角平分线与平行线结合的等腰三角形问题(骄阳教育)
平行线加角平分线够造等腰三角形
上课日期10月13日授课人：李照阳星期三
课题
平行线加角平分线构造等腰三角形
课型
复习
教学目标
1、理解平行线加角平分线构造等腰三角形的原理，掌握平行线加角平分线构造等腰三角形基本图形；
2、学会并熟练地运用平行线加角平分线构造等腰三角形的原理；
3、在探究“性质”的过程中，培养学习观察，概括与抽象的能力。
（A京）、如右图：
∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，
若AE=8，则DF等于（）
Ａ．5Ｂ．4C．3 D．2
四，小结知识，总结提高。
1通过本节课的学习，你发现了什么？
2你会怎样应用角平分线加平行线构造等腰三角形？
3知识的融合告诉我们哪些技巧，你会如何应用？
有何数量关系？
变式练习2（教学要求：要求学生自己分析、思考，并写下完整的解题过程）如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF，交AF于D，DE∥AC交AB于E点，说明AE=BE
三，练习提高，加强应用
1．（2012）如图，△ABC中，AM，CM分别是角平分线，过M作DE∥AC
求证：AD+CE=DE
2．（2012）如图，△ABC中，∠A=36°AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（）
二）、例题讲解：
例：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB。过D作EF∥BC问：(1)图中有几个等腰三角形？(2)线段EF与线段BE，CF有何数量关系？
变式练习1如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB外角。过D作EF∥BC，问：(1)△BEF与△CFD的等腰三角形吗？(2)线段EF、BE、CF
教材从天文中的有趣问题引入平行线与角平分线构造等腰三角形的一题多解问题，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会基本图形的重要性，了解数学与其他学科的联系。
角平分线等腰三角形
角平分线与等腰三角形江苏 刘顿角平分线与等腰三角形有着密不可分联系．在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形．为了能说明这个问题，下面归类说明．一、角平分线+平行线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形．例1 如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：AE ＝AP ．简析 要证AE ＝AP ，可寻找一条角平分线与EF 平行，于是想到AB ＝AC ，则可以作AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，而EF ⊥BC ，所以AD ∥EF ，所以可得到△AEP 是等腰三角形，故AE ＝AP ．例2 如图3，在△ABC 中，∠BAC ，∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥AC ，分别交AB，BC 于点D ，E ．试猜想线段AD ，CE ，DE 的数量关系，并说明你的猜想理由． 简析 猜想：AD +CE ＝DE ．理由如下：由于OA ，OC 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，DE ∥AC ，所以△ADO 和△CEO 均是等腰三角形，则DO ＝DA ，EC ＝EO ，故AD +CE ＝DE ． 例3 如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E ，F 分别在BD ，AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ．求证：EF ∥AB ．简析 由于这里要证明的是EF ∥AB ，而AD 平分∠BAC ，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE ＝CD 的提示下，相当于倍长中线，即延长AD 至M ，使DM ＝AD ，连结EM ，则可证得△MDE ≌△ADC ，所以ME ＝AC ，又EF ＝AC ，∠M ＝∠CAD ，所以∠M ＝∠EFM ，即∠CAD ＝∠EFM ，又因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠EFD ＝∠CAD ，所以EF ∥AB ．二、角平分线+垂线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若C A B E D O图3 图4 F C D E B A M 图2F B A C D P E 图1① D ② C D C ④F C DAD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则△AEC 是等腰三角形．例4 如图6，已知等腰R ｔ△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D ．求证：BF ＝2CD ．简析 由BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，并在图5的揭示之下，延长线BA ，CD 交于点E ，于是△BCE 是等腰三角形，并有ED ＝CD ，余下来的问题只需证明BF ＝CE ，而事实上，由∠BAC ＝90°，CD ⊥BD ，∠AFB ＝∠DFC ，得∠ABF ＝∠DCF ，而AB ＝AC ，所以△ABF ≌△ACE ，则BF ＝CE ，故BF ＝2CD ．三、作倍角的平分线→等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三角形．如图7中，若∠ABC ＝2∠C ，如果作BD 平分∠ABC ，则△DBC 是等腰三角形．例5 如图8，△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC ．求证：∠A ＝90°．简析 由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对∠ACB ＝2∠B 进行技术处理，即作CD 平分∠ACB 交AB 于D ，过D 作DE ⊥BC 于E ，则由∠ACB ＝2∠B 知∠B ＝∠BCD ，即△DBC 是等腰三角形，而DE ⊥BC ，所以BC ＝2CE ，又BC ＝2AC ，所以AC ＝EC ，所以易证得△ACD ≌△ECD ，所以∠A ＝∠DEC ＝90°．E 图5 AB C D 图6 B F DE C A 图7 B C D A E 图8 C B A D。
角平分线、平行线与等腰三角形
角平分线、平行线与等腰三角形在等腰三角形的学习中我们经常会接触到不同的几何模型，模型的研究变形有助于我们更为深入地理解基本的图形关系和性质定理。
下面介绍由角平分线、平行线构造等腰三角形的一类几何模型。
例、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.这是我们教材中的例题，作为文字命题，要作出对应的图形，写出已知求证，进而求解。
已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥ BC．求证：AB =AC.本题的求解很简单，只需要运用平行线的性质，再由角平分线最终得到∠B=∠C，然后运用等腰三角形的判定即得。
本题就是有角平分线和平行构造等腰三角形的典型例题。
下面再对这一结论作更深入的变形和拓展。
