斐波那契数列与黄金比
黄金分割与斐波那契数列
第八讲 黄金分割与斐波那契数列一、 黄金分割1. 黄金分割的概念把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字。
德国天文学家开普勒（J.Kepler ）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。
前者如黄金，后者如珍珠。
”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称之为神圣分割。
当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”。
这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们常说的比例方法。
第八讲--黄金分割与斐波那契数列
第八讲黄金分割与斐波那契数列一、黄金分割1.黄金分割的概念德国天文学家开普勒（J.Kepler）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。
前者如黄金，后者如珍珠。
”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在《几何原本》（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。
“中外比”指将一线段分成两段不等长的部分，使得长段与短段之比等于全长与长段之比。
此比值为215，取其前三位数字的近似值是0.618称为黄金比，或黄金数（Golden Number）。
一线段中使长段与短段之比为黄金比的那点，称为把此线段黄金分割。
有时也将黄金数称为黄金分割。
而一长方形，如长比宽等于黄金数，便称此为黄金长方形。
其实关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
而《几何原本》是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称之为神圣分割。
当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。
2.黄金分割在各领域中的应用（1）人体中的黄金分割：人的肚脐眼原是胎儿在母体中吸收养分的重要器官，其所在高度与一个人身高的比值恰为0.618。
人体黄金比例计算方法
人体黄金比例计算方法1.斐波那契数列比例法人体黄金比例与斐波那契数列之间有密切的关系。
斐波那契数列是指从0和1开始，后续的每一个数字都是前两个数字之和，即0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55······，而人体黄金比例则是指相邻两个数字之间的比例关系趋近于1：1.618据研究表明，人体的身高、肩宽、臂长、腿长等部分的长度之间的比例接近于黄金比例。
通过测量并计算各个部分之间的长度比例，就可以判断一个人体是否符合黄金比例。
2.计算头部黄金比例头部黄金比例是指面部各个部分之间的长度比例关系。
根据黄金分割比例，人脸的长度可以分为三个部分：发际线到眉毛的顶端、眉毛到鼻尖，以及鼻尖到下巴。
这三个部分的长度比例接近于1：1.618：2.618为了计算头部黄金比例，首先需要测量发际线到眉毛的顶端、眉毛到鼻尖，以及鼻尖到下巴的长度。
然后将这三个长度相除，如果得出的结果接近于1：1.618：2.618，那么这个人的头部黄金比例较为理想。
3.计算身体黄金比例身体黄金比例是指人体各个部分之间的长度比例关系。
根据黄金分割比例，人的身体可以分为三个部分：头到腰，腰到膝盖，以及膝盖到脚。
这三个部分的长度比例接近于1：1.618：2.618为了计算身体黄金比例，首先需要测量头到腰、腰到膝盖，以及膝盖到脚的长度。
然后将这三个长度相除，如果得出的结果接近于1：1.618：2.618，那么这个人的身体黄金比例较为理想。
总结起来，人体黄金比例计算方法主要包括斐波那契数列比例法、头部黄金比例计算和身体黄金比例计算。
这些方法可以帮助我们判断一个人的身体部分是否符合黄金比例。
但需要强调的是，美丽和完美并不仅仅取决于黄金比例，更重要的是个体的特点和自信心。
黄金比例在自然界的展现
"黄金比例"是指两个量之间的比例等于它们的总和与较大量的比例相等，即A与B的比例等于A与A+B的比例相等，通常用希腊字母φ（phi）来表示。
