离散数学习题课图论
湘潭大学计算机科学与技术刘任任版离散数学课后习题答案---第二学期--图论与组合数学.
习 题 六1．设G 是一个无回路的图, 求证：若G 中任意两个顶点间有惟一的通路, 则G 是树. 证明：由假设知，G 是一个无回路的连通图，故G 是树。
2．证明：非平凡树的最长通路的起点和终点均为悬挂点. 分析：利用最长通路的性质可证。
证明：设P 是树T 中的极长通路。
若P 的起点v 满足1)(>v d ，则P 不是T 中极长的通路。
对终点u 也可同理讨论。
故结论成立。
3．证明：恰有两个悬挂点的树是一条通路.分析：因为树是连通没有回路的，所以树中至少存在一条通路P 。
因此只需证明恰有两个悬挂点的树中的所有的点都在这条通路P 中即可。
证明：设v u ,是树T 中的两个悬挂点，即1)()(==v d u d 。
因T 是树，所以存在),(v u -通路P ：0,1≥k v w uw k 。
显然，2)(≥i w d 。
若2)(>i w d ，则由T 恰有两个悬挂点的假设，可知T 中有回路；若T 中还有顶点x 不在P 中，则存在),(x u -通路，显然u 与x 不邻接，且2)(≥x d 。
于是，可推得T 中有回路，矛盾。
故结论成立。
4．设G 是树, ()k G ≥∆, 求证：G 中至少有k 个悬挂点.分析：由于()k G ≥∆，所以G 中至少存在一个顶点v 的度≥k ，于是至少有k 个顶点与邻接，又G 是树，所以G 中没有回路，因此与v 邻接的点往外延伸出去的分支中，每个分支的最后一个顶点必定是一个悬挂点，因此G 中至少有k 个悬挂点。
证明：设)(G V u ∈，且k m u d ≥≥)(。
于是，存在)(,,1G V v v m ∈ ，使m i G E uv i ,,1),( =∈。
若i v 不是悬挂点，则有),(G V v i ∈'使。
如此下去，有)()(G V v l i ∈，满足,,)(j i v v j l i≠≠且1)()(=l i v d , m i ,,1 =。
故G 中至少有k 个悬挂点。
离散数学及其应用图论部分课后习题答案
作业答案：图论部分P165:习题九1、 给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。
（1）111,G V E =<>，112345{,,,,}V v v v v v =，11223343345{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （2）222,G V E =<>，21V V =，11223344551{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （3）13331,,,D V E V V =<>=31223324551{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> （4）24441,,,D V E V V =<>=31225523443{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> 解答： （1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。
（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。
14、设G 是(2)n n ≥阶无向简单图，G 是它的补图，已知12(),()G k G k δ∆==，求()G ∆，()G δ。
解答：2()1G n k ∆=--；1()1G n k δ=--。
15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。
解答：（c ）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d ）同构，同构函数为12()345x a x bf x x c x d x e=⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪=⎪=⎪⎩ 16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
离散数学图论
无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余顶 点度数均小于3，问G的阶数n为几？ 解 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则 d(vi) 2，i =1, 2, …, x， 应用握手定理,得不等式 32=2m= Σd(vi)3*4+4*3+2x 得 x 4, 阶数 n 4+3+4=11.
14
1
实例
有向图D如图所示，求D的邻接矩阵 A与 A2, A3, A4. 问D 中长度 为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别有多少条？
2
实例求解
1 2 A 1 1 1 4 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 A
8
例题
已知无向树T中有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点全是树 叶，试求树叶数. 解 设有x片树叶，于是 n = 1+2+x = 3+x, 先依树的性质m=n1， 再根据握手定理： 2m = 2(n1) = 2(2+x) = 13+22+x， 解出x = 3，故T有3片树叶.
9
例题
已知无向树T有5片树叶，2度与3度顶点各1个，其余顶 点的度数均为4，求T的阶数n. 解 设T的阶数为n, 则边数为n1，4度顶点的个数为n7. 由握手定理得 2m = 2(n1) = 51+21+31+4(n7) 解出n = 8，4度顶点为1个.
2
1 3 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1
A
3
1 5 4 A 4 4
离散数学——图论部分习题课
之和为24,而图G中其余点的度数小于3,即图G中其余点的
度数只可能是2或1(由于图G是连通图,所以无零度点). 由此可知,图G中至少有11个顶点: 3个4度点,4个3度点和 4个2度点; 至多有15个顶点: 3个4度点,4个3度点和8个1
度点.
7. 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图，
n ( n 1) 2
即m=n(n-1)/4, 而m为正整数,所以要么n=4k或n=4k+1, 所以不存在3个顶点和6个顶点的自补图.
9. 设有向简单D的度数列为2，2，3，3，入度列为 0，0，2，3，试求D的出度列。 解：设有向简单图D的度数列为2，2，3，3， 对应的顶点分别为v1,v2,v3,v4,
（1）1，1，2，3，5 （3）1，3，1，3，2 答案（2） （2）1，2，3，4，5 （4）1，2，3，4，6
Байду номын сангаас
）
则它们之间至少有几个是同构的？ 解： 4阶3条边非同构的无向简单图共有3个，因此 G1,G2,G3,G4中至少有2个是同构的。
8. 是否存在3个顶点和6个顶点的自补图？ 解: 由于顶点为n的无向完全图的边数为
n ( n 1) 2
.
