离散数学习题课图论
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图的基本概念
主要内容
无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、 子图、补图；握手定理与推论；图的同构
通路与回路及其分类 无向图的连通性与连通度 有向图的连通性及其分类 图的矩阵表示 最短路径
2020/5/16
1 of 220
基本要求
深刻理解握手定理及推论的内容并能灵活地应 用它们
2020/5/16
4 of 220
练习2 (续)
(1) D中有几种非同构的圈？ (2) D中有几种非圈非同构的简单回路？ (3) D是哪类连通图?
(1) D中有3种非同构的圈， 长度分别为1,2,3. (2) D中有3种非圈的非同构 的简单回路，它们的长度分 别为 4,5,6. (3) D是强连通的.
2020/5/16
5 of 220
练习2(续)
D的邻接矩阵的前4次幂.
1 2 0 0 A 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0 1 0
1 2 2 0 A2 1 0 0 1
1 2 1 0 1 0 0 1
3 2 2 2 A3 1 2 1 0
2 2 2 1 1 2 1 0
5 6 4 2 A4 2 2 2 1
2m = 2(n1) = 2(5+x) = 23+32+x 解出x = 2，故T有2片树叶.
2020/5/16
12 of 220
习题2 求带权5,9,11,13,17的最优树. 55
解
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24
14
17 11 13
5
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2020/5/16
7.8 根树
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习题3 求最小生成树 克鲁斯卡尔算法与普里姆算法
2020/5/16
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习题3 求最短路径 Dijstra算法
V2
8
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2
V1
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1
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V4
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2020/5/16
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树
主要内容 无向树及其性质 生成树、最小生成树 根树及其分类、最优树
2020/5/16
10 of 220
习题课
基本要求 深刻理解无向树的定义及性质 熟练地求解无向树 准确地求出给定带权连通图的最小生成树
2020/5/16
7 of 220
练习2(续)
(5) v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为 1,1,3,5. 其中长度为1的是初级的(环)；长度 为2的是复杂的；长度为3的中有1条是复杂 的，2条是初级的；长度为4的有1条是复杂 的，有4条是非初级的简单回路. (6) 长度为4的通路(不含回路)为33条. (7) 长度为4的回路为11条. (8) 长度4的通路88条，其中22条为回路. (9) 44的全1矩阵.
克鲁斯卡尔算法与普里姆算法 会画n阶（n较小）非同构的无向树及根树
（1n6） 熟练掌握求最优树的方法
2020/5/16
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习题1
已知无向树T中有2个3度顶点，3个2度顶点，其余顶点 全是树叶，试求树叶数
解 解本题用树的性质m=n1，握手定理. 设有x片树叶，于是 n = 2+3+x =5+x,
否则，由握手定理推论可知，“G至多有4个5度 顶点并且至多有4个6度顶点”，这与G是 9 阶图 矛盾.
2020/5/16
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练习2
3．有向图D如图所示，回答下列各问： (1) D中有几种非同构的圈？ (2) D中有几种非圈非同构的简单回路？ (3) D是哪类连通图? (4) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？ (5) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少 条？讨论它们的类型. (6) D中长度为4的通路（不含回路）有多少条？ (7) D中长度为4的回路有多少条？ (8) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ (9) 写出D的可达矩阵.
4 4 3 2 2 2 2 1
(4) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？
(5) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少 条？讨论它们的类型.
2020/5/16
6 of 220
练习2(续)
(4) v1到v4长度为1,2,3,4的通路数分别为0,0,2,2. 其中只有 长度为4的两条是非初级的简单通路（定义意义下），见 下图所示.
2020/5/16
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9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就 是6. 证明G中至少有5个6度顶点或至少有 6个5度顶点.
方法一：穷举法
设G中有x个5度顶点，则必有(9x)个6度顶点， 由握手定理推论可知，(x,9x)只有5种可能： (0,9), (2,7), (4,5), (6,3), (8,1）它们都满足要求.