黄金比例被广泛运用于建筑、美术和自然界的各个领域中，它是一种自然而然地产生的比例关系，使得万物之美在此基础上达到了最优的表现。
自然界中，黄金比例的展现无处不在。
首先，让我们来看看一些数学方面的例子。
著名的斐波那契数列就是以黄金比例为基础的，每个数除以它前一个数的比值趋近于黄金比例。
而斐波那契数列在很多自然现象的描述中都出现，如恒河海豚在繁殖中的季节间隔、向日葵花朵的排列方式等。
这显示了黄金比例在自然界的普遍存在。
另一个显著的例子是黄金矩形，又称为黄金长方形。
黄金矩形的长宽比例是黄金比例，即1：φ。
黄金矩形在美术中被广泛运用，如建筑中的柱子、画作中的构图等。
人类认为黄金矩形代表了某种美的标准，觉得它更加和谐、舒适。
正是因为这种视觉上的美感，黄金矩形的运用在建筑中尤为常见，比如大教堂的拱顶、巴西利卡的尖顶都是黄金比例的体现。
除了数学和艺术，黄金比例在植物中也有广泛的应用。
很多植物的叶子排列方式都符合黄金角，比如菊花和向日葵的花瓣排列方式都是黄金角。
黄金比例的存在使得植物的生长方式更加高效，能够最大程度地利用空间和光线。
而且研究发现，植物的黄金比例与它们的生长健康和繁殖能力有关，更符合黄金比例的植物通常更强壮、更易繁衍。
黄金比例在动物中也有许多表现。
例如，蜜蜂的体型和蜂窝的构造符合黄金比例，这种构造使得蜂窝更加坚固，并有效地利用空间。
另外，某些昆虫的身体比例也是黄金比例，这种比例帮助昆虫在飞行中保持平衡和稳定。
无论是在数学、艺术还是自然科学中，黄金比例都在广泛地应用和展现。
黄金比例的功用在于它所呈现的一种无可抗拒的美感，使得万物之间的关系更加和谐、美丽。
同时，黄金比例所体现的效率和高效性也为自然界的生态系统带来了好处。
黄金比例作为一种自然规律的存在，我们应该深入探究它的原理，并运用这一规律来更好地设计和创造，使人类的生活更加美好。
斐波那契数列与黄金分割 ppt课件
F1 1 F2 1
第三个月兔子数
F 3F 1F 2 1 12
随着时间不断流逝。。。。。。
第n个月兔子 数
Fn Fn1Fn2
按照递推公式计算，得到 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
从第三项起每一项都等于前两项之和。19世纪法国数 学家路卡斯给这个数列起了一个颇适合的名字:“斐波那契数 列”，数列中的每一个数称为斐波那契数．
数学家们已经发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , …
• 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1， 每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
• 第3、第6、第9、第12项的数字，能夠被 2整除
古希腊的数学家不必说了，中世纪的意 大利数学家裴波那契(Fibonacci, 约1170— 1240), 文艺复兴时代的德国天文学家开普勒 (Kepler, 1571—1630)，以及当代的一些著名 科学家都对它十分关注，并投入了大量的精 力。
意大利的数学家列昂 那多·斐波那契在1202 年提出这样一个问题
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
21个花瓣的紫菀
34个花瓣的雏菊 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契数有时也称松果数，因为连续的 斐波那契数会出现在松果的左和右的两种 螺旋形走向的数目之中
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，• • •
斐波那契（Leonardo Pisano
F ibonacci ; 1170 1250 ）
斐波那契与黄金数
无论是在古代还是在现今，数学都是一个非常神奇的领域，尤其是其中的黄金数更是一个神奇的数字。
今天我们就一起来看一下其中的美妙。
斐波那契是中世纪数学家，他对欧洲的数学发展有着深远的影响。
他生于意大利的比萨，曾经游历过东方和阿拉伯的许多地方。
1202年，斐波那契出版了他的著作《算盘书》。
在这部名著中，他首先引入了阿拉伯数字，将十进制计数法介绍到欧洲。
在此书中他还提出了有趣的兔子问题。
