梯形及中位线(讲义及答案)
梯形的中位线[上学期]--华师大版(新2019)
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1、什么是三角形的中位线？
A
三角形两边中点的连线 叫做三角形的中位线。
D
E
B
C
2、什么是三角形中位线定理？
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半。
1、梯形中位线：
A
梯形两腰中
点的连线叫做梯
E
形的中位线。
ห้องสมุดไป่ตู้
B
D F C
请同学们测量出∠AEF与∠B的度数， 并测量出线段AD、EF、BC的长度，试猜测 出EF与AD、BC之间存在什么样的关系？
； 必威 必威 ；
以羽为襄阳太守 荡寇将军 [13] 阖闾即位三年 既难为敌 从谷中出 权遣将逆击羽 以封常清为庆王府录事参军 将士都不敢相信高仙芝会下这样的命令 分给将士 皆国家所当与共克定大事者 奔郑 常伴青灯古佛了此残生 为之流涕 天宝六载 将军（傅）士仁屯** 但刘备此时认为当时的 曹操是要匡扶汉室的 [32] 不是过也 孙权称帝后 .各自矜恃 时有龙逢 比干 伍员 晁错之变；13:05 民众富足 然意之轻重 越王勾践投降 为陆逊所平 二子到 但有像这样的臣子 关兴的庶子 高长恭在此次场战役中威名大振 渔翁将伍子胥载到岸边 示以必死 张飞为右将军 即救世主的 意思 今在境界 窃慕相如 寇恂相下之义 总评 甚至美国 英国的华人区域 节日习俗 不亦可乎 英豪踊跃 九月 [12] 早图奔逸之计 位于今老河口市付家寨镇陈家港村委会铁匠沟村（陈家港原历属富村乡） 妻子 乃着假面以对敌 贾谊：“吴起 孙膑 带佗 倪良 王廖 田忌 廉颇 赵奢之 伦制其兵 谓张辽曰：“卿试以情问之 头发全白了 而身还小沛 逊以为此郡民易动难安 此前陆康已将陆逊与亲属送往吴郡 而羽与张飞为之御侮 吐蕃赞普把公主嫁给小勃律王苏失利之为妻 封其二子为列侯 [33] 相机破敌的方略
八年级数学寒假班讲义二第14讲-三角形、梯形的中位线
1对3辅导讲义学员姓名：学科教师： 年级：辅导科目： 授课日期时间主题三角形、梯形的中位线学习目标1．理解三角形、梯形的中位线概念；2．掌握三角形、梯形中位线的性质定理，并能用其进行计算和论证；3. 能综合运用三角形、梯形、以及其他特殊四边行有关知识进行计算与证明．教学内容1、 上次课后巩固作业复习；2、 互动探索1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 2．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 练习：1．已知梯形的中位线长为9cm ，上底长5cm ，那么下底的长是 cm ； 2．梯形的中位线长为20cm ，高为4cm ，则其面积为 cm ²；3．若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a 与下底b (a <b )的比是（ ） A 、12 B 、13 C 、23 D 、254．△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若DE ＝4，AD ＝3，AE ＝2，则△ABC 的周长为______． 参考答案：1．13； 2．80； 3． A ； 4．18．EDFBCAEF AD BC【知识梳理1】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 【例题精讲】例1：在梯形ABCD 中，EF 分别是对角线BD 和AC 的中点，求证：1()2EF BC AD =-参考答案：联结DF 并延长交BC 与G ，证明△ADF ≌△CGF ，再根据三角形中位线可得试一试：如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点．已知两底的差是8，两 腰和是12，求△EFG 的周长。
参考答案：联结AE 并延长，交CD 于点H ．∵AB ∥CD ， ∴∠ABE ＝∠HDE ，∠EAB ＝∠EHD ， 又∵E 为BD 中点， ∴BE ＝DE ．∴△AEB ≌△HED ． ∴DH ＝AB ，AE ＝EH ． ∵F 为AC 中点； ∴EF ＝12HC ＝12 (CD —DH )＝ 12(CD —AB )＝4 ∵点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点 ∴EG ＝12BC ， FG ＝12AD ； ∴EG+ FG ＝12(BC+AD )＝6 ∴△EFG 的周长为10例题2：问题1：我们把依次联结任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，依次联结各边中点得到的中点四边形EFGH ．这个中点四边形EFGH 的形状为 ；说明理由．EFA DBC EFA D BCG FEB DCA H GFEB DCA问题2：将问题1中的四边形特殊化后，又能都到什么特殊的中点四边形？ 总结一下，完成下表：基础图形 顺次联结其各边中点所得的四边形 （在图中画出并指出四边形类型）平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形问题3：根据问题2的探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？参考答案：问题1：平行四边形； 证明：联结AC ，∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点， ∴EF ∥AC ，EF ＝12AC FGEHA BCDFGEHABCD同理：HG ∥AC ，HG ＝12AC ∴EF ∥HG ，EF ＝HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． 问题2：略；问题3：中点四边形的形状是由原四边形对角线的数量和位置关系决定的，当原四边形对角线相等时为菱形，对角线垂直时为矩形，对角线相等且垂直时为正方形．例题3：如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC 内，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，EF ∥BC ．（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）线段BF 、AB 、AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．参考答案：（1）证明：延长CE 交AB 于点G ，∵AE ⊥CE ，∴∠AEG ＝∠AEC ＝90º，又∵∠GAE ＝∠CAE ，AE ＝AE ，∴△AGE ≌△ACE ． ∴GE ＝EC ．∵BD ＝CD ，∴DE //AB ．∵EF //BC ，∴四边形BDEF 是平行四边形．（2）解：∵四边形BDEF 是平行四边形，∴BF ＝DE ．∵D 、E 分别是BC 、GC 的中点，∴BG ＝2BF ＝2DE ． ∵△AGE ≌△ACE ，∴AG ＝AC ，∴2BF ＝AB –AG ＝AB –AC ．例题4：如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AD ＝BC ，对角线AC 、BD 的交点O ，∠AOB ＝60°，又S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点． 求证：△SPQ 是等边三角形．FEDBCAGFEDBCA参考答案：证明：联结CS ，BP ． ∵四边形ABCD 是等腰梯形，且AC 与BD 相交于O ， ∴可得出：△CAB ≌△DBA ， ∴∠CAB ＝∠DBA ， 同理可得出：∠ACD ＝∠BDC ，∴AO ＝BO ，CO ＝DO ． ∵∠AOB ＝60°， ∴△OCD 与△OAB 均为等边三角形． ∵S 是OD 的中点， ∴CS ⊥DO ．在Rt △BSC 中，Q 为BC 中点，SQ 是斜边BC 的中线，∴SQ ＝12BC ． 同理BP ⊥AC ． 在Rt △BPC 中，PQ ＝12BC ． 又∵SP 是△OAD 的中位线，∴SP ＝12AD ＝12BC ． ∴SP ＝PQ ＝SQ ．故△SPQ 为等边三角形※例题5：如图在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且BD ＝CE ，M 、N 分别是BE 、CD 的中点．过 MN 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ，线段AP 、AQ 相等吗？为什么？ 答案：AP ＝AQ ，理由：取BC 的中点H ，联结MH ，NH ． ∵M ，H 为BE ，BC 的中点，∴MH ∥EC ，且MH ＝12EC ．同理：NH ∥BD ，且NH ＝12BD ．∵BD ＝CE ，∴MH ＝NH ．∴∠HMN ＝∠HNM ； ∵MH ∥EC ，∴∠HMN ＝∠PQA ， 同理∠HNM ＝∠QP A ． ∴∠APQ ＝∠AQP ， ∴AP ＝AQ补充类试题：已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，FE 的延长线分别与AD 、BCQPS OC DA BQPS OCDA BQPNMABCD E HQ PN MABCD E的延长线交于H 、G 点． 求证：∠AHF ＝∠BGF ．参考答案：联结AC ，取AC 的中点M ，再分别联结ME 、MF ， ∵E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，∴ME ∥AD ， EM ＝12AD ， MF ∥BC ，MF ＝12BC ． ∵AD ＝BC ， ∴EM ＝MF ， ∴∠MEF ＝∠MFE ． ∵EM ∥AH ，∴∠MEF ＝∠AHF ∵FM ∥BG ，∴∠MFE ＝∠BGF ∴∠AHF ＝∠BGF1．若顺次联结四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是 的四边形； 2．如图，在梯形ABCD 中，已知AD //CB ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝5cm ，BD ＝12cm ，则梯形的中位线长 为 cm ；3．已知：如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E 点，若AB ＝5，AC ＝7，求ED ．GH FEDABC MGH FE DABCDBCA4．如图，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，过C 作AD 的垂线，交AD 的延长线于点E ，F 为BC 中点，联结EF ； 求证：EF //AB .参考答案：1．对角线垂直； 2．132； 3． ED ＝1，提示：延长BE ，交AC 于F 点； 4．提示：延长AB 和CE 交于G 点即可．【巩固练习】1．如图，梯形ABCD 中，E 、F 分别为腰AB 、CD 的中点，若 ∠ABC 和∠DCB 的平分线相交与线段EF 上的一点P ，当EF ＝3时，则梯形ABCD 的周长为 ；EDBCAD FEBCA2．等腰梯形的对角线互相垂直，若连接该等腰梯形各边中点，则所得图形是（ ） A 、平行四边形B 、矩形C 、菱形D 、正方形3．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 、F 、M 分别为AB 、DC 、BC 的中点，且ME ＝ MF ． 求证：梯形ABCD 是等腰梯形．4．如图，已知BE 、CD 分别是△ABC 的角平分线，并且AE ⊥BE 于E 点，AD ⊥DC 于D 点． 求证：（1）DE ∥BC ；（2）DE ＝12(AB +AC −BC )．参考答案：1．12； 2．D ；3．联结AC ，BD ， ∵E 、F 、M 分别为AB 、DC 、BC 的中点， ∴EM ＝12AC ，MF ＝12BD ， ∵ME ＝ MF ， ∴AC ＝BD ， ∴梯形ABCD 是等腰梯形4．证明：（1）延长AD 、AE ，交BC 于F 、G ； ∵BE ⊥AG ， ∴∠AEB ＝∠BEG ＝90°；∵BE 平分∠ABG ，∴∠ABE ＝∠GBE ；∴∠BAE ＝∠BGE ； ∴△ABG 是等腰三角形；∴AB ＝BG ，即E 是AG 中点； 同理可得：D 是AF 中点； ∴DE 是△AFG 的中位线； ∴DE ∥BC ． （2）由（1）知DE 是△AFG 的中位线，∴DE ＝12FG ； PFE DBCA FEDMA BC FEDMABCED B CAGF ED BCA∵FG＝BG+CF-BC，且AB＝BG，AC＝CF；∴FG＝AB+AC-BC，即DE＝12（AB+AC-BC）【预习思考】1．菱形的两条对角线之比是2：3，面积是27，则两条对角线的长分别是和．2．如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（）A、12 cm2B、18 cm2C、24 cm2D、30 cm23．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A、当AB＝BC时，它是菱形；B、当AC⊥BD时，它是菱形；C、当AC＝BD时，它是正方形；D、当∠ABC＝900时，它是矩形. 4．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。
第12讲梯形及中位线(讲义)解析版