设G的自补图为G’,则G与G’的边数相等. 设它们的边数各为m,于是有m+m=
本章重点
一、掌握有关图的基本概念：
邻接 关联 有向图
平行边 多重图
无向图
n阶图
底图
连通图
自回路（环） 简单图
二、掌握图中顶点的度数，握手定理及其推论 定理：设图G是具有n个顶点、m条边的无向图， 其中点集V={v1， v2，… vn }, 则
deg(
i 1
离散数学第七章图论习题课ppt课件
24
设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的 奇数。证明图G与它的补图中度数为奇数的结 点个数相等。
证明： 因为G是n阶无向简单图，且n是大于等于3的奇数，
故无向图的结点数为奇数，则所对应的n阶完全图 中每个结点的度数为n-1即为偶数， 利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以， 在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度 数也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也 是相同的。
25
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
(4) D中长度为4的回路有多少条？ 答： 长度为4的回路为11条。
(5) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ 答：长度4的通路88条，其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
17
简单无向图 G 必有2结点同度数。
证: 令 G={v1,…,vn}，
(2) n阶非连通的简单图的边数最多可为n-1阶连通图 加上一个孤立点，所以边数为(n-1)(n-2)/2，最少为0。
20
一个图如果同构于它的补图，则该图称为自补图。
1)一个图是自补图，其对应的完全图的边数必为偶数; 2)证明：若n阶无向简单图是自补图，则n=4k或n=4k+1
（k为正整数）。 解：
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
3
4
一、无向图与有向图
离散数学习题解答第6部分(图论)
离散数学习题解答 习题六 （第六章 图论）1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。
[解] ①用V 代表全国城市的集合，E 代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是全国铁路交通图。
是一个无向图。
②V 用代表中国象棋盘中的格子点集，E 代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是中国象棋中“马”所能走的路线图。
是一个无向图。
③用V 代表FORTRAN 程序的块集合，E 代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+（V ，E ）是FORTRAN 程序的调用关系图。
是一个有向图。
2．画出下左图的补图。
[解] 左图的补图如右图所示。
3．证明下面两图同构。
a v 2 v 3 v 4图G图G ′[证] 存在双射函数ϕ:V →V ′及双射函数ψ : E →E ′ϕ (v 1)=v 1′ ϕ (v 1，v 2)=(v 1′，v 2′) ϕ (v 2)=v 2′ ϕ (v 2，v 3)=(v 2′，v 3′) ϕ (v 3)=v 3′ ϕ (v 3，v 4)=(v 3′，v 4′) ϕ (v 4)=v 4′ ϕ (v 4，v 5)=(v 4′，v 5) ϕ (v 5)=v 5′ ϕ (v 5，v 6)=(v 5′，v 6′) ϕ (v 6)=v 6′ϕ (v 6，v 1)=(v 6′，v 1′) ϕ (v 1，v 4)=(v 1′，v 4′) ϕ (v 2，v 5)=(v 2′，v 5′) ϕ (v 3，v 6)=(v 3′，v 6′)显然使下式成立：ψ (v i ，v j )=(v i ,v j ′)⇒ ϕ (v i )=v i ′∧ϕ (v j )=v j ′ (1≤i ·j ≤6) 于是图G 与图G ′同构。
4．证明（a ），（b ）中的两个图都是不同构的。
图G 中有一个长度为4的圈v 1v 2v 6v 5v 1，其各顶点的度均为3点，而在图G ′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v 1'，v 5'，v 7'，v 3'不成长度的4的圈。
离散数学CH04_图论_根树
4.6 树
4.6 树
图中的三棵树T1，T2和T3都是带权2，2，3，3，5
的二叉树，它们的权分别是：
W(T1)=2×2＋2×2＋3×3＋5×3＋3×2=38 W(T2)=3×4＋5×4＋3×3＋2×2＋2×1=47 W(T3)=3×3＋3×3＋5×2＋2×2＋2×2=36 以上三棵树都是带权2,2,3,3,5的赋权二叉树，但不 是最优树。
【例】求图所示的二叉树产 生的前缀码。 解：在图(a)中，每一个 分枝点引出的左侧边标记0， 右侧边标记1。由根结点到 树叶的路经上各边的标记组 成的0、1序列作为对应树叶 的标记，如图 (b)所示。产 生的前缀码为： 01,11,000,0010,0011
4.6 树
定理 任意一个前缀码，都对应一个二叉树。 证明：
4.6 树
给定了一个前缀码，设h是其中最长序列的长度。画出一个高为 h的正则二叉树。按定理9.6.7中描述的办法给各边标记0或1。 每一个结点对应一个0、1序列，它是由根结点到该结点的路经 上各边的标记组成的。如果某个0、1序列是前缀码的元素，则 标记该结点。将已标记结点的所有后代和该结点的射出边全部删 除，得到了一个二叉树，再删除未加标记的树叶，就得到要求的 二叉树。
在通信中常用0、1字符串表示英文字母，即用二进制 数表示英文字母。最少用多少位二进制数就能表示26
个英文字母呢？1位二进数可以表示2=21个英文字母
，两位二进制数可以表示4=22个英文字母，……，n 位二进制数可以表示2n个英文字母。如果规定，可以 用1位二进制数表示英文字母，也可以用两位二进制数 表示英文字母。
4.6 树
定理 在完全m叉树中，其树叶数为t，分枝点数为i，则 (m1)*i=t-1。 证明：
离散数学图论习题