假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。
每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；……如此这般计算下去，兔子对数分别是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...可以将结果以表格形式列出：看出规律了吗？从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。
一个数列，如果从第三项起，每一项都是前两项之和，那么我们就把这样的数列称为斐波那契数列。
生活中有很多这样的数据，比如生活中大家常见的扑克牌，大家都知道有四种花色。
扑克牌上的“梅花”并非梅花，甚至不是花，而是三叶草。
在西方历史上，三叶草是一种很有象征意义的植物，据说第一叶代表希望，第二叶代表信心，第三叶代表爱情，而如果你找到了四叶的三叶草，就会交上好运，找到了幸福。
在野外寻找四叶的三叶草，是西方儿童的一种游戏，不过很难找到，据估计，每一万株三叶草，才会出现一株四叶的突变型。
在中国，梅花有着类似的象征意义。
民间传说梅花五瓣代表着五福。
民国把梅花定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和。
黄金分割比例数列
黄金分割比例数列
黄金分割比例数列（Golden Ratio Sequence）是指一个数列，每个数都等于它前两个数的和。
数列的前几个数依次为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
该数列也被称为斐波那契数列（Fibonacci Sequence），得名于13世纪的意大利数学家斐波那契（Fibonacci）。
斐波那契数列具有许多有趣的数学性质和应用，如矩形长宽比接近黄金分割比例。
黄金分割比例（Golden Ratio）是指一种特殊的比例关系，可用一个无理数φ （约等于1.618）表示。
具体来说，如果将一条线段分成两部分，较长部分与整条线段的比例等于较短部分与较长部分的比例。
这一比例关系即为黄金分割比例。
数列中相邻两个数的比例逐渐趋近于黄金分割比例。
例如，当n近似无穷大时，数列的第n项与第n-1项的比例趋近于φ，即lim(n→∞) Fn/F(n-1) = φ。
黄金分割比例数列的性质和应用非常广泛，涉及到数学、自然科学、艺术等多个领域。
斐波那契数列与黄金比ppt
指事物各部分间一定的数
学比例关系，即将整体一
分为二，较大部分与较小
部分之比等于整体与较大
部分之比，其比值为
1∶0.618或1.618∶1，即
长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审
美意义的比例数字。上述
比例是最能引起人的美感
的比例，因此被称为黄金
分割
-
发现历史
据说在古希腊，有一 天毕达哥拉斯走在街上， 在经过铁匠铺前他听到铁 匠打铁的声音非常好听， 于是驻足倾听。他发现铁 匠打铁节奏很有规律，这 个声音的比例被毕达哥拉 斯用数数理的方式表达出 来。被应用在很多领域， 后来很多人专门研究过， 开普勒称其为“神圣分割” 也有人称其为“金法”。
-
黄金比与战争
千百年来，人们对成吉思汗的蒙古
骑兵，为什么能像飓风扫落叶般地
席卷欧亚大陆颇感费解，因为仅用
游牧民族的彪悍勇猛、残忍诡谲、
善于骑射以及骑兵的机动性这些理
由，都还不足以对此做出令人完全
信服的解释。或许还有别的更为重
要的原因？仔细研究之下，果然又
从中发现了黄金分割律的伟大作用。
蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的
斐波那契数列&黄金比
-
斐波那契数列
Fibonacci Sequence
-
Game：“取棋子”
游戏方法是由两个人轮流取一堆粒数不限的棋子 。先取的一方可以取任意粒，但不能把这堆砂子 全部取走。后取的一方，取数也多少不拘，但最 多不能超过对方所取棋子数的一倍。然后又轮到 先取的一方来取，但也不能超过对方最后一次所 取棋子的一倍。这样交替地进行下去，直到全部 棋子被取光为止，谁能拿到最后一粒棋子，谁就 算胜利者。
数学文化之旅------神奇的斐波那契数列与黄金分割