1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系等腰三角形有△ABC、△AEF、△BOC、△BEO、△CFOEF=BE+CF变式、若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？原题中结论还成立吗？等腰三角形有△BEO、△CFOEF=BE+CF仍成立将上题中平分两内角改为平分两外角，或平分一内角和一外角，我们即得下面两道变式题2、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F。
试探究EF、BE、FC之间的关系3、如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F。
试探究EF、BE、FC之间的关系同学们在日常的学习中若能开动脑筋，从变化中思考不变的关系，从条件改变中找到结论变化的规律，树立理性探究、发散思考的学习数学精神，相信几何的学习自当事半功倍！谢谢大家继续为我的微课投票：打开网址 /Works/workslist 搜索姓名：彭鹏飞，点击下面的五个微课为我投票（这个是个教学论坛需要注册，家长朋友们可以用小孩的身份证号进行注册。
如何解有关“角平分线”题
如何解有关“角平分线”的题在一个命题的题设或结论中,含有角平分线时,一般可根据如下几个基本图形得到相应的解题思路,从而使问题得以解决.当然,不论哪种方法,都是构造以角平分线为对称轴的轴对称图形.■■一、平行线+角平分线→等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时,一定会有等腰三角形出现.例1.如图1,在△abc中,bd平分∠abc,de∥bc交ab于e,ef∥ac 交cb于f,问:be与cf的数量关系并证明.■思路点拨:本题中含有基本图形1,由bd平分∠abc,de∥bc交ab 于e,容易证出be=ed,由de∥bc,ef∥ac,可得平行四边形defc,于是可得fc=ed,所以fc=be.二、角平分线+翻折→全等三角形当一个三角形中出现角平分线时,应抓住两个角相等,角平分线是公共边这两个条件,适时构造全等三角形,即构造基本图形2.例2.如图2,在△abc中,ad平分∠bac,ce平分∠acd,ad、ce交于f,∠b=60°,求证:ac=ae+cd.■思路点拨:证线段的和或差,常用截长或补短的方法.由角的轴对称性,可构造基本图形2,即在ac上截取ah=ae,连结hf用sas可证△aef≌△ahf,得到∠afh=∠afe,由条件ad平分∠bac,ce平分∠acd,∠b=60°,可求出∠afc=120°,于是可得到∠afh=∠afe=60°.于是可得∠cfd=∠cfh=60°.再用asa可证△cdf≌△chf,得ch=cd,则ac=ah+cf=ae+cd.三、由角平分线上的点向角的边作垂线,构成基本图形3当题目中已知角平分线上的点,由该点向一条边作了垂直线时,往往过该点向另一边作垂直,构成基本图形3.例3.如图3,在△abc中,bc的垂直平分线与△abc的外角平分线交于d,与bc交于e,df⊥ab于ab交于f,求证:bf-af=ac.■思路点拨:d是△abc的外角平分线上的点,df⊥ab于ab,见垂直作垂直,可构造基本图形3,作dg⊥ac,由角平分线的性质可知df=dg,de是bc的垂直平分线,连结db、dc,可得db=dc,根据hl,可证△bdf≌△cdg,于是bf=cg.通过aas,可证△adg≌△adf,得到af=ag,由cg-ag=ac可得bf-af=ac.四、作角平分线的垂线段,构成基本图形4当题中已知一条线段是中线,角平分线,高三线中的两个“身份”时,往往构造基本图形4.例4.如图4,在△abc中,ad⊥cd于d,且ad平分∠bac,e是bc的中点,已知ab=5cm,ac=3cm,则de= .思路点拨:构造基本图形4解决.由ad⊥cd于d,且ad平分∠bac,于是延长cd交ab于f,根据等角的余角相等可得∠afd=∠acd,则af=ac,再据等腰三角形的“三线合一”得d是cf的中点,由三角形中位线定理可求得de长为1cm.小练习:1.如下图,o是∠abc、∠acb的平分线的交点,od∥ab,oe∥ac,已知bc=16cm,则△ode的周长= cm.■2.如下图,在△abc中,ad平分∠bac交bc于d,ac-ab=bd,求证:∠b=2∠c.■3.如下图,四边形abcd中,ad=dc,∠bad+∠c=180°,求证:bd平分∠abc.■变式:四边形abcd中,ad=dc,bd平分∠abc,试问:∠bac与∠c的关系.4.如下图,在等腰直角三角形abc中,∠a=90°,ab=ac,bd是∠abc 的平分线,从c向bd作垂线,垂足为e.试说明bd与ce的数量关系.■作者单位:江苏省泰州市济川中学。
构造等腰三角形解题的常见途径
构造等腰三角形解题的常见途径等腰三角形是研究几何图形的基础，因此在许多几何问题中，常常需要构造等腰三角形才能使问题获解，那么如何构造等腰三角形呢？一般说来有以下几种途径：一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形．例1 如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：．AE ＝AP ．简析 要证．AE ＝AP ，可寻找一条角平分线与EF 平行，于是想到AB ＝AC ，则可以作AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，而EF ⊥BC ，所以AD ∥EF ，所以可得到△AEP 是等腰三角形，故AE ＝AP ．例2 如图3，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥CABE DO图3图4F CDEBA M图2 FB ACD P E图1①D ②C D C ④FCDAC ，分别交AB 、BC 于点D 、E ．试猜想线段AD 、CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜想理由．简析 猜想：AD +CE ＝DE ．理由如下：由于OA 、OC 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，DE ∥AC ，所以△ADO 和△CEO 均是等腰三角形，则DO ＝DA ，EC ＝EO ，故AD +CE ＝DE ．例3 如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ．求证：EF ∥AB ．简析 由于这里要证明的是EF ∥AB ，而AD 平分∠BAC ，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE ＝CD 的提示下，相当于倍长中线，即延长AD 至M ，使DM ＝AD ，连结EM ，则可证得△MDE ≌△ADC ，所以ME ＝AC ，又EF ＝AC ，∠M ＝∠CAD ，所以∠M ＝∠EFM ，即∠CAD ＝∠EFM ，又因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠EFD ＝∠CAD ，所以EF ∥AB ．二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若AD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则△AEC 是等腰三角形．例4 如图6，已知等腰R ｔ△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D ．求证：BF ＝2CD ．简析 由BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，并在图5的揭示之下，延长线BA 、CD 交于点E ，于是△BCE 是等腰三角形，并有ED ＝CD ，余下来的问题只需证明BF ＝CE ，而事实上，由∠BAC ＝90°，CD ⊥BD ，∠AFB ＝∠DFC ，得∠ABF ＝∠DCF ，而AB ＝AC ，所以△ABF ≌△ACE ，则BF ＝CE ，故BF ＝2CD ．