第4章图论综合练习一、单项选择题1．设L是n阶无向图G上的一条通路，则下面命题为假的是( )．(A) L可以不是简单路径，而是基本路径(B) L可以既是简单路径,又是基本路径(C) L可以既不是简单路径，又不是基本路径(D) L可以是简单路径，而不是基本路径答案：A2．下列定义正确的是( )．(A) 含平行边或环的图称为多重图 (B) 不含平行边或环的图称为简单图(C) 含平行边和环的图称为多重图 (D) 不含平行边和环的图称为简单图答案：D3．以下结论正确是 ( )．(A) 仅有一个孤立结点构成的图是零图(B) 无向完全图K n每个结点的度数是n(C) 有n(n>1)个孤立结点构成的图是平凡图(D) 图中的基本回路都是简单回路答案：D4．下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )．(A) (1,1,1,2,3) (B) (1,2,3,4,5) (C) (2,2,2,2,2) (D) (1,3,3,3)答案：B5．下列数组能构成简单图的是( )．(A) (0,1,2,3) (B) (2,3,3,3) (C) (3,3,3,3) (D) (4,2,3,3)答案：C6．无向完全图K3的不同构的生成子图的个数为（）．(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3答案：C7．n阶无向完全图K n中的边数为（）．(A)2)1(+nn(B)2)1(-nn(C) n (D)n(n+1)答案：B8．以下命题正确的是( )．(A) n (n1)阶完全图K n都是欧拉图(B) n(n 1)阶完全图K n都是哈密顿图(C) 连通且满足m=n－1的图<V,E>(V=n,E=m)是树(D) n(n5)阶完全图K n都是平面图答案：C10．下列结论不正确是( )．(A) 无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是G不含奇数度结点(B) 无向连通图G有欧拉路的充分必要条件是G最多有两个奇数度结点(C) 有向连通图D是欧拉图的充分必要条件是D的每个结点的入度等于出度(D) 有向连通图D有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外，每个结点的入度等于出度 答案：D11．无向完全图K 4是（ ）．（A ）欧拉图 （B ）哈密顿图 （C ）树 答案：B12．有4个结点的非同构的无向树有 ( )个． (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 答案：A13．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．(A) 1+-n m (B) m n - (C) 1++n m (D) 1+-m n 答案：A14．设G 是有6个结点的完全图，从G 中删去( )条边，则得到树． (A) 6 (B) 9 (C) 10 (D) 15 答案：C二、 填空题1．数组{1，2，3，4，4}是一个能构成无向简单图的度数序列， 此命题的真值是 . 答案：02．无向完全图K 3的所有非同构生成子图有 个． 答案：43．设图G V ,E ，其中V n ,E m ．则图G 是树当且仅当G 是连通的，且m ． 答案：n －14．连通图G 是欧拉图的充分必要条件是 ． 答案：图G 无奇数度结点5．连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ． 答案：46．无向图G 为欧拉图，当且仅当G 是连通的，且G 中无 结点． 答案：奇数度7．设图>=<E V G ,是简单图，若图中每对结点的度数之和 ，则G 一定是哈密顿图．答案：V ≥8．如图1所示带权图中最小生成树的权是 ．答案：12三、化简解答题1．设无向图G ＝<V ,E >，V ={v 1，v 2，v 3，v 4，v 5，v 6}， E ={( v 1，v 2), ( v 2，v 2), ( v 4，v 5), ( v 3，v 4), ( v 1，v 3),( v 3，v 1), ( v 2，v 4)}． 1 v 2 v 6 v 53 v 4图2•2 23 • 1 • 7 9 2• 8 • 6 图1(1) 画出图G 的图形；(2) 写出结点v 2, v 4，v 6的度数； (3) 判断图G 是简单图还是多重图． 解：(1) 图G 的图形如图5所示．(2) 0)deg(,3)deg(,4)deg(642===v v v ．(3) 图G 是多重图．作图如图2. 2．设图G ＝<V ，E >，其中V ＝{a ,b ,c ,d ,e }, E ={(a ,b ),(b ,c ),(c ,d ), (a ,e )}试作出图G 的图形，并指出图G 是简单图还是多重图？是连通图吗？说明理由. 解：图G 如图8所示．. 图G 中既无环，也无平行边，是简单图． 图G 是连通图．G 中任意两点都连通.所以，图G 有9个结点．作图如图3．四、计算题1．设简单连通无向图G 有12条边，G 中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G 中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．解：设图G 有x 个结点，由握手定理21+22+34+3（x 223）＝122 271821243=-+=x x ＝9 故图G 有9个结点．满足该条件的简单无向图如图4所示2．设图G (如图5表示)是6个结点a ,b ,c , d ,e ,f的图，试求，图G 的最小生成树，并计算它的权．解：构造连通无圈的图，即最小生成树，用克鲁斯克尔算法：第一步： 取ab ＝1；第二步： 取af =4 第三步： 取fe ＝3；第四步： 取ad =9 第五步： 取bc =23如图6．权为1+4+3+9+23=403．一棵树T 有两个2度顶点，1个3度顶点；3个4度顶点， 问它有几片树叶？解：设T 有n 顶点，则有n －1条边．T 中有2个 2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点， 其余n －2－1-3个1度顶点．由握手定理： 2·2+1·3+3·4+ (n －2－1-3)=2(n －1) 解得 n =15．于是T 有15-6=9片树叶五、证明题1．若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．证：用反证法．设G 中的两个奇数度结点分别为u 和v ．假若u 和v 不连通．即它们之间无任何通路，则G 至少有两个连通分支G 1，G 2，且u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．因而u 和v 一定是连通的．a b ec d 图3图4b • 23 1c • • a 4 • f 9 3d • •e 图6b •23 1 15 c • 25 •a 4 • f 28 9 16 3 d • 15 • e 图5。
离散数学第7章 图论 习题
300页（2） 如果u可达v，它们之间可能不止一条
路，在所有这些路中，最短路的长度 称为u和v之间的距离（或短程线）， 记作d<u,v>，如果从u到v是不可达的， 则通常写成 d<u,v> =∞
距离矩阵为
0 1 2 1 ∞ 0 1 1 ∞ 1 0 1 ∞ 1 2 0 dij=1表示存在边<vi,vj>。
c)画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。
设G是一个具有k个奇数度结点（k>0）的连通图， 证明在G中的边能剖分为k/2条路（边不相重）。 证明：因为一个图中度数为奇数的结点个数必为偶数， 故k必为偶数。 将G中k个奇数度结点分为数目相等的两组{u1,u2,…,uk/2} 和{v1,v2,…,vk/2} 。对图G添加边(u1,v1), (u2,v2),…, (uk/2,vk/2)共k/2条边，得到图G’。由于图G’中每个结 点的度数均为偶数，故G’中存在一条欧拉回路。 在图G’中删去边(u1,v1),得到一条欧拉路, 此路的两个端 点是u1和v1。结点u2和v2必在路的中间, 再删去边 (u2,v2)，得到两条边互不相重的迹，这两个迹的端点 分别为u2和v2。结点u3和v3必在某一条迹的中间。 再删去边(u3,v3) ，则将一条迹（包含u3和v3的迹）又分 为两条边互不相重的迹，共得到3条互不相重的迹。 以此继续下去,直到所有的添加边(u1,v1), (u2,v2),…, (uk/2,vk/2)全部删去,得到k/2条边互不相重的路(迹)。
