高级数理逻辑第4讲
逻辑思维特训营——第4讲：三花聚顶(最新小学数学课件)
大家一阵无语，米德说道：“关键时刻还 是要看我天才米德的，刚才我已经看穿了这个 魔方的还原方法了。大家准备好脱困吧！哈哈 哈哈......”
三花聚顶
完成两次之后，就要开始进行第三 层的还原，第三次的还原关键在于：
次，上逆两次，右顺一次
秘诀三分支二：中上一次，上顺一 次，中下一次，上顺两次，中上一 次，上顺一次，中下一次
出 现时，开始运用秘诀三分
秘诀三分支二：中上一次，上顺一次，中下一次， 上顺两次，中上一次，上顺一次，中下一次
PS:当顶部为中间黄块或者只有四个边 角有黄块的时候，运用秘诀三分之一 是做不出
PS：这几类都是表示已诀三分支一：右逆一次，上逆一
秘诀三是： 次，右顺一次，上逆一次，右逆一
黄色小花的完成。
还原黄色小花需要使用的就是我们的秘诀三：
秘诀三分支一：当顶部没有由黄色组成的
形状时使用。
右逆一次，上逆一次，右顺一次，上逆一次，右逆一次，上 逆两次，右顺一次
PS：当顶部为中间黄块并且四周有的黄块只在四个角的时候， 运用秘诀
三分支一是还原不出
形状的，这时候我们要用分支二来还原。
当 支二。
高级数理逻辑第4讲分析
4一阶谓词逻辑4.1 一阶谓词逻辑的基本概念4.1.1命题逻辑的局限性命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。
因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。
1、例如：所有自然数都大于它的素数 A ∀x(A(x)→y∃(P(x,y) ∧Q(y)))A(2100)→y∃(P(2100,y) ∧Q(y))∀x(A(x)→y∃(P(y,x) ∧Q(y)))2100是自然数B A(2100)2100有大于它的素数C y∃(P(y, 2100) ∧Q(y))对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。
因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。
而这些原子命题之间无法建立关联关系。
因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。
所以用命题逻辑描述它不能进行推理。
然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。
2、再例如：所有实数的平方是非负的A-是实数B3-的平方是非负的C34.1.2一阶谓词逻辑1、概述一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。
●个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。
个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。
P(x)●函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。
这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词（函数）。
F(x,y)=x*y●谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。
这些有关个体性质的描述称为谓词。
Q(y), P(x,y) ::x<y●量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。
有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。
为了描述这种范围特征，一阶谓词引入了量词。
2、谓词和函词●谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。
它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。
没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；相反为谓词填式。
谓词后面的空位个数为谓词的元数。
谓词是一个体域上的n元关系。
高三数学逻辑联结词与四种命题PPT教学课件
•
“对所有的x成立”的否定形
式何存为的在2某x8_个不_x_不成__成_存立立_在_”_某__个的_x_成否__立_定；形“式对
任 为
29______________.
•
五、反证法
•
反证法常用于证明唯一性、
以已否知定条形件 式出现、正面考虑较难的
题型.在推证矛盾时，一般有三种表 现 形 式 ： 一 是 与 30_________ 产 生
想 系以及判断是非的能力和推理能
力，尤其要重视“等价转化”思
想和“反证法”的应用.
• 一、逻辑联结词与命题
•
1. 逻辑联结词“或为”①__“且__”、②“非”
____、③____.
含有逻辑联结词
•的命题叫2.做复复合合命命题题的定义是④
________________
••若 假_p，_、_2则_.q二_pp一且且_真、_qq_型一为命_:假⑨_若真题_，_p__假、真__则__qp_值_真且. _,表_q则为_p_⑧且_._q_为假__⑦_假;_真若__p_、_;q • 1. 非p型：若p真，则非p为⑤
可通过举反例的方法，另外还可
以根据命题与它的逆否命题的等
价性来判断其真假.