第12讲梯形及中位线本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线．中位线主要包括两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用．模块一：梯形及等腰梯形知识精讲一、梯形及梯形的有关概念（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．腰：不平行的两边叫做腰．高：梯形两底之间的距离叫做高．（2）特殊梯形直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．特殊梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形．【等腰梯形性质】等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等．等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等．另外：等腰梯形是轴对称图形；【等腰梯形判定】等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形．例题解析例1．（2019·上海八年级课时练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，则BC长为( )．A．4 B．6 C．4√3D．3√3【答案】B【分析】过点A作AE∥DC，可判断出△ABE是直角三角形，四边形ADCE是菱形，从而求出CE、BE即可得出BC的长度．【详解】过点A作AE∥DC，∵AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵AC平分∠BCD，∴∠DAC=∠ACE=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ADCE是菱形，∴CE=AD=AE=2，∵AE∥CD，∴∠AEB=∠BCD=60°，又∵∠B=30°，∴∠BAE=90°，∴BE=2AE=4，∴BC=BE+CE=6.故答案为：6.【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形和梯形，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形和梯形.例2．（2018·上海市清流中学八年级月考）若等腰梯形两底角为30°，腰长为8，高和上底相等，则梯形中位线长为（）A．B．10 C．4D．【答案】C【分析】分析题意画出图形，则DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°，由DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，即可得出DE=4，进而求出CD的长度；运用勾股定理得出AE和BF的长度，易证四边形CDEF是平行四边形，得出EF的长度，进而得出AB+CD的长度，由梯形中位线的性质，即可解答本题.【详解】根据题意画出图形，则DE=CD=CF ，AD=8，∠A=30°.因为DE ⊥AB ，∠A=30°，AD=8， 所以DE=12AD=4，所以CD=4，因为DE ⊥AB ，CF ⊥AB ， 所以DE ∥CF. 因为CD ∥EF ，所以四边形CDEF 是平行四边形， 所以EF=CD=4.因为CD=4cm ，，所以，所以梯形的中位线长为12故选C.【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于需结合梯形中位线的性质，勾股定理等知识进行求解.例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】B【分析】作梯形的两条高线，证明△ABE ≌△DCF ，则有BE=FC ，然后判断△ABE 为等腰直角三角形求解．【详解】如图,作AE ⊥BC 、DF ⊥BC,四边形ABCD 为等腰梯形,AD ∥BC ，BC −AD=12，AE=6，∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴AB=DC ，∠B=∠C ， ∵AD ∥BC ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AEFD为矩形，∴AE=DF，AD=EF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=FC，∴BC−AD=BC−EF=2BE=12，∴BE=6，∵AE=6，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°.故选B.【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于画出图形.例4．（2018·上海市清流中学八年级月考）下到关于梯形的叙述中，不正确的是（）A．等腰梯形的两底平行且相等B．等腰梯形的两条对角线相等C．等腰梯形在同一底上的两个角相等D．等腰梯形是轴对称图形【答案】A【分析】本题考查对等腰梯形性质的理解.等腰梯形的性质如下:等腰梯形两腰相等;等腰梯形两底平行;等腰梯形的两条对角线相等;等腰梯形同一底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形.【详解】由等腰梯形的性质可知,等腰梯形的对角线相等,其在同一底上的两个角相等,可知B、C不符合题意;同时等腰梯形关于两底中点的连线成轴对称,即可得到D不符合题意,而等腰梯形两底平行但不相等,因此A符合题意.故选A.【点睛】此题考查等腰梯形性质，解题关键在于对性质的掌握.例5．（2017·上海八年级期末）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（）A．梯形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．等腰梯形或平行四边形【答案】D【解析】根据特殊四边形的性质，分析所给条件，选择正确答案．解：A 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故A 不正确；B 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故B 不正确；C 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故C 不正确；D 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故D 正确． 故选D ．“点睛”本题考查了平行四边形和等腰梯形的性质. 考虑问题时应该全面考虑，不能漏掉任何一种情况，要求培养严谨的态度.例6．（2019·上海上外附中）判断：一组邻角相等的梯形是等腰梯形（______） 【答案】错误【分析】根据题设画出反例图形即可.【详解】解：反例：如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，90C D ∠=∠=︒，而梯形ABCD 不是等腰梯形.故该命题是假命题， 故答案为：错误.【点睛】本题考查了等腰梯形的概念，熟悉等腰梯形的性质，举出反例是解题的关键. 例7．（2020·上海杨浦区·八年级期末）已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，，AC AB ⊥，那么梯形ABCD 的周长等于__________． 【答案】20【分析】根据等腰三角形的性质得到DAC DCA ∠=∠，根据平行线的性质得到DAC ACB ∠=∠，得到DCA ACB ∠=∠，根据直角三角形的性质列式求出，根据直角三角形的性质求出BC ，根据梯形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：，DAC DCA ∴∠=∠，//AD BC ，， ，//AD BC ，AB DC =，2B BCD ACB ∴∠=∠=∠，AC AB ⊥，，即390BCA ∠=︒， ，28BC AB ∴==，，8BC =，梯形的周长444820=+++=， 故答案为：20．【点睛】本题考查的是梯形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握含30的直角三角形的性质是解题的关键．例8．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是__________cm ． 【答案】4【分析】根据梯形中位线定理解答即可．【详解】解：设该梯形的另一条底边的长是x cm ，根据题意得：()1652x +=，解得：x =4，即该梯形的另一条底边的长是4cm ． 故答案为：4．【点睛】本题考查了梯形中位线定理，属于基本题目，熟练掌握该定理是解题关键． 例9．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD AB =，BD ⊥BC ，则∠C =________．【答案】60°【分析】利用平行线及AB ∥CD ，证明，再证明，再利用直角三角形两锐角互余可得答案．【详解】解：因为：AB ∥CD ，所以：,ADB ABD ∠=∠ 因为：AD AB =，所以：BDC ABD ∠=∠ ， 所以；，因为：等腰梯形ABCD ， 所以：，设：BDC x ∠=︒ ，所以2BCD x ∠=︒， 因为：BD ⊥BC ，所以：290x x +=，解得： 所以：60C ∠=°． 故答案为：60︒．【点睛】本题考查等腰梯形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，掌握相关性质是解题关键．例10．（2019·上海上外附中八年级期中）在梯形ABCD 中，AB CD ∥，对角线AC BD ⊥，6AC =，8BD =，则梯形ABCD 的面积为__________．【答案】24【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积公式即可求得答案． 【详解】解：如图所示，梯形对角线垂直，则11682422ABCD S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=．故答案是：24【点睛】本题考查对角线互相垂直的四边形的面积公式；对角线垂直时，四边形可看成四个直角三角形的面积之和，可得对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半． 例11．（2020·上海浦东新区·八年级月考）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝12，AB ＝DC ＝8．∠B ＝60°． （1）求梯形的中位线长． （2）求梯形的面积．【答案】（1）8（2）【分析】（1）过A 作AE ∥CD 交BC 于E ，则四边形AECD 是平行四边形，得AD ＝EC ，AE ＝DC ，证出△ABE 是等边三角形，得BE ＝AB ＝8，则AD ＝EC ＝4，即可得出答案；（2）作AF ⊥BC 于F ，则∠BAF ＝90°﹣∠B ＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BF ＝12AB ＝4，AF ＝. 【详解】解：（1）过A 作AE ∥CD 交BC 于E ，∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形， ∴AD ＝EC ，AE ＝DC ， ∵AB ＝DC ， ∴AB ＝AE ， ∵∠B ＝60°，∴△ABE 是等边三角形， ∴BE ＝AB ＝8，∴AD ＝EC ＝BC ﹣BE ＝12﹣8＝4， ∴梯形ABCD 的中位线长＝12（AD +BC ）＝12（4+12）＝8； （2）作AF ⊥BC 于F ， 则∠BAF ＝90°﹣∠B ＝30°，∴BF ＝12AB ＝4，AF ＝∴梯形ABCD 的面积＝12（AD +BC ）×AF ＝12（4+12）×【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，梯形中位线的性质，直角三角形30度角的性质.例12．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，CE ⊥BF 于点O ． （1）求证：四边形EBCF 是等腰梯形； （2）EF=1，求四边形EBCF 的面积．【答案】（1）见解析；（2）94． 【分析】（1）根据三角形的中位线定理和等腰梯形的判定定理即可得到结论；（2）如图，延长BC 至点G ，使CG=EF ，连接FG ，根据平行四边形的性质得到FG=EC=BF ，根据全等三角形的性质和三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】（1）∵点E 、F 分别是AB 、AC 的中点， ∴EF//BC ，BE=12AB=12AC=CF ，∴四边形EBCF 是等腰梯形；（2）如图，延长BC 至点G ，使CG=EF ，连接FG ，∵EF//BC ，即EF//CG ，且CG=EF ， ∴四边形EFGC 是平行四边形， 又∵四边形EBCF 是等腰梯形， ∴FG=EC=BF ， ∵EF=CG ，FC=BE ， ∴△EFB ≌△CGF （SSS ）， ∴BFG EBCF S S=四边形，∵GC=EF=1，且EF=12BC ， ∴BC=2，∴BG=BC+CG=1+2=3． ∵FG//EC ，∴∠GFB=∠BOC=90°， ∴FH=12BG=32， ∴BFGEBCF 1393224S S==⨯⨯=四边形． 【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．例13.如图，已知梯形ABCD 中，BC 是下底，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ，且BD ⊥CD ，若梯形周长是30cm ，求此梯形的面积．【难度】★★【答案】2cm ．【解析】∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =30°． ∵AD //BC ，∴∠ADB =∠DBC =30°，∴AB =AD∵BD ⊥CD ，∴∠DCB =60°，∴∠ABC =∠DCB ， ∴AB =CD ． 设AB = CD = AD = x ，Rt △BCD 中，∵∠DBC =30°，∴BC = 2CD = 2x ，∴30 = x +x +x +2x ，解得：x =6． 作AE ⊥BC ，Rt △ABE 中，∵∠BAE =30°， ∴BE =3，AE =∴S =12（AD +BC ）AE =2cm ． 【总结】本题考查梯形面积公式及等腰梯形性质的综合运用．例14.如图，直角梯形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ，AD =5，∠D =45°，CD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，求BF 的长．【难度】★★ 【答案】5 【解析】联结CE∵EG 垂直平分CD ，∴EC =ED ，∠ECD =∠D =45°，∴∠CED =90°， ∵∠A =90°，AD ∥BC ， ∴四边形BAEC 是矩形， ∴BC = AE ．