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习一、单项选择题1．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010*******11100100110则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．32．已知图G 的邻接矩阵为， 则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边3．设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a , d )}是割边 B ．{(a , d )}是边割集 C ．{(d , e )}是边割集 D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集5．如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．e 是割点 B ．{a, e }是点割集 C ．{b , e }是点割集 D ．{d }是点割集6．如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ．A ．{(a, e )}是割边B ．{(a, e )}是边割集C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集D ．{(d , e )}是边割集οο ο ο οca b edο f图一图二图三7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( )．图四A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的 应该填写：D8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路．A ．m 为奇数B ．n 为偶数C ．n 为奇数D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )．A ．e －v ＋2B ．v ＋e －2C ．e －v －2D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n -+B ．m n -C ．1m n ++D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )．A ．G 连通且边数比结点数少1B ．G 连通且结点数比边数少1C ．G 的边数比结点数少1D ．G 中没有回路．二、填空题1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割ο οο οc a b f集是 ．3．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路， 则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点 数|S|与W 满足的关系式为 ．4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通 且 ．5．设有向图D 为欧拉图，则图D 中每个结点的入度 ． 应该填写：等于出度6．设完全图K n 有n 个结点(n 2)，m 条边，当 时，K n 中存在欧拉回路．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 ．8．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 ． 9．结点数v 与边数e 满足 关系的无向连通图就是树．10．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 条边后使之变成树．11．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 ．12．设G ＝<V , E >是有6个结点，8条边的连通图，则从G 中删去 条边，可以确定图G 的一棵生成树．13．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．三、判断说明题1．如图六所示的图G 存在一条欧拉回路．2．给定两个图G 1，G 2（如图七所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．v 123图六图七3．判别图G (如图八所示)是不是平面图， 并说明理由．4．设G 是一个有6个结点14条边的连 通图，则G 为平面图．四、计算题1．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={<a 1, a 2>，<a 2, a 4>，<a 3, a 1>，<a 4, a 5>，<a 5, a 2>}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵；（3）判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？2．设图G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试（1）画出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（2）求出每个结点的度数； （4）画出图G 的补图的图形． 3．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试（1）给出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵； （3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形． 4．图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值．5.用Dijkstra 算法求右图中A 点到其它各点的最短路径。
《离散数学》任务2 (图论部分概念与性质)选择题判断题
第二部分图论选择题判断题注意：A B C D顺序会出现变动！根据选项确定答案！1. 已知无向图G的邻接矩阵为，则G有（5点，7边）．A. 5点，8边B. 6点，7边C. 6点， 8边D. 5点，7边2. 设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为( 5 )．A. 6B. 5C.4 C.33．设无向图G的邻接矩阵为则G的边数为（ 7 ）。