神奇的斐波那契数列与黄金分割石家庄二中南校区孟柳比萨的列奥纳多，又称斐波那契(Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年)，中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
列奥纳多的父亲Guilielmo(威廉)，外号Bonacci.因此列奥纳多就得到了外号斐波那契(Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子)。
1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作,因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
于是他就学会了阿拉伯数字。
他是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
主要著作有《算盘书》《几何实践》《花朵》《平方数书》斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后就具有了繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对兔子，如果兔子都不死，那么一年后能有多少对兔子？拿新出生的一对兔子研究：第一个月兔子没有繁殖能力，两个月后生下一对小兔总数共有两对；三个月后，老兔子生下又一对，因为上一轮的小兔没有繁殖能力，所以总数是三对；…………..1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。
在这个数列中的数字，就被称为斐波那契数。
2是第3个斐波那契数。
斐波那契数列还满足一下特点：1.任一项的平方数都等于与它相邻的两项乘积相差12.相邻的4个数，内积与外积相差13.前一项与后一项的比大约是0.6184.后一项比前一项大约是1.618经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
斐波那契数列与黄金分割
我们可以在鹦鹉螺的外壳发现这样的螺线
所谓黄金三角形是一个 等腰三角形其底与腰的长 度比为黄金比值。我们若 以底边为一腰作一等腰三 角形则此三角形亦为一黄 金三角形，如下图。图中 三种不同长度的线段，其 中次长的线段（蓝色）与 最长的线段（红色）比是 黄金比例，最短的线段 （绿色）与次长线段（蓝 色）也是黄金比例。
1 5 ，其正根为 x 2
5 1 x 0.6180339 0.618 2 A B
小段 大段
3．黄金矩形
定义：一个矩形，如果从中裁去 一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长 之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与 原矩形相似），则称具有这种宽与长之比 的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述 方法无限地分割下去。
Fn Fn1 Fn2 , n 2.
每月大兔对数 Fn 排成数列为： 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
•••
4
定义：若一个数列,前两项均等于1,而从 第三项起每一项是其前两项之和,则称该数列
为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
（1）人体各部分的比Fra bibliotek肚 脐：
印堂穴：
（头—脚）
（口—头顶）
肘关节： （肩—中指尖） 膝 盖： （髋关节—足尖）
（2）著名建筑物中各部分的比
如埃及的金字塔，高（137米）与底边长 （227米）之比为0.629
雅典的帕德侬神庙 (Parthenon at Athens) 庄严、宏伟，被认为 是古希腊最伟大的建筑之一。有 人认为它之所以显得那么和谐， 是因为这个建筑符合黄金比。
Field daisies have 34 petals
黄金比的发展史
黄金比，又称黄金分割或黄金比例，是指一种特殊的比例关系，即若两个数的比等于较大数与整体的比相等，那么这两个数的比就是黄金比。
黄金比起源于古希腊文化，被广泛应用于建筑、绘画、音乐和设计等艺术领域。
它的发展史可以追溯到古希腊数学家欧几里得时期。
在古希腊，黄金比被认为是一种美学原则，它被运用于建筑物的比例和形状设计。