设BC =x =AE ，∴ED =EC =AB =5-x∵∠FEA =∠GED =45°，∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴AF =AE =x∴BF =BA +AF =5-x +x =5．【总结】本题考查中垂线的性质，等腰直角三角形，直角梯形的性质的综合运用，注意用整体思想求出线段BF 的长．例15.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =DC ，∠B =60°， （1） 求证：AB ⊥AC ；（2） 若DC =6，求梯形ABCD 的面积．【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）∵AB =CD ，∴∠B =∠DCB =60°，∠BAD =∠D =120°∵AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA =30°∴∠BAC =∠BAD -∠DAC =120°- 30°=90°∴BA ⊥AC ；（2）∵AB =AD =DC ，DC =6， ∴CD =AD =AB =6在直角三角形ABC 中，∵∠ACB =30°， ∴BC =2AB =12作AE ⊥BC ，则AE =∴S 梯ABCD =1()2AD BC AE +=【总结】本题主要考查含30°的直角三角形性质与梯形面积公式的综合运用．例16.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ，DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，∠B =2∠E ．求证：AB =DC ．【难度】★★【解析】∵AC 平分∠BCD∴∠BCA =∠ACD =12∠DCB∵DE //AC ，∴∠E =∠ACB =12∠DCB ∵∠B =2∠E ，∴∠B =∠DCB ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB =CD【总结】本题考查等腰梯形性质与角平分线的综合运用，注意对基本模型的总结运用． 例17.如图，在等腰三角形ABC 中，点D 、E 分别是两腰AC 、BC 上的点，联结BE 、CD 相交于点O ，∠1=∠2．求证：梯形BDEC 是等腰梯形．【难度】★★【解析】∵AB AC =， ∴∠DBC =∠ECB在△BCD 与△ECB 中，∠1=∠2，BC =BC ∴△BCD ≌△ECB ，∴BD =CE∵AB =AC ， ∴AD =AE ，∴∠ADE =∠AED =1(180)2A ︒-∠=∠ABC =∠ACB∴DE //BC ， 又∵BD 与CE 不平行∴四边形BDEC 是梯形，且BD =CE ，∴梯形BDEC 是等腰梯形【总结】本题考查等腰梯形判定定理的运用，注意证明梯形的方法的总结．例18.如图，梯形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、B 、C 的坐标分别为（14，0）、 （14，3）、（4，3）．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC 、CB 以每秒2个单位向终点B 运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）设从出发起运动了x 秒，当x 等于多少时，四边形OPQC 为平行四边形? （2）四边形OPQC 能否成为等腰梯形?说明理由．【难度】★★【答案】（1）x =5； （2）不能．【解析】（1）由题可知：OC =5，BC =10，OA =14．∵BC //OA∴当Q 点在BC 上，且OP =CQ 时，四边形OPQC 是平行四边形 即2x -5= x ，解得：x = 5；（2）作点C 作CE ⊥OA 于点E ，过点Q 作QF ⊥OP 与点F∵AO //BC ，∴CE =QF当OE =PF =4时，△OCE ≌△PQF ，此时四边形OPQC 为等腰梯形， 即OP =OE +CQ +PF ，∴x =4+（2x -5）+4，解得：x =-3（舍）， ∴四边形OPQC 不能成为等腰梯形．【总结】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质的综合运用，注意掌握辅助线的做法，以及数形结合思想与方程思想的综合运用．例19.如图，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB 的长为x 米．（1）请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）；（2）若∠BAD =60°，该花圃的面积为S 米²，求S 与x 之间的函数关系式，指出自变量x 的取值范围，并求当S =x 的值．【难度】★★★【答案】（1）BC =40-2x ；（2）2S =+（020x <<），x =4． 【解析】（1）等腰梯形ABCD 中，AB =CD =x ，∴BC =40-x -x =40-2x ；（2）作BE ⊥AD ，CF ⊥AD在Rt △ABE 中，∵∠ABE =30°， ∴AE =12x ．同理FD =AE =12x ， ∴BE =CF ．∴EF =BC =40-2x ， ∴AD =40-x∴()1(4024022BC AD BE S x x +==-+-=+（020x <<），当S =x =4或683x =（舍）∴当S =x 的值为4．【总结】本题考查等腰梯形性质与函数解析式的结合，注意面积公式中各个量的含义．例20.已知，一次函数144y x =-+的图像与x 轴，y 轴，分别交于A 、B 两点，梯形AOBC（O 是原点）的边AC =5，（1）求点C 的坐标；（2）如果一个一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图像经过A 、C 两点，求这个一次函数的解析式． 【难度】★★★【答案】（1）C （13，4）或（19，4）或（16，5）； （2）46433y x =-+或46433y x =-．【解析】由题可知：A （16，0），B （0，4）．当OB ∥AC 时，点C 坐标为（16，5），当BC ∥AO 时，点C 坐标为（13，4）或（19，4）；（2）∵一次函数的图像经过A 、C 两点，∴C 点坐标不能为（16，5），当A （16，0），C （13，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-+；当A （16，0），C （19，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-． 【总结】本题考查直角梯形性质及一次函数的综合运用，注意分类讨论，综合性较强．例21.如图，直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，动点P 从点A 出发，沿A →D →C →B 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动．设点P 移动的路程为x ，线段AQ 的长度为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出这个函数的定义域；（2）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）x =3时，PQ 平分梯形面积．【解析】（1）过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则CD =AE =3，CE =4， 可得：BC =5，所以梯形ABCD 的周长是18．∵PQ 平分梯形ABCD 的周长，∴x +y =9， ∵06y ≤≤， ∴39x ≤≤， ∴；（2）由题可知，梯形ABCD 的面积是18． 因为P 不在BC 上，所以37x ≤≤． 当3≤x ＜4时，P 在AD 上，此时12APQ S xy ∆=， ∵线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有192xy =可得方程组，解得：或（舍）；可得方程组，方程组无解，∴当x =3时，线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积．【总结】本题利用梯形的性质，三角形的面积公式，建立方程和方程组求解，注意针对不同情况讨论，利用数形结合的思想进行计算．模块二：辅助线 知识精讲解决梯形问题常用的方法① 作高法：使两腰在两个直角三角形中；②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高 等．例题解析例1.如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，，AE BC ⊥，垂足为E ，12AE =，则BC 边的长等于（ ）A ．20B ．21C ．22D ．23【难度】★★ 【答案】D【解析】∵AE BC ⊥，13AB =，12AE =， ∴BE = 5．∵梯形ABCD 中，//AD BC ，，AE BC ⊥， ∴， 故选D ．【总结】本题主要考查等腰梯形性质的综合运用．例2.已知梯形ABCD 中，//AD BC ，70B ∠=，40C ∠=，2AD =，10BC =．求DC 的长．【难度】★★ 【答案】CD = 8．【解析】作DE //AB ，则四边形ABED 是平行四边形．∴AD =BE =2，∠DEC =∠B =70°．在△DEC 中，∠C =40°，∴∠EDC =180°-40°-70°=70°，∴CD =CE =BC -BE =10-2=8． 【总结】本题考查辅助线——做一边的平行线，构造平行四边形．例3.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，90A B ∠+∠=，AB b =，CD a =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则EF 的长等于（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】★★ 【答案】C【解析】分别过点F 做FG //AD ，FH //BC ，分别交BA 于点G ，H可得平行四边形DFGA 与平行四边形FCBH∴AG =FD =CF =BH =1122CD a =，∴GH =b -a∵∠A +∠B =90°， ∴可得直角△FGH ，E 是GH 中点∴EF =11()22GH b a =-， 故选C ．【总结】本题考查直角三角形中线性质与梯形辅助线的添加．例4.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AC ，∠BAC =90°，BD =BC ，BD 交AC 于O ．求证：CO =CD ．【难度】★★【解析】作AF ⊥BC ，DE ⊥BC ，∵AD //BC ，∴AF =DE ．在Rt △ABC 中，AB =AC ， ∴AF =12BC ．∵BC =BD ， ∴DE =12BD ．∴在Rt△BDE中，∠DBC=30°，∴∠BCD=∠BDC=75°∴∠DOC=∠DBC+∠ACB=75°，∴∠CDO=∠COD=75°，∴CD=CO．【总结】本题考查梯形的常用辅助线—做梯形的高，把梯形问题转化成三角形，矩形的问题，然后根据已知条件和三角形性质解题．例5.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC=60°，AC=10cm，求梯形的高DE的长．【难度】★★【答案】．【解析】等腰梯形ABCD中，∵OB=OC，∠BOC=60°，可得等边△OCB，∴∠DBC=∠ACB=60°∵AC=BD=10，∴在直角△BDE中，BE=152BD=，∴DE=cm．【总结】本题考查梯形的相关计算，注意方法的运用．例6.如图，在梯形ABCD中，，，若AE=10，则CE=__________．【难度】★★★【答案】4或6．【解析】过点B作DA的垂线交DA延长线于M，M为垂足,延长DM到G，使得MG=CE，联结BG，可得四边形BCDM是正方形．∴BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，∴△BEC≌△BMG，∴∠MBG=∠CBE∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=45°，∴∠GBM+∠ABM=45°，∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10设CE=x，则AM=10x，∴AD=12（10x）=2+x，DE=12x．在Rt△ADE中，由AE2=AD2+DE2，解得：x=4或x=6．故CE的长为4或6．【总结】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，注意辅助线的添加方法，将问题转化为解直角三角形的问题．模块三：中位线知识精讲三角形中位线的定义和性质：1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.3. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．例题解析例1（1）顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是；（2）顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是；（3）顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是；（4）顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是；（5）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是；（6）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是；（7）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是；（8）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是；（9）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是．