A．1 B. 6 C. 7 D. 144．设图G＝<V, E>，v V，则下列结论成立的是 (()deg2v Vv E∈=∑) ．A. deg(v)=2|E|B. deg(v)=|E|C.()deg2v Vv E∈=∑D.()degv Vv E∈=∑5.图G如图二所示，以下说法正确的是 ( {b,c}是点割集 )A. a是割点B. {b,c}是点割集C. {b, d}是点割集D. {c}是点割集6.如图所示，以下说法正确的是 ( e是割点)．A. e是割点B. {a,e}是点割集C. {b , e}是点割集D. {d}是点割集7. 如图所示，以下说法正确的是（e是割点）A. e是割点B. {a,e}是点割集C. {b, e}是点割集D. {d}是点割集8. 如图一所示，以下说法正确的是 ( {(d, e)}是边割集 ) ．A. {(a, e)}是割边B. {(a, e)}是边割集C. {(a, e) ,(b, c)}是边割集D. {(d, e)}是边割集9.图G如图四所示，以下说法正确的是( {(a, d) ,(b, d)}是边割集) ．A. {(a, d)}是割边B. {(a, d)}是边割集C. {(a, d) ,(b, d)}是边割集D. {(b, d)}是边割集图四10.设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是 (（a）是强连通的 )．图五A.（a）是强连通的B. （b）是强连通的C. （c）是强连通的D. （d）是强连通的11. 设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图六所示，则下列结论成立的是( （d）只是弱连通的 )．图六A. （a）只是弱连通的B. （b）只是弱连通的C. （c）只是弱连通的D. （d）只是弱连通的12.设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r = ( e－v＋2 )．A. e－v＋2B. v＋e－2C. e－v－2D. e＋v＋213.设完全图K n有n个结点(n 2)，m条边，当（n为奇数）时，K n中存在欧拉回路．A. m为奇数B. n为偶数C. n为奇数D. m为偶数14.若G是一个欧拉图，则G一定是( 连通图)．A. 平面图B. 汉密尔顿图C. 连通图D. 对偶图15.若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( 连通图 )．A. 平面图B. 对偶图C. 欧拉图D. 连通图16.无向完全图K4是（汉密尔顿图）．A. 欧拉图B. 汉密尔顿图C. 非平面图D. 树17.无向树T有8个结点，则T的边数为( 7 )．A. 6B. 7C.8D.918. 无向简单图G是棵树，当且仅当( G连通且边数比结点数少1 )．A. G连通且边数比结点数少1B. G连通且结点数比边数少1C. G的边数比结点数少1D. G中没有回路19. 已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为( 5 )．A．8 B.5 C.4 D.320.设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( m-n+1 )条边，才能确定G的一棵生成树A. m-n+1B. m-nC. m+n+1D. n-m+121. 以下结论正确的是（树的每条边都是割边）A. 无向完全图都是欧拉图B. 有n个结点n－1条边的无向图都是树C. 无向完全图都是平面图D. 树的每条边都是割边22.无向图G存在欧拉回路，当且仅当（G连通且至多有两个奇数度结点）.A. G中所有结点的度数全为偶数B. G中至多有两个奇数度结点C. G连通且所有结点的度数全为偶数D. G连通且至多有两个奇数度结点二、判断题1.设G 是一个有7个结点16条边的连通图，则G 为平面图． ( 错 )2. 如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 存在一条欧拉回路． ( 错 )3. 如图九所示的图G 不是欧拉图而是汉密尔顿图． ( 对 )4. 设图G 如图七所示，则图G 的点割集是{f}． ( 错 )5. 两个图同构的必要条件是结点数相等；边数相等；度数相同的结点数相等．( 对 )6. 设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去4条边后使之变成树． ( 对 )7. 若图G=<V, E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为W ≤|S|． ( 对 )8. 汉密尔顿图一定是欧拉图． ( 错 )9. 设G=<V ，E>是具有n 个结点的简单图，若在G 中每一对结点度数之和小于n-1，则在G 中存在一条汉密尔顿路． ( 错 )(应该大于等于n-1)10. 设G 是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G 有7个面．( 对 )11. 已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是15． ( 对 )12. 设图G 是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G 中删去6条边后使之变成树． ( 错 )（应该删除5-4=1条边）13. 设完全图Kn 有n 个结点（n ≥2），m 条边，当n 为奇数时，Kn 中存在欧拉回路 ( 对 )14. 设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则()v Vdeg 2v E ∈=∑ ( 对 )15. 若图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d }，E={ (a, b), (a, d),(b, c), (b,d)}，则该图中的割边为(b, c)( 对 )16. 结点数v与边数e满足e=v的无向连通图就是树． ( 错)17. 无向图G的结点数比边数多1，则G是树． ( 错)18. 设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为4． ( 错)19. 如图八所示的图G存在一条欧拉回路． ( 错)20. 无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且结点度数都是偶数．( 对 )。
离散数学 图论习题
3
三、判断题。正确的在（
）内写“√”，错误的选项写“×”。 （ ） （ ） （ ）
1、完全图 Kn（n>=3)是欧拉图。
2、n（n>=2)阶有向完全图是欧拉图。
3、当 r、s 为正偶数时，完全二部图 Kr,s 是欧拉图。 4、完全图 Kn（n>=1)都是哈密顿图。 （ ） （ ）
5、平凡图不是欧拉图，也不是哈密顿图。
图 2 有向图 D
2
3、如图 3 所示，实线边所示为图 G 的生成树，虚线为图 G 的弦，求基本回路系 统与基本割集系统。
图3
图G
4、无向树 T 有 ni 个 i 度顶点，i=2, 3, „,k，其余顶点全是树叶，求 T 的树 叶数。
5、证明下图不是哈密顿图。
6、设 n 阶 m 条边的无向图 G 中， m n 1 ，证明 G 中存在顶点 v ： d (v) ≥3。
6、设 G 是 n 阶无向连通图。若 G 中有割点或桥，则 G 不是哈密顿图。
（
）
7、设 G 是 n（n>=3)阶无向简单哈密顿图，则对于 G 中任意不相邻的顶点 vi,vj， 均有 d(vi)+d(vj)>=n。 （ ） 8、设无向图 G＝<V,E>是一无向图，对于任意 V 的真子集 V1，且 V1 不是空集，均 有 p(G-V1)≤|V1| ， 其中 p(G-V1)为 G-V1 的连通分支数， 则 G 是哈密顿图。（ ） 9、强连通的有向图都是哈密顿图。 （ ）
10、 G 是 n 阶无向简单图， 若 G 中存在不相邻的顶点 vi,vj， 且满足 d(vi)+d(vj)<=n-1， 则 G 不是哈密顿图。 （ ）
4
Байду номын сангаас