其中最著名的例子是帕特农神庙，它被认为是黄金比例的杰作。
随着时间的推移，黄金比的应用扩展到其他领域。
在文艺复兴时期，意大利数学家斐波那契（Fibonacci）对黄金比进行了系统研究，并提出了著名的斐波那契数列，该数列呈现出黄金比的特性。
黄金比的发展在现代数学和科学中也有重要的应用。
它在自然界的很多地方都能被观察到，例如花朵的排列、螺旋形状、动物身体的比例等。
在艺术、设计和摄影中，黄金比被用作构图和比例的参考，以创造出更具吸引力和平衡感的作品。
至今，黄金比的概念仍然受到广泛关注和应用。
它被视为一种美学原则和理念，代表着一种和谐、均衡和美的标准，影响着人们对美的理解和追求。
黄金比例和斐波那契数列
黄金比例和斐波那契数列
黄金比例和斐波那契数列是数学中常被提及的两个概念。
黄金比例指的是两个量之比等于它们的和与较大量之比，即φ=(1+√5)/2，约为1.618。
这个比例在自然界和艺术中都有广泛应用，例如黄金矩形和黄金螺旋等。
而斐波那契数列是一种数列，从第三项开始，每一项都是前两项之和。
其前几项为0、1、1、2、3、5、8、13、21……这个数列也被广泛应用在自然界和科学中，例如植物的叶子排列、蜂巢的结构等。
黄金比例和斐波那契数列之间有着紧密的联系，例如相邻两项的比值趋近于黄金比例，而将斐波那契数列的相邻两项放在一个矩形中，则这个矩形的长和宽的比例也趋近于黄金比例。
因此，黄金比例和斐波那契数列是数学中非常有趣和重要的概念。
- 1 -。
波浪理论
一、理论基础1.斐波纳奇数列斐波纳奇是中世纪最伟大的数学家，他在《计算的书》中提出一个问题：如果一对兔子从第二个开始，每个月生一对新兔子，那么置于一个封闭地区中的兔子在一年内总共会有多少只？这个问题产生了数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，一直到无穷。
2.黄金比率将斐波纳奇数列中任何一个数字，除以后面的一个数字（最初几组除外），便会得出0.618。
反过来，将后面的数字除以前面的数字，便会得出1.618。
如隔两个数字相除，前者除后者，便会得出接近0.236的数字。
如隔一个数字相除，前者除后者，便会得出接近0.382的数字。
如隔一个数字相除，后者除前者，便会得出接近2.618的数字。
0.236、0.382、0.5、0.618、1.0、1.236、1.382、1.5、1.618、2.618都是黄金比率，其中最常用的有0.382、0.5、及0.618。
黄金比率无处不在黄金比率不单是股市之中的神奇数字，更是大自然之中的奥妙数字。
很多自然物质的结构都离不开这个黄金比率。
3.黄金分割黄金分割率的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382任何的长度都可以这样分割，也就是使较短部分与较长部分之间的比率，等于较长部分与整个长度之间的比率。
这个比率就是0.618黄金分割出现在整个自然界。
举例说，人的脸、身体；甚至蚂蚁的身体比率、DNA的Double Helix形成的十角形、五角形的对角线、自然的涡状贝壳到螺旋形的星系。
4.黄金矩形黄金矩形相邻两边之比是1.618比1。
要构建一个黄金矩形，首先得画一个两个单位长度乘两个单位长度的正方形ABCD，然后从一边BC的中点至对边直角的顶点D作一条连线，如图1中的a部分，构建黄金矩形的下一步是延长线段BC，使EF的长度等于ED。
高雅的艺术殿堂里，也留下了黄金数的足迹。
画家们发现，按0.618:1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。
斐波那契数列与黄金分割率
斐波那契数列与黄金分割率斐波那契数列与黄金分割率是两个在数学和自然界中起着重要作用的概念。
他们之间存在着深刻的关联，这使得它们的研究不仅仅是数学领域的事情，更加引起了人们对自然界和艺术创作的思考与探索。
斐波那契数列是一个无穷序列，其规律是从第三项开始，每一项都是前两项之和。
起始数列为0、1，那么接下来的数列就是0、1、1、2、3、5、8、13……以此类推。
这个数列最早出现在公元1202年的《算盘书》中，由意大利数学家斐波那契所提出，因此得名。
很有趣的是，斐波那契数列与自然界中许多现象存在着奇妙的关系。
其中最为人们熟知的是黄金分割率，也称黄金比例或黄金比。
它是一个无理数，约等于1.6180339887。
