东北大学土木工程测量学 5

49.988 49.975
49.981 49.978 49.987 49.984
mm 49.982 +6 36
[vv] m n -1 131 5 5.1mm
5.3 评定观测值精度的标准
2、容许误差
3、相对误差
容 2m 容 3m
K
m
L 1 K L/ m
二、加权算术平均值及中误差
对同一未知两进行了n次非等精度观测，观测 值为 l1l2 ......ln ，其相应的权为： p p ...... p ， 1 2 n 则加权算术平均值 L0 为非等精度观测值得最可靠 值。
最可靠值
Pl 11P 2l2 ...... P n ln L0 P 1P 2 ...... P n
2) 绝对值小的误差比绝 对值大的误差出现的机会多。 3) 绝对值相等的正、负 误差出现的机会基本相等。 4) 偶然误差的算术平均 值随着观测次数的无限增加 而趋于零。
5.1 概述
4、偶然误差分布
1) 在一定的观测条件下， 偶然误差的绝对值不会超过 一定的限值。
2) 绝对值小的误差比绝 对值大的误差出现的机会多。 3) 绝对值相等的正、负 误差出现的机会基本相等。 4) 偶然误差的算术平均 值随着观测次数的无限增加 而趋于零。
n
i =X - Li
(i=1,2，…n)
5.3 评定观测值精度的标准
某段距离用因瓦基线尺量的49.982m，用50m长的钢尺丈 量6次，试求用该钢尺丈量距离一次的观测值中误差。 观测次序
观测值m

mm

36 49
1 16 25 4
计算
1 2
3 4 5 6
49.988 49.975
49.981 49.978 49.987 49.984
1 K L m
4.算术平均值中误差：
m M n
一、权与中误差的关系 观测结果的中误差越小，其结果越可靠，可信度 越高，权就越大。可以根据中误差来定义观测结果的
权。设非等精度观测值 l1l2 ......ln 的中误差分别为
m1m2 ......mn
所对应的权为：
p1

m1
2
p2

m2
+1.538 -2.330 +1.782
21.683 21.7 21.68
4 2.5 5
PH 1 1P 2H2 P 3H3 HQ 21.685 P 1P 2 P 3
5 6
49.987 49.984
-5 -2
5.3 评定观测值精度的标准
1、中 误 差
1）用真误差来确定中误差 2) 用改正数来确定中误差
m
2 V i 1 n
[] D lim n n
m
2 i 1 n
n -1
Vi = x - Li
(i=1,2，…n)
M2 =
1 n2
(m1)2＋(m2)2＋…(mn)2
因为m1 = m2 =…mn = m，得：
m M n
5.4观测值函数中误差
例4 三角形的三个内角，在实际观测时三内角之和与理论值会有 一个差值，这个差值称为三角形闭合差。设等精度观测n个三角形的三 内角分别为 ai、 bi 和 ci，其测角中误差均为 mβ=ma=mb=mc，各三角形内 角和的观测值与真值180°之差为三角形闭合差 即真误 w1 , w2 ......wn 差，其计算关系式为：
3.算术平均值： x
L
n
（L1，L 2，…L n）为等精度观测值
4.最或是误差：Vi=x - Li
且
(i=1，2，…n)
V 0
本 章 小 节
二、评定观测值精度的标准 V m 或m
2 2
1.中误差：
n
n -1
(Δi=X- L1，Vi=x - Li） 2.允许误差： Δ容=±2m 或 Δ容=±3m 3.相对误差：
wi
= ai + bi + ci - 180°
根据观测值函数中误差关系得：
2 2 2 2 2 mw m m m 3 m
2 m 2 mw
菲列罗公式
3
在相同观测条件下观测10个三角形，求测角精度
三角形号 内角和
i i i
1
2 3 4 5 6
2 m 2 o M0 P 1P 2 ...... P n
最可靠值 中误差
A
从A、B、C三个水准点向Q点进行 了同等级的水准测量，各段高差的 权与路线呈反比，试求Q点的高程 及中误差
水准点高程 m 观测高 差m Q 高程m 水准 路线 长度 km 2.5 4.0 2 权
Q
B
C
A：20.145 B：24.030 C：19.898
例 1: 在 1 ： 500 比 例 尺 地 形 图 上 ， 量 得 A 、 B 两 点 间 的 距 离 S=163.6mm，其中误差 ms=0.2mm。求 A、 B两点实地距离 D 及其中误 差mD。
解：D = MS = 500×163.6(mm)
= 81.8(m)
(M为比例尺分母)
mD=MmS = 500×0.2(mm)
某段距离用因瓦基线尺量的49.982m，用50m长 的钢尺丈量6次，试求用该钢尺丈量距离
观测次序 观测值m
1 2 3 4 5 6
49.988 49.975 49.981 49.978 49.987 49.984
第五章测量误差的基本知识
5-1 5-2 5-3 5-4 概述 算术平均值 评定观测值精度的标准 观测值函数中误差
v 0
i 1
这是最或是误差的一大特征，用作计算上的校核。
5.2 算术平均值
某段距离用50m长的钢尺丈量6次，试求用该钢尺丈量距离
算术平均值
观测次序 1 2 3 4 观测值m 49.988 49.975 49.981 49.978 算数平均值 m 49.982 改正数mm -6 +7 +1 +4
2
pn