题型2 复合命题的真假判断的应用
•
2. 已知m∈R，设命题p：函
数f(x)=x2-ax-2与x轴交于
A(x1,0),B(x2,0)两点，且不等式|4x1x2|≤|m2-5m-3|对任意实数a∈［-31,1］
恒成立；命题q：
•
盘点指南：①“或”；
②“且”；③“非”；④含有逻
辑联结词的命题叫做复合命题；
⑤假；⑥真；⑦真；⑧假；⑨假；
⑩真；11真；12假；13若q则p; 14
全版数理逻辑 .ppt
例如
{1，2} {1，2，3}， {1，2} {1，2}， {1，2}和{3，4，5}不相交， {1，2}和{2，3，4}相交。
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9．2．2 特殊集合
空集和全集是两个特殊集合．它们的概念相 简单，但在集合论中的地位却很重要．下面 介绍这两个集合．
AB<=>(x)(xA→xB)．
当A不是B的子集合时，即AB不成立时，记作A B(子集合可简称为子 集)。
▪ 注意区分和．例如
{a} {{a},b} 但 {a} {{a}，b}，
{a，b}{a，b，{a}} 但 {a，b}{a，b，{a}}．
AB表示A是B的一个元素，AB表示A的每个元素都是B的元素．此外， 是集合论的原始符号，这是一个基本概念；但是是由定义出来的概 念．
▪ 这个定义也可以写成
A=B<=>(x)(xA←→xB)，
A≠B<=>(x)﹁(xA←→xB)．
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▪ 这个定义就是集合论中的外延公理，也叫外延原 理．它实质上是说“一个集合是由它的元素完全决 定的”．因此，可以用不同的表示方法(外延的或内 涵的)，用不同的性质、条件和内涵表示同一个集 合．例如
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9．3．2 广义并和广义交
▪ 广义并和广义交是一元运算，是对一个集合 的集合A进行的运算．它们分别求A中所有元 素的并和交，A中可以有任意多个元素，它们 就可以求任意个元素的并和交．A中若有无限 多个元素，它们就可以求无限多个元素的井 和交．广义并和广义交是并集和交集的推 广．
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第三四讲——产生式及一阶谓词
专家系统的开发过程
专家系统是一个复杂的智能软件，与一般软件 类似，但又有不同的特点。
一般软件处理的对象是数值、文字、图形等信 息，且有固定的算法序列，而专家系统软件处理的 对象是以符号表示的知识，在运行过程中常有回溯 发生，因此专家系统的开发过程与一般软件的开发 有所不同。
专家系统的创始人费根鲍姆教授把开发专家系 统的技术称之为知识工程，即以知识获取、知识表 示、知识运用(推理)为中心。根据这个思想，可把 专家系统的开发过程分为以下几个阶段。
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例：初始状态 Start 目标状态 Goal
R冲1：突if 原P 则a：nd Q then Goal
R2：if选R取最an久d 以S 前t被he触n 发P 的或根本没有被触发的规则
R3：if如W果出an现d R“平t局he”n Q，选取R其4：中if的T第a一nd个U规则then Q
接口，完成信息适的用性和有效性密切相关的。
内部形式和人可接
间假设和中间结 果
收的形式之间进行
转换。
用
推
理
动态库
用
户
执
知识
户
界
行
获取
机
面
构
知识库
推理机根据动态库的当 前状态，利用知识库中 的知识进行推理。
包括:1与当前问题有关的数据信
解 释 息；2 一般知识和领域知识。规
机构
则、网络和过程等形式表示。
以人类专家知识为基础的专家系统的问题求解，从本质
上都可以看作是从初始状态到目标状态的推导变换过程，
因而都可用产生式系统来求解。
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高中数学 第二章 推理与证明 第4课时 演绎推理课件 新人教B版选修1-2.pptx
(2)如图，连接 GE. ∵GE∥A1A， ∴GE⊥平面 ABC. ∵DC⊥平面 ABC， ∴GE∥DC.
又∵GE＝DC＝12a， ∴四边形 GECD 为平行四边形． ∴EC∥GD. 又∵EC⊄平面 AB1D，DG⊂平面 AB1D， ∴EC∥平面 AB1D.
点评
1.用三段论证明命题的步骤 (1)理清楚证明命题的一般思路． (2)找出每一个结论得出的原因． (3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
(2) y＝sinx的增区间为2kπ－π2≤x≤2kπ＋2π，k∈Z → 2kπ－π2≤2x＋φ≤2kπ＋π2，k∈Z → 递增区间 (3) 求y＝sin2x＋φ的导数 → y＝sin2x＋φ的切线的斜率的取值范围 → 验证直线5x－2y＋c＝0是否与y＝sin2x＋φ相切
变式训练 2 有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于
平面内所有直线；已知直线 b 在平面 α 外，直线 a 在平面 α 内，直
线 b∥平面 α，则直线 b∥直线 a”，结论显然是错误的，这是因为
() A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：直线平行平面 α，则该直线与平面内的直线平行或异面， 故大前提错误．
点评 将演绎推理写成三段论的方法 (1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提． (2)用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可 大前提与小前提都省略．
(3)在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前
提.