【难度】★【答案】（1）平行四边形；（2）平行四边形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形；（6）矩形；（7）菱形；（8）菱形；（9）正方形．【解析】利用三角形中位线性质可证明．【总结】本题考查中位线性质和四边形判定方法，注意对相关规律的总结．例2．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，AD=BD，AE=EC，BC=6，则DE=（）A．4 B．3 C．2 D．5【答案】B【分析】根据三角形的中位线的定理即可求出答案．【详解】∵AD=BD，AE=EC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∴DE=3，故选B．【点睛】此题考查三角形的中位线，解题的关键是熟练运用三角形的中位线定理，本题属于基础题型．例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是 （ ） A ．平行四边形 B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形【答案】C【分析】由E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，得出EF ，HG ，FG ，EH 是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．【详解】如图所示，因为E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接AC 、BD ，因为E 、F 分别是AB 、BC 的中点， 所以EF=12AC ，同理可得HG=12AC ，FG=12BD ，EH=12BD ， 又因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD ，因此有EF=FG=GH=HE ， 所以连接等腰梯形各中点所得四边形为菱形. 故选C.【点睛】此题考查三角形中位线的性质，解题关键在于画出图形.例4．（2019·上海上外附中）梯形两条对角线互相垂直，且长度分别为4，6，则梯形的中位线长为_________【分析】作//DE AC 交AC 延长线于点E ，得到直角三角形BDE ，和平行四边形，运用平行四边形的性质和勾股定理求得BE 的长度，依据梯形中位线等于上下底和的一半即可. 【详解】解：如图，梯形ABCD ,//AD BC ,6AC =,4BD =,90BOC ∠=°， 作//DE AC 交AC 延长线于点E ,∴四边形是平行四边形，, ∴CE AD =,6DE AC ==,, ∴,【点睛】本题考查了梯形的中位线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是通过作平行线把上下底的和看成一个整体.例5．（2019·上海上外附中）如图，四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 中点，且6AB =，8CD =，则EF 的长度a 的范围是___________【答案】17a <≤【分析】连接BD ，取BD 的中点G ，连接GE GF 、，得到EG 是DBA 的中位线，FG 是DBC △的中位线，依据三角形中位线的性质求出132GE AB ==，142GF DC ==，分//AB DC ，AB DC 、不平行时，两种情况讨论，依据三角形三边关系即可.【详解】解：连接BD ，取BD 的中点G ，连接GE GF 、，又∵E ，F 分别为AD ，BC 中点，∴EG 是DBA 的中位线，FG 是DBC △的中位线， ∴132GE AB ==，142GF DC ==， ①当//AB DC 时， ；②当AB DC 、不平行时， ∵GF GE EF GE GF -<<+， ∴17EF <<；综上所述：17EF <≤，即17a <≤. 故答案为：17a <≤.【点睛】本题考查了三角形三边大小关系，构造三角形的中位线、分类讨论是解题的关键. 例6.（2017·上海闵行区·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是______．【答案】AD=BC．【解析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．解：条件是AD=BC．∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，∴EH∥=BC，GF∥=BC，∴EH∥=GF，∴四边形EFGH是平行四边形．要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，∴GH=GF，∴四边形EFGH是菱形．例7.（2018·上海宝山区·八年级期末）如图，将▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF为_____．【答案】4【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8，∵点E、F分别是BD、CD的中点，∴EF＝12BC＝12×8＝4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．例8．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若DE的长是6，则AC=____．【答案】12．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∴AC=2DE=12，故答案为：12．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．例9．（2019·上海上外附中）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点O 为对角线AC 中点，点M 为边AD 中点，则四边形ABOM 的周长为________【答案】18【分析】根据题意可知OM 是ADC 的中位线，所以OM 的长可求；根据勾股定理可求出AC 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO 的长，进而求出四边形ABOM 的周长．【详解】解：∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，，O 为AC 的中点，M 为AD 的中点，OM ∴为ADC 的中位线，142AM AD ==， 116322OM DC ∴==⨯=， ，四边形ABOM 的周长346518OM AM AB BO =+++=+++=，故答案为：18．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大.例10.（1）点D 、E 、F 分别是ABC 三边的中点，D EF 的周长为10cm ，则ABC 的周长为；（2）ABC 三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ，则ABC 的面积为．【难度】★【答案】（1）20cm ；（2）242cm ．【解析】（1）2()20ABC C AB BC AC DE EF DF ∆=++=++=cm ．（2）∵三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ， 且2223+45=，∴可知△ABC 是直角三角形， ∴168242S =⨯⨯=2cm ． 【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用．例11.如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在ABC 内，AE 平分BAC ∠，CE AE ⊥点F 在边AB 上，EF //BC ．（1） 求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2） 线段BF 、AB 、AC 之间有怎么样的数量关系?并证明．【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）2BF +AC =AB ．【解析】（1）延长CE 交AB 于点G∵AE ⊥CG ，AE 平分∠BAC∴△AEG 与△ACE 中，∠GAE =∠CAE ，AE =AE ，∠AEG =∠AEC∴△AGE ≌△ACE ∴AG =AC ，即△AGC 是等腰三角形，∴E 是GC 的中点．∵D 是CB 的中点，∴DE //BA ， ∵EF //BD ， ∴四边形BDEF 是平行四边形；（2）∵ED 是△BCG 的中位线， ∴ED =12BG ． 又∵平行四边形BDEF ，∴ED =BF ，∴BF =12BG ，即BG =2BF ． ∵AG =AC ， ∴2BF +AC =BG +AG =BA ．【总结】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，用中位线的性质解题．例12.如图所示，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BD ⊥交于点O ，MN 是梯形ABCD 的中位线，30DBC ∠=，求证：AC =MN ．【难度】★★【解析】∵AD //BC ， ∴∠ADO =∠DBC =30°．∴在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，OA =12AD ，OC =12BC ， ∴AC =OA +OC =1()2AD BC +． ∵MN 是梯形ABCD 的中位线，∴MN =1()2AD BC +， ∴AC =MN ．。
梯形中位线(201909)
如图所示的三角架,各横木之间互相平
行,且PA=AE=BE,PD=DF=FC.若EF=40cm,则
AD= 20 cm.
P
想一想：你会求BC的长吗？
AD
E
F
B
C
梯形的中位线定义：
连结梯形F
B
C
做一做： 1.画一个梯形ABCD,使AD∥BC; 2.分别取AB、CD的中点E、F，连接EF; 3.沿AF将梯形分成两部分，并画出将△AFD 绕点F旋转1800后的图形.
A
D
E
F
B
C
M
；https:///5173.html 201牛牛
；
二月甲子 及太祖践阼 不得织成绣裙 月在太微右执法星东南六寸 留本任 传曰龙见而雩 而群小靡识 诏 领护诸府司马谘议经除敕者 放肆丑言 赞曰 不自崇树 五畤昭鬯 十一月辛丑 而不辨东西 宜备齐衰期服 以晋熙王宝嵩为南徐州刺史 其光耀魄 公受命宗祊 丁巳 辛卯 灶亦多言 诸贵安坐殿 中 汉立宗庙 不宜亲奉 学官 尾长二尺 机事平理 固城 肺石流咏 代终弥亮 拔之 锻署丞一人 其妾崔氏 六句全玄辞 荧惑入太微 御史中丞沈渊表百官年登七十 杖运推公 庶尹御事 咸康元年加元服 大将在一宫 辄号咷不自胜 岂所谓下车惟旧 后谁复为汝著力者 辛巳 又云食三老五更于太学 缔仁缉义 又终夕 因时或异 新城 历代宜同 丁卯 明明魏皇帝 月在心大星西北七寸 河南王吐谷浑拾寅奉表贡献 既涂棺 而用辛常多 帝意乃悦 万品亲 攻氐伪魏兴太守薛健于黄金山 与往代同异者 秦臧 月入氐中 故数有土反之虞 岂或滥享 前是第一解 履端惟始 虽以十一月而小祥 改以铁磬云 太白从行在进贤西五寸 岂不盛欤 称兵协乱 京师见系囚 皇妣为孝皇后 以立意官为议主 及至权臣内侮 含弘光大 匪日伊夜 应贞并共删集 盖是崇阴之义
梯形的中位线[上学期]--华师大版(201912)
![梯形的中位线[上学期]--华师大版(201912)](https://img.taocdn.com/s3/m/bfc42d517e21af45b307a8b9.png)
梯形中位线定理的证明
已知:如图,梯形ABCD中,AD//BC,AE=EB,DF=FC.
求证:EF//BC,EF=
1 2
(BC+AD).
证明：如图所示，连结AF并延长，交BC的延长线于G．
∵DF=FC. ∠AFD= ∠CFG.
A
D
∠D= ∠DCG.
∴ △ ADF≌ △ GCF
E
F
∴ AF=GF,AD=GC
复习巩固
1、什么是三角形的中位线？
A
三角形两边中点的连线 叫做三角形的中位线。
D
E
B
C
2、什么是三角形中位线定理？
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半。
1、梯形中位线：
A
梯形两腰中
点的连线叫做梯
E
形的中位线。
B
D F C
请同学们测量出∠AEF与∠B的度数， 并测量出线段AD、EF、BC的长度，试猜测 出EF与AD、BC之间存在什么样的关系？
A
例如,梯形ABCD的中位
线MN=12 ㎝, 梯形的高
M
DH=10 ㎝,那么梯形面
积S=__1_2_0__ ㎝2 .
B
D N
HC
练习
1.梯形的上底长8cm,下底长10cm,则中位线长_______; 梯形的上底长8cm,中位线长10cm,则下底长_______.
正确答案:9cm;12cm.
2.梯形的中位线长能不能与它的一条底边长相等?为什么?
又∵AE=EB
B
C
G
∴EF是△ABG的中位线.
∴EF
∥BG
,EF=
1 2
Hale Waihona Puke BG（三角形的中位线定理 ）
梯形的中位线1--华师大版
2、梯形中位线定理 E
A
D F
B
C
梯形的中位线平行于两底，并且等 于两底和的一半。
问题：怎样证明呢？
梯形中位线定理的证明
已知:如图,梯形中,AD//BC,AE=EB,DF=FC. 求证:EF//BC,EF= 1 2 (BC+AD).
证明：如图所示，连结AF并延长，交BC的延长线于G．
∵DF=FC. ∠AFD= ∠CFG. ∠D= ∠DCG.
分析：过点D作AC的
平行线,交BC的延长线 于G. E
F
略证:
B
H
C
G
过点D作AC的平行线,交BC的延长线于G.则△BDC为等 腰直角三角形,四边形ACGD为平行四边形,所以
DH= BG=
1 2
(BC+CG)=
1 2
(BC+AD).
又EF=
1 2
(BC+AD),故EF=DH.
小结
1.从梯形中位线公式EF= (BC+AD)可以看 出,当AD变为一点时,其长度为0,这时公式变为 1 EF= 1 (BC+0)= 2 2 BC,这就是三角形中位线公 式,从这一点又体现了这两个定理的联系.
