随机区组和被试内实验设计以及对应的方差分析

近来关于随机区组和被试内实验设计以及对应的方差分析的问题，多人追问不止。既自觉已思路清晰、天下无敌。特本着一半自己再梳理一下，一半友好互助的形式小写个群邮件，充个英勇，让大家也分享下。定是不足与不当多多，盼批评指正。

相信把这个东西认真看完，思路不清晰的童鞋马上也会思路清晰起来。

看似很复杂，实际上我尽全力做到深入浅出，因此，相信只要是地球人都可以看得懂。

一、随机区组的被试分配：

a1 a2

区组b1 b2 b1 b2

1 1 4 7 10

2 2 5 8 11

3 3 6 9 12

数据刻意简单化，不合理没有关系。

是个2*2随机区组设计，3个区组。

如何分配被试？首先，随机区组的每个区组的被试应该是有差异的，否则就不需要分区组了，直接完全随机就可以了。

因此随机区组的前提是：区组间异质，而区组内的被试尽可能同质。

被试有以下几个情况：

第一分配方式：假设该实验的被试总个数为24个，每个区组的被试为8个。他可以有两种分配方式

1、将每组中的任意每2个被试随机接受一种处理，2*4=8

2、8人同时接受所有的处理，1*8=8

需要注意的三个问题：

1、一般都用第一种情况，第二种不用，因为区组内的这8个人本来就是理论上的同质的，所以只要把他们分开，随机接受不同的处理就能说明问题，这样可以省时，省钱，还能避免每个人由于重复测量导致的额外变量的增加。

2、它强调了区组内的被试随机接受不同的实验处理，也因此叫随机区组。

3、它要求每个区组的被试单位应该是实验处理水平的整数倍。如8/4=2

第二种分配方式：假设该实验的被试一共是3个，就是说，一个被试为一个区组。那么每个区组的这个被试全部接受实验的4个不同水平的处理。这个时候就需要平衡实验的顺序，防止一个人不短的被实验而出现的顺序效应，如何平衡，一般用“ABBA”或所谓的“拉丁方”。

第三种分配方式：当一个大团体（如学校）为一个区组的时候，而大团体中又有小团体的时候（如学校中的班级），通常让一个小团体接受一种处理。例如：ABC分别是不同的三个学校，他们各自为一个区组，那么A学校是区组一，A学校就要抽四个班级出来，每个班级随机接受一种实验处理。

注意：传统的观点认为上述“第二种方式”----一个被试为一个区组的情况不叫区组，叫被试内设计，就是因为每个被试都接受了不同的实验处理，因此没有随机可言。其具体的方差分析和随机区组的方差分析也有所差别。表现在SS残差的是否细分。具体往下看。

二、随机区组的方差分析

还是那个例子：

a1 a2

b1 b2 b1 b2

区组处理1 处理2 处理3 处理4

11 4 7 10

22 5 8 11

33 6 9 12

假定研究某种药物对某种操作的影响

自变量A（药物）有两个水平，药物分别是0单元和2单元

自变量B（实验环境）有两个水平，环境1和环境2。

分别取三个不同层次的个体，分别是：少年、青年、老年。

数据刻意简单化，不合理没有关系。

是个2*2随机区组设计

区组的个数n=3

a因素的处理水P=2

b因素的处理水平q=2

所有的处理水平p*q=4

所有的被试单位=N =npq =3*2*2=12

为了本质化，特意把所有的无聊的SS后面的字母统统去掉，用汉字表达

平方和的分解：

SS总=SS处理间+SS区组+SS残差

1、SS总=整个实验的每个具体测量值和整个实验的总平均数差的平方再求和。

即：SS总=∑（X-μ）^2（μ=总平均数，X=各原始测量值）

2、“SS处理间”是什么意思？

例子一共有4种处理，因此，SS处理间=4种处理中，n倍的“每一种处理的平均值与整个实验总平均值差的平方再求和”。

即：SS处理间=n*[∑（各种处理平均值-μ）^2]（μ=总平均数）

3、“SS区组”是什么意思？

例子一共有3个区组，因此，SS区组=3个区组中，pq倍的“每一个区组的平均值与整个实验总平均值差的平方再求和”。

即：SS区组=pq*[∑（各区组平均值-μ）^2]（μ=总平均数）

如何具体求SS总、SS处理间、SS区组？

1、求SS总：

因为SS总=∑（X-μ）^2（μ=总平均数，X=各原始测量值）

又因为整个实验的总平均数=6.5

因此SS总=∑（X-μ）^2=（1-6.5）^2+（2-6.5）^2+（3-6.5）^2+……+（12-6.5）^2 （μ=总平均数，X=各原始测量值）

2、求SS处理间：

因为SS处理间= n*[∑（各种处理平均值-μ）^2]（μ=总平均数，X=各原始测量值）

又因为处理1的平均值是2；处理2的平均值是5；处理3是8，处理4的是11。

因此SS处理间= n*[∑（各种处理平均值-μ）^2]=3*[（2-6.5）^2+（5-6.5）^2+（8-6.5）^2+（11-6.5）^2]

3、求SS区组：

因为SS区组= pq*[∑（各区组平均值-μ）^2]（μ=总平均数，X=各原始测量值）

又因为区组一的平均值是5.5，区组二的平均值是6.5，区组三的平均值是7.5。

因此SS区组= pq*[∑（各区组平均值-μ）^2]=4*[（5.5-6.5）^2+（6.5-6.5）^2+（7.5-6.5）^2]

4、求SS残差:

直接用SS残差= SS总-SS处理间-SS区组

但是实际中，计算一般不用先求对应的平均数，而是直接用原始数据。

根据数学转化，可以得出以下等式：（数学转换过程不需要管）

1、SS总=∑（X-μ）^2=∑X^2-[(∑X) ^2]/npq（μ=总平均数，X=各原始测量值）

2、SS处理间= n*[∑（各种处理平均值-μ）^2]=∑[（各种处理的总值^2）/n]-[(∑X) ^2]/npq（X=各原始测量值）

3、SS区组= pq*[∑（各区组平均值-μ）^2]=∑[（各区组的总值^2）/pq]-[(∑X) ^2]/npq（X=各原始测量值）所以可以用原始数据这么计算：

1、SS总=∑（X-μ）^2=∑X^2-[(∑X) ^2]/npq=1^2+2^2+3^2+……+12^2-[（1+2+3+……+12）^2]/12

2、因为处理1的总水平=1+2+3=6；处理2的总水平=4+5+6=15；处理3的总水平=7+8+9=24；处理4的总水平=10+11+12=33