石家庄市高中第一次模拟考试数学试题

石家庄市高中第一次模拟考试

数 学 试 题

2002.5

说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟. 以下公式供参考:

(1)台体体积:V =)(3

12211S S S S h +⋅+(其中h 是台体的高,S 1,S 2分别是台体上、下底 的面积);

(2)１2＋22＋32＋……＋n 2=

)(6

)

12)(1(N n n n n ∈++

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合M ={－1,1,2,4},N ={0,1,2},给出下列四个对应法则:(1)y =x 2,(2)y =x ＋1,(3)y =2x ,(4)y =log 2|x |,其中能构成从M 到N 的函数的是

A.(1)

B.(2)

C.(3)

D.(4)

2.当0＜a ＜1时,函数①y =a |x |与函数②y =log a |x |在区间(－∞,0)上的单调性为 A.都是增函数 B.都是减函数

C.①是增函数,②是减函数

D.①是减函数,②是增函数 3.若a ,b 是两条异面直线,则存在惟一．．

确定的平面β,满足 A. a //β且b //β B.a β⊂且b //β C. a ⊥β且b ⊥β D.a β⊂且b ⊥β

4.某单位职工工资经过六年翻了三番,则每年比上一年平均增长的百分数(下列数据仅供参考:

)38.16,44.13,73.13,41.1263====为

A.38%

B.41%

C.44%

D.73%

5.在一半径为1,高为定值的圆锥内有一底面半径为x 的内接圆柱,圆柱的侧面积S 是x 的函数,则函数s =f (x )的大致图象是

6.将(x ＋y ＋z )10展开后,则展开式中含x 5y 3z 2项的系数为

A.210310510C C C ⋅⋅

B. 2235510C C C ⋅⋅

C.31025C C ⋅

D.24510C C ⋅

,32t x +=

7.(理)已知直线l : (t 为参数)与直线2x ＋y ＋1=0相交于点P ,则点P 与点 y =－1－4t . A (2,－1)的距离为

A.25

B. 5

2

C.2

D.10 (文)点P (2,1)到线段:x －y ＋2=0(－2≤x ≤－1)上的点的最近距离是

A.

2

23 B.－3 C.17 D.22

8.(理)函数y =a sin x ＋b cos x (R x ∈)的最大值为5,则a ＋b 的最小值是 A.52 B.－52 C.10 D.－10

(文)y =sin x ＋3cos x ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈2,0πx ,则y 的最小值为

A.－2

B.－1

C.1

D.3 9.△ABC 的内角A 满足tg A －sin A ＜0,sin A ＋cos A ＞0,则角A 的取值范围为 A.(0,

4

π

) B.(2,4ππ) C. (43,2ππ) D. (ππ,43)

10.椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P １、P 2、…P n ,椭圆的右焦点为F .数列{|P n F |}是公差大于

100

1

的等差数列,则n 的最大值为

A.199

B.200

C.198

D.201

11.a ,b 为不相等的正实数,且a ,x ,y ,b 成等差数列,a ,m ,n ,b 成等比数列,则下列关系成立的是 A.x ＋y ＞m ＋n B.x ＋y =m ＋n

C.x ＋y ＜m ＋n

D.x ＋y 与m ＋n 的大小关系不能确定

12.定义:函数y =f (x ),x ∈D ,若存在常数c ,对于任意x 1∈D ,存在惟一的x 2∈D ,使c x f x f =+2

)

()(21,则称函数f (x )在

D 上的均值为c .已知f (x ) =lg x ,x ∈[10,100],则函数f (x ) =lg x 在[10,100]上的均值为

A.43

B.23

C.10

1

D.10

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)

13.已知f (x )=________)(,2)(,2

22=-=--a f a f x

x 则.

14.有一密码为的手提保险箱,现显示的号码为

要打开箱子,至少需要经过旋(每一个旋钮上显示的数字可为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的任意一个,只要一个旋钮上转出一个新数字就为一步,逆转、顺转都可以)________步．

15.(理)抛物线y =b (a

x )2

,x 轴及直线AB :x =a 围成了如图(1)的阴影部分,AB 与x 轴交于A ,把线段OA 分成n 等分,作以

n

a

为底的内接矩形如图(2),阴影部分的面积S 等于这些内接矩形面积之和,当n →∞时的极限值.则S =__________.

6 3 1 2 0 8 0 8 0 1 2 7

(文)已知数列{a n }的通项a n =n (n +1),S n 是前n 项和,则3

lim

n S n

n ∞→= ________.

16.有六根细木棒,其中较长的两根木棒长分别为a 3、a 2,其余四根长均为a ,请你用它们搭成三棱锥.则其中两条较长的棱所在的直线所成角的余弦值为__________.

三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分11分)

已知复数ω=i

i i i -+++1)

31)(21)(1(

(1)求|ω|及arg ω;

(2)设复数z =cos θ＋i sin θ,求使得|z －ω|取得最大值时,复数z 的值. 18.(本小题满分12分)

已知△ABC 中,三个内角A 、B 、C 对应的三边分别为a 、b 、c ．

(1)求证△ABC 的面积为S =;sin 2

1

C ab

(2)求证:

C

c

B b A a sin sin sin =

=; (3)若A 、B 、C 成等差数列,且a =10,b =9.求sin C 的值. 19.(本小题满分12分)

如图,三棱台ABC －A 1B 1C 1中,平面AC 1⊥平面ABC ,平面BC 1⊥平面ABC ,∠ACB =120°,AC =a ,BC =2a ,C 1B 1=a ,异面直线AB 1与CC 1所成的角为60°.

(1)求证CC 1⊥平面ABC ;

(2)求二面角B 1－AC －B 的大小(文科只求正切值); (3)求多面体AA 1C 1CB 1的体积. 20.(本小题满分12分) 为了治理“沙尘暴”,西部某地区政府经过多年努力,到1998年底,将当地沙漠绿化了40%,从1999年开始,每年将出现这种现象: 原有沙漠面积的12%被绿化,即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲),同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠．问至少经过几年的绿化,才能使该地区的绿洲面积超过50%?(可参考数据lg2=0.3,最后结果精确到整数.)

21.(本小题满分13分)

(理)已知函数f (x ) =x 2－1(x ≥1)的图象是C 1,函数y =g (x )的图象C 2与C 1关于直线 y =x 对称. (1)求函数y =g(x )的解析式及定义域M ;

(2)对于函数y =h (x ),如果存在一个正的常数a ,使得定义域A 内的任意两个不等的值x 1,x 2都有|h (x 1)－h (x 2)|≤a | x 1

－x 2|成立,则称函数y =h (x )为A 上的利普希茨1类函数.

试证明:y =g (x )是M 上的利普希茨1类函数．

(3)设A ,B 是曲线C 2上任意不同两点,证明:直线AB 与直线y =x 必相交.

(文)已知函数g (x )=－

x 1的图象关于点A (2

1

,21-)的对称图象为函数y = f (x )的图象. (1)求y = f (x );

(2)用函数单调性定义证明函数y = f (x )在区间(－1,＋∞)上为单调递增函数;

(3)若a ＞b ＞0,c =b b a )(1-,试比较f (a +c )与4

3

的大小.

22.(本小题满分14分)

已知⊙F 过定点A (a ,0)(a ＞0),圆心F 在抛物线C :y 2=2ax 上运动,MN 为⊙F 在y 轴上截得的弦. (1)试判断MN 的长是否随圆心F 的运动而变化?并证明你的结论;

(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时,抛物线C 的准线与⊙F 有怎样的位置关系?并说明理由.