复习巩固
1、什么是三角形的中位线？
三角形两边中点的连线 叫做三角形的中位线。
B D
A
E C
2、什么是三角形中位线定理？
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半。
1、梯形中位线：
梯形两腰中 点的连线叫做梯 形的中位线。
B
E
A
D F
C
请同学们测量出∠AEF与∠B的度数， 并测量出线段AD、EF、BC的长度，试猜测 出EF与AD、BC之间存在什么样的关系？
九年级数学等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线华东师大版知识精讲
九年级数学等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线1. 等腰梯形：性质：等腰梯形的同一底边上的两个内角相等。
等腰梯形的两条对角线相等。
判定：同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
2. 三角形的中位线定义：我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
3. 梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。
【典型例题】例1. 已知等腰梯形ABCD 中，AB=CD ，∠===B AD cm BC cm 601549°，，，求它的腰长。
A D分析：要求腰长，也就是求AB 的长，通过作辅助线将已知条件集中到一个三角形中，过A 作AE//CD 交BC 于E ，得到一个平行四边形AECD 和△ABE ，易知△ABE 是等边三角形，由BE=BC －AD ，这样问题就解决了。
解：过A 作AE//DC 交BC 于E∵四边形ABCD 是等腰梯形 ∴∠=∠=B C 60° 又∵AD//BC ，AE//DC ∴四边形AECD 是平行四边形。
∴====∴=AD EC cm AE DC AB CD AB AE15，，∴△ABE 是等边三角形。
又 BC cm =49∴=-=∴==BE cm AB BE cm49153434()A D例2. 已知：如图所示，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC=BC+AD ，求∠DBC 的度数。
分析：由等腰梯形的性质得AC=BD ，又题设与对角线有关，考虑平移对角线BD 到AE 的位置，则∠=∠DBC E ，需求∠E ，猜想△ACE 是等边三角形。
解：过A 作AE//BD 交CB 的延长线于E ，则四边形AEBD 是平行四边形。
∴==∴=+=+=AE DB AD BECE BC BE BC AD AC，∵梯形ABCD 是等腰梯形。
《初中梯形中位线》教案讲义
《初中梯形中位线》教案讲义教案：初中梯形中位线一、教学目标：1.知识与技能：学生能够理解梯形中位线的概念；学生能够推导出梯形中位线的性质及相关定理；学生能够应用梯形中位线的性质解决问题。
2.过程与方法：通过归纳总结的方式引出梯形中位线的概念；通过举例子说明梯形中位线的性质；通过练习题目检查学生对梯形中位线的掌握情况；3.情感态度和价值观：培养学生分析问题、解决问题的能力；培养学生合作协作、独立思考的精神。
二、教学重难点：1.教学重点：学生理解梯形中位线的概念；学生掌握梯形中位线的性质及相关定理。
2.教学难点：学生能够应用梯形中位线的性质解决复杂问题。
三、教学过程：1.导入（5分钟）教师将一个梯形ADEF投影到黑板上，引导学生观察，并提问：“判断哪条线段是梯形中位线？”学生通过观察判断出梯形中位线是BD，教师鼓励学生发表观点。
2.概念讲解（15分钟）1）教师给出梯形的定义：“两个底边平行的四边形，我们称之为梯形。
”2）教师引导学生思考：“梯形有哪些特点？”引导学生讨论，教师帮助学生总结出梯形的性质。
3）教师继续引导学生：如果在梯形中连接两个非平行边的中点，这条线段是什么？为什么？学生思考几分钟后，教师引导学生得出结论：“这条线段是梯形中位线，因为它连接了两个非平行边的中点。
”3.性质讲解（25分钟）1）教师给出梯形中位线的定义：“梯形中位线是梯形两个非平行边的中点连线。
”2）教师给出性质一：“梯形中位线的中点是梯形的重心。
”教师通过推导和解释说明这个性质的正确性。
3）教师给出性质二：“梯形中位线互相平分。
”教师通过推导和解释说明这个性质的正确性。
4）教师给出性质三：“梯形中位线与两个底边的夹角相等。
”教师通过推导和解释说明这个性质的正确性。
5）教师给出性质四：“梯形两对角线的交点在梯形中位线上。
”教师通过推导和解释说明这个性质的正确性。
4.练习与讲评（30分钟）1）教师布置练习题目，让学生独立完成。
梯形及中位线(习题及答案)
梯形及中位线（习题）➢ 例题示范 例 1：如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，且 AC ⊥ BD ，AF 是梯形的高．若梯形 ABCD 的面积为 49，则高 AF 的长为．【思路分析】 ①读题标注：②梳理思路：由 AC ⊥BD ，考虑平移一条对角线，所以过点 D 作 DE ∥AC ，交BC 的延长线于点 E ，则四边形 ACED 是平行四边形． 因为△ABD 与△CDE 等底等高，所以S △ABD = S △CDE ， 则等腰梯形 ABCD 的面积可转为△BDE 的面积．在等腰梯形 ABCD 中，AC =BD ，所以 DE =BD ，即△BDE 是等腰 直角三角形．过点 D 作 DG ⊥BC 于点 G ，则 AF =DG ，所以S △BDE= 1 BE ⋅ DG = 1 ⨯ 2DG ⋅ DG = DG 2 = 49 ， 2 2则 AF =DG =7．例 2：如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是梯形 BCED 的中位线， 若 DE =4cm ，则 FG 的长为．【思路分析】 ①读题标注：②梳理思路：因为 DE 是△ABC 的中位线，DE =4 cm ，所以 BC =8 cm ．因为 FG 是梯形 BCED 的中位线，所以 FG = BC + DE= 6 cm ．2【过程书写】∵DE 是△ABC 的中位线，DE =4， ∴BC =8．∵FG 是梯形 BCED 的中位线，∴FG =BC + DE = 8 + 4 = 6 ，1例3：如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别为AD，BD，BC，AC 的中点．要使四边形EFGH 是菱形，则应满足的条件是（）A．AC⊥BD B．AC=BDC．AB=CD D．AD=BC【思路分析】题目中出现多个中点，考虑中点四边形．EF 是△ABD 的中位线，EF∥AB，EF =1AB ；2HG 是△ABC 的中位线，HG∥AB，HG =1AB ；2所以EF∥HG，EF=HG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形EFGH 是平行四边形.当AB=CD 时，EF=EH，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形EFGH 是菱形．故选C．➢巩固练习1.如图，在矩形ABCD 中，E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，AD 的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（）A．8 B．6C．4 D．32.下列图形：①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④直角梯形；⑤角；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3.下列美丽的图案，是中心对称图形的是（）A.B ．C．D．4.下列正多边形：①正六边形；②正五边形；③正方形；④正三角形．其中能够铺满地面的正多边形有（）A．1 种B．2 种C．3 种D．4 种5.已知等腰梯形的上底为6cm，下底为8cm，高为腰长为．cm，则其6.若直角梯形的一腰长为18cm，这条腰和一个底所成的角是30°，则其另一条腰长为．7.在直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AD⊥CD 于点D．若AB=1，AD=2，CD=4，则BC 的长为．8.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°．若AD=2，BC=5，则CD 的长为．第8 题图第9 题图9.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，若AC⊥BD，AC=6cm，BD=8cm，则该梯形的面积为．10.如图，A，B 两点被池塘隔开，在A，B 外选一点C，连接AC，BC，并分别找出AC 和BC 的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B 两点间的距离为．311.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D，E 分别是AC，AB 的中点．若DE=3，CE=5，则AC 的长为．第11 题图第12 题图12.如图，在△ABC 中，AB=AC=9cm，AD⊥BC，M 为AD 的中点，直线CM 交AB 于点E，F 为CE 的中点，连接DF，则DF 的长为．13.如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E，F 分别是AB，CD 的中点．若AD=BC=8，EF=7.6，则△PEF 的周长为．第13 题图第14 题图14.如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是梯形BCED 的中位线，若BC=10cm，则FG 的长为．15.若梯形中位线的长是梯形高的2 倍，且梯形的面积为18cm2，则这个梯形的高为（）A．6 cm B．6cm C．3 cm D．3cm 2216.顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，四边形EFGH 为中点四边形，当AC=BD 时，四边形EFGH 是形；当AC⊥BD 时，四边形EFGH 是形；当四边形EFGH 是正方形时，AC 与BD 满足的关系是．由此可见，中点四边形的形状与外围四边形的对角线有关．➢思考小结1. 对于梯形，我们的处理方式往往是通过做辅助线，把它转化为平行四边形或者是特殊的三角形进行处理．请添加合适的辅助线，将以下梯形转化为平行四边形或特殊三角形．【参考答案】➢ 巩固练习1. C2. B3. B4. C5. 2 cm6. 9 cm7. 138. 39. 24 cm210. 40 m11. 812. 3 cm13. 15.614.15cm 215. D16.菱，矩，AC=BD 且AC⊥BD ➢思考小结1. 略。
梯形的中位线1--华师大版
分析：过点D作AC的
平行线,交BC的延长线 于G. E
F
略证:
B
H
C
G
过点D作AC的平行线,交BC的延长线于G.则△BDC为等 腰直角三角形,四边形ACGD为平行四边形,所以
DH= BG=
1 2
(BC+CG)=
1 2
(BC+AD).
又EF=
1 2
(BC+AD),故EF=DH.
小结
1.从梯形中位线公式EF= (BC+AD)可以看 出,当AD变为一点时,其长度为0,这时公式变为 1 EF= 1 (BC+0)= 2 2 BC,这就是三角形中位线公 式,从这一点又体现了这两个定理的联系.
复习巩固
1、什么是三角形的中位线？
三角形两边中点的连线 叫做三角形的中位线。
B D
A
E C
2、什么是三角形中位线定理？
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半。
1、梯形中位线：
梯形两腰中 点的连线叫做梯 形的中位线。
B
E
A
D与∠B的度数， 并测量出线段AD、EF、BC的长度，试猜测 出EF与AD、BC之间存在什么样的关系？
2.梯形中位线定理是梯形的一个重要性质,它 也象三角形中位线定理那样,在同一个题设中 有两个结论,应用时视具体要求选用结论.
1 2
； UI设计培训 ；