变式训练 1 将下列推理写成“三段论”的形式． (1)向量是既有大小又有方向的量，故 0 也有大小和方向． (2)正方形的对角线互相垂直．
解析：(1)因为向量是既有大小又有方向的量，大前提 0 是向量，小前提 所以 0 也有大小和方向．结论 (2)因为菱形的对角线互相垂直，大前提 正方形是菱形，小前提 所以正方形的对角线互相应用
高级数理逻辑
1.2 数理逻辑的发展过程
第五阶段：公理集合论促进了数理逻辑形式 系统的产生 英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数 学家罗素在集合论的研究过程中，于1903 年提出了著名的罗素悖论（数学史上的第 三次危机）。罗素悖论动摇了集合论的基 础，促使人们去研究数学中的矛盾性。从 而提出了公理集合论。公理集合论的产生 和发展，促进了形式系统的产生。
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1.1 基本概念
语义 涉及符号和符号表达式的涵义。 语法 涉及符号表达式的形式结构，不考虑 任何对语言的解释。
两者既有区别又有联系。
---------------------------------------------------------11
1.2 数理逻辑的发展过程
逻辑学→数理逻辑→形式逻辑→计算逻辑 第一阶段：逻辑学思想的提出 亚里士多德提出建立探索人类推理、 思维原则的学科，从而有了逻辑的概念。
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1.2 数理逻辑的发展过程
第四阶段：发展为独立的学科 十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有 了比较大的发展，1884年，德国数学家弗 雷格出版了《数论的基础》和《符号论》， 在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的 符号系统更加完备。对建立这门学科做出 贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作 中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑 最基本的理论基础逐步形成，成为一门独 立的学科。
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1.2 数理逻辑的发展过程
第六阶段：形式推理自动化的产生 1965年Robinson提出了归结原理 （Principle of Resolution），归结原理提 出了基于形式描述的，利用计算机的推理 方法。从而使机器定理证明和计算机辅助 软件工程得到长足的发展。
数理逻辑简介.ppt课件
14、等价否定等值式 A B A B
15、归谬论 (A B) (A B) A
三、等值演算。
置换定理：如果 A B，则 ( A) (B)。
例2、验证下列等值式。
(1) p (q r) ( p q) r
(2) p (q r) p (q r) q r (3) q (p q) p 1
q (q p)
q (q p)
(q q) p
1 p 1
分配律 矛盾律 同一律 德摩根律 结合律 排中律 零律
考虑问题:能否利用等值式来化简，或判断 公式的类型(重言，矛盾，可满足)。
判断一个公式是否重言式，矛盾式，可满足 式，或者判断两个命题公式是否等值。有两种方 法，即真值表法和等值演算法。
内容：等值关系，24个重要等值式，等值演算。 重点：(1) 掌握两公式等值的定义。
(2) 掌握24个重要等值式，并能利用 其进行等值演算。
一、两命题公式间的等值关系。
1、定义：设 A, B为两命题公式，若等价式 A B 是重言式，则称 A与B是等值的，记作 A B 。
2、判定 。
判断两公式 A, B是否等值，即判断 A B
例2、 p p q r p r
为_5__层公式。
3、真值表。
公式 A 的解释或赋值
赋值
成真赋值 成假赋值
（使A为真的赋值） （使A为假的赋值）
如公式 A ( p q) r ，110( p 1, q 1, r 0 ，
按字典序)为 A 的成假赋值，111，011，010……
等是 A 的成真赋值。
2、结合律 (A B) C A (B C)， (A B) C A (B C)
3、分配律 A (B C) (A B) (A C) ， A (B C) (A B) (A C)
北邮高级数理逻辑课件
形式系统由{∑, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}等5个部分构成，其中 称为符号表，TERM 为项集；FORUMULA 为公式集；AIXIOM 为公理集；RULE 为推理规则集。
：1、 符号表∑为非空集合，其元素称为符号。
2、 设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。
项集TERM 为∑*的子集，其元素称为项；项集TERM 有子集V ARIABLE 称为变量集合，其元素称为变量。
F(X) a, X,3、 设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。
公式结FORMULA 为∑*的子集，其元素称为公式；公式集有子集ATOM ，其元素称为原子公式。
A(f(a,x1,y)), A →B4、 公理集AXIOM 是公式集FROMULA 的子集，其元素称为公理。
5、 推理规则集RULE 是公式集FORMULA 上的n 元关系集合，即RULE=)}2(|{n FORMULA r n n n r ⊆∧≥∧∃是正整数，其元素称为形式系统的推理规则。
其中公式集和项集之间没有交叉，即TERM ∩FORMULA =φ，公式和项统称为表达式。
由定义可知，符号表∑、项集TERM 、公式集FORMULA 是形式系统的语言部分。
而公理集AXIOM 、推理规则集RULE 为推理部分形式系统特性1、 符号表∑为非空、可数集合（有穷、无穷都可以）。