方法二：反证法
深刻理解图同构、简单图、完全图、子图、补 图、的概念以及它们的性质及相互之间的关系
记住通路与回路的定义、分类及表示法
深刻理解与无向图连通性、连通度有关的多个 概念
会判别有向图连通性的类型
熟练掌握用邻接矩阵及其幂求有向图中通路与 回路数的方法，会求可达矩阵
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百度文库
练习1
主要内容
无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、 子图、补图；握手定理与推论；图的同构
通路与回路及其分类 无向图的连通性与连通度 有向图的连通性及其分类 图的矩阵表示 最短路径
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基本要求
深刻理解握手定理及推论的内容并能灵活地应 用它们
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练习2 (续)
(1) D中有几种非同构的圈？ (2) D中有几种非圈非同构的简单回路？ (3) D是哪类连通图?
(1) D中有3种非同构的圈， 长度分别为1,2,3. (2) D中有3种非圈的非同构 的简单回路，它们的长度分 别为 4,5,6. (3) D是强连通的.
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练习2(续)
D的邻接矩阵的前4次幂.
1 2 0 0 A 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0 1 0
1 2 2 0 A2 1 0 0 1
1 2 1 0 1 0 0 1
3 2 2 2 A3 1 2 1 0
2 2 2 1 1 2 1 0
5 6 4 2 A4 2 2 2 1
2m = 2(n1) = 2(5+x) = 23+32+x 解出x = 2，故T有2片树叶.
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习题2 求带权5,9,11,13,17的最优树. 55
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7.8 根树
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习题3 求最小生成树 克鲁斯卡尔算法与普里姆算法
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习题3 求最短路径 Dijstra算法
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树
主要内容 无向树及其性质 生成树、最小生成树 根树及其分类、最优树
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基本要求 深刻理解无向树的定义及性质 熟练地求解无向树 准确地求出给定带权连通图的最小生成树
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练习2(续)
(5) v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为 1,1,3,5. 其中长度为1的是初级的(环)；长度 为2的是复杂的；长度为3的中有1条是复杂 的，2条是初级的；长度为4的有1条是复杂 的，有4条是非初级的简单回路. (6) 长度为4的通路(不含回路)为33条. (7) 长度为4的回路为11条. (8) 长度4的通路88条，其中22条为回路. (9) 44的全1矩阵.
克鲁斯卡尔算法与普里姆算法 会画n阶（n较小）非同构的无向树及根树
（1n6） 熟练掌握求最优树的方法
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习题1
已知无向树T中有2个3度顶点，3个2度顶点，其余顶点 全是树叶，试求树叶数
解 解本题用树的性质m=n1，握手定理. 设有x片树叶，于是 n = 2+3+x =5+x,
否则，由握手定理推论可知，“G至多有4个5度 顶点并且至多有4个6度顶点”，这与G是 9 阶图 矛盾.
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练习2
3．有向图D如图所示，回答下列各问： (1) D中有几种非同构的圈？ (2) D中有几种非圈非同构的简单回路？ (3) D是哪类连通图? (4) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？ (5) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少 条？讨论它们的类型. (6) D中长度为4的通路（不含回路）有多少条？ (7) D中长度为4的回路有多少条？ (8) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ (9) 写出D的可达矩阵.
4 4 3 2 2 2 2 1
(4) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？
(5) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少 条？讨论它们的类型.
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练习2(续)
(4) v1到v4长度为1,2,3,4的通路数分别为0,0,2,2. 其中只有 长度为4的两条是非初级的简单通路（定义意义下），见 下图所示.
2020/5/16
14 of 220
9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就 是6. 证明G中至少有5个6度顶点或至少有 6个5度顶点.
方法一：穷举法
设G中有x个5度顶点，则必有(9x)个6度顶点， 由握手定理推论可知，(x,9x)只有5种可能： (0,9), (2,7), (4,5), (6,3), (8,1）它们都满足要求.
方法二：反证法
深刻理解图同构、简单图、完全图、子图、补 图、的概念以及它们的性质及相互之间的关系
记住通路与回路的定义、分类及表示法
深刻理解与无向图连通性、连通度有关的多个 概念
会判别有向图连通性的类型
熟练掌握用邻接矩阵及其幂求有向图中通路与 回路数的方法，会求可达矩阵
2020/5/16
2 of 220
百度文库
练习1