图论复习题

图论及网络总复习题

一、选择题

1、设G是由5个顶点构成的完全图，则从G中删去（）边可以得到树。

A．6 B．5 C．8 D．4

2、下面哪几种图不一定是树（）。

A．无回路的连通图

B．有n个结点，n-1条边的连通图

C．对每对结点间都有通路的图

D．连通但删去任意一条边则不连通的图。

3、5阶无向完全图的边数为（）。

A．5 B．10 C．15 D．20

4、把平面分成x个区域，每两个区域都相邻，问x最大为（）

A．6 B．4 C．5 D．3

5、设图G有n个结点，m条边，且G中每个结点的度数不是k，就是k+1，则G中度数为k的节点数是（）

A．n/2 B．n(n+1) C．nk-2m D．n(k+1)-2m 6、图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的（）。

A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7、设G=为有向图，V={a,b,c,d,e,f}，E={,,,,}是（）。A．强连通图B．单向连通图C．弱连通图D．不连通图

8、无向图G中的边e是G的割边（桥）的充分必要条件是（）。

A．e是重边B．e不是重边

C．e不包含在G的任一简单回路中D．e不包含在G的某一简单回路中

9、在有n个结点的连通图中，其边数（）

A．最多有n-1条B．至少有n-1条C．最多有n条D．至少有n条

10．设无向简单图的顶点个数为n，则该图最多有（）条边。

A．n-1 B．n(n-1)/2 C． n(n+1)/2 D．n2

11．n个结点的完全有向图含有边的数目（）。

A．n*n Ｂ．n（n＋１） C．n／2 D．n*（n－l）

12．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（）倍。

A．1/2 B．2 C．1 D．4

13．连通图G是一棵树，当且仅当G中（）

A．有些边不是割边B．所有边都是割边

C．无割边集D．每条边都不是割边

14．4个顶点的完全图G，其生成树个数是（）。

A．4 B．8 C．16 D．64

15、设有33盏灯，拟公用一个电源，则至少需有5插头的接线板数（）。

A．7 B．8 C．9 D．14

二、应用题

题1：已知图的结点集V={a,b,c,d}以及图G和图D的边集合分别为：

E (G )={(a ,a ), (a ,b ), (b ,c ), (a ,c )}

E (D)={, , , , }

试作图G 和图D ，写出各结点的度数，回答图G 、图D 是简单图还是多重图？

题2：设简单连通无向图G 有12条边，G 中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G 中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．

题3：设简单连通无向图G 有9条边，G 中有4个3度结点，2个1度结点，其余结点度数为2．求G 中有多少个结点．

题4：两个图同构有下列必要条件：

（1） 结点数相同；

（2） 边数相同；

（3） 度数相同的结点数相同.

但它们不是两个图同构的充分条件，下图中(a)和(b)满足上述三个条件，但这两个图并不同构，请说明理由。

题5：

G 中度数为

于3，问G 中至少有多少边？

题6：若图G 是不连通的，则

G 的补图G 是连通的。

题7：当且仅当G 的一条边e 不包含在G 的回路中，e 才是G 的割边（桥）。

题8：n 个城市由k 条公路网络连接（一条公路定义为两个城市间的一条道路，它们之间不能通过任何中间城市），证明：如果有

k>2

1(n-1)(n-2) 则人们总能通过连接城市的公路在任何城市间旅行。

题9：判断下图是否能一笔画出，并说明理由。

图（a）图（b）

题10：构造一个欧拉图，其结点数n与边数m满足下列条件

（1）、n，m的奇偶性一样的简单图。

（2）、n，m的奇偶性相反的简单图。

如果不可能，请说明原因。

题11：设G是一个具有n个结点的简单无向图，n≥3，设G的结点表示n个人，G的边表示他们间的友好关系，若两个结点有一条边连接，当且仅当对应的人是朋友。

（1）、结点的度数能做怎样的解释？

（2）、G是连通图能做怎样的解释？

（3）、假定任意两个人合起来认识所留下的n-2个人，证明n个人能站成一排，使得中间每个人两旁站着自己的朋友，而两端的两个人，他们每个人旁边只站着他的一个朋友。（4）、证明对于n≥4，（3）中保证n个人能站成一圈，使每个人的两旁站着自己的朋友。

题12：设G是有11个或更多结点的图，证明G或G（补图）是非平面图。

题13：一棵树有n2个结点度数为2，n3个结点度数为3，…，n k个结点度数为k，问它有几个度数为1的结点。

题14：证明在完全二叉树中，边的总数m等于2(n t-1)，n t是树叶总数。

题15：给设d=（d1,d2,…,d n），其中d i为正数，i=1,2,…,n。若存在n个结点的简单图，使得结点v i的度数为d i，则称d是可图解的。下面给出的各序列中哪些是可图解的，哪些不是，为什么？

（1）、（1，1，1，2，3）（2）、（0，1，1，2，3，3）（3）、（3，3，3，3）（4）、（2，3，3，4，4，5）（5）、（2，3，4，4，5）（6）、（2，3，3，3）（7）、（2，3，3，4，5，6）（8）、（1，3，3，4，5，6，6）（9）、（2，2，4）（10）、（1，2，2，3，4，5）

题16：给无向完全图K n（n≥7）的各边随意涂上红色或绿色，若已知从某个结点v0引出的n-1条边中至少有六条边涂红色，则存在红色的K4或绿色的K3。

题17：证明：在任何两个或两个以上人的组内，存在两个人在组内有相同个数的朋友。

题18、设G为n个结点的简单无向图。

（1）、若G的边数m=(1/2)(n-1)(n-2)+2，证明G是哈密尔顿图。

（2）、若G的边数m=(1/2)(n-1)(n-2)+1，那么图G是否一定为哈密尔顿图？请阐述你的理由。题19、把平面分成x个区域，每两个区域都相邻，问x最大为几？

题20、设图G有n个结点，m条边，其中有n k个结点的度数为k，其余结点的度数均为k+1，试证明：n k=(k+1)n-2m。

题21、用Kruskal算法求下图的的最小生成树，并计算其权。