E 图5ABCD 图6BF DE CA- 3 -三、利用转化倍角，构造等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形．如图7①中，若∠ABC ＝2∠C ，如果作BD 平分∠ABC ，则△DBC 是等腰三角形；如图7②中，若∠ABC ＝2∠C ，如果延长线CB 到D ，使BD ＝BA ，连结AD ，则△ADC 是等腰三角形；如图7③中，若∠B ＝2∠ACB ，如果以C 为角的顶点，CA 为角的一边，在形外作∠ACD ＝∠ACB ，交BA 的延长线于点D ，则△DBC 是等腰三角形．例5 如图8，在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC ．求证：∠A ＝90°． 简析 由于条件中有两个倍半关系，而结论与角有关，因此首先考虑对∠ACB ＝2∠B 进行技术处理，即作CD 平分∠ACB 交AB 于D ，过D 作DE ⊥BC 于E ，则由∠ACB ＝2∠B 知∠B ＝∠BCD ，即△DBC 是等腰三角形，而DE ⊥BC ，所以BC ＝2CE ，又BC ＝2AC ，所以AC ＝EC ，所以易证得△ACD ≌△ECD ，所以∠A ＝∠DEC ＝90°． 说明 本题也可以利用图7的②、③来构造等腰三角形求解．手脑并用巧解题图7 BC DA① ② BC DA③BCDAE 图8CBAD湖北毕保洪随着《课程标准》深入实施：“有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实验、自主探索与合作交流成为学习的重要方法”．因此，以等腰三角形为背景的动手操作、动脑设计的手脑并用的中考题悄然兴起．一、模拟画图例1已知在如图1的△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图1，请你再用两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（图2、图3供画图用，作图工具不限，不要求写出作法，不要求证明，但要标出所分得每个等腰三角形的内角度数）．解：如图4、图5、图6、图7．此题不仅培养同学们的动手能力，而且考查同学们的发散思维能力．二、手脑并用例2在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴，首尾依次相接可以搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示：问: （1）4根火柴能搭成三角形吗?（2）8根、12根火柴分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出图形．解：（1）4根火柴不能搭成三角形因为1+1=2不满足三边关系．（2）8根火柴能搭成等腰三角形，如图8；而12根能搭成等边三角形，如图9，或等腰三角形，如图10，或直角三角形，如图11．此题动手操作性强而且有助于培养同学们探究学习的学习习惯．三、动手剪裁例3在劳技课上老师请同学们在一张边长为16cm的正方形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形至少有一条边在正方形的边上），请你帮助同学们画出剪裁的等腰三角形．解：分三种情况：①如图12，AE=AF=10cm，沿EF剪裁；②如图13，AE=AF=10cm，沿EF和AF剪裁；③如图14，AE=EF=10cm，沿AF和EF剪裁．- 5 -。
角平分线--平行线--等腰三角形.doc
& e囹14, 6 复习课 1： 2008-4-30一、巩固运用一-熟识基本图形“角平分线一平行线一等腰三角形”1、根据以下各图及已知条件，分别指出图形中的等腰三角形，并说明理由.(1) 如图 7, 0C 平分ZAOB, CD//0B.(2) 如图 8, 0C 平分ZAOB, 0C 〃BD.(3) 如图 9, AD 平分ZBAC, CE 〃AD.(4) 如图 10, AD 平分ZBAC, GE 〃AD.［说明］要求不但巩固“等角对等边”，而且从中归纳出一个“基本图形”：角平分线加平行 线、出现等腰三角形・(戏称此图为“抱孩子图形”).这个多题归一的题组练习以“抱孩子 图形”为载体，有益于探究意识的增强.2、根据教学实际情况，可酌情进-步训练(选用)(1) 如图 11,己知 BD 平分ZABC, CD 平分ZACB, EF 〃BC说明 EF=BE+CF ；(2) 如图12,己知BD 平分ZABC, CD 平分ZACB, DE/7AB , DF 〃AC 说明ZXDEF 的周长为BC ；(3) 如图13,已知BD 平分ZABC, CD 平分AABC 的一个外角，DE 〃BC ,说明EF=BE-CF ；(4) 如图 14,巳知 AB 平分ZDAE, AC 平分ZDAF, BC 〃EF1说明 AD 二一BC. 2 A［说明］在学习几何说理表达规范的同时，初步感知从复杂图形中区分出基本图形的分解与组合思想；另外，由第4小题引导学生得出直角三角形的一个性质定理，以此鼓励学生在实践应用中逐步积累有关发现、叙述、总结数学规律的经验.14. 6 复习课2： 2008-4-30二、拓展运用一-质疑等腰三角形三线合一的逆命题的正确性由等腰三角形的性质“等边对等角”与判定“等角对等边”的关系，自然会联想另一性质“等腰三角形的三线合一”的逆命题及其正确与否.习题1：如图15,根据以下条件，能否判断AABC是等腰三角形？并说明理由.(1)己知ZBAD=ZDAC, AD1BC,(2)已知BD=DC, AD1BC,(3)巳知N BAD二ND AC , BD=DC,第3小题是习题1的重点，需倍长中线，化归为判定等腰三角形.最后归纳：若三角形一边上的中线，此边上的高，此边所对角的平分线中任意两条重合，则此三角形为等腰三角形. ［说明］教学中进行“逆向思考”、“反思学习”的指导，鼓励学生对已有的知识经验进行反思、质疑，对问题进行多角度分析.三、拓展运用一三角形中线添线方法习题2：己知，如图16,线段a、h,求作Z\ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=hh习题3：如图17,已知点E是BC的中点，点A在DE上，HZBAE=ZCDE求证：AB=CD .现给出以下两种添加辅助线（如图18、图19）的方法，请任选一种证明.e总结规律：证明几何元素间的度量关系.比如要证明两线段相等时，往往先观察这条两线段分布在什么位置上，是等腰三角形的两腰，还是两个全等三角形的对应边，然后有的放矢, 证明一个三角形是等腰三角形，或两个三角形全等.四，拓展应用一一构造等腰三角形 习题4： 如图分别是小杰，小丽制作的两个风筝.他（她）根据AB 二AD, ZB=ZD,不用测量就知BOCD,请你用所学知识说明理由.（如图4,图5）［说明］本题应联结BD,构造等腰三角形；而学生常会先试着联结AC,陷入构造全等三角 形的思维定势.教学中注意利用认知冲突培养学生思维的批判性. 习题5：如图6、图7、图8,在△ABC 中，AB=AC,（1）用一条直线把以下各三角形分割成两个等腰三角形.（2）能否用两条直线把以下各三角形分割成三个等腰三角形呢?习题6： 如图9,在正方形ABCD 所在的平面内，是否能找到这样的点P,使APAB, APBC,APCD, APDA 都是等腰三角形？如果存在，请在图中画出所有的点P,并分别写出ZPAB 的度数；如果不存在，请说明其理由.AB脸S.习题7：图10己知。
角平分线等腰三角形平行线
基本图形变化延伸
如图，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，过点F作 DE∥BC，分别交AB、AC于Ｄ、Ｅ两点，已知AB=6cm ，AC=9cm，求△ADE的周长
A
D B
F
E C
问题解决
证明：∵ＤＥ∥BC ∴ ∠DBＦ=∠ＤＦＢ
A F E
D