mn 2

：单位权方差
例1：以非等精度观测某角度，各观测结果的中误
'' '' 差分别为： m1 2.0 m2 3.0 求各观测值的权？
m3 6.0''

m2
2
解：
p1
p3

m
2 1



4

36
p2


9

m3
2
令
4
Байду номын сангаасp1 1
则：
4 p2 9
1 p3 9
+6 -7
-1 -4 +5 +2
[] m n 131 6 4.7mm
5.3 评定观测值精度的标准
用50m长的钢尺丈量6次，试求用该钢尺丈量距离一次的观测值 中误差。 观测 观测值 次序 m
算数平 均值
v
-7
-1 -4 +5 +2
vv
49
1 16 25 4
计算
1 2
3 4 5 6
2 mw
7
8 9 10
180 00 06
180 00 04 179 59 46 179 59 54
+6
+4 -14 -6 -29
36
16 196 36 661
m
3
4.7 ''
中误差
mw
ww 661 8.1'' n 10
本 章 小 结
一、基本概念
1.测量误差=真值－观测值。 2.观测误差按性质分为系统误差和偶然误差。
m 2h= m21+ m 22＋m 23
=52+42+32
m h=±7.1(mm) ∴ h=16.882m±7.1mm
5.4观测值函数中误差
例3 设对某一未知量P，在相同观测条件下进行多次观测，观测
值分别为L1, L2…Ln，其中误差均为m，求算术平均值x的中误差M。
解：
1 x L1 L2 Ln n
从A、B、C三个水准点向Q点进行 了同等级的水准测量，各段高差的 权与路线呈反比，试求各段的高差 的权
SAQ：2.5KM SBQ：4KM SCQ：2KM 每公里中误差m0 ，SAQ的中误差
B
A
Q
C
2.5m0
pBQ 1 4 pCQ 1 2
pAQ

mAQ 2
2 m0 1 2 2.5m0 2.5
5.2 算术平均值
1、算术平均值
在实际工作中，采用对某量有限次数的观测值来求得算术平均值， 即：
x
L
i 1
n
n
x是根据观测值所能求得的最可靠的结果，称为最或是值或算术平均值。
2、最或是误差 (改正数)及特性
最或是值与观测值之差称为最或是误差，也称观测值改正数，用V表 n 示，即： Vi = x- Li
=±0.1(m)
∴ D = 81.1±0.1(m)
5.4观测值函数中误差
例2某水准路线各测段高差的观测值中误差分别为 h1=18.316m±5mm，h2=8.171m±4mm， h3=6.625m±3mm， 试求该水准路线高差及其中误差。
1
h1
2
h2
3
h3
4
解
h = h1+h2+h3=16.862(ｍ)
5.1 概述
1、测量误差 测量所得的观测值与该量的真值之间的差值
测量误差 = 真值 - 观测值
2、测量误差产生的原因
仪器设备 观测者 外界环境
5.1 概述
3、观测误差的分类 按其性质可分为两类： 1）系统误差
2) 偶然误差
5.1 概述
4、偶然误差分布
1) 在一定的观测条件下， 偶然误差的绝对值不会超过 一定的限值。
闭合差 wi
-18
+2 -2 -4 +5 -2 4 4 16 25 4
wi2
324
1.三角形闭合差的中误差
mw ww 661 8.1'' n 10
179 59 42
180 00 02 179 59 58 179 59 56 180 00 05 179 59 58
2. 测角的中误差
相对误差：
5.4观测值函数中误差 设有函数
F = K1x1±K2x2±…±Knxn
式中：F ——线性函数； Ki ——常数； xi —— 观测值。 设 xi 的中误差为 mi ，函数 F 的中误差为 mF，经推导得： m2F = (K1m1)2+(K2m2)2+…(Knmn)2
5.4观测值函数中误差