而黄金分割率与斐波那契数列之间有着紧密联系，即相邻两项的商会逐渐趋近于黄金分割率。
例如，8/5约等于1.6，13/8约等于1.625，21/13约等于1.615，随着数列的继续，这种趋近现象变得越来越明显。
黄金分割率在自然界中表现出了非常多的妙用。
例如，许多植物的布局和分支方式都符合黄金分割率。
我们可以发现，花瓣的数目、树枝的分支、植物叶子的排列等等，都具有黄金分割率的特征。
这种规律不仅赋予了自然界以美感，还使得植物能够更好地获取阳光和养分，提高生存竞争力。
黄金分割率还在建筑艺术中展现了其独特的魅力。
许多古代文明的建筑物，如希腊神庙、埃及金字塔等，都采用了黄金分割率来构建其神圣而和谐的外观。
这种比例关系给人一种美的享受，让人们感觉到一种与大自然一致的平衡感。
斐波那契数列与黄金分割率的研究不仅仅局限在数学领域，它们还给我们提供了对自然界和艺术创作的启示。
它们揭示了自然界中普遍存在的一种规律和美感，引导我们在设计和创作中追求和谐、平衡和美感。
进一步探究这两个概念之间的联系，有助于我们更好地理解数学与自然、数学与艺术之间的紧密关系。
总之，斐波那契数列与黄金分割率是人类智慧和自然界奥秘的结晶。
它们的相互关联不仅为数学研究提供了广阔的空间，更使得我们对自然界和艺术的追求更加深入。
斐波那契数列与黄金分割
斐波那契数列斐波那契数列斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
定义斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多〃斐波那契（Leonardo Fibonacci），自然中的斐波那契数列生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
通项公式递推公式斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+）。
那么这句话可以写成如下形式：F(1) = 1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)，显然这是一个线性递推数列。
通项公式斐波那契数列通项公式（见上图）（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通项公式的推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。
奇妙的裴波那契数列和黄金分割
奇妙的裴波那契数列和黄金分割“斐波那契数列〞的创造者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契〔Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。
籍贯大概是比萨〕。
他被人称作“比萨的列昂纳多〞。
1202年，他撰写了?珠算原理?(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯教师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21这个数列从第三项开场，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/ 5)*{[(1+ 5)/2]^n - [(1- 5)/2]^n}〔又叫“比内公式〞，是用无理数表示有理数的一个范例。
〕【5表示根号5】很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【该数列有很多奇妙的属性】比方：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887还有一项性质，从第二项开场，每个奇数项的平方都比前后两项之积少〔请自己验证后自己确定〕1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多〔请自己验证后自己确定〕1。
如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
如果任意挑两个数为起始，比方5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等，你将发现随着数列的开展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