∠ＥＣＦ=∠ＥＦＣ C B ∵BＦ平分∠ABC ∴ ∠ＤＢＦ=∠ＣＢＦ ∴ ＢＤ=ＤＦ， ＥＣ＝ＥＦ ∵ＣＦ平分∠AＣＢ ∴ ∠ＥＣＦ=∠ＢＣＦ △ＡＤＥ的周长＝ＡＢ ∴ ∠ＤＢＦ=∠ＤＦＢ， ＋ＡＣ＝６＋９＝１５ ∠ＥＣＦ=∠ＥＦＣ
A D
B
C
已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC 求证：AB=AD D A
证明：∵AD∥BC ∴ ∠1=∠2
∵BD平分∠ABC ∴ ∠2=∠3 ∴ ∠1=∠3 ∴ AB=AD
B C
已知：如图，AD∥BC，AB=AD 求证：BD平分∠ABC A
证明：∵AD∥BC ∴ ∠1=∠2
∵AB=AD ∴ ∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴ BD平分∠ABC
E
M
N
B
C
D
变式挑战2：
若点B、C、D不在同一直线上呢？此时， AD与BE是否还相等？请说明理由。 A
E
B
C
D
adbcbdabcabad相交线平行线中出现的平行角平分线和等腰三角形结合的图形是初中阶段研究几何图形部分最常见的一个基本图形在今后三角形四边形以及圆的学习也是经常出现的图形在中考中对几何部分考查时也经常现身
八上数学期中复习
角平分线，平行线和等腰三角形 三者中的知二推一
已知：如图，AD∥BC，BD平分 ∠ABC 求证：AB=AD
B
角平分线和平行线出等腰例题
角平分线和平行线出等腰例题角平分线和平行线出等腰例题角平分线和平行线是我们在几何学中经常遇到的概念。
它们是几何学中的基础知识，很多几何问题都离不开这两个概念。
在这篇文档中，我将讨论关于角平分线和平行线出等腰三角形的例题。
例题1：证明：如果一条角平分线与另一条边相交，那么这条角平分线将这个角分成两个相等的小角。
解析：首先，我们假设有一个角ABC，角平分线AD将其分成两个小角BAD和DAC。
我们需要证明角BAD等于角DAC。
根据角平分线的定义，角BAD和角DAC是由角ABC的两边所构成的。
我们可以将角BAD和角DAC的顶点放在一起，形成一个角BAC。
那么，角BAC的两条边AB和AC都是角ABC的边，这意味着角BAC等于角ABC。
然后，我们可以通过角相等的性质来得到结论。
角BAD等于角BAC，而角DAC等于角BAC，所以角BAD等于角DAC。
这样，我们就证明了角平分线将角ABC分成了两个相等的小角。
例题2：证明：如果一条平行线与一个角的两边相交，那么这条平行线将这个角分成两个相等的小角。
解析：给定一个角ABC和一条平行线DE，我们需要证明角ADE等于角BAC。
首先，我们可以通过转角的定义知道角ADE和角BAC 都是由角ABC的两条边所构成的。
我们将角ADE的顶点放在一起，形成一个角ABC。
由于平行线DE与角ABC的两边相交，可以知道平行线DE和线段AC构成了交角。
接下来，我们可以应用平行线的性质。
平行线与一条直线相交时，对应角相等。
所以，角ADE等于角ABC。
最后，我们可以通过角相等的性质得到结论。
角ADE 等于角ABC，而角BAC也等于角ABC，所以角ADE等于角BAC。
这样，我们就证明了平行线将角ABC分成了两个相等的小角。
例题3：证明：如果一条角平分线与一条平行线相交，那么这条平行线将角平分线所分的角分成两个相等的小角。
解析：给定一条角平分线AD和一条平行线BC，我们需要证明角BAD等于角DAC。
解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版8年级下册
第06讲解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)目录【考点一利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 (1)【考点二过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 (6)【考点三利用倍角关系构造新等腰三角形】 (18)【考点一利用平行线+角平分线构造等腰三角形】例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，DE CB ∥，F 是BD 的中点．(1)求证：BDE 是等腰三角形(2)若50ABC ∠=︒，求DEF ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．（1）由角平分线的定义得EBD CBD ∠=∠，由DE CB ∥得EDB CBD ∠=∠即可求证；（2）先求出EDB ∠，根据“三线合一”得EF BD ⊥，即可求解．【详解】（1）证明：∵BD 平分ABC ∠，∴EBD CBD ∠=∠，∵DE CB ∥，∴EDB CBD ∠=∠，∴EBD EDB ∠=∠，∴EB ED=是等腰三角形；(1)如图1，求证：CDE∠交AC于E，(2)如图2，若DE平分ADC的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．∠=∠（1）根据角平分线的定义得出BCD(1)当53BE CF ==，，则EF =___________；(2)当BE CF >时，若CO 是ACB ∠的外角平分线，如图2，它仍然和∠作EF BC ∥，交AB 于E ，交AC 于F ，试判断EF BE ，，CF 之间的关系，并说明理由．【答案】(1)8(2)EF BE CF =-，见解析∴∠EBO =∠EOB ,∠FCO =∠FOC ，∴53BE OE OF CF ====，，∴8EF EO FO =+=，故答案为：8；（2）EF BE CF =-，理由如下：∵BO 平分ABC ∠，∴ABO OBC ∠=∠，∵EO BC ∥，∴EOB OBC ∠=∠，∴ABO EOB ∠=∠，∴BE EO =，同理可得FO CF =，∴EF EO FO BE CF =-=-．3．（2023上·吉林松原·八年级校考期末）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，P 为AOB ∠的角平分线OC 上一点，常过点P 作PD OB ∥交OA 于点D ，易得POD 为等腰三角形．(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B '处，则重合部分ACE △的形状是_______．(2)【类比探究】如图3，ABC 中，内角ABC ∠与外角ACG ∠的角平分线交于点O ，过点O 作DE BC ∥分别交AB AC 、于点D E 、，试探究线段BD DE CE 、、之间的数量关系并说明理由；(3)【拓展提升】如图4，四边形ABCD 中，,AD BC E ∥为CD 边的中点，AE 平分BAD ∠，连接BE ，求证：AE BE ⊥．【答案】(1)ACE 是等腰三角形(2)BD DE CE =+，理由见解析(3)见解析【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．（1）根据材料提示，平行线的性质，等腰三角形的性质即可求证；（2）根据（1）的结论可知，BDO △为等腰三角形，则BD OD =，且OCG ECO EOC ∠=∠=∠，可证CE OE =，由此即可求解；（3）如图所示，过点E 作EF AD ∥，E 为CD 边的中点，可知点F 是AB 的中点，得出BEF △为等腰三角关系，证明BE 平分ABC ∠，再根据两直线平行同旁内角互补，即可证明2590∠+∠=︒，即直角三角形AEB ，由此即可求证．【详解】（1）ACE △是等腰三角形；理由：在长方形ABCD 中， DC AB ∥，∴∠=∠ACD BAC ，由折叠性质可得BAC B AC '∠=∠，∴ACD B AC '∠=∠，AE CE ∴=，ACE ∴ 是等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（2）解：BD DE CE =+，理由如下，∵BO 平分ABC ∠，OD BC ，∴ABC CBO DOB ∠=∠=∠，∴BDO △为等腰三角形，则BD OD =，CO 平分ACG ∠，DO ∥BC ，OCG ECO EOC ∴∠=∠=∠，COE ∴ 为等腰三角形，即CE OE =，BD DO DE EC ==+ ，BD DE CE ∴=+．