2、 项集TERM 、公式集FORMULA 、公理集AXIOM 和推理规则集RULE 是递归集合，即必须存在一个算法能够判定给定符号串是否属于集合（可判定的）。
3、 形式系统中的项是用来描述研究的对象，或者称为客观世界的。
而公式是用来描述这些研究对象的性质的。
这个语言被称为对象语言。
定义公式和项产生方法的规则称为词法。
公理：I))((A B A →→ II))()(())(((C A B A C B A →→→→→→ III ))())()(((A B B A →→⌝→⌝证明：A →A(1)A →(A →A)((A →(B →C))→((A →B)→(A →C))((A →(B →A))→((A →B)→(A →A))((A →((A →A)→A))→((A →(A →A))→(A →A))A →((A →A)→A))(A →(A →A))→(A →A)(A →(A →A))A →ABB A A →, 已知：R 是一个有关公式的性质证明：R 对于所有公式有效I. 对于)(FSPC Atom p ∈，则)(P RII. 假设公式A 和B 都具有RIII. )(FSPC Atom A ∈∀，且)(A R ，则)(A R ⌝IV. B A ,∀是公式，如果)(A R 且)(B R ，则)(B A R →根据：形式系统的联结词只有两个→⌝,，因为在命题逻辑的语义上，其他联结词可以有这两个联结词表示。
逻辑学北大精品课04
2019年9月6日星期五
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约束变元和自由变元
变元的约束出现：一个变元在公式里的出现是 约束的，当且仅当，这种出现是在采用该变元的 量词的辖域内。
变元的自由出现：一个变元在公式里的出现是 自由的,当且仅当，该变元的出现不是约束的。
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命题逻辑和谓词逻辑
研究推理形式的有效性时，把命题当做不可分的逻辑单位有时是不够的。 例如：
（1）张三的朋友都是李四的朋友，王五不是李四的朋友。所以，王五 不是张三的朋友。
这个推理的形式在命题逻辑中表示为：P，¬q├ ¬r
这个推理事实上是有效的。但仅用命题逻辑的理论不能表明它是有效的 推理。
（4）有的大学生是儿童：x(Sｘ∧Cｘ) （5）小李没有同任何人吵架。பைடு நூலகம்
a：小李；Ｍ：…是人，D：…同…吵架，形式化为：x（Ｍx→Ｄax） （6）有些大一学生认识小李。
a：小李；F ：…是大一学生，R：…认识…，形式化为： x(Fx∧Rxa)
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命题的形式化
在对以上命题形式化时，没有限制论域，即论域是全 域。我们也可在一定的范围内讨论问题，因些个体变元的 变域往往被限制在某个特定的范围内。
2019年9月6日星期五
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量词
表示论域D中个体数量的语词
全称量词：指称论域D中个体的全部。 例如：所有，任何，每一个，…。
存在量词：指称论域D中个体至少有一个存在。 例如：存在，有，有些，…。
符号化的量词： 全称量词：所有x，任何x，…，均记为：x。 存在量词：有x，存在x，…，均记为：x。
交大数理逻辑4-2-谓词逻辑的基本概念PPT课件
→Q(|f (x)-b|, e))
对谓词变元多次量化的分析
设P(x, y)是二元谓词，则两变元的量化形式为： (x)(y)P(x, y)= (x)((y)P(x, y))
对一切的x和一切的y, 都有关系P，量词次序可互换
如(x)(y)P(x, y)在{1, 2}上的解释
对(x)(y)P(x, y)一个解释I如下：
D={1, 2}; 谓词: P(1,1)=T, P(1,2)=F, P(2,1)=F; P(2,2)= T;
(x)(y)P(x, y) (y)P(1, y) (y)P(2, y)
(P(1, 1) P (1, 2)) (P(2, 1) P (2, 2)) =(T F) (F T) =T
自然语句的形式化
在《数学分析》中极限定义为： 任给小正数e ，则存在一个正数d ，使得当
0<|x-a|< d 时有 |f (x)-b|<e。此时即称
limf (x) b
xa
解1: (e)(e>0(d)(x)(d>0 (0<|x-a|<d|f (x)-b|<e))) 解2：设 P(x, y)：x>y, Q(x, y)：x<y
公式的解释举例
对(x)(P(x)→Q(f (x), a))一个解释I如下：
D={1, 2}; D中特定元素a=1; 函数f (x): f (1)=2, f (2)=1 谓词: P(x): P(1)=F, P(2)=T
Q(x, y): Q(1, 1)=Q(1, 2)=Q(2, 2)= T ，Q(2, 1)= F
数理逻辑_4
定理１ 对任意谓词公式A，都存在与其等价的前 束范式 . 证明 通过如下步骤，可将A化为前束范式． (1)使用等价式 A B＝(A→B)∧(B→A), A→B＝A∨B 去除→与 ， (2)使用Morgan律和双重否定律及量词否定型 等价式将 放在原子公式之前． (3)利用量词分配等价式，将所有量词提到公式 前面必要时换名)．
• 任取一个解释I及赋值v，设在此解释及赋值 下，xA(x)为１, 即 xA(x)I,v＝１，则 xA(x)I,v＝０，即有一个a∈D使A(a)I,v＝０， 于是 A(a)I,v＝１，故 x A(x)I,v＝１． • 反之，……。
谓词逻辑中的基本等价式
• 3. 量词分配等价式． • (1) x(A(x)∨B)＝xA(x)∨B. x(A(x)∨B)＝xA(x)∨B. x(A(x)∧B)＝xA(x)∧B. x(A(x)∧B)＝xA(x)∧B. • (2) x(A(x)∧B(x))＝xA(x)∧xB(x). x(A(x)∨B(x))＝xA(x)∨xB(x). xy(A(x)∨B(y))＝xA(x)∨xB(x). xy(A(x)∧B(y))＝xA(x)∧xB(x).
