高级数理逻辑第4讲

4一阶谓词逻辑

4.1 一阶谓词逻辑的基本概念

4.1.1命题逻辑的局限性

命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。

1、例如：

所有自然数都大于它的素数 A ∀x(A(x)→y∃(P(x,y) ∧Q(y)))

A(2100)→y∃(P(2100,y) ∧Q(y))

∀x(A(x)→y∃(P(y,x) ∧Q(y)))

2100是自然数B A(2100)

2100有大于它的素数C y∃(P(y, 2100) ∧Q(y))

对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。而这些原子命题之间无法建立关联关系。

因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。所以用命题逻辑描述它不能进行推理。然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。

2、再例如：

所有实数的平方是非负的A

-是实数B

3

-的平方是非负的C

3

4.1.2一阶谓词逻辑

1、概述

一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。

●个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。个体域

即论域包含所描述问题域中的常元和变元。P(x)

●函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。这些运算被称为函数，在一

阶谓词里被称为的函词（函数）。F(x,y)=x*y

●谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。这些有关个体性质的描

述称为谓词。

Q(y), P(x,y) ::x

●量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。有的对一个范围内成

立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。为了描述这种范围特征，一

阶谓词引入了量词。

2、谓词和函词

●谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。它附带放置对象的空位，只

有空位被填充对象，谓词才有意义。没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；

相反为谓词填式。谓词后面的空位个数为谓词的元数。谓词是一个体域上的n

元关系。

通常P(x,y,z)=0,1，表示x,y之间具有关系P(1,2)。

●函词定义：函词是表示某种操作的语言成份。用于在给定的个体基础上，产生

新的个体对象。与谓词一样，函词具有空位的概念。函词后面空位的个数为函

词的元数。

通常用F(x,y,z)=x+y+z表示。

3、变元和常元

●常元：常元表示个体域中的一个确定个体。如：5，Zhang San 等。

●变元：变元可以用来表示个体域上的任意个体，是不确定的。

例如：（1）z+y=0 P(f(y,z)) 二元谓词表示方程

P(f(x,z))==;P(f(-3,2))

－3＋2＝0

Z+y=x+y=0

（2）对所有z，x，y•x=x•y Q(x*Z,Z*x) 二元谓词表示乘法交换率

Q(x,z)=1

3*2=2*3

Q (f(x,y),f(y,x))=

Q (f(1,2),f(2,1))=1

从这个例子来看，变元是具有不同的性质的。因此，在一阶谓词逻辑中将变元划分成自由变元和约束变元。f(x)+x+z=0

对于所有的X,Y,P(x,y)<=P(X,Y)

●自由变元：自由变元是真正的变元，可以将个体域中的任意个体代入到自由变

元中。类似于数学中的变元。

●约束变元：约束变元并不是实际意义的变元（数学意义上的变元）。约束变元

是为表达某种想的辅助符号。

●自由变元与约束变元的对比：

自由变元约束变元

可代入不可代入

不可改名可改名

举例说明：采用上例。

4、量词

我们引入了谓词、函词、变元和常元的概念，还不能充分的描述现实中的命题。例如对于下面的命题：

如果P(x)对任意x恒真，则P(x+1)恒真。

我们现在表示，只能用P(x)→P(x+1)，来表示。而这种表示方法没有确定的含义，例如可以认为P(x)是存在一个x 的值是P(x)成立。为了描述这些谓词的成立范围，一阶谓词逻辑引入了量词的概念。

∀x Q(X2)=~ x ∃~Q(X2)

x ∃Q(X,100000)=~∀x ~Q(X,100000) ~∀x Q(X,100000)= x ∃~Q(X,100000)

∀z ∀y(Q(z*y,y*z))

∀ x P(x) →∀yP(y+1)；P 大于0，x 论域是自然数, ∀xP(x)→ ∀yP(y+1)

∀x ∀ y(P(x)→P(y+1))

∀ x (P(x) →P(x+1)); P 大于0，x 论域是实数

● 全称量词：)(x xP ∀中的∀称为全称量词，x ∀中的x 称为∀的指导变元；

)(x P 称为量词的辖域。 x ∀(A(x))-->B(x)

● 存在量词：)(x xP ∃中的∃称为存在量词，x ∃中的x 称为∃的指导变元；)(x P 称为量词的辖域。 x ∃ (A →B)→C ==x=1,A(1)→B(1) A(1)→B(1) x ∃A →B

A(1,…)=1

● 指导变元是约束变元。 ● 量词等价公式：

1. ∀xA(x)╞│)))(((x A x ⌝∃⌝

{1,2,3} === ~(~(A(1)^A(2)^A(3)))=1 P(x,y)

Y=1, x=1,x=2,x=3, P(x,y)=1===P(1,1),P(2,1), P(3,1)=1

X=1, y=1, P(1,1)=1 P(1,2)=0, P(1,3)=0 X=2, y=2 P(2,2)=1, P(2,1)=P(2,3)=0 X=3, y=3, P(3,1)=P(3,2)=0, P(3,3)=1 ; \ ~(~A(1)v~A(2)v~A(3))=~~A(1)&~~A(2)&~~A(3) 2. )(x xP ∃ ╞│))((A x ⌝∀⌝ 3. ))((x xP ∀⌝╞│))((x P x ⌝∃