（3）证明：如图所示，过点E 作EF AD ，AD 交AB 于点F ，E 为CD 边的中点，∴点F 是AB 的中点，即AF BF =，AD ∥BC ，AE 平分BAD ∠，123∴∠=∠=∠，AEF ∴ 是等腰三角形，即AF EF =，EF BF ∴=，45∴∠=∠，EF AD∥，46∴∠=∠，∴∠=∠，56∥BC，AD∴∠+∠+∠+∠=︒，即22251801256180∠+∠=︒，∴∠+∠=︒，2590()∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，180251809090AEB∴⊥．AE BE【考点二过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，ABC线上，且BD DE=．(1)若点D是AC的中点，如图1，则线段AD与CE的数量关系是__________；∥，(2)若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点D作DF BC 交AB于点F)(3)若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．=，理由见解析【答案】(1)AD CE=，理由见解析(2)AD CE(3)成立，理由见解析【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定．（1）求出E CDE ∠=∠，推出CD CE =，根据等腰三角形性质求出AD DC =，即可得出答案；（2）过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，证明BFD DCE ≌，推出DF CE =，证ADF △是等边三角形，推出AD DF =，即可得出答案；（3）过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，证明BPD DCE ≌，得到PD CE =，即可得到AD CE =．【详解】（1）解：AD CE =，理由如下：ABC 是等边三角形，60,ABC ACB AB AC BC ∴∠=∠=== ．∵点D 为AC 中点，30,DBC AD DC ∴∠== ，BD DE = ，30E DBC ∴∠=∠= ，ACB E CDE ∠=∠+∠ ，30CDE E ∴∠=∠= ，CD CE ∴=，又AD DC = ，AD CE ∴=．故答案为：AD CE =；（2）解：AD CE =，理由如下：如图，过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F ，则60ADF ACB ∠=∠= ，60A ∠= ，AFD ∴ 是等边三角形，,60AD DF AF AFD ∴==∠= ，18060120BFD DCE ∴∠=∠=-= ，D F B C ∥ ，FDB DBE E ∴∠=∠=∠，在BFD △和DCE △中，FDB E BFD DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BFD DCE ∴ ≌()AAS ，DF CE ∴=，又AD DF = ，AD CE ∴=；（3）解：结论仍成立，理由如下：如图，过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，则60,60ABC APD ACB ADP ∠=∠=∠=∠= ，60A ∠= ，APD ∴ 是等边三角形，AP PD AD ∴==，ACB DCE ∠=∠ ，DCE ACB P ∴∠=∠=∠，DP BC ∥ ，PDB CBD ∴∠=∠，DB DE = ，DBC DEC ∴∠=∠，PDB DEC ∴∠=∠，在BPD △和DCE △中，PDB CED P DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPD DCE ∴ ≌()AAS ，PD CE ∴=，又AD PD = ，AD CE ∴=．【变式训练】(1)如图1，当点E运动到线段AB的中点，点D在线段(2)如图2，当点E在线段AB上运动，点D在线段说明理由．【答案】(1)1 2∵EF BC ∥，∴60AFE ACB ∠=∠=︒，120,EFC AFE A ∴∠=︒∠=∠，EF EA∴=∵60ABC ∠=︒，120EBD ∴∠=︒，EFC EBD ∴∠=∠，CE DE = ，∴EDB ECB ∠=∠，60EDB DEB ECB ECF ∠+∠=∠+∠=︒ ，DEB ECF ∴∠=∠，在EDB △和CEF △中，∵,,DEB ECF EBD EFC DE CE ∠=∠∠=∠=，∴()AAS EDB CEF ≌，BD EF ∴=，∵EF EA =，BD AE ∴=．2．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）已知在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =．(1)【感知】如图1，当点E 为AB 的中点时，则线段AE 与DB 的数量关系是______；(2)【类比】如图2，当点E 为AB 边上任意一点时，则线段AE 与DB 的数量关系是______，请说明理由；（提示如下：过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ．）(3)【拓展】在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =，若ABC 的边长为2，3AE =，则CD 的长是______．【答案】(1)AE DB =∵ABC 是等边三角形，∴AB AC A =∠=∠，∴AEF AFE ∠=∠=∠∴AEF △为等边三角形，120EFC ∠=︒，∴AE EF =，∵ED EC =，∴D ECD ∠=∠，∴D FEC ∠=∠，在DBE 和EFC 中，DBE EFC D FEC ED EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DBE EFC ≌，∴DB EF =，∴AE DB =；（3）过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，如图3所示：同（2）得：AEF △是等边三角形，()AAS DBE EFC ≌，∴33AE EF DB EF ====，，∵2BC =，∴235CD BC DB =+=+=．故答案为：5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．3．（2024上·广东中山·八年级统考期末）如图，ABC 中，AB AC =，10BC =，点P 从点B 出发沿线段BA 移动到点A 停止，同时点Q 从点C 出发沿AC 的延长线移动，并与点P 同时停止．已知点P ，Q 移动的速度相同，连接PQ 与线段BC 相交于点D (不考虑点P 与点A ，B 重合时的情况)．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)ED为定值5，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．（1）利用P、Q的移动速度相同，得到由（2）得：PB PF =，PBF ∴△为等腰三角形，PE BC ⊥ ，BE EF ∴=，由（2）得PFD QCD ≌△△，FD CD ∴=，111【观察猜想】如图①：D 为线段AB 上一点，DE BC ∥，交AC 于点E ．可知ADE V 为______三角形．【实践发现】如图②：D 为线段AB 外一点，连接AD ，以AD 为一边作等边三角形ADE ．