第二类型Skolem范式
• 生成方法：去掉存在量词 • 例： x y z u v w P(x,y,z,u,v,w) • 定理 2：公式A永假 当且仅当 其Skolem范 式永假。
推理理论
• 定义１ 设A，B是两个公式，如果对任意 解释I及赋值v，当A的真值为１时必有B的 真值为１，则称A蕴涵B，记为A B．
谓词逻辑中的基本等价式
• １．从命题逻辑中移植来的等价式 由P＝P 可得 A＝A. 由 P→Q＝P∨Q 可得 A→B＝A∨B.
• ２．量词否定型等价式 xA(x) ＝ x A(x). xA(x) ＝x A(x).
高等数理逻辑 课程介绍
z
无限集合初步 公理集合论初步 自然数的逻辑理论
z
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命题逻辑完备性定理及紧致性 命题逻辑公理的独立性 可满足问题及相关判定算法 谓词逻辑的模型及无限模型 一目谓词逻辑的可判定性 非欧几何简介 实闭域的可判定性 谓词逻辑的完备性 谓词逻辑公理的独立性 可计算性及半可判定性 不完备性定理与非标准模型 直觉主义逻辑 模态逻辑 □
/ Th(< N,0,1,+, $ > ) . 性质: PA U / Goodstein定理. 性质: PA U Gödel 不完备性定理: Hilbert 第 10 问题: 结论: 以下问题是不可判定的:
z z
z
停机问题 初等函数恒等式是否成立. l
更多的逻辑理论及其在计算机科学中的应用 直觉主义逻辑 模态逻辑 时态逻辑 知识点
{
算法存在性: 可判定 半可判定 不可判定
※ □
z
逻辑方法在计算机科学中的应用 将抽象问题类转换为具体问题, 从而实现问题求解: 自动定理证明 数据挖掘 模式识别 l
{ { { {
□
z
逻辑应用 基于逻辑方法的问题求解过程: 实际问题 D D D 问题类 抽象算法 实际算法 形式描述 判定分析 实际经验 ※ □
命题逻辑用于解决实际问题 考虑以下例子: 如何为 A,B,C 排名次, 使得分别为第一、第二、第三, 且以下每种情形中的两个条件正好一个成立:
z
z
z
情形一: A 第一, C 第三 情形二: B 第一, A 第三 情形三: C 第一, A 第二 p 1 : A 第一. p 2 : A 第二. p 3 : A 第三. q 1 : B 第一. r 1 : C 第一. r3 : C 第三.
第五章 高级数理逻辑
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当涉及归纳定义的集S上的函数f的递归定 义和递归定义原理时，应当要求S中的元有 唯一的生成过程 例 M={0,1}，g1是一元函数，且有g1(0)=1, g1(1)=0，故S={0,1}中的0和1可以由M生成， 也可以由g1生成，即生成过程不唯一.
27
例 令h(0)=h1(0)=0和h(1)=h1(1)=1，则按照 递归定义S上的函数f如下：
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归纳证明
使用如上定理作出的证明，称为归纳证明， 即用归纳法作出的证明。 命题“对于任何n∈N，R(n)”是归纳命题， 其中n是归纳变元，这是说，当证明归纳命 题时，要对n做归纳。
第一步，称为（归纳的）基始，是证明定理中
的(i)，即0有性质R。 第二步，称为归纳步骤，是证明其中的(ii)，即 后继运算保存R性质。归纳步骤中的假设R(n) 称为归纳假设。
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f(x)=h(x) 对于任何x∈M f(g1(x))=h1(f(x)) 对于任何x∈S 当0,1 ∈M时，有 f(0)=h(0)=0和f(1)=h(1)=1 但是此外，也有 f(0)= f(g1(1))=h1(f(1)) =h(1)=1 f(1)= f(g1(0))=h1(f(0)) =h(0)=0
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递归定义原理
在归纳定义的集上定义函数，可以采用递 归定义的方法。 定理2 设g和h是N上的已知函数，则存在唯 一的N上的函数f，使得
f(0)=g(0),
f(n’)=h(f(n))
或 f(n’)=h(n, f(n)) .