离散数学——图论
2023/5/24
42
§8.3欧拉图
❖ 欧拉图产生的背景就是前面的七桥问题。
❖ 定义：图G的回路，若它通过G中的每条边一 次，这样的回路称为欧拉回路。具有欧拉回 路的图称为欧拉图。
❖ 定义欧拉通路：通过图G中每条边一次的通 路（非回路）称为欧拉通路。
2023/5/24
27
正则图
❖ 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 ❖ 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连
的四边形。 ❖ 试画出两个2次正则图。
2023/5/24
28
两图同构需满足的条件
❖ 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
❖ 例子
2023/5/24
❖ 1847年德国的克希霍夫(G.R.Kirchoff)将树的概念 和理论应用于工程技术的电网络方程组的研究。
❖ 1857年英国的凯莱(A.Cayley)也独立地提出了树的 概念，并应用于有机化合物的分子结构的研究中。
2023/5/24
4
❖ 1936年匈牙利的数学家哥尼格(D.Konig) 发 表了第一部集图论二百年研究成果于一书的 图论专著《有限图与无限图理论》，这是现 代图论发展的里程碑，标志着图论作为一门 独立学科。
2023/5/24
37
连通性
❖ 定义：无向图，若它的任何两结点间均是可达的， 则称图G是连通图；否则为非连通图。
❖ 定义：有向图，如果忽略图的方向后得到的无向图 是连通的，则称此有向图为连通图。否则为非连通 图。
2023/5/24
38
有向连通图
❖ 定义：设G为有向连通图， ❖ 强连通：G中任何两点都是可达的。 ❖ 单向连通：G中任何两结点间，至少存在一个方向
四川大学离散数学(冯伟森版)课后习题答案习题参考解答(图论部分)
习题十1. 设G 是一个(n ，m)简单图。
证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。
证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。
根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。
（2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。
G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。
■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。
与题设m = n+1，矛盾。
因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)v 1v 5v 3v 4v 2将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
计算机科学与技术 离散数学 练习-第4部分 图论
1、一个7阶无向简单图，其结点的最大度数为（）A、5B、6C、7D、82、设G为7阶无向简单图，下列命题成立的是（）A、G的每个结点度数均为3B、G的每个结点度数均为5C、G的每个结点度数均为6D、G的每个结点度数均为73、由4个点3条边构成的无向简单图中，结点的最大度数为（）A、1B、2C、3D、44、(多选题)下列度数列，可以简单图化的是（）A、5,5,4,4,2,1B、5,5,4,1,1C、5,4,4,2,1D、5,4,3,2,2E、4,4,3,3,2,2F、4,3,2,1G、3,3,2,2,1,1H、3,3,3,1I、3,3,1,15、下列可作为4阶无向简单图的结点度数序列是（）A、1,2,3,4B、0,2,2,3C、1,1,2,2D、1,3,3,38、下列关于图的命题正确的是（）A、欧拉图都是哈密顿图B、哈密顿图都是欧拉图C、4阶以上的完全图都是欧拉图D、4阶以上的完全图都是哈密顿图9、下列关于欧拉图的描述正确的是（）A、K4是欧拉图B、K5是欧拉图C、完全图都是欧拉图D、K6是欧拉图13、一棵无向树有5片树叶，3个2度结点，其余都是3度结点，这棵树的结点数是（）A、10B、11C、12D、1314、G是有n个结点，m条边的连通图，要确定G的一棵生成树，必须删去G的多少条边（）A、m-n+1B、m-nC、m+n+1D、n-m+115、一个n阶图不一定是树的是（）A、无回路的连通图B、无回路且有n-1条边C、n阶连通图D、有n-1条边的连通图16、下列6阶无向树的度数序列，对应不止一棵同构树的是（）A、1,1,1,1,2,4B、1,1,1,2,2,3C、1,1,2,2,2,2D、1,1,1,1,3,31、设5阶简单连通图G所有结点的度数之和为18，则G的结点的最大度数为_____，最小度数为______2、4阶完全图K4是平面图，其面数r为_____，记结点数为n，边数为m，则n-m+r=_______3、一个简单无向连通图，有n个结点，m条边，则边数m的最大值为_________，最小值为_______4、7阶无向简单图G，最多有________条边5、连通平面图G的每个面至少由5条边围成，则G的边数m与顶点数n满足的不等式关系为______________6、连通平面图G共有8个顶点，其平面表示中共有6个面，则边数为______7、如题的9阶无向图，需要添加边使其称为欧拉图，至少需要添加_____________和______________8、一棵n(n>2)阶无向树T，其最大度数⊿(T)的最小值为_____，最大值为________9、一棵7阶树T，其分支点最多有____个，最多有____片树叶10、无向完全图K8，需要删掉______条边才能得到生成树；无向完全图K9，需要删掉______条边才能得到生成树11、无向树有4个3度分支点，2个2度分支点，其余为树叶，则树叶数为______12、设无向树有8片树叶，1个4度分支点，其余都是3度分支点，则该树共有______个结点1、研究4阶完全图K4，判断其是否存在欧拉回路？是否存在哈密顿回路？如果存在，共有多少个非同构的回路？2、9阶无向图G中，每个结点的度数不是5就是6，证明：G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。
离散数学图论
如图G1是非连通图， G2是连通图。
G1
G2
21
连通分支：设无向图G=<V, E>，V关于顶点之间的 连通关系 的商集 V/ ={V1,V2,…,Vk}，Vi为等价 类，称导出子图G[Vi] (i=1,2,…,k) 为G的连通分 支, 其个数记作p(G)=k。
如： p(G1)=2， p(G2)=1 G是连通图 p(G)=1 n阶零图的连通分支数最多， p(Nn)=n
有圈的长度2。
• 复杂通路和复杂回路： 中的边重复出现。
20
14.3 图的连通性
（23）无向图的连通性 设无向图G=<V, E>，u, vV， u与v连通：u与v之间存在通路. 记作uv. 规定uu。 连通关系： ={<u,v>| u,vV且uv}是等价关系。 连通图：平凡图, 任意两点都连通的图。
注意：图的数学定义与图形表示，在同构的意义 下是一一对应的。
7
（5）几个特殊的图
通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图, 用ek表示无向边或有向边. V(G), E(G) —表示图G的顶点集, 边集.