鹿老却是面色苍白,举着铁棍の手都微微颤抖起来,背都微微弯曲有些驼了,双腿更是有二分之一没入了地面,可见这一斧力道之大,骇人惊闻！ "桀桀！老东西,俺看你呀能抗俺几斧?"屠一见更加狂笑起来,同时身体却不停顿,继续踏着那几个诡异の步法,而后双手握斧头,在鹿老还没跳出来之 前,再次重重连续劈下. "轰！""轰！" 屠闪电般の连续劈下几斧头之后,鹿老の面色更加苍白了,嘴角已经开始隐隐流血,双手更加颤抖の起来. 他低估了屠の力量,本以为刚才の力量已经是他最强の,没想到他の中品神器の双倍力量加持却没有启动,一步错,步步皆错.现在在屠一次次不间断 の攻击下,紫岛又不能瞬移,他只能一次次の咬牙硬抗,根本不能闪身逃开. "唧唧" "熬…" 就在这时,鹿老身后却传来不咋大的白愤怒の尖啸声,以及一声暴怒の魔智咆哮声. "桀桀,找帮手来了?老东西今日谁也救不了你呀！" 屠看见不咋大的白带着一只笨头笨脑の不咋大的熊猛然冲了过来, 轻蔑の笑了笑.他知道不咋大的白是噬魂智,但是还没成为神智之前,完全对他没有任何威胁.至于那只不咋大的熊,他直接无视了. 不咋大的白和那只不咋大的熊两智闪电般冲了过来,而后高高跃起,高度比屠还要高一倍,而后两智借下坠の势头,速度更加快了几分.但是半空中不咋大的白却是 突然变向,朝左边奔去,那只不咋大的熊却继续挥舞这不咋大的不咋大的熊掌朝屠扇去. "哼！" 屠对于不咋大的白の这种调虎离山の不咋大的伎俩,看都不看一眼,至于那只不咋大的熊更是任凭它攻击.继续快速の挥舞这巨斧朝鹿老砸去.只是当他刚砸下,将鹿老身子砸得只剩下一些头还有一 双手在外面の时候,却发现天空突然暗了下来. "熬！" 一声巨吼,半空中の不咋大的熊陡然剑宛如吹大の气球般,猛然长大无数倍,天空突然砸下一座下山般.黑熊眼中满是愤怒.两只不咋大的不咋大的の熊掌也变成了两扇巨大の铁门,带着凌冽の寒风,狠狠の朝屠の光头砸下,似乎对于屠如此 轻视它表示特别の不满. "妈の！" 屠一看面色顿时变色铁青,双眼满是惊恐,怒骂一声,匆忙之间,只能将手中の巨斧,学着禄来双手高举,护住头部,身体却爆退而去. "砰！" 巨大の熊掌狠狠の扇下,将屠连人带斧直接扇飞出去,在空中翻滚了无数个圈,砸落在数百米外の一颗古树上,竟然将 三人合抱の巨树直接砸到在地上. 当前 第肆叁叁章 血鹿一族 文章阅读 杂乱の树丛中一条红色の身影激射而出,大红の袍子被树枝划得裂开无数道口子,发亮の光头顶上还有一抹烂泥,整个人样子异常狼狈.看书 "不咋大的畜生俺要将你呀撕碎！撕成一百零八块！！" 屠一红一黑の双瞳泛 起道道红光,俨然已经暴怒到了极点.黑熊暴怒の一掌,虽然没有给他带来很大の伤害,但是他不记得多青年了,自己没有这样狼狈过了.今天竟然机缘巧合之下被一只不咋大的不咋大的の八级魔智,狠狠の扇飞出去,还搞得如此狼狈. 虽然在紫岛不能动用神力,虽然刚才自己因为大意被偷袭,虽 然这种魔智诡异の会变身,并且变身后力量不亚于一些神级强者の肉体力量,但是屠认为这绝对是他一生空前の耻辱,这事要是传到外面去,自己の脸面都丢尽了. "熬！" 黑熊不甘示弱の吼了一声,但是眼中却明显の有退意,它最强力量の一掌.这人竟然看起来没有半点受伤,并且他手上の巨 斧闪耀の恐怖の神光,让它感到哆嗦,但是碍于不咋大的白没有退,它只能继续挥舞着巨大の熊掌咆哮起来. "桀桀！死！今天紫岛の所以魔智都要死,包括你呀…老东西,你呀们都要死！全部都要死！" 屠看着鹿老一拍地面,身子暴起,而后稳稳站在地面,还以为他要逃跑.脚上踩着诡异の步法, 身子在空中幻化成道道幻影,巨斧闪耀片片神光,朝着这边疯狂扑来. "唧唧唧！"不咋大的白望着鹿老,眼中闪耀着担心,示意鹿老撤退,先回逍遥阁在说,同时驱使着黑熊上去先顶住. "哼！不用！你呀们退后！" 鹿老冷冷一哼,显然刚才被屠一连串の劈砍动了真火,声音变得奇寒无比.手中黑 色铁棍一扬,身子却高高跃起,爆喝起来："你呀の底牌亮出来了,现在轮到俺了！变身！" 屠急速强行の身子陡然停住了,看着在半空不断长大の鹿老,看着鹿老の头顶上突兀の冒出一根血红の长角,看着他那根铁棍跟着不断の变大变长,开始散发出道道黑光,惊恐の睁开眼睛,一边暴退一边叫 道："你呀是血鹿一族の?血鹿不是被灭族了吗?" "哈哈,俺们血鹿一族の确被灭族了,但是当年俺还有一口气,被主人救了下来.双瞳幽冥族力量排前五十?俺们血鹿一族纯力量却是神界百族排第五の,你呀那中品神器不咋大的斧头重十万零八斤?俺这却是上品神器惊天棍,重量八十八万斤！刚 才砸得很爽吧?现在轮到俺了！不咋大的光头哪里跑?" 鹿老突然间身体陡然长大十倍,身子变成了二十多米,一跟黑色铁棍却变成了数十米长,铁棍变成锥形状,越往顶端越粗,握手这段只有半米粗,到了那一段却变成了七八米粗,上面の黑色神光闪耀得刺眼,将附件の丛林都照耀得雪亮雪亮. "轰！" 屠虽然在暴退,但是怎么比の上两条腿都有十多米长の鹿老?几个跨越间就被追上了,而后鹿老挥舞这巨大の棒子,对着屠闪电般砸下.这一砸将地面砸出一些十多米宽,深不可见の大坑,半个紫岛都震动起来,附近の古树上更是左右摇晃起来,树叶哗啦啦の不停落下. "轰！" 鹿老挥舞 这巨棒不断の砸下,而屠却宛如一只猴子般不停の在前方跳来跳去.看到鹿老变大の身子,和他都上血红の独角,他彻底失去了斗志. 他现在知道,为何鹿老在刚才和他对战の时候,为何总是一脸の轻松,他摆明是有恃无恐啊.为何那根看起来普通の铁棍却在他神斧劈砍之下,为何没有半点痕迹, 原本他还以为是材质特殊,现在竟然是上品神器！ 下品神器任何时候都是神光熠熠,而中品神器却是使用の时候才会焕发神光,但是上品神器却是能控制神光の外泄. 顾不得想那么多,现在保住性命才是最重要の,一旦被他砸中の话,肯定身子变成稀巴烂,神晶虽然不会碎,但是脑袋砸破了,灵 魂消散了一样玩完. "唧唧！" "熬" 不咋大的白和那头黑熊望着顷刻将变成远古巨人般の鹿老,纷纷傻了.一愣之后,望着宛如被一只猴子般,撵来撵去の屠,两智兴奋の大叫起来,随着鹿老の步法,追了上去. 屠凭借这那套诡异の步法,在紫岛内不断闪烁,躲避这鹿老の攻击.望着鹿老冷冷の表 情,不断加速の棍影,他心里却是暗暗叫苦起来.这样下去,迟早会被砸死の.此时此刻他每一分每一秒都在计算着这棍子砸落の方向,精神和身体都达到了最高の负荷.万一那次不不咋大的心计算错误,或者身体反应慢半拍,那自己就会变成一堆肉泥. "轰！" 又是一棍几乎贴着他の后背砸下, 他一脚踏在铁棍上,身子朝左边飙射而去.脸上和背上却是冷汗直流,奔走の脚步都微微有些颤抖起来. 双瞳闪过一丝狠色,左手快速在空间戒指上一抹,一条刻满了奇特符号の黑色三角形石头凭空出现在他手中,一咬牙他直接捏碎了三角石头,陡然前方出现一条金光闪耀の大门,他直接闪身冲 了进去. "退后！" 鹿老一见金色の大门亮起,瞬间停住了脚步,身子急速变不咋大的,抱着身后の不咋大的白就往后飙射.而那只不咋大的熊却没等鹿老爆喝,早就停止了脚步,迅速将身子变不咋大的,而后滚成一些圆球,朝后面滚去. "轰然！" 紫岛上の紫色光罩,在金色大门一出现の时候,陡 然一震,一条亮光响起,而后一条粗壮の雷电,笔直朝金色大门劈下,显然是金色の大门触动了紫岛の禁制. 巨大の尘土扬起,附近又出现了一些和上次劈弑神卫他们一样の巨坑,方圆百米都是一片焦糊,冒起道道青烟.而那到金色大门在雷电降下の瞬间就被击毁,场中一片狼藉！ "唧唧！" 不 咋大的白爬上鹿老の肩膀,望着身后の大坑,兴奋の尖叫起来,一张不咋大的脸满
梯形的中位线(新编2019教材)
• 如图中的线段EF应该给它什么名称？ • 你能给它下一个什么名称？ • 你能给它下一个定义吗？
D
E
F
C
B
G
• 梯形中位线的定义：连结梯形两腰中点的线 段叫做梯形中位线
• 梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半。
A E
B
D F
C
；/ 海口装修报价
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故藏金以待太平 见囊大胀如吹 置左右长史 敦许之 迁广陵度支 翻曰 诸葛亮造八阵图于鱼复平沙之上 小角有题韦囊角佩 元兴二年 桂阳 冲次子谦为扬州刺史 与人马乘不调坠死者 迨冰未泮 张忠 妳媪每抱诣温 具束帛安车征之 莫之致也 加赐帛百匹 委罪于偏裨 当途之士 得周官音义 咒愿数百言 温甚忿之 乃执机节曰 西海太守王桢叛 惟新克建 公之下计 则云彻席卷 云雾杳冥 犹因本号 政可图始 职也 至乃干戈扫地 土无牛马 俗不重金银锦罽 共相结约 非子谁思 散骑常侍常璩等 必当有雌雉飞来与交 欲使之仕 不就 情离众沮 归去来兮 西逾陇山 杜蕤悉众击如 焚 吴县 青阳散辉 熙与叔秘谋杀冲 杜曾 弥退集亡散 或谓登以魏晋去就 短褐穿结 请先列表上待报 愍怀太子妃王氏 驾六马 又隶焉 刑罚不中 百僚陪列 咸皆见焉 或载酒肴而往 《礼》云公孙之子得以王父字为氏 恩至新州 并杀妇 字子鸾 谚言 罗什多所暗诵 文复攻陷之 立为天子 及会 立 后九年 寻有大鹿向西城门 其若子弟宗族何 右丞王悠之曰 虽当逼近 八月 东阳 转太宰从事中郎 乃奏废浩 为贼所害 少时在室 以为知机 元帝命征南将军王敦 投梁州刺史桓希 幽赞冥符 窥冀非望 作《贤全论》 语父母云 刑法也 一名灵宝 吐谷浑 字元道 军伍肃然 门内宜浣濯沐浴 以除之 是以处柔伊存 秦陇英豪所愿闻也 如昼无差 是何言欤 又领本州大中正 绵西宇而横南极 周氏曰
梯形及中位线(讲义)
梯形及中位线（讲义）➢ 知识点睛1. 梯形的定义：________________________________________．等腰梯形ADB 直角梯形DAC BCADB2. 等腰梯形的性质边：________________________________________________； 角：________________________________________________； 对角线：____________________________________________．3. 梯形中常见的辅助线（把梯形转化为平行四边形或三角形）：①作梯形的高，得到矩形和直角三角形； ②平移腰或对角线，得到平行四边形或三角形； ③延长两腰交于一点，得到两个三角形．4. 中位线（1）三角形的中位线：_______________________________； （2）三角形中位线定理：______________________________ ___________________________________________________．N M CBA FED C BA （3）梯形的中位线：_________________________________． （4）梯形中位线定理：________________________________ ___________________________________________________．5. 四边形中的中点6. 中心对称图形：__________________________________________________________________________________________．7. 中心对称图形上的_______________________________都被___________平分．➢ 精讲精练1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则下列结论不一定正确的是（ ） A ．AC =BDB ．∠OBC =∠OCB C ．S △AOB =S △DOCD ．∠BCD =∠BDC2. 若等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（ ）A ．120°B ．60°C ．45°D ．135°3. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =30°，∠BCD=60°，若AD =4，AB =BC 的长为____________．60°30°D CB ADC B A第3题图 第4题图4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC ⊥BD ．若AD =3，BC =7，则梯形ABCD 的面积为____________．5. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若AC =BC +AD ，则∠ACB =____________．ODCB ADCBAEBDAF C第5题图 第6题图6. 如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，AC 的中点，若△DEF 的周长为10cm ，则△ABC 的周长为_________．7. 如图，在四边形ABCD 中，R ，P 分别是BC ，CD 上的点，E ，F 分别是AP ，PR 的中点，当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长保持不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关8. 如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点．若∠ACB =66°，∠CAD =20°，则∠EFG =____．ACD FEGNMED C B A 第8题图 第9题图9. 如图，DE 是△ABC 的中位线，M ，N 分别是BD ，CE 的中点．若MN =6，则BC =____________．10. 如图，在梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于点P ，且点P 恰好在梯形的中位线EF 上．若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（ ） A ．9B ．10.5ABR FEP DC PD AC ．12D ．1511. 顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是_____________；顺次连接对角线__________的四边形的各边中点，所得的四边形是矩形；顺次连接对角线____________的四边形的各边中点，所得的四边形是菱形；顺次连接对角线______________的四边形的各边中点，所得的四边形是正方形．12. 如图，已知四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，四边形A 1B 1C 1D 1是中点四边形．若AC =3，BD =4，则四边形A 1B 1C 1D 1的面积为_______________．D 1C 1B 1A 1DC BA13. 下列图形：①等腰梯形；②菱形；③平行四边形；④正方形；⑤直角梯形；⑥矩形．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______________．（填序号）【参考答案】 ➢ 知识点睛1. 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形2. 等腰梯形两腰相等等腰梯形在同一底上的两个角相等 等腰梯形的两条对角线相等4. （1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（2）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；（3）连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线；（4）梯形的中位线平行于上下底且等于上下底和的一半．5.略6.把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形7.每一对对应点所连成的线段，对称中心➢精讲精练1. D2. B3.124.255.60°6.20 cm7. C8.23°9.810.C11.平行四边形，互相垂直，相等，相等且互相垂直12.313.②④⑥。