对于任何n∈N，f(n)的值能够由上述定义f 的方程通过f(0),f(1),…,f(n-1)计算出来。称 这种定义为递归定义。
高级数理逻辑
集合归纳定义的一般情况
设M为集合，gi为ni元函数，i=1,2,…,k。 两种等价的定义：
(1)M⊆S (2)对于任何x1,x2,…,xni，若x1,x2,…,xni ∈S，则 gi (x1,x2,…,xni ) ∈S (3)只有由（有限次使用）(1)和(2)生成的元素才是S 中元素
集合S是满足以下(1)和(2)的T中的最小集： (1)M⊆T (2)对于任何x1,x2,…,xni，若x1,x2,…,xni ∈T，则 gi (x1,x2,…,xni ) ∈T
课程的主要内容?经典逻辑?命题逻辑?谓词一阶逻辑?非经典逻辑?构造型逻辑?模态逻辑集合论?19世纪下半叶cantor提出朴素集合论?1903年russel提出集合论悖论产生数学的第三次危机?1908年zermelo提出公理化集合论zf体系集合论?集合论是数学的基石?基本概念?集合元素?序偶笛卡尔积?关系?映射?等价关系?相容关系?序关系集合元素?若干事物组成的整体被称为集合集合中的每个事物被称为元素
自然数集的归纳定义
后继 两种等价定义
(1)0∈N (2)对于任何n，若n∈N，则n’ ∈N（n’为n的后继） (3)只有由（有限次使用）(1)和(2)生成的n ∈N
N是满足以下(1)和(2)的S中的最小集： (1)0∈S (2)对于任何n，若n∈S，则n’ ∈S（n’为n的后继）
基于自然数集的归纳证明原理
笛卡尔积
ST { x, y | x S y T}
扩展(n>2)
有序n元组
<a1, a2, …, an>=<< a1, a2, …, an-1 >, an >
n阶笛卡尔积
S1 S2 ...Sn { x1, x2,..., xn | x1 S1 x2 S2 ... xn Sn}
数理逻辑ch4
举例：用核心语言编写n！程序 因为自然n的阶乘n！归纳定义为（由数学知） 0！=1 （n+1）！=（n+1）*n！ （4-4） 用核心语言编写为： y=1； z=0； while（z！= x）{ z=z+1； y= y*z； } Note：这虽然是一个很简单的程序P，但要验证 它确实能做到，接下来我们就验证它。
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例2：如计算n的阶乘n：（设程序为fac1） y=1； z=0； while（z！=x） { z= z+1； y= y*z； } 该程序只有x最初为非负时该程序才终止 |=tot (|x≧0|Fac1|Ψ|) 成立 |=tot (| T |Fac1|Ψ|) 不可证 |=par (|x≧0|Fac1|Ψ|) 可证 |=par (| T |Fac1|Ψ|) 可证
25
例如： 对满足 L（x）=-2 L（y）=5 L（z）=-1 的任意状态L，关系
① L╞ ┐（x+y< z）成立， 因为x+y计算为-2+5=3，Z计算为L（z）=-1 而3不是严格小于-1。故成立
26
例如：对满足 L（x）=-2 L（y）=5 L（z）=-1 的任意状态L，关系
②L╞ y- x*z< z不成立 即：5-（-2）*（1-）=3而3不是严格小于-1。故 ②不成立
14
3）命令的形式定义 C ::= x= E∣C;C∣if B{C} else{C} ∣while B{C} x=E: 当前状态下计算整数表达式E的值，然后用该计算 的结果复写储存在x中的当前值 C;C： 命令C1和C2的顺序合成。开始在当前储存状态下 执行C1。若执行终止，则在执行C1的结果后的储 存状态下执行C2，否则C1的执行不终止，运行 C1,C2也不终止。
高级数理逻辑第4讲
4 一阶谓词逻辑4.1 一阶谓词逻辑的基本概念4.1.1命题逻辑的局限性命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。
因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。
1、例如:所有自然数都大于它的素数 A - x(A(x) -l y (P(x,y) Q(y)))100 100A(2 ) y (P(2 ,y) Q(y))-x(A(x) y (P(y,x) Q(y)))2100是自然数B A(2100)2100有大于它的素数C y (P(y, 2100) Q(y))对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。
因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。
而这些原子命题之间无法建立关联关系。
因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。
所以用命题逻辑描述它不能进行推理。
然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。
2、再例如：所有实数的平方是非负的A--3是实数B-3的平方是非负的C4.1.2 一阶谓词逻辑1、概述一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。
个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。
个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。
P(x)函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。
这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词(函数)。
F(x,y)=x*y谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。
这些有关个体性质的描述称为谓词。
Q(y), P(x,y) ::x<y量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。
有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。
为了描述这种范围特征，阶谓词引入了量词。
2、谓词和函词谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。