连接BD CE 、．猜想BD 与CE 数量关系为______，直线BD 与CE 相交所产生的交角中的锐角为______．【深入探究】：D 为线段AB 上一点，F 为线段CB 延长线上一点，且DF DC =．（1）特殊感知：当点D 为AB 的中点时，如图③，猜想线段AD 与BF 的数量关系为______；（2）特例启发：当D 为AB 上任意一点，其余条件不变，如图④，猜想线段AD 与BF 的数量关系？并说明理由．（3）拓展延伸：在等边三角形ABC 中，点D 在直线AB 上，点F 在直线BC 上，且DF DC =．若ABC 的边长为2，3AD =，则CF 的长为______．【答案】观察猜想：等边；实践发现：BD CE =，60︒；（1）AD BF =；（2）AD BF =，证明见解析；（3）5或1【观察猜想】利用等边三角形的性质和判定即可证明；【实践发现】利用等边三角形的性质证明()SAS BAD CAE ≌即可得出数量关系，再用三角形内角和定理即可得出角度；【深入探究】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质求解即可；（2）正确作出辅助线证明三角形全等即可；（3）分点D 在AB BA 、的延长线上两种情况讨论。
由角平分线与平行线构成的等腰三角形
由角平分线与平行线构成的等腰三角形在我们学习几何的过程中，有些知识点之间关系密切，往往带有一定的共性,比如当角平分线与平行线同时出现，那么一定会得到等腰三角形.下面通过几例说明“角平分线＋平行线→等腰三角形”的规律，希望同学们能够举一反三，触类旁通，在解题中灵活运用.一、基本图形（分两种情况）：1.平行线平行于角的一边,如图1，OC 平分∠AOB ，CD ∥OB. 则DO=DC,2.平行线平行于角的平分线，如图2，OC 平分∠AOB ，OC ∥BD.则OD=OB.二、应用举例例1.如图3，在△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，交BC 于D,DE ∥AB ，则△ADE 是等腰三角形.证明：如图3，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵DE ∥AB ，∴∠BAD ＝∠ADE ，∴∠CAD ＝∠ADE ，∴AE ＝DE ，即△ADE 为等腰三角形.变式1：如图4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D,CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；变式2：如图5，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D, BE ∥AC ，则△A BE 是等腰三角形.仿例1可以给出证明.例2.如图6，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D,CE ∥AD ，则△ACE 是等腰三角形.证明：∵AD 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠2,AEB CD图3图5 AE BCD图4 AEBCD图1图2∵CE ∥AD ，∴∠2＝∠3，∠1＝∠E ， ∴∠3＝∠E ，∴AC ＝CE.变式1：如图7，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于D,EF ∥AD ，交AC 于点G ，交BA 延长线于E,则△AEG 是等腰三角形.变式2：如图8，在△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，交BC 于D, EF ∥AD ，交BC 于F ,交CA 的延长线于G ，则△AEG 是等腰三角形.这些基本规律在解题中有一定的指导作用.例3.如图9，在△A BC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D ，过点D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，（1）求证：EF ＝BE ＋CF ．（2）若AB=9,AC=8，求△AEF 的周长.分析：观察图形，看到EF 已被点D 分成了两条线段(DE 和DF)，而条件中恰好具备“角平分线＋平行线”，可得到两个等腰三角形△BDE 和△CDF ，于是可分别证明DE ＝BE ，DF ＝CF 即可.(1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2， ∵EF ∥BC ，∴∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴BE ＝DE ， 同理DF ＝CF ，∴DE ＋DF ＝BE ＋CF ，即EF ＝BE ＋CF (2)由（1）得：△AEF 的周长 =AE+AF+EF =AE+AF+(BE ＋CF) =AB+AC =9+8 =17.上述两例都是由角平分线、平行线构成的等腰三角形，并且同时出现两个，而这个发现是突破此类问题难点的关键.例4.如图10，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，∠BCD 的平分线交AD 于点F ，BE 、CF 交于点G ，,AEB CD F G图7BCDFE AG 图8)13(AE BCF D 图9)2A EB CD)1)2图6（1）求证:AF=DE,（2）若AB=3，BC=4，FG=1,求∠A 的度数. (3) 若△EFG 为等腰直角三角形,求∠A 的度 数.解：（1）在平行四边形ABCD 中 ∵AD ∥BC, ∴∠2=∠5，又 ∠2=∠5， ∴∠1=∠5，∴AE=AB, 同理可证：DF=CD. ∵AB=CD ∴AE=DF .∵ AF=AE －EF; DE=DF-EF , ∴AF=DE.（2）在平行四边形ABCD 中，设BE 与CF 交于点G,， ∵AB ∥CD ，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∴12,2ABC ∠=∠ 13,2BCD ∠=∠ 123()902ABC BCD ∠+∠==∠+∠=°，∴∠BGC=90°，即BE ⊥CF ； 因为AD=BC=4，DF=DC=3，∴AF=AD-DF=4-3=1; 又AF=AE －EF; ∴1=3-EF , ∴EF=2.又∵FG=1，∴1,2FG EF =∴∠5=30°，∵AE=AB ，∠1=∠5=30°, ∴∠A=120°. （3）由（2）得∠BGC=90°，∴∠EGF=90°,若△EFG 为等腰直角三角形,则∠5=45°，∴∠1=∠5=45°， ∴∠A=90°.评注：①此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，即△ABE 和△DCF,②利用平行四边形的对边相等，分别得到AF=DE=1,③利用平行线的性质得到Rt △BGC ，Rt △EGF , ④如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为30°.例5.已知：如图11,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,EF ∥AB 交BC 于E 、交AD 于F ,若DE=DC.求证：EF=AC.证明:过作CM ∥EF ,交AD 的延长线于M ，连结CM ，则∠M=∠3，，ABCDFE G)2)1 4(3(5(图10图11∠EDF=∠CDM ，又 DE=DC. ∴△EDF ≌△C DM ， ∴EF=CM. ∵ EF ∥AB ，∴∠3=∠1，又∠1=∠2，∴ ∠M=∠2，∴AC=CM ， 从而EF= AC.评析：本题的关键在于作通过添加平行线构成以AC(或EF)为腰的等腰三角形，再证EF=CM.通过上述例题，我们发现，尽管每道题目的结论各异，但每道题中都有角平分线、平行线，故都可得等腰三角形这一共性.