黄金比例两个公式
黄金比例两个公式自古以来，黄金比例就一直被认为是古典美学中最完美的比例关系，而且在数学、绘画、建筑设计以及视觉艺术中有着很广泛的应用。
据经典说法，“黄金比例”是指一条线和它的一个部分之间，其它部分所组成的比例，其中它们之间的度量比为1:1.618（近似斐波那契数列中的数字，又被称为“黄金分割比例”），一般表达为“a/b=b/(a+b)= 1/φ”，其中的“φ”被称为“黄金比例”，它的数值约为1.618。
在数学中，黄金比例的最直观的表现就是通过直线分割，主要从两个角度进行分析：一是等比分割；二是等分分割。
等比分割指的是将直线以相同的比例段分割为两段，其中一段的长度是整个直线长度1.618倍，而另一段长度则是另外一段的0.618倍，直线和它的一个部分之间的比例即为1:1.618。
而等分分割就是将直线分成两部分，其中一部分占整个直线的长度比例为0.382，另一部分占整个直线长度的比例为0.618，直线和它的一个部分之间的比例即为1:1.618。
黄金比例可以运用到数学的许多领域，其应用范围十分广泛。
在几何图形中，黄金比例可以用来构建正多边形，其中包括五角形、六边形等，这些多边形的外观优美，令人赏心悦目。
此外，黄金比例也可以用来构建空间几何体，例如长方体，它们的形状也十分美观。
在几何分析中，黄金比例也可以用来构建曲线，如椭圆曲线、螺线曲线等，而它们也会有着很好的外观效果。
在建筑设计中，黄金比例也有着重要的作用，以古希腊的雅典卫城为例，它的设计就是基于黄金比例这一理论，使得它的设计风格独特而又美观。
此外，由于黄金比例让建筑设计艺术可以获得更统一的构成，让它们表现出一种协调美和完整美，这也是建筑设计中最重要的一个方面。
绘画艺术中，黄金比例也有着重要的地位，在构图上，用黄金比例分割图像可以使图像更加精美，而且也使得画面统一协调，让画面更加完美。
此外，在色彩搭配方面，用黄金比例也可以使色彩搭配更加完美，而且也可以使图像更加精致。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
Fibonacci Sequence· 解析
通项公式
黄金比
黄金比
黄金分割又称黄金律，是 指事物各部分间一定的数 学比例关系，即将整体一 分为二，较大部分与较小 部分之比等于整体与较大 部分之比，其比值为 1∶0.618或1.618∶1，即 长段为全段的0.618。 0.618被公认为最具有审 美意义的比例数字。上述 比例是最能引起人的美感 的比例，因此被称为黄金 分割
发现历史
据说在古希腊，有一 天毕达哥拉斯走在街上， 在经过铁匠铺前他听到铁 匠打铁的声音非常好听， 于是驻足倾听。他发现铁 匠打铁节奏很有规律，这 个声音的比例被毕达哥拉 斯用数数理的方式表达出 来。被应用在很多领域， 后来很多人专门研究过， 开普勒称其为“神圣分割” 也有人称其为“金法”。
黄金分割与美感
Fibonacci Sequence
斐波那契数列（兔子数列 ） 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … 斐波那契数列(Finonnaci sequence) 自第三项开始,每一项都是前两 项的和 数列中的每一项为 斐波那契数(Fibonnaci Number) 以符号 Fn 表示。 F1 = F2 = 1 ， 而 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n>2)
斐波那契数列&黄金比
斐波那契数列
Fibonacci Sequence
Game：“取棋子”
游戏方法是由两个人轮流取一堆粒数不限的棋子。 先取的一方可以取任意粒，但不能把这堆砂子全 部取走。后取的一方，取数也多少不拘，但最多 不能超过对方所取棋子数的一倍。然后又轮到先 取的一方来取，但也不能超过对方最后一次所取 棋子的一倍。这样交替地进行下去，直到全部棋 子被取光为止，谁能拿到最后一粒棋子，谁就算 胜利者。
黄金分割与自然
鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个的比都是黄 金比例，是自然界最美的鬼斧神工。
黄金分割与自然
如果从一棵嫩枝的顶 端向下看，就会看到 叶子是按照黄金分割 的规律排列着的。
Do you know?
