一阶偏微分方程

? 偏微分方程与常微分方程求解思路的不同
常微分方程：求方程通解，初、边值定常数 一阶偏微分：求方程通解，初、边值确定任意函数 二阶偏微分：不求通解，从问题出发求解
例，一阶PDE 通解
?u ? c ?u ? 0 ?x ?y
u ? f ( y ? cx)
第三章一阶偏微分方程——特征线法
? 初值问题（Cauchy 问题）
曲线的全体构成解曲面u=u(x,y) 。
第三章一阶偏微分方程——特征线法
第三章一阶偏微分方程——特征线法
第三章一阶偏微分方程——特征线法
? 因此，特征线法的求解思路是 ——用特性曲线来编织解曲面
1。求出与向量场( P, Q, R ) 共线的特征曲线；
2、让该曲线通过初始曲线
第三章一阶偏微分方程——特征线法
图象——矩形方波以速度v 传播
c
t =0 v
0
t =t1 v
t =t2 v
x
第三章一阶偏微分方程——特征线法
x-t 平面的特征线及图解法
t 1/ v ( x, t )
第三章一阶偏微分方程——特征线法
例2．线性色谱问题
v ?c ? (1? ? K) ?c ? 0
?x
?t
t ? 0 : c ? f (x), x ? 0 x ? 0 : c ? g(t), t ? 0
? 以积分常数形式给出的特征线解
特征方程
dy
?
Q(x, y, u ) ,
du ? R(x, y, u)
dx P (x, y, u ) dx P ( x, y, u)
通解
g1 ( x, y, u) ? k1 , g2 (x, y, u) ? k2
初始曲线限制 解曲面
F (k1, k2 ) ? 0
F (g1(x, y,u), g2 (x, y,u)) ? 0
dx ? 1, dy ? u , du ? 1
ds
ds
ds
s ? 0: x ? 0, y ? ? , u ? ??
第三章一阶偏微分方程——特征线法
解出 消去参变量
x? s
y ? s 2 ? ?? s ? ?
2
u ? s ? ??
y ? x2
u?? 2 ?x 1? ? x
第三章一阶偏微分方程——特征线法
化工问题的建模 与数学分析方法
—— Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering
第三章 一阶偏微分方程
1、特征线法 2、非线性波与追赶现象
第三章一阶偏微分方程——特征线法
§1.1 一阶偏微分方程的定解问题
第三章一阶偏微分方程——特征线法
? 例2.3
特征方程 通解 解曲面 由初值 得解
?u ? ? ?u ? 1
?x ?y
(? 为常数)
dy ? ? , du ? 1
dx
dx
y?? x ? k1, u ? x ? k2
u ? x ? f ( y ? ? x)
u(0, y) ? ? ( y)
u ? x ? ? ( y ? ? x)
第三章一阶偏微分方程——特征线法
? 解曲面由以下双参变量形式给出
x ? x(s,? ) y ? y(s,? ) u ? u(s,? )
参变量s 沿特征曲线方向变化，
参变量? 沿初始曲线方向变化。
第三章一阶偏微分方程——特征线法
? 例2.1
特征线方程 初始曲线
? ?u
? ?
?x
?
u
?u ?y
?
1
??u(0, ywenku.baidu.com ? ? y
?????ct
?
v?c ?x
?
?rA(c)
??t ? 0, c ? f(x)
(?? ? x? ? ,0 ? t ? ? )
? 初、边值问题（Riemann 问题）
? ?c
? ?
?t
?
v ?c ?x
?
? rA(c)
?t ? 0, c ? f (x)
? ?
x
?
0,
c ? g (t)
?
(0 ? x ? ? ,0 ? t ? ? )
特征线
dt ? 1? ? K ? ?
dx v
第三章一阶偏微分方程——特征线法
? x轴给出的初值的解
s ? 0 : t ? 0, x ? ? , c ? f (? ) ? ? 0
t ? ? (x? ?)
c( x, t) ?
f
(
x
?
t
?
),
? t 轴给出的边值的解
x
?
t
?
s ? 0 : x ? 0, t ? ? , c ? g(? ) ? ? 0
? 特征线方程
dx ? P ( x, y, u ) ds dy ? Q ( x, y, u ) ds du ? R ( x, y, u ) ds
? 解x=x(s), y=y(s), u=u(s) 含任意常数，由初始曲线 I：u ? u0 (? ), x ? x0 (? ), y ? y0 (? )
确定
P (x, y,u) ?u ? Q(x, y,u) ?u ? R(x, y,u)
?x
?y
? 向量 ( P, Q, R ) 与解曲面u=u(x,y)的法线方向
(u x , u y , ? 1) 相互垂直，与 ( P, Q, R ) 共线的线元(dx, dy, du)必定
满足偏微分方程，称为特征曲线，经过初始曲线的特征
t ? ? x?? ,
x
?
t
?
c(x,t) ? g (t ? ? x),
x? t
?
第三章一阶偏微分方程——特征线法
x-t 平面的特征线
第三章一阶偏微分方程——特征线法
斜坡输入时的图象
第三章一阶偏微分方程——特征线法
§1.3 特征线法的物理意义
波 动——物理量在空间的传播过程
特征线——物理量的传播轨迹，沿该轨迹的变化关系
例1．管道中的溶质输送问题
?c ? v ?c ? 0 ?t ?x
?0 c(x,0) ? ??c0
?? 0
(?? ? x ? ? )
x? 0 ?a ? x? 0
x? ?a
第三章一阶偏微分方程——特征线法
特征线 初始曲线 解得
dt ? 1, ds s ? 0:
dx ? v, dc ? 0
ds
ds
t ? 0, x ? ?
x－vt＝ξ
?0
c(? )
?
? ?c0
?? 0
x ? vt ? 0 ? a ? x ? vt ? 0
x ? vt ? ? a
第三章一阶偏微分方程——特征线法
第三章一阶偏微分方程——特征线法
? 一般的一阶拟线性偏微分方程的问题
P (x, y, u) ?u ? Q(x, y, u) ?u ? R(x, y,u)
?x
?y
I：u ? u0 (? ), x ? x0 (? ), y ? y0 (? )
第三章一阶偏微分方程——特征线法
§1.2 特征线法的几何原理