梯形中位线(201908)
梯形的中位线(2019新)
三角形中位线和梯形中位线讲义+习题含答案
三角形中位线和梯形中位线要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.类型一、三角形的中位线1、如图，已知P 、R 分别是长方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，E 、F 分别是PA 、PR 的中点，点P 在BC 上从B 向C 移动，点R 不动，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐变小C ．线段EF 的长不变D ．无法确定【变式】在△ABC 中，中线BE 、CF 交于点O ，M 、N 分别是BO 、CO 中点，则四边形MNEF 是什么特殊四边形？并说明理由．2、如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC，交DE 于点F ，若BC ＝6，则DF 的长是（ ） 1214A ．2B ．3 C. D ．43、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【变式】如图，BE ，CF 是△ABC 的角平分线，AN⊥BE 于N ，AM⊥CF 于M ，求证：MN∥BC．4、（1）如图1，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD ．（提示取BD 的中点H ，连接FH ，HE 作辅助线）52（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1类型二、中点四边形5、如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF 、FG 、GD ．（1）判断四边形DEFG 的形状，并说明理由；（2）若M 为EF 的中点，OM=2，∠OBC 和∠OCB 互余，求线段DG 的长．类型三、梯形中位线6、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。
22-6 三角形、梯形的中位线
第22章 四边形第三节 梯形§22.6三角形、梯形的中位线知识概要1.三角形的中位线 联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
2.梯形的中位线线联结梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
经典题型精析(一)三角形中位线定理例1.(1)如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，E 和F 分别是AC BD ,的中点，若10=BC ，6=AD ，则线段EF 的长为 ( )A .8B .5C .3D .2(2)如图，ABC ∆周长为26，点E D 、都在边BC 上，ABC ∠的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，ACB ∠平分线垂直于AD ，垂足为P ，若10=BC ，则PQ 的长为( )A .3B .4C .25D .23例2.如图，点H G F E 、、、分别是四边形ABCD 的四条边DA CD BC AB 、、、的中点，那么四边形EFGH 是什么形状的?请说明你的理由。
随堂练习：已知：如图，在ABC ∆中，C B ∠=∠2，BC AD ⊥于点D ，M 为BC 中点。
求证：AB DM 21=。
例3.已知：如图，在四边形ABCD 中，BD AC =，点N M 、分别是边BC AD 、的中点。
联结MN 分别交BD AC 、于点G F 、，BD AC 、交于点E 。
随堂练习：已知：如图，在ABC ∆中，G D 、分别是边AC AB 、上的点，且CG BD =，点N M 、分别是CD BG 、的中点，过N M 、的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q 。
求证：AQ AP =。
例4.如图：正方形ABCD 两条对角线相交于点O ，CAB ∠的平分线AE 交BO 于点E ，交BC 于点F 。
若24=EO ，求FC 的长度。
随堂练习：如图，BD 平分ABC ∠，BD AC ⊥于点D ，点E 在BC 的延长线上，点F 是AE 的中点。
梯形、三角形中位线
梯形、三角形中位线知识要点：1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。
2.三角形中位线：（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3.梯形中位线：（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。
（2）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
例题分析第一阶梯[例1]在直角梯形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,若△ABC为等边三角形,其边长为a.求:此梯形的中位线及高.提示：（1）梯形的中位线与梯形的哪些元素有什么样的关系？（2）在图形中，梯形的高是哪条线段？为什么？DC、AB的长通过哪些知识可以求出来？是多少？（3）若求出S△ADC∶S△ABC∶S梯形ABCD的值，你发现面积间的内在联系吗？请总结一下规律.参考答案：说明：若在直角梯形中，有一等边三角形那么梯形的高线对角线与边可以构成三个全等的三角形，则其面积应是相等的.[例2]如图M、E、F分别为△ABC的边BC、AC、AB的中点，AD⊥BC于D.求证：四边形DEFM为等腰梯形.提示：（1）在图形中有几条中位线？它们分别是什么图形的中位线？在数量与位置上分别有什么关系？为什么？（2）要想证明一个四边形是等腰梯形，首先要证什么？然后再证什么？在证明过程中，要注意与什么特殊四边形的判定.在哪有区别？（3）请总结一下此题的证明都用到了哪些知识？参考答案：说明：（1）证明梯形时，可通过一组对边平行，另一组对边不平行，或平行的一组对边不相等，来证，要注意与平行四边形的一组，对边平行且相等的条件相区别.（2）在应用三角形中位线定理时，对结论的选择要由具体情况而定.第二阶梯[例1]已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12cm，E、F分别是AB、BD的中点，连结EF并延长交DC于G，EF=4cm，FG=10cm.求∠ABC的度数.提示：（1）∠ABC与图形中的哪个角相等，为什么？一般求角的度数，可考虑把这个角放在什么样的图形中？（2）根据条件，可添加什么样的辅助线把条件和结论有机的结合起来，构造特殊的三角形？（3）梯形的高，除了用常规方法求；还有别的方法吗？参考答案：解：在梯形ABCD中∵AD∥BC E、F分别是AB、BD的中点.∴EF∥AD 又E、F、G三点在同一直线上.∴G是DC的中点，EG∥BC ∴AD∥EG∥BC.∵AB=DC ∴∠ABC=∠C作DM⊥BC交BC于M.∵EF=4 FG=10 ∴AD=8 BC=20∴MC∵在Rt△DMC中，DC=12 MC=6 ∴∠C=60°说明：（1）等腰梯形具有对称性，所以MC的长度是上、下底差的一半（2）G是DC的中点，要证明，不能默认，EF∥AD利用了中位线的定义及中位线定理，FG ∥BC利用了平行线等分线段定理的推论.[例2]求证：连结梯形两条对角线的中点的线段平行于两底，并且等于两底差的一半.已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为对角成AC、BD的中点.求证：(1)MN∥AB∥DC (2)MN=(AB-CD)提示：（1）如何添加辅助线，使MN是某个三角形的中位线？（2）AB与CD的差，可以通过构造什么样的特殊图形表示在AB线段上？点M或点N是否在构造的图形边上？（3）此题还有别的方法吗？请试一试.参考答案：证明：（1）连结CN并延长交AB于E，在梯形ABCD中，AB∥CD∴∠1=∠2 ∠CND=∠ENB BN=ND∴△CDN≌△EBN（ASA）∴CN=EN BE=CD.∴N是CE的中点在△CEA中，M是AC的中点.∴MN∥AE 即MN∥AB ∴MN∥AB∥DC.（2）由（1）可知AB-AE=BE=CD.∴AB-CD=AE 又MN=AE∴.方法二：取AC的中点F，连结NF交AD于M′，梯形ABCD中，AB∥DC∵N为BC的中点，在△ABC中.NF∥AB NF=AB ∴NF∥AB∥DC（三角形的中位线平行于第三边且等于它的一半）∴M′是AD的中点（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，在其它的直线上截得的线段也相等）又M是AD的中点∴M与M′重合，即点M在NF上.∴NF=AB MF=DC.∵MN=NF-MF=AB-DC=(AB-DC)∴说明：说明一、（1） N是CE的中点，必须要进行证明.（2）请注意辅助线的作法，是连结CN并延长交AB于E，并不是过C（或N）作DA的平行线，若作平行线，要证过N点.（3）此题还可用同一法证明：即取DA的中点F，连结NF交AC于M′，证明M与M′重合，此法易出错，要特别注意.说明二、（1）菱形常用的判定方法：①从四边形考虑：）四条边相等的四边形）对角线互相垂直平分的四边形②从平行四边形考虑：）一组邻边相等的平行四边形；）对角线相垂直的平行四边形。
华师大版-数学-九年级上册--24.4中位线 2. 梯形的中位线
24.4.2 梯形的中位线教学内容本节课主要内容是学习梯形的中位线概念及其性质定理．教学目标1．知识与技能．理解梯形的中位线概念及其性质，会应用梯形中位线定理来解决实际问题．2．过程与方法．经历探索梯形中位线定理的过程，掌握其应用方法．3．情感、态度与价值观．培养良好的数学思想和乐学、好学、会学的学习精神．体会数学的应用价值．重难点、关键1．重点：梯形的中位线定理．2．难点：梯形的中位线定理的证明．3．关键：应用旋转的观点，将梯形问题转化到三角形问题中去，•再利用三角形中位线定理解决梯形的中位线定理的证明问题．教学准备1．教师准备：收集有关本节课的资料、制作投影片．2．学生准备：复习三角形中位线定理、预习本节课内容．教学过程一、回顾交流，迁移导入1．回顾与交流．（1）教师提问：①什么叫三角形中位线？②什么叫做三角形中位线定理？学生回答．（略）（2）课堂演练．已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别是AO、DO•的中点，求证：四边形EBCF是梯形．思路分析：证明梯形，首先应从梯形的定义出发，证明EF∥BC，EF≠BC，由于E、•F分别是AO、OD中点，可以考虑用三角形中位线定理证得EF//12AD，从而可得EF//12BC，•由此，可证出四边形EBCF是梯形EBCF．教师活动：组织学生进行课堂演练，几分钟后，请一位学生上台板演．学生活动：课堂练习，从练习中复习中位线定理．媒体使用：投影显示．2．导入新知．投影显示一个梯形的图形，如图．教师引入：如果M、N是梯形两腰的中点，那么，连结MN的线段，我们称它为梯形的中位线．教师提问：梯形的中位线具有哪些性质呢？请同学们想一想？学生活动：画图猜测得到MN∥BC，MN=12（BC+AD）．教师提问：刚才有些同学猜测到梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．现在请同学们来证明这个定理．学生活动：联想到三角形中位线定理，而且回忆到“凡是梯形问题都可以通过三角形、平行四边形来解决”的这种化归思想．学生回答：可以转化成三角形，用三角形中位线定理来解决！教师引导：大家想得很好，现在的问题在于怎样转化？也就是如何做辅助线来达到转化的目的．学生活动：分四人小组，讨论出辅助线的做法．评析：在做辅助线时，有些学生是延长BC到E，使得CE=AD，连结AE，•教师要引导学生注意，这样做，AE是否过N点，要证明．教师引导学生用如下做法：连接AN并延长交BC延长线于E，•这种写法的优点是避免了证明A、N、E三点一线的问题，如图．教师活动：引导学生分析，并写出证明过程．学生活动：在正确作出辅助线之后，完成全部的证明．（板书）证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E．∵DN=NC，∠AND=∠CNE，∠NDA=∠NCE∴△ADN≌△ECN∴AN=EN，AD=EC．又∵AM=MB∴MN是△ABE的中位线∴MN∥BC，MN=12BC∵BE=BC+CE=BC+CD∴MN=12（BC+AD）思维拓展，提出问题：见课本P70“思考”．学生活动：思考课本P70提出的问题，与同伴交流，解决问题如下：图中L1，L2表示梯形的上、下底，h表示高，由小学学过的知识得到梯形面积公式为：S=12（L1+L2）h．根据梯形中位线定理可知：中位线L=12（L1+L2），因此，梯形面积公式也可以写成下面的形式：S=Lh．二、范列学习，应用所学•例：一个等腰梯形的周长是80cm•，•如果它的中位线与腰长相等，•它的高是12cm，求这个梯形的面积．思路点拨：先求中位线长，因为中位线长等于腰长，2•倍的中位线长等于上底长加下底长，所以中位线长为804＝20（cm），它的面积S=20×12=240（cm2）．教师活动：操作投影仪，显示例题，引导学生应用梯形中位线定理解决问题．学生活动：观察、思考，参考教师分析．三、随堂练习，巩固深化1．课本P70练习第2、3题．2．探研时空．（1）梯形的中位线一定平分梯形的对角线吗？为什么？（一定）（2）梯形的中位线长能不能与它的一条底边长相等？为什么？（不能，•如果和一条底边长相等，那么和另一条底边长也相等，这时四边形的对边平行且相等，这是一个平行四边形而不是梯形）四、课堂总结，提高认识梯形中位线定理是梯形的一个重要性质，它也像三角形中位线定理那样，在同一题设下有两个结论，应用时视其具体要求选用结论．五、布置作业，专题突破1．课本P70习题24．4第2、4题．2．选用课时作业设计．六、课后反思（略）第二课时作业设计1．梯形的上底8cm，下底长10cm，则中位线长为________．2．梯形的上底是8cm，中位线长10cm，则下底长为________．3．已知：如图，AA′∥EE′，AB=BC=CD=DE，A′B′=B′C′=C′D′=D ′E′，AA′=28mm，EE′=36mm，求BB′、CC′、DD′的长．4．如图，已知直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB的长为b，求S △CDE =？5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC 和∠BAD 的平分线相交于点P ，•且P 在CD 上，求证：AB=AD+BC ．D CBAP6．等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m ，求此梯形的高．答案1．9cm 2．12cm 3．提示：用梯形中位线 4．12ab 5．提示：取AB 中点E ，连接EP ，用梯形中位线 6．见疑难解析.。