它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。
没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；相反为谓词填式。
谓词后面的空位个数为谓词的元数。
谓词是一个体域上的n通常P(x,y,z)=0,1，表示x,y之间具有关系P(1,2)。
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4一阶谓词逻辑4.1 一阶谓词逻辑的基本概念4.1.1命题逻辑的局限性命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。
因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。
1、例如：所有自然数都大于它的素数 A ∀x(A(x)→y∃(P(x,y) ∧Q(y)))A(2100)→y∃(P(2100,y) ∧Q(y))∀x(A(x)→y∃(P(y,x) ∧Q(y)))2100是自然数B A(2100)2100有大于它的素数C y∃(P(y, 2100) ∧Q(y))对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。
因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。
而这些原子命题之间无法建立关联关系。
因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。
所以用命题逻辑描述它不能进行推理。
然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。
2、再例如：所有实数的平方是非负的A-是实数B3-的平方是非负的C34.1.2一阶谓词逻辑1、概述一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。
●个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。
个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。
P(x)●函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。
这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词（函数）。
F(x,y)=x*y●谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。
这些有关个体性质的描述称为谓词。
Q(y), P(x,y) ::x<y●量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。
有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。
为了描述这种范围特征，一阶谓词引入了量词。
2、谓词和函词●谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。
它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。
没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；相反为谓词填式。
谓词后面的空位个数为谓词的元数。
谓词是一个体域上的n元关系。
通常P(x,y,z)=0,1，表示x,y之间具有关系P(1,2)。
●函词定义：函词是表示某种操作的语言成份。
用于在给定的个体基础上，产生新的个体对象。
与谓词一样，函词具有空位的概念。
函词后面空位的个数为函词的元数。
通常用F(x,y,z)=x+y+z表示。
3、变元和常元●常元：常元表示个体域中的一个确定个体。
如：5，Zhang San 等。
●变元：变元可以用来表示个体域上的任意个体，是不确定的。
例如：（1）z+y=0 P(f(y,z)) 二元谓词表示方程P(f(x,z))==;P(f(-3,2))－3＋2＝0Z+y=x+y=0（2）对所有z，x，y•x=x•y Q(x*Z,Z*x) 二元谓词表示乘法交换率Q(x,z)=13*2=2*3Q (f(x,y),f(y,x))=Q (f(1,2),f(2,1))=1从这个例子来看，变元是具有不同的性质的。
因此，在一阶谓词逻辑中将变元划分成自由变元和约束变元。
f(x)+x+z=0对于所有的X,Y,P(x,y)<=P(X,Y)●自由变元：自由变元是真正的变元，可以将个体域中的任意个体代入到自由变元中。
类似于数学中的变元。
●约束变元：约束变元并不是实际意义的变元（数学意义上的变元）。
约束变元是为表达某种想的辅助符号。
●自由变元与约束变元的对比：自由变元约束变元可代入不可代入不可改名可改名举例说明：采用上例。
4、量词我们引入了谓词、函词、变元和常元的概念，还不能充分的描述现实中的命题。
例如对于下面的命题：如果P(x)对任意x恒真，则P(x+1)恒真。
我们现在表示，只能用P(x)→P(x+1)，来表示。
而这种表示方法没有确定的含义，例如可以认为P(x)是存在一个x 的值是P(x)成立。
为了描述这些谓词的成立范围，一阶谓词逻辑引入了量词的概念。
∀x Q(X2)=~ x ∃~Q(X2)x ∃Q(X,100000)=~∀x ~Q(X,100000) ~∀x Q(X,100000)= x ∃~Q(X,100000)∀z ∀y(Q(z*y,y*z))∀ x P(x) →∀yP(y+1)；P 大于0，x 论域是自然数, ∀xP(x)→ ∀yP(y+1)∀x ∀ y(P(x)→P(y+1))∀ x (P(x) →P(x+1)); P 大于0，x 论域是实数● 全称量词：)(x xP ∀中的∀称为全称量词，x ∀中的x 称为∀的指导变元；)(x P 称为量词的辖域。
x ∀(A(x))-->B(x)● 存在量词：)(x xP ∃中的∃称为存在量词，x ∃中的x 称为∃的指导变元；)(x P 称为量词的辖域。
x ∃ (A →B)→C ==x=1,A(1)→B(1) A(1)→B(1) x ∃A →BA(1,…)=1● 指导变元是约束变元。