|V(G)|, |E(G)| —表示图G的顶点数集（阶）和边数.
n 阶图、有限图、零图、平凡图、空图、基图
（6）顶点和边的关联
关联、关联次数、环、孤立点
（7）相邻
vi
vj
点相邻、边相邻
(vi,vj)
ek el
8
（8）邻接
vi
邻接到、邻接于
（9）邻域和关联集
设无向图G, vV(G)
v的邻域、 v的闭邻域、 v的关联集
设有向图D, vV(D)
v的后继元集
《离散数学》图论部分习题
《离散数学》图论部分习题《离散数学》图论部分习题1.已知⽆向图G有12条边，6个3度顶点，其余顶点的度数均⼩于3，问G⾄少有⼏个顶点？并画出满⾜条件的⼀个图形. （24-3*6）/2 +6=92.是否存在7阶⽆向简单图G，其度序列为1、3、3、4、6、6、7.给出相应证明.不存在；7阶⽆向简单图G中最⼤度≤63.设d1、d2、…、d n为n个互不相同的正整数. 证明：不存在以d1、d2、…、d n为度序列的⽆向简单图.Max{d1，d2，…，dn}≥n，n阶⽆向简单图G中最⼤度≤n-14.求下图的补图.5.1)试画⼀个具有5个顶点的⾃补图2)是否存在具有6个顶点的⾃补图，试说明理由。
对于n阶图，原图与其补图同构，边数应相等，均为(n*(n-1)/2)/2，即n*(n-1)/4且为整数，n=4k或n=4k+1，不存在6阶⾃补图。
6.设图G为n(n>2且为奇数)阶⽆向简单图，证明：G与G的补图中奇度顶点个数相等.n(n>2且为奇数)，奇度点成对出现7.⽆向图G中只有2个奇度顶点u和v，u与v是否⼀定连通.给出说明或证明。
只有2个奇度顶点u和v，如果不连通，在u和v在2个连通分⽀上，每个分⽀上仅有⼀个奇度顶点，与握⼿引理相⽭盾。
8.图G如下图所⽰：1)写出上图的⼀个⽣成⼦图.2)δ(G)，κ(G)，λ(G).δ(G)=2，κ(G)=1，λ(G)=2.说明：δ(G)=min{ d(v) | v V } ；κ(G)=min{ |V’| |V’是图G的点割集} ；λ(G)=min{ |E’| |E’是图G的边割集} 9.在什么条件下⽆向完全图K n为欧拉图？n为奇数时10.证明：有桥的图不是欧拉图.假设是欧拉图：桥的端点是u和v，并且图各顶点度均为偶数；桥为割边，删除桥，图不再连通，u和v应该在2各不同的连通分⽀上；且u和v度数变为奇数；由于其他顶点度数均为偶数，则u和v所在的连通分⽀上只有⼀个奇度顶点，与握⼿引理⽭盾。
离散数学习题集及答案第6-7章图论含答案
第6-7章一．选择/填空1、设图G 的邻接矩阵为0101010010000011100000100，则G 的边数为( D )． A ．5 B ．6 C ．3 D ．42、设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如下图所示，则下列结论成立的是( A )．A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的3、给定无向图G 如下图所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（ B ）．A ．{b , d }B ．{d }C ．{a , c }D ．{b , e }4、图G 如下图所示，以下说法正确的是 ( D ) ．A ．{(a , c )}是割边B ．{(a , c )}是边割集C ．{(b , c )}是边割集D ．{(a, c ) ,(b, c )}是边割集5、无向图G 存在欧拉通路，当且仅当(D )．A ．G 中所有结点的度数全为偶数B ．G 中至多有两个奇数度结点C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数D ．G 连通且至多有两个奇数度结点6、设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( A )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n −+B ．m n −C ．1m n ++D ．1n m −+7、已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为（B ）．A ．8B ．5C ．4D ．38、已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ． 9、连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 4 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ．10、如右图 相对于完全图K 5的补图为（A ）。
11、给定无向图，如下图所示，下面哪个边集不是其边割集（ B ）。
A 、；B 、{<v1,v4>,<v4,v6>};C 、；D 、。
12、设D 是有n 个结点的有向完全图,则图D 的边数为( A ) (A))1(−n n (B))1(+n n (C)2/)1(+n n (D)2/)1(−n n 13、无向图G 是欧拉图,当且仅当( C )(A) G 的所有结点的度数都是偶数 (B)G 的所有结点的度数都是奇数(C)G 连通且所有结点的度数都是偶数 (D) G 连通且G 的所有结点度数都是奇数。
4~离散数学习题解答习题六(第六章 图论)6
15．给出有向图如下所示：
1)求它的邻接矩阵A；
2)求A2，A3，A4，指出从v1到v4长度为1，2，3，4的路径各有几条？
3)求AT，ATA，AAT，说明ATA和AAT中元素（2，3）和（2，2）的意义；
4)求A(2)，A（3），A（4）及可过矩陈R；
(v2)=v2′(v2，v3)=(v2′，v3′)
(v3)=v3′(v3，v4)=(v3′，v4′)
(v4)=v4′(v4，v5)=(v4′，v5′)
(v5)=v5′(v5，v6)=(v5′，v6′)
(v6)=v6′(v6，v1)=(v6′，v1′)
(v1，v4)=(v1′，v4′)
(v2，v5)=(v2′，v5′)
若存在着一个项点v∈V，使得deg(v)=0，则图G中各项点的度最大不超过n-2。因此n个项点的度在集合{0，1，2，…，n-2}里取值，而这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两个项点的度相同。
若不存在一个度为零的项点，则图G中各项点的度最大不超过n-1。因此n个项点的度在集合{1，2，…，n-1}中取值，这个集合只有n-1个元素，因此，根据鸽笼原理，必有两具项点的度相同。
m=m1+m2+…mk
=(n-1)· ·((n1-1)+(n2-1)+…+(nk-1))
= (n-1)((n1+n2+…+nk)-k)
= (n-1)(n-k)
≤ (n-1)(n-2) (k≥2)
这与已知M＞ （n-1）(n-2)矛盾。
因此假设错误，G是连通图。
11．设G=（V，E）是无向完全图（无自环），|V|=n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就 是6. 证明G中至少有5个6度顶点或至少有 6个5度顶点.