1、人的体温37度，室温25度是人们 感受最舒适的温度，而25÷37=0.676 很接近0.618。 2．理想体重计算很接近身高×（1－ 0.618）。 3．普通人一天上班8小时， 8×0.618=4.944，上班第5个小时是最 需要休息的时候，同时也是开始期待下 班的时候。 4．小学生一节课40分钟，而注意力 只有40×（1－0.618）=15.28分钟，因 此教师必须不断注意学生的学习。
2010年11月9日至2011月1月6日的60分钟周期图形， 涉及斐波那契数列和黄金分割比例
• 斐波那契数在植物的叶、枝、茎等排列中 发现 。
&
斐波那契数&海螺
• 除了动物繁殖外，植物的生长也与斐 波那契数有关。生物学中所谓的“鲁 德维格定律”，也就是斐波那契数列 在植物学中的应用 。
example
利用黄金分割率的紫禁城
黄金分割与美感
黄金分割与美感
黄金分割与美感
黄金分割与作息制度
科学家们还发现，当外界 环境温度为人体温度的 0.618倍时，人会感到最舒 服．现代医学研究还表明 ，0.618与养生之道息息相 关，动与静是一个0.618的 比例关系，大致四分动六 分静，才是最佳的养生之 道。医学分析还发现，饭 吃六七成饱的几乎不生胃 病。
Game：“取棋子”
如果棋子总数为2个，获胜的是谁呢？先取的一方还是后 取的一方？ 如果棋子总数为3个，获胜的是谁呢？ 如果棋子总数为5个呢？8个呢？13个，21个呢？
后Game时代
观察这些数字，有什么规律？ 2，3, 5, 8, 13, 21 再加上这些数字呢？ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
黄金比与战争
千百年来，人们对成吉思汗的蒙古 骑兵，为什么能像飓风扫落叶般地 席卷欧亚大陆颇感费解，因为仅用 游牧民族的彪悍勇猛、残忍诡谲、 善于骑射以及骑兵的机动性这些理 由，都还不足以对此做出令人完全 信服的解释。或许还有别的更为重 要的原因？仔细研究之下，果然又 从中发现了黄金分割律的伟大作用。 蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的 方阵大不相同，在它的5排制阵形 中，人盔马甲的重骑兵和快捷灵动 轻骑兵的比例为2:3，这又是一个 黄金分割！你不能不佩服那位马背 军事家的天才妙悟，被这样的天才 统帅统领的大军，不纵横四海、所 向披靡，那才怪呢
Leonardo Fibonacci
斐波那契数列的发明 者，是意大利数学家 列昂纳多· 斐波那契 Leonardo Fibonacci， （AD1170~AD1240）。 他被人称作“比萨的 列昂纳多”。1202年， 他撰写了《珠算原理》 (Liber Abacci)一书。 他是第一个研究了印 度和阿拉伯数学理论 的欧洲人。
Fibonacci Sequence· 缘起
“不死”之兔
一对兔子，出生后第二个月开始 有生育能力，每月繁殖一对小兔 子。问一对兔子一年中可繁殖出 多少对兔子？
——《珠算原理 》 Liber Abacci
Fibonaccce· 解析
月数 小兔 子对 数 大兔 子对 数 兔子 总对 数
• 下图是一个树形图的生长过程，依据图中 所示的生长规律，第16行的实心圆点的个 数是 ．
斐波那契数与植物花瓣
• 百合
• 蝴蝶花
• 金凤花
• 飞燕草
雏 菊
蓟
向日葵
菠 萝
松 子
黄金分割与战争
一代枭雄的的拿破仑大帝可能怎么也不会 想到，他的命运会与0.618紧紧地联系在 一起。1812拿破仑大帝 年6月，正是莫斯科一年中气候最为凉爽 宜人的夏季，在未能消灭俄军有生力量的 博罗金诺战役后，拿破仑于此时率领着他 的大军进入了莫斯科。这时的他可是踌躇 满志、不可一世。他并未意识到，天才和 运气此时也正从他身上一点点地消失，他 一生事业的顶峰和转折点正在同时到来。 后来，法军便在大雪纷扬、寒风呼啸中灰 溜溜地撤离了莫斯科。三个月的胜利进军 加上两个月的盛极而衰，从时间轴上看， 法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯瞰莫斯科城时 ，脚下正好就踩着黄金分割线。
黄金分割左右股市
黄金线五段买卖法则 1.耐心持有待突破： 2.高抛低吸取黄金： 3.虎口拔牙要小心： 4.高高在上买不宜： 5.风光无限在险峰：
是什么呢？
f(n)/f(n-1)-→0.618
• 经研究发现，相邻两个斐波那契数的比值 是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。 即f(n)/f(n-1)-→0.618…。由于菲波那契数都 是整数，两个整数相除之商是有理数，所 以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。 但是当我们继续计算出后面更大的菲波那 契数时，就会发现相邻两数之比确实是非 常接近黄金分割比的。