● 量词等价公式：1. ∀xA(x)╞│)))(((x A x ⌝∃⌝{1,2,3} === ~(~(A(1)^A(2)^A(3)))=1 P(x,y)Y=1, x=1,x=2,x=3, P(x,y)=1===P(1,1),P(2,1), P(3,1)=1X=1, y=1, P(1,1)=1 P(1,2)=0, P(1,3)=0 X=2, y=2 P(2,2)=1, P(2,1)=P(2,3)=0 X=3, y=3, P(3,1)=P(3,2)=0, P(3,3)=1 ; \ ~(~A(1)v~A(2)v~A(3))=~~A(1)&~~A(2)&~~A(3) 2. )(x xP ∃ ╞│))((A x ⌝∀⌝ 3. ))((x xP ∀⌝╞│))((x P x ⌝∃4. )(x xP ⌝∃╞│))((x P x ⌝∀5. yA x ∀∀╞│ xA y ∀∀6. yA x ∃∃╞│xA y ∃∃yA x ∃∀(x,y) f(x) xA y ∀∃(x,y) x ∀(A(x)→A(x+z)) x ∀A(x)→A(x+z)∀xA(x) V ∀xB(x)=∀x(A(x)VB(x);A(1)^A(2)^A(3) B(1)^B(2)^B(3) A(1), B(1); B(2),A(2); A(3), B(3)==== ∀x ∀y(A(x) VB(y))= ∀x(A(x)VB(x))5、 用一阶谓词逻辑描述问题：例如：所有实数的平方是非负的3-是实数 3-的平方是非负的一阶谓词的表示： ))()((2x P x R x →∀)3(-R ))3((2-P4.2 一阶形式系统（FSFC ）回顾形式系统的构成，主要有语言部分和推理部分构成。
语言部分是一阶语言。
4.2.1 一阶语言一阶语言可以从以下几个方面定义：符号表、项集、公式集等三个部分。
1、符号表● 个体变元符号：x,y ……● 个体常元符号：21.....a a ● 函词符号：,,,)1(3)1(2)1(1f f f（一元函词）,,,)(3)(2)(1n n n f f f（n 元函词）● 谓词符号：,,,)1(3)1(2)1(1P P P（一元谓词） ,,,)(3)(2)(1n n n P P P（n 元谓词）● 联结词：⌝→, ● 量词：∀ ● 技术符：)(,2、项：谓词所讨论的对象。
项是递归定义的集合，其定义如下：（1）变元和常元交项；（2）对于任意正整数n 和函数)(n f，如果nt t ........1为项那么).......(1n n t t f 为项；（3）除有限次使用（1）（2）得到外，没有任何项。
{a, x, f()}={a, x,fn(a), fn(x)}由定义可知，项集是递归定义的、是可判定的。
3、公式集：公式由以下递归定义：（1）对于任意正整数n ，如果nt t ........1为项，那称).......(1n n t t P 为公式，并为原子公式；（2）如果A ，B 为公式，那么B A A →⌝,，xA ∀公式；（3）公式都是有限次使用（1）（2）得到的，除此之外无其他公式。
4.2.2 一阶语言性质● 闭项：不含自由变元的项),(21a a f ，● 闭公式：不含自由变元的公式P(a,b) ∀y(P(a,y)→B(y)) = ∀x((P(a,x))－>B(x))∀y(P(a,y)－>B(y))= ∀x(P(a,x)－>B(x)) ∀x(P(a,x)－>B(y))∀x(P(a,x)－>B(x)) A(x)=1,0;;;, ∀x A(x);● 辖域：公式A 称为量词)(x x ∃∀的辖域，如果)(x x ∃∀与A 相邻，且A 的任何真截断不是公式● 约束出现：在公式A 中，变元x 的某个出现叫做约束出现，如果x 为∀(x)的指导变元或在∀x ，∃x 的辖域内。
否则为自由出现)()(1211x P x P x ⌝→∀=VyP(y)→~P2(x1)x 1为约束出现，x 2为自由出现● 可代入性：称项t 是对A 中自由变元x 可代入的；如果A 中项x 的任何自由出现都不在)(y y ∃∀的辖域内，这里y 是t 中的任意自由变元。
∀y ∀x ∀zP(x,z) ∀yP(x,f+1)∀yA(x,y) t=y+1;∀yP(x+1,z)P(5,6)t=y+1 ∀yP(y+1,z) t=(x1+z) A=∀yP(x1+z,z))(),(y q y x xP →∀ )(),(a x q a x x xP +→+∀ )(),(a x q a x z zP +→+∀y=x+a=t 不可代入，y=z+a 为可代入的。
● 代入：将公式A 中变元x 的所有自由出现代换为项t 的过程称为代入，代入后所得公式称A 的实例。
将项x+a 代入到公式)(),(y q y x xP →∀中的y 得到：)(),(a z q a z x xP +→+∀P(x,y,z)→Q(x)(y+1)/x, P(y+1,y,z)→Q(y+1) P(y+1,z+1,z)→Q(y+1)(z+1)/y, P(z+2,z+1,z)→Q(z+2) P(x,z+1,z)→Q(x)P(y+1,z+1,z)→Q(y+!)∀yP(x,z) ∀yP(x,f+1)∀yP(z+1,z):::: ∀yP(y+x+1,y+x) ∀yP(z+1,y+x){(z+1)/x, (y+x)/z}我们用记号n n vv v t t t A ,,,,,2121 表示对A 中变元n v v v ,,21，同时作代入，1v 代换为项1t …n v 代换为项n t 。
这与下面的逐步代入是不同的：n n v t v t v t A )))(((2211∀xP(x,y,z)====Y=z+1, z=y1+1∀xP(x,z+1,y1+1)∀xP(x,z+1,z), ∀xP(x,y1+2,y1+1)Y=y1+2; z=y1+1例：设公式A 为21)2(v v P 可以写为),(21v v P ，那么 v2→v1, v3→v2P(v1,v2)==P(v2,v2)==P(v3,v3) P(v2,v3)),()((3333)2(2312v v P v v P A v v v v ==P(V1,V2)-----P(v2,v2)----P(v3,v3)P(v2,v3)P(v1,v2);P(v2,v2);P(v3,v3) P(v1,v2);P(v2,v3)),(3232)2(,,3122v v P v v P A v v v v ==P(v1,v2)=P(v2,v2)=P(v3,v3) P(v1,v2)=(v2,v3)可代入性保证了代入过程中变项的约束关系不发生改变，即原来约束的代入后仍旧是约束的；原来自由的代入后仍旧是自由的。