方法一：穷举法
设G中有x个5度顶点，则必有(9x)个6度顶点， 由握手定理推论可知，(x,9x)只有5种可能： (0,9), (2,7), (4,5), (6,3), (8,1）它们都满足要求.
方法二：反证法
2020/5/16
4 of 220
练习2 (续)
(1) D中有几种非同构的圈？ (2) D中有几种非圈非同构的简单回路？ (3) D是哪类连通图?
(1) D中有3种非同构的圈， 长度分别为1,2,3. (2) D中有3种非圈的非同构 的简单回路，它们的长度分 别为 4,5,6. (3) D是强连通的.
克鲁斯卡尔算法与普里姆算法 会画n阶（n较小）非同构的无向树及根树
（1n6） 熟练掌握求最优树的方法
2020/5/16
11 of 220
习题1
已知无向树T中有2个3度顶点，3个2度顶点，其余顶点 全是树叶，试求树叶数
解 解本题用树的性质m=n1，握手定理. 设有x片树叶，于是 n = 2+3+x =5+x,
2020/5/16
14 of 220
2020/5/16
7 of 220
练习2(续)
(5) v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为 1,1,3,5. 其中长度为1的是初级的(环)；长度 为2的是复杂的；长度为3的中有1条是复杂 的，2条是初级的；长度为4的有1条是复杂 的，有4条是非初级的简单回路. (6) 长度为4的通路(不含回路)为33条. (7) 长度为4的回路为11条. (8) 长度4的通路88条，其中22条为回路. (9) 44的全1矩阵.
2020/5/16
8 of 220
习题3 求最短路径 Dijstra算法
V2
8
3
2
V1
9
1
V3
V6
7
V7
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
32
V4
6
V5
5
2020/5/16
9 of 220
树
主要内容 无向树及其性质 生成树、最小生成树 根树及其分类、最优树
2020/5/16
10 of 220
习题课
基本要求 深刻理解无向树的定义及性质 熟练地求解无向树 准确地求出给定带权连通图的最小生成树
深刻理解图同构、简单图、完全图、子图、补 图、的概念以及它们的性质及相互之间的关系
记住通路与回路的定义、分类及表示法
深刻理解与无向图连通性、连通度有关的多个 概念
会判别有向图连通性的类型
熟练掌握用邻接矩阵及其幂求有向图中通路与 回路数的方法，会求可达矩阵
2020/5/16
2 of 220
练习1
图的基本概念
主要内容
无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、 子图、补图；握手定理与推论；图的同构
通路与回路及其分类 无向图的连通性与连通度 有向图的连通性及其分类 图的矩阵表示 最短路径
2020/5/16
1 of 220
基本要求
深刻理解握手定理及推论的内容并能灵活地应 用它们
2020/5/16
5 of 220
练习2(续)
D的邻接矩阵的前4次幂.
1 2 0 0 A 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0 1 0
1 2 2 0 A2 1 0 0 1
1 2 1 0 1 0 0 1
3 2 2 2 A3 1 2 1 0
2 2 2 1 1 2 1 0
5 6 4 2 A4 2 2 2 1
4 4 3 2 2 2 2 1
(4) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？
(5) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少 条？讨论它们的类型.
2020/5/16
6 of 220
练习2(续)
(4) v1到v4长度为1,2,3,4的通路数分别为0,0,2,2. 其中只有 长度为4的两条是非初级的简单通路（定义意义下），见 下图所示.
2m = 2(n1) = 2(5+x) = 23+32+x 解出x = 2，故T有2片树叶.
2020/5/16
12 of 220
习题2 求带权5,9,11,13,17的最优树. 55
解
31
24
14
17 11 13
5
9
2020/5/16
7.8 根树
13 of 220
习题3 求最小生成树 克鲁斯卡尔算法与普里姆算法
否则，由握手定理推论可知，“G至多有4个5度 顶点并且至多有4个6度顶点”，这与G是 9 阶图 矛盾.
2020/5/16
3 of 220
练习2
3．有向图D如图所示，回答下列各问： (1) D中有几种非同构的圈？ (2) D中有几种非圈非同构的简单回路？ (3) D是哪类连通图? (4) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？ (5) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少 条？讨论它们的类型. (6) D中长度为4的通路（不含回路）有多少条？ (7) D中长度为4的回路有多少条？ (8) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ (9) 写出D的可达矩阵.