选修2-2 导数及其应用 典型例题

第一章 导数及其应用

1.1 变化率与导数

【知识点归纳】

1.平均变化率：

2.瞬时速度：

3.导数及导函数的概念：

4.导数的几何意义：

拓展知识：

5.平均变化率的几何意义：

6.导数与切线的关系：

【典型例题】

题型一 求平均变化率：

例 1.已知函数2

()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +∆+∆，则y x

∆∆=_______.

变式训练：

1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2

s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +∆这段时间的平均速度v .

2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π=

附近的平均变化率，并比较他们的大小.

题型二 实际问题中的瞬时速度

例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ）

（1）当2,0.01t t =∆=时，求s t ∆∆；（2）当2,0.001t t =∆=时，求s t

∆∆； （3）求质点M 在t=2时的瞬时速度.

题型三 求函数的导数及导函数的值

例 3求函数1y x x

=-在1x =处的导数.

题型四 曲线的切线问题

例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程.

（2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程.

（3）求曲线321()53f x x x =

-+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.

1.2 导数的计算

【知识点归纳】

1.常见函数的导数：

2.基本初等函数的导数公式：

3.导数的运算法则：

4.复合函数的导数：

【典型例题】

题型 一 基本初等函数导数公式运用

例1 给出下列结论： ①1(cos )sin 662ππ

'=-=-；②若21y x

=，则32y x -'=-；③若()3f x x =，则[(1)]3f ''=；

④.若y =y '= 其中正确的是_________________.

题型 二 导数运算法则的应用

例 2 求下列函数的导数：

（1）5312

53y x x =+；（2）lg x y x e =-；（3cos x ；（4）sin cos 22x x y x =-.

变式训练：判断下面的求导是否正确，如果不正确，加以改正.

222

1cos 2(1cos )sin ()x x x x x x x +++'=

题型 三 复合函数求导的应用

例 7 求下列函数的导数.

（1）3(1cos 2)y x =+；（2）21sin

y x

=.

变式训练：求函数2(2y x =-

题型 四 切线方程及应用

例4 曲线sin x y x e =+在点（0，1）处的切线方程是？

变式训练：曲线32y x x =+-在P 处的切线平行于直线41y x =-，则点P 的坐标为_________.

题型 五 利用导数求参数问题

例5 若曲线3y x ax =+在坐标原点处的切线方程是20x y -=，则实数a=_________

变式训练：若函数()x

e f x x

=在x=a 处的导数值为函数值互为相反数，求a 的值

题型 六 对数求导数的应用（选讲）

例6 求下列函数的导数

（1）(1)(2)(3)(3)y x x x x =--->；

（2）(1)(2)(3)1()212

x x x y x x +++=>-+；

题型 七 求导数的实际应用

1.3 导数在研究函数中的应用

1.3.1 函数的单调性与导数

【知识点归纳】

1.函数的单调性与其导数的关系：

2.利用导数求函数的单调区间：

3.导数的绝对值的大小与图像的关系（选讲）：

【典型例题】

题型 一 里用导数的信息确定函数大致图像

例1 已知导函数()f x '的下列信息：

当23x <<时，()0f x '<； 当3x >或2x <时，()0f x '>；

当3x =或2x =时，()0f x '=；

试画出函数f （x ）图像的大致形状.

题型 二 判断或者证明函数的单调性

例2 试判断函数()ln f x x x =+在其定义域上的单调性.

变式训练：证明：函数ln ()x f x x

=

在区间（0，2）上是单调递增函数.

题型 三 求函数的单调性

例3 确定函数32()267f x x x =-+的单调区间.

变式训练：求函数3y x x =-的单调性.

题型 四 含有参数的函数的单调性

例4 已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-，讨论f （x ）的单调性.

变式训练：已知函数1()2

ax f x x +=

+在(2,)-+∞内单调递增，求实数a 的取值范围.

1.3.2 导数的极值与导数

【知识点归纳】

1.导数的极值的概念：

2.导数的极值的判断和求法：

【典型例题】

题型 一 求函数的极值

例1 求下列函数的极值：

（1）2

76y x x =-+； （2）2ln y x x =.

变式训练：设32

()1f x x ax bx =+++的导数()f x '满足(1)2,(2)f a f b ''==-，其中常数,a b R ∈.

（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程.

（2）设()()x

g x f x e -'=，求函数()g x 的极值.