与直线m 相交于点E ，并隐藏直线m 。

（4）分别以线段NE 、FE 为直径画圆O 1和圆O 2。

过点N 作直线l 的垂线r,并构造垂线r 与圆O 1的交点G 。

然后以点E 为圆心，线段EG 为半径画圆，使之与圆O 2交于两点H 、J （若圆E 与圆O 2无交点，可通过拖动点N 调整来获得交点）。

（5）构造直线FH 和FJ 使之都与垂线r 分别相交于点M 、M ’。

并设置这两点为“追踪交点”。

（6）设置点N 为沿直线l 运动的动画，并编辑生成“动态生成轨迹”按钮。

点击该按钮或拖动点N 即可动态构造椭圆（如图2-1）。

拖动点C 可改变椭圆的扁平程度或大小。

（二）双曲线1、双曲线第二定义一般地，平面内到一个定点F 一条定直线l （e>1）的点M 点F 叫做双曲线的一个焦点，定直线l 曲线相应于点F 的一条准线，常数e 线的离心率。

2、画法步骤把椭圆的画法构造中“计算A C A B成“计算A B A C的值”， 曲线了（如图2-2）。

拖动点C说明：1、上述用椭圆或双曲线的第二定义构造椭圆或双曲线的画法，实际上是圆锥曲线的统一画法步骤。

2、当拖动点C 与点B 重合时，e=1.的长短，可改变抛物线开口的大小。

（三）抛物线本节内容来进行讲述。

1、抛物线定义一般地，平面内与一个定点F 的点M 的轨迹叫做抛物线，其中，定点F 定直线l 叫做抛物线的准线。

特别地，当定点F 在直线l 上时，点M 定点F 且垂直与定直线l 的直线。

rl 1e + 1∙KF = 1.20厘米e = 2.03AB = 4.82厘米KF = 3.62厘米AC = 2.37厘米动态生成轨迹M'J MH G O 2O 1E DKFBAN pmql动态生成轨迹M A KFNK2、画法步骤（1）按住shift 键画一条竖直的直线l （隐藏控制点）。

在直线外给定一个点F 。

然后在直线l 上任取一点N （与点F 不能在同一水平线上），并构造线段FN 。

（2）过点F 作直线l 的垂线段FK ，垂足为K 点A 。

（3）过点A 作线段FN 的垂线p ，过点N 后构造直线p 和直线q 的交点M ，并把点M （4）选中点N ，使点N 显示动画生成并编辑成按钮，或沿直线l 拖动点N （5）拖曳点F ，使之与点K 完全重合（即点F 为点K 。

（6）标记点K 为旋转中心，使点N 绕点K 旋转然后分别以点N 和N ’为圆心，大于线段NK 点M （或点M ’）,并设置该交点为“追踪交点”迹”按钮或拖动点N ，即可生成点M （或点M 经过点F （点K ）且垂直于直线l 的直线（如图三、根据圆锥曲线的统一定义构造圆锥曲线鉴于教学的实际需要，有时为了方便向学生演示椭圆、双曲线、抛物线的相互转换关系或内在联系，我把上节画图方法的一些环节做适当的调整，得到根据圆锥曲线的统一定义构造圆锥曲线的画法。

1、圆锥曲线的统一定义一般地，在平面内到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离的比等于一个常数e 的点的轨迹，当0<e<1时叫做椭圆；当e=1时叫做抛物线；当e>1时叫做双曲线。

其中定点F 叫做圆锥曲线的焦点，定直线l 叫做圆锥曲线的准线。

2、画法步骤（1）按住shift 键在画图区上部画直线（隐藏控制点），在直线上构造线段AB 后隐藏所画直线。

再在线段AB 上取点C 点A 、C 的距离，并计算B C A C为用e 表示。

（第（2）～（5圆的方法和步骤完全相同）（6）通过拖动点C 来获得不同的圆锥曲线。

3、画法依据简述在△MNF 中，ME 是∠NMF 所以M F E F M NE N= ED ∥NK ，所以E F D F E ND K=r 1e +1∙FK = 0.95厘米FK = 3.65厘米e = 2.86AC = 1.11厘米BC = 3.18厘米动态生成轨迹M'JM HGO 2O 1EDK FNM F D F M ND K=。

又因为KD=11F K e + ，所以D F e D K= 。

所以M F e M N= 。

即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比等于常数e 。

因此，动点M 的轨迹就是圆锥曲线（如图3-1）。

值得注意的是：当拖动点C 向点B 靠近并与点B 重合时，e 值减小到0,而椭圆逐渐变“圆”变小，最终退化为定点F ；当拖动点C 向点A 靠近并与点A 重合时，e 值增大到无穷大，而双曲线两支逐渐靠近且越发由“曲”变“直”，最终并合于定直线l 。

四、根据圆锥曲线的标准方程构造圆锥曲线下面以焦点在x 轴上的圆锥曲线为例讲述怎样根据圆锥曲线的标准方程画圆锥曲线。

（一）画椭圆22221x y ab+=（画法步骤：12、新建参数a 和b ，使a>b 轴上绘制点A 2，选中参数b ，在y 3、以原点O 为圆心，分别以画圆。

4、用画线段工具画线段：交于点P ，与小圆交于点Q 。

5、过点P 作x 轴的垂线l 垂线m 。

设两直线相交于点M 。

6、依次选中点P 和点M ，然后点击“构造”菜单下的“轨迹”，即可得到所需要的椭圆（如图4-1）。

7、以B 2为圆心，OA 2为半径画圆与x 轴相交于F 1和F 2，则得到椭圆的两个焦点。

如有必要，可隐藏掉除椭圆、椭圆顶点、坐标系以外的其他对象。