所以，在学习过程中，要善于发现、总结规律.真正驳清了基本概念，变成一个个知识板块，其本质属性理解透彻，就能收到举一反三，融会贯通的效果.附：参考习题1.如图12，在△ＡＢＣ中，Ｏ是∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交点，ＯＤ∥ＡＢ，交ＢＣ于点Ｄ，ＯＥ∥ＡＣ，交ＢＣ于点Ｅ，若ＢＣ＝10cm ，求△DOE 的周长,2.如图13，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角∠ACP 的平分线交于D 点，过点D 作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，求证：EF ＝EB －FC3.如图14：平行四边形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，∠BCD 的平分线交AD 于F ，且AB=3，DE=2，（1）求平行四边形ABCD 的周长．（2）求证：BE ⊥CF （3）若CF=2，求BE 的长．.参考答案：1.△DOE 的周长为10cm ； 2.证明略；3.（1）平行四边形ABCD 的周长为16；（2）证明略；（3）BE=22226242BE BN EN =-=-=.AE B COD图12 )1 )2 4(图14A EBCFDP图13。
角平分线+平行线→等腰三角形
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Ａ ｐ
ＡＡＢＣ中 ， ＣＢ的平 分线 ， 交ＡＣ于 Ｄ，交 ＡＣＢ的 外
ｅ
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＋：平 行 线 等 腰 三 角 形
角 一
～面 和 结 论 各 不 相 同 ．但 认 真 加 以 分 析 ．透 过 表 面 现 象 ．挖 掘 本 质 属 性 ．便 会 从 中 归 纳 出某 些 规 律 性 的 东西 ．当得 到共 性 的结 论 后 ，便 可 以用 这 个共 性 结 论 去指 导解 决 类似 的题 目．让 我 们 先 看 下 面 一 组 题 目 ： 例 １ 已知 ．如 图 ＡＡＢＣ中 ＬＡＢＣ的 平 分 线
ＤＦ），于 是 不 妨 试 证ＥＤ＝ＥＢ，ＤＦ＝ＦＣ．由于 条 件
中有 角平 分线 和平行 线 ，此题 就不 难解 决．
证 明 ：。．。ＢＤ平 分 ＬＡＢＣ．．·． ｔ＝Ｌ２．
Ｄ
·． ’Ｅｒ／／，ｃ．．·． ３＝ ２．．·． １＝Ｌ３．
． · ．ＥＤ＝ＥＢ （等角对 等边 ）．
Ｐ
同 理 ＤＦ＝ＦＣ．
因 此 ＥＤ＋ＤＦ＝ＥＢ＋ＦＣ． 即 ＥＦ＝ＥＢ＋ＦＣ．
例 ２ 已知 ：如 图２， △ＡＢＣ中 ， ＬＡＢＣ的平 分 线 与 ＡＣＢ的外
角 厶４ ＣＰ的平分 线交 于Ｄ点 ，过Ｄ作ＢＣ的平行 线 于Ｅ，交 Ｃ于
求 证 ：ＥＦ＝ＥＢ一甩
分析：此题 仍 是证 明线段 的和差 问题 ．我 们仍 需设 法将 它转 化成
证 明线 段 的相 等问题 ．即证 明ＤＥ＝ＥＢ，Ｄ ＦＣ．
ｉ瀚
证 明：‘．’ＢＤ平分 ＡＢＣ．．·． ｌ： ２． 又 Ｅ１）∥ＢＣ，．’．／３＝ ２－．＿． １＝ ３－．．．ＥＢ＝ＥＤ． 同 理 １Ｄ＝ ． 因 此 ＥＦ＝ＥＤ一肋 ＝朋 ～ ． 通 过 以上 两 道例 题 ，我 们 从它 的证 明过 程 中 挖掘 共 性 的 东 西 ，从 而 设 法 寻求 规 律 ．尽 管 两 道
等腰三角形复习_角平分线和平行线构成等腰三角形的探索 齐建军
课题：等腰三角形复习----角平分线和平行线构成等腰三角形的探索一、复习目标：1、知识与技能：（1）理解等腰三角形的有关概念。
（2）掌握等腰三角形的性质和判定。
（3）探索角平分线和平行线构成等腰三角形。
2、能力目标：通过复习进一步培养考虑问题、解决问题的思维能力，发展推理能力及添加辅助线的思想，培养学生探索问题及总结知识点的能力。
3、情感目标：敢于面对学习生活中的困难，在独立思考的基础上，积极参与讨论，大胆发表自己的观点，尊重和理解他人，从交流中获益。
二、重点：探索一条角平分线和一条平行线构成等腰三角形。
难点：具体情景中知识的应用及数学思想的渗透。
三、板书设计：四、教学过程：（一）、导入：1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾：（由学生先进行回顾，教师补充）问：等腰三角形的性质有哪些？(1)：等腰三角形的两个底角相等。
(2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
2、问：等腰三角形判定方法呢？(1)定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
(2)判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（二）、例题讲解：例：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB。
过D作EF∥BC问：(1) 图中有几个等腰三角形？ (2) 线段EF与线段BE，CF有何数量关系？解：（1）∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，EF ∥BC∴∠EBD=∠DBC ，∠EDB=∠DBC ，∠FCD=∠BCD ，∠FDC=∠BCD∴∠EBD=∠EDB ，∠FCD=∠FDC∴△DEB ，△DFC 是等腰三角形（有两个角相等的三角形是等腰三角形）（2）∵△DEB ，△DFC 是等腰三角形∴BE=DE ，FC=FD又∵EF=DE+DF∴EF=BE+FC变式练习1如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 外角。
过D 作EF ∥BC ，问：(1)△BEF 与△CFD 的等腰三角形吗？(2)线段EF 、BE 、CF 有何数量关系？变式练习2（教学要求：要求学生自己分析、思考，并写下完整的解题过程） 如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 于D ，DE ∥AC 交AB 于E 点，说明AE=BE 。
专题 作平行线构造等腰△
学会三种基本的辅助线方法：
1.在角平分线中作平行线构造等腰△； 2.在等腰△中作腰的平行线构造等腰△； 3.在等腰△中作底边的平行线构造等腰△。
一、利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形
思考： 为什么在这些条件下， 可得三角形OAC为等腰 三角形？
巩固应用：在复杂图形中寻找基本图形
思考：
为什么在这些条 件下，可得三角 形BDE为等腰三 角形？
巩固应用：通过辅助线构造基本图形
思考：
为什么在这些条件下，可得三角形ADE为等腰三 角形？
巩固应用：利用辅助线构造基本图形
比比谁的方法多
Байду номын сангаас
角平分线与平行线结合的等腰三角形问题
角平分线与平行线结合的等腰三角形问题(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2角平分线与平行线构造等腰三角形问题基本图形1已知： AB ∥CD, （1）CE 平分∠ACD 交AB 于E.问⊿ACE 是什么特殊三角形 （2）反过来，若AC ＝AE,问CE 是∠ACD 的平分线吗基本图形2已知：△ABC,AB ＝AC,（1）AE 是外角∠BAD 的平分线.问AE 与BC 平行吗 （2）若AE ∥BC ，问∠DAE ＝∠BAE 吗（3）若AE 是外角∠BAD 的平分线，且AE ∥BC ，AB ＝AC 吗问题举例1.已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，求证：四边形AEDF 是菱形。