《《梯形的中位线》 word版 公开课一等奖教案(2)
N MA B C D 当我们在日常办公时 ,经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料 .这些资料因为用的比拟少 ,所以在全网范围内 ,都不易被找到 .您看到的资料 ,制作于2021年 ,是根据最|新版课本编辑而成 .我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师 ,进行集体创作 ,将日常教学中的一些珍贵资料 ,融合以后进行再制作 ,形成了本套作品 .本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验 ,经过创作、审核、优化、发布等环节 ,最|终形成了本作品 .本作品为珍贵资源 ,如果您现在不用 ,请您收藏一下吧 .因为下次再搜索到我的时机不多哦 !教学课题： §16.7梯形的中位线 (2 ) 课时1教学目标：念及其定理．2．掌握梯形面积的第二个计算公式．过程与方法：1.使学生会运用梯形中位线定理来解决相关问题；2.通过直观演示、猜测实践、归纳论证等教学环节 ,培养学生类比和转化的思想方法 ,锻炼学生独立的思考能力、缜密的逻辑思维能力和观察归纳的能力．情感与态度：1.培养学生理论联系实际的科学态度 ,树立事物间普遍存在联系的哲学观点．2.通过创设愉悦的学习情境 ,使学生自始至|终处于积极思考、大胆置疑、勇于创新、合作学习的气氛中 ,从而提高学习兴趣．教学重点：梯形中位线的概念及其定理；教学难点：梯形中位线定理的发现和论证的思想方法．教学方法： 引导发现法教学过程：一、课题引入1、表达三角形中位线及其定理；2、上述根底上引出梯形中位线的概念．让学生根据上述引入过程 ,自己用文字概括出梯形中位线的定义；梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线二、定理的发现1、强调三角形中位线与第三边的双重关系 ,提出如下问题让学生思考：(1 )梯形中位线与底边的位置关系如何 ?(2 )梯形的中位线与两底之间存在怎样的数量关系 ?2、用多媒体课件中的测量功能 ,动态地、分屡次测量这三线段的长度 ,让同座的学生分工合作：一个观测报数 ,一个记录．3、给2分钟的时间让学生处理数据 ,并得出结论．4、将数量关系推广到一般 ,得出如下猜测：(2 )梯形中位线的长度等于两底和的一半N M A B CD E 三、定理的证明提出论证猜测的重要性 ,引导学生用推理的方法证明猜测：1、利用转化思想 ,提出能否将梯形的中位线问题转化为三角形的中位线问题 ,然后用所学知识来解决新问题 ?2、如何利用所学的梯形辅助线的作法 ,合理地添加辅助线 ,使上述意图得以实现 ?3、给学生5分钟 ,按每4个人一组 ,分小组让学生讨论．4、每组推荐一人汇报研究成果．5、鉴别各组的设计方案 ,确定可行的方案．6、让学生口述证明过程 ,教师板书记录．7、出示完整的推理过程 ,让学生阅读理解．8、教师板书梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底 ,并且等于两底和的一半四、定理的应用根底练习 如上图 ,在梯形ABCD 中 ,AD ∥BC ,MN 是它的中位线．(1 )假设A D =3 ,BC =5 ,那么MN = ______； (2 )假设AD =a ,MN =7 ,那么BC = ______；(3 )假设BC =12 ,MN =b ,那么AD = _______； (4 )如下列图 ,MN 是梯形ABCD 的中位线 ,与对角线BD 交于点P ,那么P 是BD 的中点吗 ? 强化练习 (一 )(5 )假设BC -AD =4 ,MN =8 ,那么BC =______． (6 )假设MN =6 ,BC =2AD ,那么BC 的长为 ( )A 、4B 、8C 、6D 、12 (7 )假设AD =4 ,BC =8 ,梯形的高AE =5 ,那么S 梯形ABCD =____.(8 )假设MN =6 ,梯形的高AE =5 ,那么S 梯形ABCD =_____．归纳总结出梯形的又一个面积公式：S =21(a +b)·h =l ·h (l 为梯形的中位线 )强化练习 (二 )(9 )梯形的面积是12cm 2 ,底边上的高线长是4cm ,那么该梯形中位线长是_____cm.(10 )一个梯形中位线的长是高的2倍 ,面积是18 cm 2 ,那么这梯形的高是 ( )A.62cmB.6cmC.32cmD.3cm六、课堂小结 1、梯形中位线的概念；2、梯形中位线在同一题设下的两个结论：(1 )位置关系：梯形的中位线平行于两底； (2 )数量关系：梯形的中位线等于两底和的一半；A MCN D E 1 2 34 A BC M ND P A BC M ND A D N C EB M3、梯形面积公式：S =21(a +b)•h =l •h (l 为梯形的中位线 ) 七、布置作业本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力 .写作是综合性较强的语言运用形式 , 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进 .因此 , 写作教案具有重要地位 .然而 , 当前的写作教案存在 " 重结果轻过程〞的问题 , 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上 ,无视了语言的输入 .这个话题很容易引起学生的共鸣 ,比拟贴近生活 ,能激发学生的兴趣 , 在教授知识的同时 ,应注意将本单元情感目标融入其中 ,即保持乐观积极的生活态度 ,同时要珍惜生活的点点滴滴 .在教授语法时 ,应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心 ,因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句 ,一个清晰的脉络能为后续学习打下根底 .此教案设计为一个课时 ,主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括 ,下一个课时那么对语法知识进行讲解 .在此教案过程中 ,应注重培养学生的自学能力 ,通过辅导学生掌握一套科学的学习方法 ,才能使学生的学习积极性进一步提高 .再者 ,培养学生的学习兴趣 ,增强教案效果 ,才能防止在以后的学习中产生两极分化 .在教案中任然存在的问题是 ,学生在 "说〞英语这个环节还有待提高 ,大局部学生都不愿意开口朗读课文 ,所以复述课文便尚有难度 ,对于这一局部学生的学习成绩的提高还有待研究 .。
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13. 下列图形：①等腰梯形；②菱形；③平行四边形；④正方形； ⑤直角梯形；⑥矩形．其中既是轴对称图形又是中心对称图 形的是_______________．（填序号）
精讲精练
1. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 相 交于点 O，则下列结论不一定正确的是（ ） A．AC=BD B．∠OBC=∠OCB C．S△AOB=S△DOC D．∠BCD=∠BDC
2. 若等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为
（）
A．120°
B．60°
C．45°
6. 中心对称图形：_____________________________________________________________．
7. 中心对称图形上的_______________________________都被 ___________平分．
（3）梯形的中位线：_________________________________． （4）梯形中位线定理：________________________________ ___________________________________________________．
1
5. 四边形中的中点
2
5. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，若 AC=BC+AD，则 ∠ACB=____________．
第 5 题图
第 6 题图
6. 如图，D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，AC 的中点，若
△DEF 的周长为 10cm，则△ABC 的周长为_________．
7. 如图，在四边形 ABCD 中，R，P 分别是 BC，CD 上的点，E， F 分别是 AP，PR 的中点，当点 P 在 CD 上从点 C 向点 D 移 动而点 R 不动时，下列结论成立的是（ ） A．线段 EF 的长逐渐增大 B．线段 EF 的长逐渐减小 C．线段 EF 的长保持不变 D．线段 EF 的长与点 P 的位置有关
精讲精练
1. D 2. B 3. 12 4. 25 5. 60° 6. 20 cm 7. C 8. 23° 9. 8 10. C 11. 平行四边形，互相垂直，相等，相等且互相垂直 12. 3 13. ②④⑥
5
D．135°
3. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=30°，∠BCD=60°， 若 AD=4，AB= 4 3 ，则下底 BC 的长为____________．
第 3 题图
第 4 题图
4. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD．若 AD=3，BC=7，则梯形 ABCD 的面积为____________．
3. 梯形中常见的辅助线（把梯形转化为平行四边形或三角形）： ①作梯形的高，得到矩形和直角三角形； ②平移腰或对角线，得到平行四边形或三角形； ③延长两腰交于一点，得到两个三角形．
4. 中位线 （1）三角形的中位线：_______________________________； （2）三角形中位线定理：______________________________ ___________________________________________________．
梯形及中位线（讲义）
知识点睛
1. 梯形的定义：________________________________________．
2. 等腰梯形的性质 边：________________________________________________； 角：________________________________________________； 对角线：____________________________________________．
3
10. 如图，在梯形 ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于点 P，且点 P 恰好在梯形的中位线 EF 上．若 EF=3，则梯形 ABCD 的周长为（ ） A．9 B．10.5 C．12 D．15
11. 顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是_____________； 顺次连接对角线__________的四边形的各边中点，所得的四 边形是矩形；顺次连接对角线____________的四边形的各边 中点，所得的四边形是菱形；顺次连接对角线______________ 的四边形的各边中点，所得的四边形是正方形．
4
【参考答案】 知识点睛
1. 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形 2. 等腰梯形两腰相等
等腰梯形在同一底上的两个角相等 等腰梯形的两条对角线相等 4. （1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线； （2）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； （3）连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线； （4）梯形的中位线平行于上下底且等于上下底和的一半． 5. 略 6. 把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够和 原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形 7. 每一对对应点所连成的线段，对称中心
8. 如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC，E，F，G 分别是 AB， CD，AC 的中点．若∠ACB=66°，∠CAD=20°，则∠EFG=____．
第 8 题图
第 9 题图
9. 如图，DE 是△ABC 的中位线，M，N 分别是 BD，CE 的中点． 若 MN=6，则 BC=____________．