2．（2016•泰安）如图，在□ABCD 中，AB=6，BC=8，∠C 的平分线交AD 于E ，交BA 的延长线于F ，则AE+AF 的值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．63．如图，CD 、BD 平分∠BCA 及∠ABC ，EF 过D 点且EF ∥BC ，AB ＝8，AC ＝6 。
则△AEF 的周长是 ______4.（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG=1，则AE 的边长为（ ） A ．2 B ．4 C ．4 D ．85.（2013菏泽）如图所示，在△ABC 中，BC=6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ=3CE 时，EP+BP= ．6.如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边C D 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47.已知：□ABCD,BE 平分∠ABC, CF 平分∠BCD,BE 、CF 分别交AD 于E 、F ，BE 与CF 交于点G ． (1)求证：BE ⊥CF ．(2)若AB=5，BC=8，求EF 的长．8.（2013•张家界）如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ．设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F.求证：OE=OF ；9.（2013泰安）如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB 的中点， （1）求证：AC2=AB•AD ； （2）求证：CE ∥AD ；310.已知：△ABC ，AB ＝AC ，AE 是外角∠BAD 的平分线，点D 为BC 的中点，DE ∥AC 交AE 于E,连接BE.求证：四边形AEBD 是矩形.11.（2017.岱岳区）如图，已知一次函数y=23x-3与反比例函数y=x k的图象相交于点A（4，n ），与X 轴相交于点B. （1）求反比例函数的表达式；（2）将线段AB 沿X 轴向右平移5个单位到DC ，设DC 与双曲线交于点E ，求点E 到x 轴的距离.。
角平分线+平行线(→)等腰三角形
角平分线+平行线(→)等腰三角形
侯国兴
【期刊名称】《今日中学生》
【年(卷),期】2006(000)029
【摘要】@@ 某些数学题目,表面上看它们的条件和结论各不相同,但认真加以分析,透过表面现象,挖掘本质属性,便会从中归纳出某些规律性的东西.当得到共性的结论后,便可以用这个共性结论去指导解决类似的题目.让我们先看下面一组题目:【总页数】2页(P15-16)
【作者】侯国兴
【作者单位】无
【正文语种】中文
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当角平分线遇到平行线……
当角平分线遇到平行线……当角平分线遇到平行线……教学过程：在几何学习中，我们经常会遇到含有角平分线和平行线的问题，那么当角平分线遇到平行线会产生怎样的火花呢？接下来让我们一起来探索吧！试一试：1.如图，已知BD平分∠ABC ，且DE//BC ，则BE=DE吗？说明理由。
如果我们把其中一个条件和结论调换一下，还能成立吗？变式一：如图，已知DE//BC，且BE=DE，则BD平分∠ABC吗？说明理由。
变式二：如图，已知BD平分∠ABC ，且BE=DE，则DE//BC吗？说明理由。
总结：我们得到了这样一个基本图形：它的特征是：过角的平分线上一点作一条边的平行线与角的另一条边及角平分线围成的三角形是等腰三角形。
我们简单地表示为：当角平分线遇到平行线时，一这会产生等腰三角形。
角平分线+平行线等腰三角形角平分线+等腰三角形平行线平行线+等腰三角形角平分线热身训练看下列四个图，相等的角和平行线都已用记号标出，你能迅速地找出每个图中的等腰三角形吗？（1）（2）（3）（4）例1：如图，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB。
问：（1）图中有几个等腰三角形？（2）若过D作EF∥ BC，则图中有几个等腰三角形？（3）线段EF与线段BE，CF有何数量关系？你能说明理由吗？(4) 若AB=4, 求△AEF的周长.变式1：如图，△ ABC中，BD平分∠ABC， CD平分∠ACB，过点D作EF∥ BC分别交AB,AC于点E,F.当AB=12,AC=8,你能求△AEF的周长吗？变式2：如图，△ABC中，∠ABC的平分线和一个外角的平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E,交AC于点F. 写出EF 与BE，CF的数量关系，并说明理由.变式3：如图，△ABC的两个外角∠CBE与∠BCF的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F ，则EF与BE，CF 三者有何数量关系？我们在折叠问题里也会遇到这类基本图形。
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角平分线与平行线构造等腰三角形问题
基本图形1
已知： AB∥CD, （1）CE平分∠ACD交AB于E.问⊿ACE是什么特殊三角形？
（2）反过来，若AC＝AE,问CE是∠ACD的平分线吗?
基本图形2
已知：△ABC,AB＝AC,（1）AE是外角∠BAD的平分线.问AE与BC平行吗？
（2）若AE∥BC，问∠DAE＝∠BAE吗？（3）若AE是外角∠BAD的平分线，且AE∥BC，AB＝AC吗？
问题举例
1.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形。
2．（2016•泰安）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，AB＝8，AC＝6 。
则△AEF的周长是______4.（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC
交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4 D．8
5.（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，
BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=
3
CE时，EP+BP= ．
6.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边C D上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7.已知：□ABCD,BE平分∠ABC, CF平分∠BCD,BE、CF分别交AD于E、F，BE与CF交于点G．
(1)求证：BE⊥CF．
(2)若AB=5，BC=8，求EF的长．
8.（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.求证：OE=OF；
9.（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
10.已知：△ABC，AB＝AC，AE是外角∠BAD的平分线，点D为BC的中点，DE∥AC交AE于E,连接BE.求
证：四边形AEBD是矩形.
11.（2017.岱岳区）如图，已知一次函数y=2
3
x-3与反比例函数y=x
k
的图象相交于点A（4，n），与X
轴相交于点B.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将线段AB沿X轴向右平移5个单位到DC，设DC与双曲线交于点E，求点E到x轴的距
离.。